排队论
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12
2
系统服务率μ
平均服务时间 ：一个顾客平均占用服 务设施的时间。
μ表示系统的服务率，平均每秒内顾客被 服务完毕后离去的数目。
对于m=1的单窗口系统，系统服务率＝μ 对于m≠1的多窗口系统，系统服务率＝mμ
13
排队系统主要性能指标（续）
②等待时间——顾客到达至开始被服务的时间 .
③服务时间——顾客被服务的时间τ ④系统时间——顾客在系统内停留的时间s.
中级问题
M/G/1 G/M/1
高级问题
G/G/1
19
22
四. 排队系统的表示方法(Kendall)
Kendall在1953 年发表论文”排队论中的 某些问题”, 提出使用Kendall记号。
Kendall模型表示为： A/B/m (N,n)
A / B / m (N, n)
N一般省去，
pk k p0
33
（二）k的各阶矩求法：母函数求导法
1.母函数定义：
G(z) p0 p1z p2z2 pk zk pk zk k 0
由归一性 G(1) pk 1 求导数得 G(1) kpk zk1 |z1 k
G(1) ( kzk1pk ) k(k 1)zk2 pk ｚ＝１ ＝ （k2 k)pk k2 k
M——表示到达为泊松分布 服务时间为负指数分布，负指数分布具有无记忆 性，即Markov性。
D——表示确定性分布（Deterministio） Ek——表示k阶爱尔朗分布（Erlang） G——表示任意分布(General) GI——表示相互独立任意分布
21
（一）排队问题的求解（只研究稳态解）：
确定分布
注：可由状态转移图直接写出系统方程。
31
求解概率表达式（续）
正则性
Pk
(t )
1
可得
k 0
1
k 0
pk
（1+
k
) p0
p0 1
即
p0 pk
1 p0 k
(1 ) k
k 1
其中 / 为系统的业务强度，且必须
G(1) k(k 1)(k 2) pk k3 3k2 2k
36
6
母函数求导法（续）
2. 均值：k G'(1)
k的统计特性可由母函数 的各阶导数直接求得
方差：k2 (k k )2 pk Ek2 k 2 G(1) G(1) [G(1)]2
18
3
⑥ 稳定性
目标问题
稳定性参数指排队强度ρ，表明窗口应变能力。
ρ＝λ/μ
ρ<1时，说明平均到达的顾客数小于平均离 开的顾客数。系统稳定，可采取不拒绝方式
ρ≥1时，说明平均到达的顾客数多于或等于 平均离开的顾客数，如采取不拒绝方式，系 统的稳定性就无法保证。
基本问题
M/M/1 M/M/m（n）
顾客到达规律具有马尔可夫性时pk =rk 当每瞬间到达人数或离去人数只能是一人时（稀疏性）rk =dk 在最简系统（到达的是泊松流）中，pk =rk =dk
15
⑤ 系统效率 系统效率η：平均窗口占用率
共m个窗口，某时刻有如r个被占用，则 η＝ r (占用窗口数） m（服务台或窗口数）
排队系统效率表明了处理资源的利用程度。 η愈大，服务资源的利用率愈高。
满足 / 1
34
第四步 状态平衡方程
状态平衡方程表明了其稳态平衡原理
(p1 ) ppk0＝0pk1 pk1 k 1
32
第六步
利用概率公式求各统计参数 k
只与有关,
顾客观点: 效率观点:
(k 短)
折衷 取 0.5以下
(a) 系统数，即队长的期望值
k
kPk (t)
k 0
1
(b)平均等待时间
0
f
()d
k
(1 )
(c) 系统时间（逗留时间，延迟时间）
s
0
sfs
(s)ds
0
s(
f
*
f
)ds
1 (1
)
或利用Little公式
4
第3章 通信网业务分析
3.1 排队论基本概念 3.2 M/M/1排队 3.3 M/M/m(n)排队 3.4 网内通信业务分析 3.5 提高系统效率措施
3.1 排队论基本概念
一. 排队系统组成
信息序列 信息源 到达
排队系统
排队 机构
服务 机构
排队规则 服务规则
信息离去
输入过程、排队方式、服务机构（处理器结构形 式及服务方式）是排队系统的几个主要环节。
28
第一步 分析条件，确定分布 对于M/M/1模型
① 输入过程——呼叫源无限，呼叫单个到来且相 互独立，一定时间的到达数服从泊松分布。
② 排队规则——单队，且对队长不限制，先到先 服务FIFO.
