三角函数专题精讲精练
5.4 三角函数的图象与性质(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
5.4三角函数的图象与性质(精讲)一.三角函数的图像及性质π1.周期函数概念①对于函数f(x),存在一个非零常数T(T>0)条件②当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)结论函数f(x)叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期2.最小正周期条件如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做f(x)的最小正周期一.用三角函数图象解三角不等式(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象;(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集;(3)根据公式一写出不等式的解集.二.求三角函数周期(1)定义法,即利用周期函数的定义求解.. (2)公式法,对形如y=A sin(ωx+φ)或y=A cos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=2π|ω|(3)观察法,即通过观察函数图象求其周期.三.判断函数奇偶性(1)看函数的定义域是否关于原点对称;(2)看f(-x)与f(x)的关系.对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.四.单调区间的求法求形如y=A sin(ωx+φ)或y=A cos(ωx+φ)的函数的单调区间,要先把ω化为正数.(1)当A>0时,把ωx+φ整体代入y=sin x或y=cos x的单调递增区间内,求得的x的范围即为函数的单调递增区间.(2)当A<0时,把ωx+φ整体代入y=sin x或y=cos x的单调递增区间内,求得的x的范围即为函数的单调递减区间;代入y=sin x或y=cos x的单调递减区间内,可求得函数的单调递增区间.五.比较三角函数值大小(1)异名函数化为同名函数.(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上.(3)利用函数的单调性比较大小.六.求三角函数值域或最值(1)形如y=sin(ωx+φ)的三角函数,令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin t的最值(值域).(2)形如y=a sin2x+b sin x+c(a≠0)的三角函数,可先设t=sin x,将函数y=a sin2x+b sin x+c(a≠0)化为关于t 的二次函数y=at2+bt+c(a≠0),根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对于形如y=a sin x(或y=a cos x)的函数的最值还要注意对a的讨论.考点一“五点法”作图的应用【例1-1】(2022·全国·高一专题练习)作出下列函数在一个周期图象的简图:(1)3sin3x y =;(2)2sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;(3)2sin 214y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭;(4)2cos 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【答案】函数图象见解析【解析】(1)解:因为3sin 3xy =,取值列表:x 032π3π92π6π3x02ππ32π2πy33-0描点连线,可得函数图象如图示:(2)解:因为2sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,取值列表:x4π-4π34π54π74π4x π+02ππ32π2πy22-0描点连线,可得函数图象如图示:(3)解:因为2sin 214y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,取值列表:x 8π-8π38π58π78π24x π+02ππ32π2πy1311-1描点连线,可得函数图象如图示:(4)解:因为2cos 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,取值列表:x 23π-3π43π73π103π23x π+02ππ32π2πy22-02描点连线,可得函数图象如图示:【例1-2】(2023秋·高一课时练习)当[]2,2x ππ∈-时,作出下列函数的图象,把这些图象与sin y x =的图象进行比较,你能发现图象变换的什么规律?(1)sin y x =-;(2)sin y x =;(3)sin y x =.【答案】答案见解析【解析】(1)该图象与sin y x =的图象关于x 轴对称,故将sin y x =的图象作关于x 轴对称的图象即可得到sin y x =-的图象.(2)sin ,2,0,sin sin ,0,2,x x x y x x x x ππππππ-≤≤-≤≤⎧==⎨--≤≤≤≤⎩将sin y x =的图象在x 轴上方部分保持不变,下半部分作关于x 轴对称的图形,即可得到sin y x =的图象.(3)sin ,0,sin sin ,0,x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩将sin y x =的图象在y 轴右边部分保持不变,并将其作关于y 轴对称的图形,即可得到sin y x =的图象.【一隅三反】1.(2023秋·高一课时练习)用“五点法”作出下列函数的简图.(1)2sin y x =,[]0,2πx ∈;(2)πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,π5π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.(3)1π3sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期(4πT =)内的图像.(4)2sin y x =-,[]0,2πx ∈;(5)πcos 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,π11,π66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.(6)πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,π5π,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【答案】图象见解析图象见解析【解析】(1)列表:x 0π2π3π22π2sin x22-0描点、连线、绘图,如图所示.(2)列表:π3x +π2π3π22πx π3-π62π37π65π3πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭010-1描点连线如图.(3)列表:x 2π35π38π311π314π31π23x -0π2π3π22πy10-10图像如图所示:(4)解:由题知2sin y x =-,[]0,2x π∈,列表如下:xπ2π3π22πy21232根据表格画出图象如下:(5)解:由题知πcos 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,π11,π66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,列表如下:x π6-π35π64π311π6π6x +π2π3π22πy10-101根据表格画出图象如下:(6)[]π5ππ,0,2π333x x ⎡⎤∈-∴+∈⎢⎥⎣⎦根据五点法作图列表得:π3x +π2π3π22πxπ3-π62π37π65π3y11-01画图像得:考点二正弦、余弦函数的周期【例2-1】(2023湖南)下列函数中,最小正周期为π的函数是()A .y =sin xB .y =cos xC .y =sin 1π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D .y =cos π23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】A.y =sin x 的最小正周期为2πT =,故错误;B.y =cos x 的最小正周期为2πT =,故错误;C.y =sin 1π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π4π12T ==,故错误;D.y =cos ππ2cos 233x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2T ==,故正确;故选:D【例2-2】(2023秋·高一课时练习)下列函数,最小正周期为2π的是()A .sin 2x y =B .sin2y x =C .sin 2x y =D .sin2y x=【答案】C【解析】函数sin 2x y =的最小正周期为2π4π12T ==,故A 不符合;函数sin2y x =,其最小正周期为2ππ2T ==,故B 不符合;因为函数sin2xy =的最小正周期为4πT =,所以函数sin 2x y =的最小正周期为2π,故C 符合;因为函数sin2y x =的最小正周期为2ππ2T ==,所以函数sin2y x =的最小正周期为π2,故D 不符合.故选:C.【一隅三反】1.(2023·全国·高一专题练习)函数()cos 26f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期是()A .2πB .πC .2πD .4π【答案】B【解析】由函数()cos 26f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,则其最小正周期22T ππ==-.故选:B.2.(2023北京)下列函数中,最小正周期为π的函数是()A .sin y x =B .cos y x =C .cos y x =D .sin y x=【答案】B【解析】对于A ,函数sin y x =的最小正周期为2π,故A 不符合题意;对于B ,作出函数cos y x =的图象,由图可知,函数cos y x =的最小正周期为π,故B 符合题意;对于C ,函数cos y x =的最小正周期为2π,故C 不符合题意;对于D ,函数sin ,0sin sin ,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩,其图象如图,由图可知,函数sin y x =不是周期函数,故D 不符合题意.故选:B.3.(2023·全国·高一假期作业)(多选)下列函数中,是周期函数的是()A .cos y x =B .cos y x =C .sin y x =D .sin y x=【答案】ABC【解析】对于A ,()cos πcos cos x x x +=-= ,cos y x ∴=的最小正周期为π;对于B ,()cos cos cos x x x =-= ,cos y x ∴=的最小正周期为2π;对于C ,()sin πsin sin x x x +=-= ,sin y x ∴=的最小正周期为π;对于D ,∵sin ,0sin sin ,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩,∴函数图象关于y 轴对称,不具有奇偶性,故错误.