向量的内积

O
b B
两个向量a，b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积，记作a ·b， 即
a · b＝|a||b|cos<a，b>
由内积的定义可知 a · 0＝0, 0 · a＝0.
2．向量的内积
已知非零向量 与 ，
为两向量的夹角，则数量
叫做 与 的内积．
规定： 与任何向量的内积为0． 注意： 符号“· ”既不能省略，也不能用“×”代替．
例1 已知
求
．
解：由已知条件得
例2 已知:
求 解： 由
得 : 因为 0°≤θ ≤180°，所以 θ =135°
例3 求证： 证明：
例4 求证： 证明： 因为
所以
归纳总结
1.由公式直接计算向量的内积． 2.由内积求向量的模与夹角． 3.运用内积的性质判定两向量关系． 4.性质和运算律的应用．
向量的内积
平乡县职教中心
张芳平
CONTENTS
兴趣导入
思路与方法
经典例题
归纳总结
课后作业
创设情境 兴趣导入
如下图所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力， 朝着与水平线成 角的方向拉小车，使小车前进了5 m． 那么，这个人做了多少功？
做功等于力与在力的方向上移动 的距离的乘积．
F s
W＝｜F｜cos30° ·｜S｜＝100× ·5＝250
向量内积的重要性质
（1） 如果e是单位向量，则：
（2） （3） （4）
向量的内积满足：
1)
交换律
ar
r b
r b
Βιβλιοθήκη Baidu
ar
2) 关于数因子的结合律
(
ar
r )b
ar
(
r b
)
(ar br
)
3)
分配律(ar
r b
)
cr
r a
r c
r b
r c
一般地，向量的内积不满足结合律，即
a·(b·c)≠(a·b ) ·c
5/15/2020
已知： 求 已知：
今日作业
求
THANK
YOU
FOR
WAT C H I N G
B
O
A
规定
，则 ∠AOB 叫
说明
（1）当
时， 与 同向；
（2）当
时， 与 反向；
（3）当
时， 与 垂直； 记作
（4）在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．
动脑思考 探索新知
如图，设有两个非零向量 a， b，作
A
a 由射线OA与OB 所形成的的角叫做向量
a 与向量 b 的夹角，记作<a，b>．
动脑思考 探索新知
W＝｜F｜cos30° ·｜s｜＝100× ·5＝250 这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由 两个向量F，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F 与 向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．
两个非零向量夹角的概念
已知非零向量 与 ，作
，
做 与 的夹角．记作