③ 处理机构——单处理器或单窗口，各呼叫的处 理时间相互独立，间隔服从负指数分布。
3.2 M/M/1排队模型
6
1
服务机构
服务机构可以从以下3方面来描述： 1) 服务台数量及构成形式。从数量上说，服务台 有单服务台和多服务台之分。从构成形式上看， 服务台有： ①单队列单一处理器；
7
服务机构
2) 服务方式 这是指在某一时刻接受服务的顾客数，它有单个
服务和成批服务两种。如公共汽车一次就可装载一 批乘客就属于成批服务。
dp0 (t) dt
0
dpk (t) dt
0
k 1,2,
得
(p0 (t))pk(tp)1(t
)
pk
1
(t
)
pk
1
(t
)
k 1, 2
即 p(进入k态) p(离开k态)
30
5
第三步画出状态转移图
μ k=0
λ
μ
μ
k-1
k
λ
λ
μ
μ
k+1
λ
λ
稳态的存在条件是：排队系统脱离k状态的速率 必 须等于(k-1)、(k+1)状态进入k状态的速率之和。
第3章 通信网业务分析
主讲教师：安建伟
北京科技大学通信工程系
排队论的研究内容
排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统 符合于哪种模型，以便根据排队理论进行分析研究。
性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主 要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等，包 括了瞬态和稳态两种情形。
最优化问题，又分静态最优和动态最优。前者指最 优设计，后者指现有排队系统的最优运营。
呼叫到达的间 隔时间分布 （输入分布） 处理时间分布 （服务分布）
求pk
状态转移图 状态平衡方 (系统方程) 解状态概率
统计参数
平均队长k、 等待时间W 系统时间s 排队系统效率
24
4
状态概率 Pk (t)
关于 Pk (t) 的关系式一般为关于t的微分方程或关 于k的差分方程。
方程的解称为瞬态解或过渡状态解，其极限称 为稳态解或统计平衡状态解。
3) 服务时间的分布 一般来说，在多数情况下，对每一个顾客的服务
时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指 数分布、K级爱尔兰分布、一般分布(所有顾客的服 务时间都是独立同分布的)等等。
10
②单队列多处理器并列 ③多队列多处理器并列
二. 排队模型三要素
① m为窗口数或服务员数，表示资源量， 或同时向顾客提供服务的设施数。 （单窗口m=1；多窗口m>1）
3. 对于M/M/1模型：pk k (1 )
Ｇ(z)
k0
(1
)k zk
1 1 z
k2 k
G(z)
(1-) (1 z)2
G(z)
２(12
(1-) z)3
k2＝(1２２)2
(1)
(1)
2
k
s
s
k
1 (1 )
(d) 系统效率（窗口占用率）：单窗口时 1 P0
35
第五步 求解概率表达式
令
得p1 p0
pk 1
1
[(
)
pk
pk 1 ]
(
1)pk
pk 1
利用递推法得：
Hale Waihona Puke Baidu
p2 (1 ) p1 p0 (1 ) p0 p0 2 p0 p3 3 p0
2
5
引言
排队系统组成（续）
输入过程
信息数量
输 到达方式 入 信息间隔确定性 过 程 到达间隔独立性
输入过程平稳性
排队规则
① 先到先服务FCFS 或先入先出FIFO
② 后到先服务LCFS ③ 随机服务 ④ 优先服务
服务规则
等待型和截止型
服务机构
①服务台数及构成 ②服务方式 ③服务时间的分布
3
3.1排队论基本概念
② λ：顾客到达率（平均） ③ μ：系统服务率（平均）
8
11
④单队——多服务台串联式；
平均到达率λ
平均到达时间间隔（统计平均）
⑤单队——多服务台并串联混合式, 以及多队——多服务台并串联混合式等等。
9
λ：单位时间到达的顾客数，反映了顾 客到达系统的快慢程度。
λ越小，系统负载越轻，反之则越重。
(1)2
0.5
1
0.5， k 2激增
37
38
7
26
系统方程（续）
1 t 0
t
1
......