故选:ABC4.(2023春·江西上饶·高一校联考期中)(多选)下列函数,最小正周期为π的有()A .sin y x =B .sin y x =C .πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D .2cos 1y x =-【答案】BC【解析】对于A ,sin ||y x =为偶函数,图象关于y 轴对称,其图象如下,不是周期函数,故A 错误;对于B ,作出函数|sin |y x =的图象如下,观察可得其最小正周期为π,故B 正确;对于C ,由周期公式可得2π||T ω=,可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π,故C 正确;对于D ,由周期公式可得2π||T ω=,可得2cos 1y x =-的最小正周期为2π,故D 错误.故选:BC考点三正弦、余弦函数的奇偶性【例3-1】7.(2023春·四川眉山·高一校考期中)下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是()A .cos 2y x =B .sin y x=C .πsin(2)2y x =+D .3πcos(2)2y x =-【答案】D【解析】对于A ,∵cos 2()cos 2x x -=,∴函数cos 2y x =是偶函数,故A 错误;对于B ,∵sin()sin sin x x x -=-=,∴函数sin y x =是偶函数,故B 错误;对于C ,函数πsin(2)cos 22y x x =+=是偶函数,故C 错误;对于D ,函数3πcos(2)sin 22y x x =-=-是奇函数,最小正周期2ππ2T ==,故D 正确.故选:D.【例3-2】(2021春·陕西榆林·高一校考阶段练习)若函数()cos 203f x x πφφ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭()是奇函数,则φ的最小值为()A .56πB .43πC .3πD .512π【答案】A【解析】因为函数()cos 203f x x πφφ⎛⎫=+-> ⎝⎭()是奇函数,所以,32k k Z ππφπ-=+∈,解得5,6k k Z πφπ=+∈,所以φ的最小值为56π,故选:A【例3-3】(2023秋·高一课时练习)判断下列函数的奇偶性.(1)1π()sin 22f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭;(2)2π()cos 2f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;(3)21sin cos ()1sin x x f x x+-=+.【答案】(1)偶函数(2)奇函数(3)非奇非偶函数.【解析】(1)()f x 的定义域为R ,1π11()sin cos cos 2222f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为11()cos cos ()22f x x x f x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭,所以()f x 为偶函数,(2)()f x 的定义域为R ,22π()cos sin 2f x x x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭,因为22()()sin()sin ()f x x x x x f x -=---==-,所以()f x 为奇函数,(3)由1sin 0x +≠,得sin 1x ≠-,解得π2π,Z 2x k k ≠-+∈,所以函数的定义域为πR 2π,Z 2x x k k ⎧⎫∈≠-+∈⎨⎬⎩⎭,因为定义域不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数.【一隅三反】1.(2023秋·高一课时练习)函数()sin R f x x x x +∈=,()A .是奇函数,但不是偶函数B .是偶函数,但不是奇函数C .既是奇函数,又是偶函数D .既不是奇函数,又不是偶函数【答案】A【解析】由()sin s ()(in )f x x x x x f x -=-+-=-=-可知()f x 是奇函数.故选:A2.(2023春·云南文山·高一校考阶段练习)下列函数中,最小正周期为π的偶函数是()A .cos y x =B .2sin y x =C .sin 2y x =D .cos y x=【答案】A【解析】对于A ,()cos y f x x ==定义域为R ,因为()cos()cos ()f x x x f x -=-==,所以函数cos y x =为偶函数,因为cos y x =的图象是由cos y x =的图象在x 轴下方的关于x 轴对称后与x 轴上方的图象共同组成(如下图所示),又cos y x =的最小正周期为2π,所以cos y x =的最小正周期为π,故A 正确;对于B :2sin y x =为最小正周期为2π的奇函数,故B 错误;对于C :()sin 2y g x x ==定义域为R ,()()()sin 2sin 2g x x x g x -=-==,即sin 2y x =为偶函数,又()()ππsin 2sin 2πsin 2sin 222g x x x x x gx ⎛⎫⎛⎫+=+=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以π2为sin 2y x =的周期,故C 错误;对于D :cos y x =为最小正周期为2π的偶函数,故D 错误;故选:A3.(2023秋·高一课时练习)(多选)已知函数()πsin()4f x x ϕ=++是奇函数,则ϕ的值可以是()A .0B .π4-C .π2D .3π4【答案】BD【解析】由函数()πsin()4f x x ϕ=++为奇函数,可得ππ,Z 4k k ϕ+=∈,解得ππ,Z 4k k ϕ=-+∈,当0k =时,π4ϕ=-,所以B 满足题意;当1k =时,43πϕ=,所以D 满足题意;故选:BD.4.(2023秋·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末)(多选)以下函数是偶函数的是()A .2sin y x =B .cos2y x =C .3sin y x x =D .|sin |cos y x x=【答案】BCD【解析】四个选项中函数的定义域均为全体实数,满足关于原点对称,对于A :()2sin f x x =,()()()2sin 2sin f x x x f x -=-=-=-,所以2sin y x =为奇函数,故A 错误对于B :()cos2g x x =,()()()cos 2cos2g x x x g x -=-==所以()cos2g x x =为偶函数,故B 正确;对于C :()3sin h x x x =,()()()()()333sin sin sin h x x x x x x x h x -=--=--==,所以()3sin h x x x =为偶函数,故C 正确;对于D :()|sin |cos t x x x =,()()()()|sin |cos |sin |cos |sin |cos t x x x x x x x t x -=--=-==,所以()|sin |cos t x x x =为偶函数,故D 正确;故选:BCD考点四正弦、余弦函数的对称性【例4-1】(2023春·北京·高一北京市第一六一中学校考期中)函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象()A .关于直线π3x =对称B .关于直线π3x =-对称C .关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D .关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】B【解析】A.πππ5πsin 2sin13366f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以函数不关于直线π3x =对称,故A 错误;B.ππππsin 2sin 13362f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以函数关于直线π3x =对称,故B 正确;C.ππππsin 2sin 106662f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以函数不关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称,故C 错误;D.πππ5πsin 2sin03366f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎝⎭⎝⎭,所以函数不关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称,故D 错误;故选:B【例4-2】(2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末)已知常数R ϕ∈,如果函数()cos 2y x ϕ=+的图像关于点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,那么ϕ的最小值为()A .π3B .π4C .π6D .π2【答案】C【解析】因为函数()cos 2y x ϕ=+的图像关于点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,所以π24ππ32k ϕ⨯++=,Z k ∈,所以13ππ6k ϕ=-+,Z k ∈,所以当2k =时π6ϕ=-,当3k =时5π6ϕ=,1k =时7π6ϕ=-,所以ϕ的最小值为π6.故选:C 【一隅三反】1.(2023云南)函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心可以是()A .π,03⎛⎫⎪⎝⎭B .π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭C .5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D .,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】对于A ,由π3x =,得π2π3x +=,1y =,则π,03⎛⎫⎪⎝⎭不是函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心,故A 错误;对于B ,由π12x =,得ππ232x +=,则π,112⎛⎫ ⎪⎝⎭不是函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心,故B 错误;对于C ,由5π12x =,得π7π236x +=,则5π,012⎛⎫⎪⎝⎭不是函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心,故C 错误;对于D ,π6x =-,得π203x +=,1y =,则,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心,故D 正确.