(1 t)(1 t) (t)2
1 t t
Δt Δt
k-1
k
K+1 ......
t
Δt Δt
p0 pk
(t (t
t) t)
tp1(t) tpk1(t)
(1t) p0(t) tpk1(t)
顾 客 到
服 务 规
窗 口 数
潜 在 顾
截 止 队
n省略时表示 无穷大，即不
达
律
客 长 拒绝系统
规
数
律
20
3.2 M/M/1排队
呼叫来源无限 且泊松到达(λ)
排队系统
无限容量
负指数分布μ
缓存器
处理器
离去
排队论中最简单、最基本的模型
23
排队系统的表示方法(Kendall)（续）
信息相继到达的间隔时间和处理时间的各种 分布表示是：
(1
t
t)
pk
(t)
t
0得
dp0 (t) dt
dpk (t) dt
p1(t) pk1(t)
p0 (t) pk1(t)
(
)
pk
(t)
k 1, 2 哥尔莫柯
洛夫方程
29
第二步 列出系统方程（可省）
27
系统方程（续）
稳态时，令
它们间的关系：s s
s k
Little公式
16
三. 排队系统主要性能指标
① 排队长度，简称队长（平均排队长） ② 等待时间 ③ 服务时间 ④ 系统时间（逗留时间、延迟时间） ⑤ 系统效率（窗口占用率） ⑥ 稳定性（排队强度）
14
基本流量模型
17
排队系统主要性能指标（续）
求稳态概率时，只需令导数等于0即可。
过渡状态 Pk
稳态
25
系统方程（续）
t时刻 t+△t内 t+△t内 t+△t 时刻
顾客数 到达 离开 顾客数
概率
A
K
无无
K pk(t)(1t)(1t)
B K+1 无 有
K pk1(t)(1t)t
C K-1 有 无
D
k
有有
K pk1(t) t(1 t) K pk(t)t t
①排队长度k——简称队长，某时刻系统内滞留的顾客数(系统 状态)，它的统计平均值为平均信息数，又称系统数。根据k的 长短将排队系统分为有限制、无限制和即时制系统。
三种观察方式： pk—（服务员）随机观察队长为k的概率（平稳条件下） rk—顾客到达时刻观察队长为k的概率(不包括刚到的) dk—顾客离去时观察队长为k的概率 (不包括要离去的)
2
系统服务率μ
平均服务时间 ：一个顾客平均占用服 务设施的时间。
μ表示系统的服务率，平均每秒内顾客被 服务完毕后离去的数目。
对于m=1的单窗口系统，系统服务率＝μ 对于m≠1的多窗口系统，系统服务率＝mμ
13
排队系统主要性能指标（续）
②等待时间——顾客到达至开始被服务的时间 .
③服务时间——顾客被服务的时间τ ④系统时间——顾客在系统内停留的时间s.
中级问题
M/G/1 G/M/1
高级问题
G/G/1
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22
四. 排队系统的表示方法(Kendall)
Kendall在1953 年发表论文”排队论中的 某些问题”, 提出使用Kendall记号。
Kendall模型表示为： A/B/m (N,n)
A / B / m (N, n)
N一般省去，
pk k p0
33
（二）k的各阶矩求法：母函数求导法
1.母函数定义：
G(z) p0 p1z p2z2 pk zk pk zk k 0
由归一性 G(1) pk 1 求导数得 G(1) kpk zk1 |z1 k
G(1) ( kzk1pk ) k(k 1)zk2 pk ｚ＝１ ＝ （k2 k)pk k2 k
M——表示到达为泊松分布 服务时间为负指数分布，负指数分布具有无记忆 性，即Markov性。
D——表示确定性分布（Deterministio） Ek——表示k阶爱尔朗分布（Erlang） G——表示任意分布(General) GI——表示相互独立任意分布
21
（一）排队问题的求解（只研究稳态解）：
确定分布
注：可由状态转移图直接写出系统方程。
31
求解概率表达式（续）
正则性
Pk
(t )
1
可得
k 0
1
k 0
pk
（1+
k
) p0
p0 1
即
p0 pk
1 p0 k
(1 ) k
k 1
其中 / 为系统的业务强度，且必须
G(1) k(k 1)(k 2) pk k3 3k2 2k
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6
母函数求导法（续）
2. 均值：k G'(1)
k的统计特性可由母函数 的各阶导数直接求得
方差：k2 (k k )2 pk Ek2 k 2 G(1) G(1) [G(1)]2
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⑥ 稳定性
目标问题
稳定性参数指排队强度ρ，表明窗口应变能力。
ρ＝λ/μ
ρ<1时，说明平均到达的顾客数小于平均离 开的顾客数。系统稳定，可采取不拒绝方式
ρ≥1时，说明平均到达的顾客数多于或等于 平均离开的顾客数，如采取不拒绝方式，系 统的稳定性就无法保证。
基本问题
M/M/1 M/M/m（n）
顾客到达规律具有马尔可夫性时pk =rk 当每瞬间到达人数或离去人数只能是一人时（稀疏性）rk =dk 在最简系统（到达的是泊松流）中，pk =rk =dk
15
⑤ 系统效率 系统效率η：平均窗口占用率
共m个窗口，某时刻有如r个被占用，则 η＝ r (占用窗口数） m（服务台或窗口数）
排队系统效率表明了处理资源的利用程度。 η愈大，服务资源的利用率愈高。
满足 / 1
34
第四步 状态平衡方程
状态平衡方程表明了其稳态平衡原理
(p1 ) ppk0＝0pk1 pk1 k 1
32
第六步
利用概率公式求各统计参数 k
只与有关,
顾客观点: 效率观点:
(k 短)
折衷 取 0.5以下
(a) 系统数，即队长的期望值
k
kPk (t)
k 0
1
(b)平均等待时间
0
f
()d
k
(1 )
(c) 系统时间（逗留时间，延迟时间）
s
0
sfs
(s)ds
0
s(
f
*
f
)ds
1 (1
)
或利用Little公式
4
第3章 通信网业务分析
3.1 排队论基本概念 3.2 M/M/1排队 3.3 M/M/m(n)排队 3.4 网内通信业务分析 3.5 提高系统效率措施
3.1 排队论基本概念
一. 排队系统组成
信息序列 信息源 到达
排队系统
排队 机构
服务 机构
排队规则 服务规则
信息离去
输入过程、排队方式、服务机构（处理器结构形 式及服务方式）是排队系统的几个主要环节。
28
第一步 分析条件，确定分布 对于M/M/1模型
① 输入过程——呼叫源无限，呼叫单个到来且相 互独立，一定时间的到达数服从泊松分布。
② 排队规则——单队，且对队长不限制，先到先 服务FIFO.
③ 处理机构——单处理器或单窗口，各呼叫的处 理时间相互独立，间隔服从负指数分布。
3.2 M/M/1排队模型
6
1
服务机构
服务机构可以从以下3方面来描述： 1) 服务台数量及构成形式。从数量上说，服务台 有单服务台和多服务台之分。从构成形式上看， 服务台有： ①单队列单一处理器；
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服务机构
2) 服务方式 这是指在某一时刻接受服务的顾客数，它有单个
服务和成批服务两种。如公共汽车一次就可装载一 批乘客就属于成批服务。
dp0 (t) dt
0
dpk (t) dt
0
k 1,2,
得
(p0 (t))pk(tp)1(t
)
pk
1
(t
)
pk
1
(t
)
k 1, 2
即 p(进入k态) p(离开k态)
30
5
第三步画出状态转移图
μ k=0
λ
μ
μ
k-1
k
λ
λ
μ
μ
k+1
λ
λ
稳态的存在条件是：排队系统脱离k状态的速率 必 须等于(k-1)、(k+1)状态进入k状态的速率之和。
第3章 通信网业务分析
主讲教师：安建伟
北京科技大学通信工程系
排队论的研究内容
排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统 符合于哪种模型，以便根据排队理论进行分析研究。
性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主 要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等，包 括了瞬态和稳态两种情形。
最优化问题，又分静态最优和动态最优。前者指最 优设计，后者指现有排队系统的最优运营。
呼叫到达的间 隔时间分布 （输入分布） 处理时间分布 （服务分布）
求pk
状态转移图 状态平衡方 (系统方程) 解状态概率
统计参数
平均队长k、 等待时间W 系统时间s 排队系统效率
24
4
状态概率 Pk (t)