故选:D.2.(2023春·四川成都·高一校考期中)下列直线中,可以作为曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴的是()A .π4x =B .π3x =C .π2x =D .2π3x =【答案】A【解析】πcos(2)sin 22y x x =-=,对于A ,当π4x =时,πsin 12y ==,则π4x =是曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴,A 是;对于B ,当π3x =时,2πsin 132y ==≠±,则π3x =不是曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴,B 不是;对于C ,当π2x =时,sin π01y ==≠±,则π2x =不是曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴,C 不是;对于D ,当2π3x =时,14π3sin 2y ==-≠±,则2π3x =不是曲线πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴,D 不是.故选:A3.(2023春·河南驻马店·高一统考阶段练习)(多选)已知函数()πcos π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()A .()f x 的图象关于直线12x =对称B .()f x 的图象关于点1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C .()f x 的图象关于点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D .()f x 的图象关于直线14x =对称【答案】BD【解析】因为()πcos π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令πππ,Z 4x k k -=∈,则1,Z 4x k k =+∈,所以()f x 的对称轴方程为:1,Z 4x k k =+∈,令10,4k x ==,则D 正确,A 错误;令ππππ,Z 42x k k -=+∈,则3,Z 4x k k =+∈,所以()f x 的对称轴中心为:3,0,Z 4k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,令1k =-,则()f x 的一个对称中心为1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭,则B 正确,C 错误.故选:BD.考点五正弦、余弦函数的单调性【例5-1】(2023春·重庆江津·高一校考期中)(多选)函数πsin(2y x =-(R )x ∈在()A .区间ππ[,22-上是增函数B .区间π[,π]2上是增函数C .区间[π,0]-上是减函数D .区间[,]-ππ上是减函数【答案】BC【解析】ππsin()sin cos 22y x x x ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭.A 选项,因cos y x =在π[,0]2-上单调递增,在π[0,]2上单调递减,则πsin()2y x =-在ππ[,]22-上无单调性,故A 错误;B 选项,因cos y x =在π[,π]2上单调递减,则πsin()cos 2y x x =-=-在π[,π]2上单调递增,故B 正确;C 选项,因cos y x =在[π,0]-上单调递增,则πsin()cos 2y x x =-=-在[π,0]-上单调递减,故C 正确;D 选项,因cos y x =在[π,0]-上单调递增,在[0,π]上单调递减,则πsin()2y x =-在[,]-ππ上无单调性,故D错误.故选:BC【例5-2】(2022春·上海浦东新·高一校考期末)函数π12cos 23y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调递增区间是.【答案】πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【解析】由π2ππ22π3k x k -≤-≤,解得ππππ36k x k -≤≤+,所以函数π12cos 23y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调递增区间是πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .故答案为:πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【例5-3】(2023春·广西钦州·高一校考期中)(多选)下列函数在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的是()A .()sin f x x =B .()cos f x x =C .()sin 2f x x =D .()cos 2f x x=【答案】AD【解析】A 选项,ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()sin sin f x x x ==,()f x 单调递增,故A 符合.B 选项,ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()cos cos f x x x ==,()f x 单调递减,故B 不符合.C 选项,ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,π2,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()sin2sin 2f x x x ==,()f x 单调递减,故C 不符合.D 选项,ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,π2,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()cos2cos 2f x x x ==-,()f x 单调递增,故D 符合.故选:AD.【例5-4】(2023春·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中)已知函数π()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则实数ω的取值范围为.【答案】80,9⎛⎤⎥⎝⎦【解析】由题意有3ππππ4422T ω-=≤=,可得02ω<≤,又由πππ5π3436ω<+≤,cos y x =在[]0,π上为减函数,故必有3πππ43ω+≤,可得809ω<≤.故实数ω的取值范围为80,9⎛⎤ ⎝⎦.故答案为:80,9⎛⎤⎥⎝⎦【一隅三反】1.(2023春·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期中)函数cos y x =的一个单调减区间是()A .ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】作出函数cos y x =的图象如图所示,由图象可知,A 、B 都不是单调区间,D 是单调增区间,C 是单调减区间.故选:C2.(2023·全国·高一专题练习)函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递减区间为()A .5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .11π5π,1212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C .ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令()π2π2π2πZ 6k x k k ≤-≤+∈,解得()π7ππ+πZ 1212k x k k ≤≤+∈,即函数()f x 的单调递减区间为π7ππ+,π,Z 1212k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,取1k =-可得,11π5π,1212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递减区间,B 正确;取0k =可得,π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递减区间,令()π2ππ22πZ 6k x k k -≤-≤∈,解得()5ππππZ 1212k x k k -≤≤+∈,即函数()f x 的单调递增区间为5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,取0k =可得,,12125ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递增区间,A 错误;因为()f x 在π12π,6⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,C 错误;取1k =可得,7π13π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的单调递增区间,所以()f x 在7π5π,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,D 错误故选:B.3.(2023秋·高一课时练习)函数π3sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为.【答案】5(Z)121,2k k k ππ⎡⎤-+ππ⎢⎥⎦∈+⎣【解析】因为3sin 23sin(2)33y x x ππ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭,所以3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间就是3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间.令222(Z)232k x k k πππ-+π≤≤π∈-+,解得51212k x k ππππ-+≤≤+()k ∈Z .所以函数3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .故答案为:5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .4.(2023·全国·高一课堂例题)函数2πlog cos 3y x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增区间为.【答案】5ππ2π,2π63k k ⎛⎤-+-+ ⎥⎝⎦,Zk ∈【解析】由题意,得πcos 03x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭,所以πππ2π2π232k x k -+<+<+,Z k ∈,解得5ππ2π2π66k x k -+<<+,Z k ∈.令ππ2π2π3k x k -+≤+≤,Z k ∈,则4ππ2π2π33k x k -+≤≤-+,Z k ∈.所以πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为4ππ2π,2π33k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦,Z k ∈,所以函数2πlog cos 3y x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增区间为5ππ2π,2π63k k ⎛⎤-+-+ ⎥⎝⎦,Z k ∈.故答案为:5ππ2π,2π63k k ⎛⎤-+-+ ⎥⎝⎦,Z k ∈5.(2023秋·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末)已知函数其中0ω>.若()π,4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,则ω的取值范围是()A .(]0,4B .0,13⎛⎤ ⎥⎝⎦C .52,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .15,0332,⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】D 【解析】由πππ2π2π,242k x k k ω-+≤+≤+∈Z 解得3π2ππ2π,44k k x k ωωωω-+≤≤+∈Z ,所以函数()f x 的单调递增区间为3π2ππ2π,,44k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ,因为()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,所以3πππ2422T ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭,所以04ω<≤.当0k =时,由()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增可知3ππ42π3π44ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩,得103ω<≤;当1k =时,由5ππ429π3π44ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得332ω≤≤;当2k =时,13ππ4217π3π44ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩无实数解.易知,当1k ≤-或2k ≥时不满足题意.综上,ω的取值范围为15,0332,⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选:D6.(2023·全国·高一课堂例题)已知函数()πsin (0)4f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间(1,2)上不单调,则ω的取值范围为()A .3π,8∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭B .3π3π7π,,848∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .3π7π7π,,888∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .3π,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()πsin (0)4f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭ωω的图象的对称轴为直线3ππ4k x ω+=,k ∈Z ,因为()f x 在区间(1,2)上不单调,所以对称轴3ππ4k x ω+=,k ∈Z 在直线1x =与直线2x =之间,即3ππ412k ω+<<,k ∈Z ,化简得3ππ3ππ824k k ω+<<+,k ∈Z ,因为0ω>,所以令0k =,得3π3π84ω<<,又当1k ≥时,7π8ω>,综上3π3π7π,,848ω∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:B .考点六正弦、余弦函数的单调性的应用【例6-1】(2023春·福建泉州·高一校联考期中)下列结论正确的是()A .()sin 10sin50-︒>︒B .tan70sin70︒<︒C .()cos 40cos310-︒<︒D .cos130cos200︒>︒【答案】D【解析】对于A ,因为()sin 10sin100-︒=-︒<,sin500︒>,所以()sin 10sin50-︒<︒,故A 错误;对于B ,因为0cos701<︒<,所以sin 70tan70sin70cos70︒︒=>︒︒,故B 错误;对于C ,因为()cos 40cos 40-︒=︒,()cos310cos 36050cos 50︒=︒-︒=︒,又cos 40cos50︒>︒,所以()cos 40cos310-︒>︒,故C 错误;对于D ,因为()cos130cos 9040sin 40︒=︒+︒=-︒,()cos 200cos 27070sin 70︒=-︒=-︒,又sin 40sin 70︒<︒,所以sin 40sin 70-︒>-︒,即cos130cos 200︒>︒,故D 正确.故选:D.【例6-2】(2023春·江苏苏州·高一统考期末)已知45a =,2sin 3b =,1cos 3c =,则a ,b ,c 的大小关系为()A .c b a <<B .a b c<<C .b a c<<D .b<c<a【答案】C【解析】因为2π4πsinsin sin 34253<=<<=b a <,14cos cos 32π65c a =>==,所以c a >,所以b a c <<.故选:C.【一隅三反】1.(2023春·广西钦州·高一校考期中)sin1︒,sin1,sin π︒的大小顺序是()A .sin1sin1sin π︒<<︒B .sin1sin πsin1︒<︒<C .sin1sin1sin π︒=<︒D .sin1sin1sin π<︒<︒【答案】B【解析】由正弦函数的单调性可知:sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,又易知π0<1<π°<1<2︒,所以sin1sin sin1π︒<︒<.故选:B2.(2023·全国·高一假期作业)下列选项中错误的是()A .ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .sin2sin1>C .23π17πcos cos 54⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .sin508sin144︒︒>【答案】D 【解析】因为ππππ210182-<-<-<,sin y x =在ππ[,]22x ∈-上单调递增,所以ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎝⎭⎝⎭,故A 正确;因为21π1.522+=<,所以2比1距离正弦函数的对称轴π2x =近,所以sin2sin1>,故B 正确;因为23π23π3π17π17ππcos cos 4πcos ,cos cos4πcos 555444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,而3ππ05π4-<<-<-,函数cos y x =在(π,0)-上单调递增,所以23π17πcos cos 54⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故C 正确;因为sin508sin148sin144︒︒=︒>,而90144148180︒<︒<︒<︒,由正弦函数的单调性可知sin508sin148sin144︒︒=︒<,故D 错误.故选:D3.(2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期中)设3sin20,cos80,4a b c =︒=︒=,则,,a b c 大小关系()A .b a c <<B .a b c <<C .c b a <<D .a c b<<【答案】B【解析】因为2030︒<︒,且sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,则1sin 20sin 302︒<︒=,即12a <;又因为π80ππ41803<<,且cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,则1ππcos cos80cos 2342=<︒<=,即122b <<,且34c =>a b c <<.故选:B.考点七正弦、余弦函数的最值(值域)问题【例7-1】(2023春·四川眉山·高一校考期中)已知函数()ππ2sin 2,0,62f x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,则()f x 的值域是()A .[]22-,B .[]1,1-C .[]1,2-D .2⎡⎤⎣⎦【答案】C【解析】因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦,所以ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以[]π2sin 21,26x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,所以()f x 的值域是[]1,2-.故选:C.【例7-2】(2023·全国·高一专题练习)函数22sin cos y x x =--的最小值是.【答案】34/0.75【解析】函数2213cos cos 1cos 24y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,1cos 1x -≤≤,当1cos 2x =时,函数取得最小值34.故答案为:34【例7-3】(2023春·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习)函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为.