关于 Pk (t) 的关系式一般为关于t的微分方程或关 于k的差分方程。
方程的解称为瞬态解或过渡状态解，其极限称 为稳态解或统计平衡状态解。
3) 服务时间的分布 一般来说，在多数情况下，对每一个顾客的服务
时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指 数分布、K级爱尔兰分布、一般分布(所有顾客的服 务时间都是独立同分布的)等等。
10
②单队列多处理器并列 ③多队列多处理器并列
二. 排队模型三要素
① m为窗口数或服务员数，表示资源量， 或同时向顾客提供服务的设施数。 （单窗口m=1；多窗口m>1）
3. 对于M/M/1模型：pk k (1 )
Ｇ(z)
k0
(1
)k zk
1 1 z
k2 k
G(z)
(1-) (1 z)2
G(z)
２(12
(1-) z)3
k2＝(1２２)2
(1)
(1)
2
k
s
s
k
1 (1 )
(d) 系统效率（窗口占用率）：单窗口时 1 P0
35
第五步 求解概率表达式
令
得p1 p0
pk 1
1
[(
)
pk
pk 1 ]
(
1)pk
pk 1
利用递推法得：
Hale Waihona Puke Baidu
p2 (1 ) p1 p0 (1 ) p0 p0 2 p0 p3 3 p0
2
5
引言
排队系统组成（续）
输入过程
信息数量
输 到达方式 入 信息间隔确定性 过 程 到达间隔独立性
输入过程平稳性
排队规则
① 先到先服务FCFS 或先入先出FIFO
② 后到先服务LCFS ③ 随机服务 ④ 优先服务
服务规则
等待型和截止型
服务机构
①服务台数及构成 ②服务方式 ③服务时间的分布
3
3.1排队论基本概念
② λ：顾客到达率（平均） ③ μ：系统服务率（平均）
8
11
④单队——多服务台串联式；
平均到达率λ
平均到达时间间隔（统计平均）
⑤单队——多服务台并串联混合式, 以及多队——多服务台并串联混合式等等。
9
λ：单位时间到达的顾客数，反映了顾 客到达系统的快慢程度。
λ越小，系统负载越轻，反之则越重。
(1)2
0.5
1
0.5， k 2激增
37
38
7
26
系统方程（续）
1 t 0
t
1
......
(1 t)(1 t) (t)2
1 t t
Δt Δt
k-1
k
K+1 ......
t
Δt Δt
p0 pk
(t (t
t) t)
tp1(t) tpk1(t)
(1t) p0(t) tpk1(t)
顾 客 到
服 务 规
窗 口 数
潜 在 顾
截 止 队
n省略时表示 无穷大，即不
达
律
客 长 拒绝系统
规
数
律
20
3.2 M/M/1排队
呼叫来源无限 且泊松到达(λ)
排队系统
无限容量
负指数分布μ
缓存器
处理器
离去
排队论中最简单、最基本的模型
23
排队系统的表示方法(Kendall)（续）
信息相继到达的间隔时间和处理时间的各种 分布表示是：
(1
t
t)
pk
(t)
t
0得
dp0 (t) dt
dpk (t) dt
p1(t) pk1(t)
p0 (t) pk1(t)
(
)
pk
(t)
k 1, 2 哥尔莫柯
洛夫方程
29
第二步 列出系统方程（可省）
27
系统方程（续）
稳态时，令
它们间的关系：s s
s k
Little公式
16
三. 排队系统主要性能指标
① 排队长度，简称队长（平均排队长） ② 等待时间 ③ 服务时间 ④ 系统时间（逗留时间、延迟时间） ⑤ 系统效率（窗口占用率） ⑥ 稳定性（排队强度）
14
基本流量模型
17
排队系统主要性能指标（续）
求稳态概率时，只需令导数等于0即可。
过渡状态 Pk
稳态
25
系统方程（续）
t时刻 t+△t内 t+△t内 t+△t 时刻
顾客数 到达 离开 顾客数
概率
A
K
无无
K pk(t)(1t)(1t)
B K+1 无 有
K pk1(t)(1t)t
C K-1 有 无
D
k
有有
K pk1(t) t(1 t) K pk(t)t t
①排队长度k——简称队长，某时刻系统内滞留的顾客数(系统 状态)，它的统计平均值为平均信息数，又称系统数。根据k的 长短将排队系统分为有限制、无限制和即时制系统。
三种观察方式： pk—（服务员）随机观察队长为k的概率（平稳条件下） rk—顾客到达时刻观察队长为k的概率(不包括刚到的) dk—顾客离去时观察队长为k的概率 (不包括要离去的)