【答案】11,122⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦【解析】令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,[1)(t ∈-- ,则212sin cos t x x =+,即21sin cos 2t x x -=,所以2112()12t t f t t --==+,又因为[1)(t ∈-- ,所以()11,11,22f t ⎡⎫⎛⎤-∈--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦,即函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为11,11,22⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦.故答案为:11,122⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦.【例7-4】(2023春·四川眉山·高一校联考期中)已知函数()πsin (0,[0,π])3f x x x ωω⎛⎫=->∈ ⎪⎝⎭的值域为[,则ω的取值范围是()A .15[,]33B .5[,1]6C .55[,63D .513⎡⎤⎢⎥⎣⎦,【答案】C【解析】因为[0,π]x ∈,可得πππ[,π333x ωω-∈--,因为函数()πsin()3f x x ω=-的值域为[,所以ππ4π,323ωπ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,解得55[,]63ω∈.故选:C.【一隅三反】1(2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期末)函数ππcos ,,032y x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域是()A .1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .⎤⎥⎣⎦C .12⎡⎢⎣⎦D .,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】因为,02πx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以πππ,363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦,因为函数cos t x =在π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增,π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减,又πcos 6⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 01=,π1cos 32=,所以π1cos ,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选:A .2.(2023秋·陕西安康·高一校联考期末)函数2π2πsin 2cos 33y x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的最小值是.【答案】14-/-0.25【解析】由()222sin 2cos 1cos 2cos cos 12y x x x x x =+=-+=--+,又π2π33x ≤≤,则11cos 22x -≤≤,所以()217cos 1244x -≤--+≤,所以函数2π2πsin 2cos 33y x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的最小值是14-.故答案为:14-.3.(2023春·江西宜春·高一江西省丰城中学校考阶段练习)已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,若()f x 在[]0a ,上的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,,则实数a 的取值范围为()A .403π⎛⎤ ⎥⎝⎦,B .2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,C .23π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭,D .2533ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,【答案】B【解析】由题意可得()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令3t x π=+则cos y t =,如图所示,∵()f x 的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,,0x a ,∴333x a πππ++,即:33ta ππ+∴由图可知533aπππ+,解得2433a ππ,所以实数a 的取值范围为2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,.故选:B.4.(2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中)函数2cos ()2cos xf x x-=+的值域为.【答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】2cos 4()12cos 2cos x f x x x-==++,[]cos 1,1x ∈-,则[]cos 21,3x +∈,44,42cos 3x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦,故()1,33f x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为:1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点八正切函数图像及性质【例8】(2024秋·广东)(多选)已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则下列说法正确的是()A .()f x 的最小正周期为π2B .()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C .π3π510f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .()f x 的定义域为ππ,Z 3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】AC【解析】因为()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,对于A :()f x 的最小正周期为π2T =,故A 正确;对于B :当ππ,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,πππ2,662x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,因为tan y z =在π0,2z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增,故()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,故B 错误;对于C :因为()f x 的最小正周期为π2T =,所以πππ3π55210f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故C 正确;对于D :令ππ2π62x k -≠+,Z k ∈,解得ππ32k x ≠+,Z k ∈,所以()f x 的定义域为ππ,Z 32k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭,故D 错误.故选:AC .【一隅三反】1.(2023春·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习)(多选)已知函数()tan 2f x x =,则下列说法正确的是()A .函数()f x 是奇函数B .函数()f x 的最小正周期是πC .函数()f x 在ππ(,44-上单调递增D .函数()f x 图象的对称中心是π(,0)(Z)4k k ∈【答案】ACD【解析】对于A ,()tan 2f x x =的定义域为ππππ,(Z)4242k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭,定义域关于原点对称,因为()()tan(2)tan 2f x x x f x -=-=-=-,所以()f x 是奇函数,所以A 正确,对于B ,()f x 的最小正周期为π2T =,所以B 错误,对于C ,由ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,得ππ2,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,因为tan y x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,所以()f x 在ππ(,)44-上单调递增,所以C 正确,对于D ,由π2,Z 2k x k =∈,得π,Z 4k x k =∈,所以()f x 图象的对称中心是π(,0)(Z)4k k ∈,所以D 正确,故选:ACD2.(2023春·广西钦州·高一校考阶段练习)(多选)已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则下列说法错误的是()A .()f x 的最小正周期为π2B .()f x 的定义域为ππ,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C .ππ44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】BD【解析】因为()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,对于A :所以()f x 的最小正周期为π2T =,故A 正确;对于B :令ππ2π,Z 62x k k -≠+∈,解得ππ,Z 32kx k ≠+∈,所以()f x 的定义域为ππ,32k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ,故B错误;对于C :πππtan tan 4263πf ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan tan tan πππ242633π2ππf ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故C 正确;对于D :当ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,ππ5π2,626x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,因为tan y z =在π5π,26z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增,故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,故D 错误.故选:BD3.(2023春·广东河源·高一校考阶段练习)(多选)已知函数()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则()A .π6f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B .π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C .()f x 图象的对称中心为()ππ,0Z 68k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D .()f x 的定义域为ππ,Z 122k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣【答案】ABD【解析】因为函数()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以πππ2π7tan 27tan76633f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 正确;由()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得,π7tan 26f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,对于函数7tan 2y x =,令π2π,Z 2x k k ≠+∈,得ππ,Z 24k x k ≠+∈,可知定义域为ππ,Z 24k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭关于原点对称,又()7tan 27tan 2x x -=-,所以函数7tan 2y x =为奇函数,即π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数,故B 正确;由ππ2(Z)32k x k +=∈,得到()ππZ 46k x k =-∈,所以()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心为()ππ,0Z 46k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,故C 错误;令ππ2π,Z 32x k k +≠+∈,得ππ,Z 212k x k ≠+∈,所以()f x 的定义域为ππ,Z 122k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣,故D 正确;故选:ABD。
5.2 三角函数的概念(精练)-2022版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册)(教师版含解析)
5.2三角函数的概念【题组一三角函数的定义】1.(2020·河南高三其他(理))若角α的终边过点8,6cos ()60P m -- ,且4cos 5α=-则实数m 的值为()A .12-B .C .12D .2【答案】C【解析】6cos 603-=- ,则点P 的坐标为(8,3)P m --,因为4cos 5a =-.所以角a 的终边在第二象限或第三象限,故0m >.45=-,即214m =,解得12m =-(舍)或12m =.故选:C .2.(2020·内蒙古通辽·高一期中(理))点(,)A x y 是300︒角终边上异于原点的一点,则yx值为().A B .C .33D .33-【答案】B【解析】tan 300yx==3.(2020·浙江丽水·高一期末)已知角α的终边经过点()1,P m ,且sin 10α=-,则cos α=()A .1010±B .1010-C .1010D .13【答案】C【解析】由三角函数定义得310sin 0,310m m α==-<=-由三角函数定义得cos 10α==故选:C4.(2020·全国高一课时练习)已知角α的终边上有一点,55P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,则sin cos αα+________.【答案】5 5 -【解析】因为角α的终边上有一点P⎝⎭,则22155⎛⎛+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以25sin5α=-,5cos5α=所以2555sin cos555αα⎛⎫+=-+=-⎪⎪⎝⎭故答案为:55-5.(2020·浙江高一课时练习)已知角α的终边上一点的坐标为33sin,cos44ππ⎛⎫⎪⎝⎭,则角α的最小正值为________.【答案】7 4π【解析】∵角α的终边上一点坐标为33sin,cos44Mππ⎛⎫⎪⎝⎭,即22M⎛ ⎪⎝⎭,故点M 在四象限,且22tan122α==-,则角α的最小正值为74π.故答案为:74π6.(2020·全国高一课时练习)已知角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0)”,求2sinα+cosα.【答案】1或-1.【解析】因为r5a =.①若a>0,则r=5a,角α在第二象限,sinα=yr=4455aa=,cosα=3355x ar a-==-,所以2sinα+cosα=831 55-=,②若a<0,则r=-5a,角α在第四象限.sinα=4455aa=--,cosα=3355aa-=-,所以2sinα+cosα=831 55-+=-.7.(2020·全国高一课时练习)已知θ终边上一点()(),30P x x ≠,且10cos 10x θ=,求sin θ、tan θ.【答案】当1x =时,310sin 10θ=,tan 3θ=;当1x =-时,310sin 10θ=,tan 3θ=-.【解析】由题意知r OP ==,由三角函数定义得cos 10x x r θ===,0x ≠ ,解得1x =±.当1x =时,点()1,3P,由三角函数的定义可得sin 10θ==,3tan 31θ==;当1x =-时,点()1,3P -,由三角函数的定义可得sin 10θ==,3tan 31θ==--.综上所述,当1x =时,310sin 10θ=,tan 3θ=;当1x =-时,310sin 10θ=,tan 3θ=-.【题组二三角函数值正负判断】1.(2019·上海中学高一期中)若cos 0tan 0>,<,αα则α在A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】D【解析】由于cos 0α>,故角α为第一、第四象限角.由于tan 0α<,故角α为第二、第四象限角.所以角α为第四象限角.故选D.2.(2019·安徽省舒城中学高一月考)若sin 0tan αα>且cos tan 0αα⋅<,则角α的终边在()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】D 【解析】由题,因为sin 0tan αα>,则α的终边落在第一象限或第四象限;因为cos tan 0αα⋅<,则α的终边落在第三象限或第四象限;综上,α的终边落在第四象限故选D 3.(2020·南昌市新建一中高一期末)已知角α满足sin 0α<且cos 0α>,则角α是第()象限角A .一B .二C .三D .四【答案】D【解析】由题意,根据三角函数的定义sin y r α=<0,cos x rα=0∵r >0,∴y <0,x >0.∴α在第四象限,故选:D .4.(2020·上海高一课时练习)已知tanα>0,且sinα+cosα>0,那么角α是()A .第一象限角B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角【答案】A【解析】tan 0α>则角为第一或第三象限,而sin cos 0αα+>,故角为第一象限角.5.(2020·甘肃高一期末)已知点P (cos α,tan α)在第三象限,则角α的终边在()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】B【解析】由题意可得00cos tan αα<⎧⎨<⎩,则00sin cos αα>⎧⎨<⎩,所以角α的终边在第二象限,故选B.6.(2019·广东越秀·高一期末)若cosθ0>,sinθ0<,则角θ是()A .第一象限角B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角【答案】D【解析】根据三角函数的定义有()sin ,cos 0y xr r rθθ==>,所以0,0x y ><,所以θ在第四象限,故选D .7.(2020·辽河油田第二高级中学高一期中)如果点(sin ,cos )P θθ位于第三象限,那么角θ所在的象限是()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限+【答案】C【解析】因为点(sin ,cos )P θθ位于第三象限,所以sin 0cos 0θθ<⎧⎨<⎩,因此角θ在第三象限.故选:C.8.(2020·全国高一课时练习)“点(tan ,cos )P αα在第三象限”是“角α为第二象限角”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵(tan ,cos )P αα为第三象限,∴tan 0α<,cos 0α<,∴α为第二象限角,反之也成立.故选:C.9.(2020·山西平城·大同一中高一月考)已知第二象限角α的终边上一点()sin ,tan P ββ,则角β的终边在()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】C【解析】因为点()sin ,tan P ββ在第二象限,所以有sin 0,tan 0,ββ<⎧⎨>⎩所以β是第三象限角.故选:C 【题组三三角函数线】1.(2020·灵丘县豪洋中学高一期中)设5sin 12a π=,5cos 12b π=,5tan 12c π=,则()A .a b c <<B .a c b<<C .b c a<<D .b a c<<【答案】D 【解析】设512π的终边与单位圆相交于点P ,根据三角函数线的定义可知5sin 12a MP π==,5cos 12b OM π==,5tan 12c AT π==,显然AT MP OM >>所以b a c <<故选:D2.(2020·全国高一课时练习)若02θπ≤<,且不等式cos sin θθ<和tan sin θθ<成立,则角θ的取值范围是()A .3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭B .,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C .3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D .35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由三角函数线知,在[)0,2π内使cos sin θθ<的角5,44πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,使tan sin θθ<的角3,,222πθπππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,故θ的取值范围是,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭.故选:B.3.(2020·全国高一课时练习)如果42ππα<<,那么下列不等式成立的是()A .sin cos tan ααα<<B .tan sin cos ααα<<C .cos sin tan ααα<<D .cos tan sin ααα<<【答案】C【解析】如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ,很容易地观察出OM MP AT <<,即cos sin tan ααα<<.故选C.4.(2020·全国高一课时练习)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合.(1)sin α≥32;(2)cos α≤-12.【答案】(1)作图见解析;22k 2k ,k Z 33ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣;(2)作图见解析;2422,33k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣.【解析】(1)作直线y =32交单位圆于A ,B 两点,连接OA ,OB ,则OA 与OB 围成的区域(如图所示的阴影部分,包括边界),即为角α的终边的范围.故满足要求的角α的集合为22k 2k ,k Z 33ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣.(2)作直线x =-12交单位圆于C ,D 两点,连接OC 与OD ,则OC 与OD 围成的区域(如图所示的阴影部分,包括边界),即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为2422,33k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣.【题组四同角三角函数】1.已知sin =K11+,cos =−1+,若是第二象限角,则tan 的值为A .−12B .−2C .−34D .−43【答案】C【解析】由sin 2+cos 2=1,得:(K11+)2+(1+)2=1,化简,得:2−4=0,因为是第二象限角,所以,=4,tan =sin cos=K11+×(−1+)=1−=1−1=−34,故选C.2.(2020·甘肃省岷县第一中学高二月考)若角α的终边落在直线0x y +=上,22sin 1cos cos 1sin ααα-+-的值等于()A .0B .2-C .2D .2-或2【答案】A【解析】由题意,若角α的终边落在直线0x y +=上,则角α的终边落在第二象限或第四象限,当角α的终边在第二象限时,根据三角函数的定义,可得2sin 22cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,1cos 0cos α+=;当角α的终边在第四象限时,根据三角函数的定义,可得sin 22cos 2αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,0cos α+=,故选A.3.(2019·江西高三月考(文))已知tan 2α=-,其中α为三角形内角,则cos α=() A.55-B.5 C.55D.255-【答案】A【解析】因为tan 2α=-,所以sin 2cos αα=-,又因为22sin cos 1αα+=,所以解得:25sin 55cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或25sin 55cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,因为α为三角形内角,所以25sin 55cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.故答案为:A.【题组五弦的齐次】1.(2020·山西平城·大同一中高一月考)已知tan 3α=,则3sin cos 5cos sin αααα-=-()A .2B .4C .6D .8【答案】B 【解析】由已知3sin cos 3tan 133145cos sin 5tan 53αααααα--⨯-===---.故选:B .2.(2020·辽宁高一期末)若3sin 5cos 1sin 2cos 5αααα+=--,则tan α的值为()A .32B .﹣32C .2316D .﹣2316【答案】D 【解析】因为3sin 5cos 3tan 51sin 2cos tan 25αααααα++==---,解得23tan 16α=-.故选:D3.(2019·黄梅国际育才高级中学高一月考)已知θ是第二象限角,(),2P x 为其终边上一点且cosθ5x =,则2sin cos sin cos θθθθ-+的值A .5B .52C .32D .34【答案】A【解析】由题意得cos 5θ==1x =±.又θ是第二象限角,∴1x =-.∴tan 2θ=-.∴2sin cos 2tan 1415sin cos tan 121θθθθθθ----===++-+.选A .4.(2020·内蒙古集宁一中高一期末(理))已知sin αα=,则2sin sin cos 1ααα++=()A .4+34B .7+34C .1D .3【答案】B【解析】由sin αα=可得tan α=.22222222sin sin cos cos 2tan tan 12317sin sin cos 1sin cos tan 1314αααααααααααα++++⨯+++====+++.故选:B .5.(2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末)已知4tan 3α=,求下列各式的值.①222sin 2sin cos 2cos sin ααααα+⋅-;②sin cos αα.【答案】①20;②1225.【解析】①原式2222442tan 2tan 33202tan 423ααα⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭.②原式22224sin cos tan 123sin cos tan 125413αααααα====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.6.(2020·内蒙古通辽·高一期中(理))(1)已知tan 3α=,计算4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+的值.(2)已知3tan 4θ=-,求22sin cos cos θθθ+-的值.【答案】(1)57;(2)2225.【解析】(1)∵tan 3α=∴cos 0α≠∴原式=1(4sin 2cos )4tan 24325cos =153tan 5337(5cos 3sin )cos αααααααα-⨯-⨯-==++⨯+⨯.(2)()2222222sin cos sin cos cos 2sin cos cos sin cos θθθθθθθθθθ++-+-=+=2222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin cos 1tan θθθθθθθθθ++++=++=223393211224484925311164⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫++- ⎪⎝⎭.7.(2020·山东潍坊·高一期末)已知角α的顶点与坐标原点O 重合,始边落在x 轴的正半轴上,终边经过点()04,A y ,其中00y ≠.(1)若cos 5α=,求0y 的值;(2)若04y =-,求2sin 3cos cos 4sin αααα+-的值.【答案】(1)2±;(2)15.【解析】(1)由题意知,OA =25cos 5α=255=.解得02y =±,所以02y =±.(2)当04y =-时,0tan 14y α==-,所以2sin 3cos 2tan 31cos 4sin 14tan 5αααααα++==--.8.(2020·四川凉山·高一期末)已知tan α,1tan α是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根,且32ππα<<,求cos sin αα+的值【答案】【解析】由题意,tan α,1tan α是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根,可得21tan 31tan k αα⋅=-=,解得2k =±,又由32ππα<<,则1tan 2tan k αα+==,解得tan 1α=,则2sin cos 2αα==-,所以cos sin αα+=.【题组六sinacosa 与sina±cosa 】1.(2020·浙江高三专题练习)已知sin θ+cos θ=43,θ∈(0,)4π,则sin θ-cos θ的值为()A.-3B .13C.3D .-13【答案】A【解析】∵sinθ+cosθ=43,∴(sinθ+cosθ)2=sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ=169,所以2sinθcosθ=79又因为0<θ<4π,所以0<sinθ<cosθ∴sinθ﹣cosθ<0,∴(sinθ﹣cosθ)2=sin 2θ+cos 2θ﹣2sinθcosθ=1﹣2sinθcosθ=29,则sinθ﹣cosθ=﹣3.故选A .2.(2020·山西应县一中高三开学考试(文))若cosα+2sinαtanα=________.【答案】2【解析】由2221cos sin sin cos αααα⎧⎪⎨+=⎪⎩+sinα,cosα=,∴tanα=sinαcosα=2,故答案为2.3.(2019·石嘴山市第三中学高一期中)已知sin −cos =15(1)求sinvos 的值;(2)当0<<时,求tan 的值.【答案】(1)sinvos =1225(2)tan =43【解析】(1)sin −cos2=1−2sin cos ==125⇒sin cos =1225.(2)∵0<<且sin cos >0,∴0<<2.由sB −cB =15sBcB =1225⇒sB =45cB =35得tan =sin cos =43.。
人教版高中数学精讲精练必修一第五章 三角函数 章末重难点归纳总结(解析版)
b
0
,
所以 a 2 , b 2 2 ,所以 A 错误,B 正确, 4
所以 cos b 2 2 , tan 1 1 2 ,所以 CD 正确,
b2 1 3
b 22 4
故选:BCD 2.(2023·上海)(多选)在平面直角坐标系中,角 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,
则( )
A.
tan
1 2
【答案】BC
B. cos 5 5
C. tan = - 2
D. sin 5
5
【解析】因为角 终边上的点的坐标为(1, -2),所以 tan 2 2 ,故 A 错误 C 正确;cos 1 5 ,
1
14 5
故
B
正确; sin
2 5
2 5 5
,故
D
错误.
故选:BC.
4(2022 秋·浙江绍兴·高一统考期末)(多选)已知角 的终边上有一点 P 的坐标是 3a, 4 a ,其中 a 0 ,
第五章 三角函数 章末重难点归纳总结
考点一 三角函数的定义
【例
1】(2023
秋·江苏盐城·高一校联考期末)已知角
终边经过点
P
x,
6
,且
cos
5 13
,则
x
的值为(
)
A.
2 5
B.
5 2
C. 5 2
D.
5 2
【答案】C
【解析】因为角 终边经过点 P x, 6 ,所以 cos
解得 x 5 .故选:C 2
对于
CD,由 kπ+
π
kπ
3π k Z ,
角的终边在第二象限或第四象限, cos
精讲精练.doc
三角函数期末精讲精练三角函数精讲一、基本概念、定义:1. 角的概念推广后,包括 、 、 ,与α终边相同的角表示为 。
终边角: x 轴上 y 轴上 第一象限 第二象限 第二四象限 直线y =x 上2. 弧度制:把 叫1弧度的角。
公式:|α|=— 换算:180°= 弧度; 1弧度= 度; 1°= 弧度 扇形: 弧长L = = ,面积S = = 3. 任意角的三角函数:①定义:角α终边上任意一点P(x ,y),则r = ,六个三角函数的定义依次是 、 、 、 、 、 。
②三角函数线:角的终边与单位圆交于点P ,过点P 作 轴的垂线,垂足为M ,则 。
过点A(1,0)作 ,交 于点T ,则 。
③同角三角函数关系式:平方关系: 商数关系: 倒数关系:二、基本三角公式:(1~2要求能熟练运用:顺用、逆用、变形用,3~6要求能证明,不记忆)1.和、差角公式=±)sin(βα =±)cos(βα=±)tan(βα2.二倍角公式=α2sin =α2cos = = =α2tan 倍角公式变形:降幂公式=ααcos sin =α2sin =α2c o s 3.半角公式(书P45~46)2cos 12sinαα-±=, 2cos 12cos αα+±=, αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=4.万能公式: 2tan12tan2sin 2ααα+=;2tan12tan 1cos 22ααα+-=;2tan12tan 2tan 2ααα-=.5.积化和差公式(书P46~47))]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=; )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=; )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=; )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=.6.和差化积公式(书P46~47)2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+; 2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-;2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+; 2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-.应用公式解题的基本题型:化简、求值、证明基本技巧:①1的妙用:1= = =②变角: (x+y)+(x -y)= (x+y)+(x -y)= α= = = 等 ③变名:切化弦;弦化切④化一:a sinx +b cosx =1、 作图:五点法,依次取ωx +ψ=2、 周期T =3、 单调区间:A ∙ω>0时,增区间:解不等式 ≤ωx +ψ≤ 减区间:解不等式 ≤ωx +ψ≤A ∙ω<0时,增区间:解不等式 ≤ωx +ψ≤减区间:解不等式 ≤ωx +ψ≤ 4、最大值:A>0时,当ωx +ψ= 时,y 取最大值A 。
人教版高中数学精讲精练必修一5.4 三角函数的图象与性质(精练)(解析版)
5.4三角函数的图象与性质(精练)1.(2023春·北京昌平·高一统考期末)下列函数中,是偶函数且其图象关于点π(,0)4对称的是()A .()sin f x x =B .()cos f x x =C .()sin4f x x =D .()cos2f x x=【答案】D【解析】对于A ,函数()sin f x x =是奇函数,A 不是;对于C ,函数()sin4f x x =是奇函数,C 不是;对于B ,函数()cos f x x =是偶函数,而ππ(cos 0442f ==≠,即()cos f x x =的图象不关于点π(,0)4对称,B 不是;对于D ,函数()cos2f x x =是偶函数,ππ(cos 042f ==,即()cos2f x x =的图象关于点π(,0)4对称,D 是.故选:D2.(2023·全国·高一假期作业)设函数()πcos ,(0)4f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π5,则它的一条对称轴方程为()A .π8x =B .π8x =-C .π12x =D .π12x =-【答案】A【解析】因为的()f x 最小正周期为π5,所以2π10T ω==,所以()πcos 104f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令104πx kπ-=,Z k ∈,解得()1040kππx k Z =+∈,所以()f x 的对称轴为直线()1040kππx k Z =+∈,当1k =时,π8x =,其它各项均不符合,所以π8x =是函数()f x 的对称轴,故选:A .3.(2022·高一课时练习)已知函数()()2cos 3f x x ϕ=+,则“2πϕ=+2kπ,k ∈Z ”是“()f x 为奇函数”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当22k πϕπ=+,k ∈Z 时,()2cos(3)2sin 3f x x x ϕ=+=-,所以()f x 为奇函数.当()f x 为奇函数时,2k πϕπ=+,k ∈Z .综上,“22k πϕπ=+,k ∈Z ”是“()f x 为奇函数”的充分不必要条件.故选:A.4.(2023春·江苏盐城·高一校联考期中)设函数π()sin()3f x x ω=+在区间(0,π)恰有三条对称轴、两个零点,则ω的取值范围是()A .513,36⎡⎤⎢⎣⎦B .519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .138(,63D .1319(,66【答案】C【解析】由函数π()sin()3f x x ω=+,其中π()0,x ∈,可得πππ(,)333x ωωπ+∈+,因为函数()f x 在区间(0,π)恰有三条对称轴、两个零点,则满足5ππ3π23ωπ<+≤,解得13863ω<≤,所以ω的取值范围为138(,]63.故选:C.5.(2023春·辽宁抚顺·高一校联考期中)已知函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[],m n 上单调递减,且()()2f m f n -=,则tan2m n+=()A.BC.D【答案】D【解析】由函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[],m n 上单调递减,且()()2f m f n -=,可得()π22π6Z π2π2π6m k k n k ⎧-=⎪⎪∈⎨⎪-=+⎪⎩,两式相加得π2()π4π,Z 3m n k k +-=+∈,即ππ,Z 23m n k k +=+∈,所以πtan tan 23m n +==故选:D.6.(2023春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)已知6πsin 7a =,4πsin 7b =,2πsin 7c =,则()A .a b c>>B .c b a>>C .c a b>>D .b c a>>【答案】D【解析】由诱导公式知:ππsin πsin 77a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,3π3πsin πsin 77b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,sin y x = 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,3π2ππsin sin sin 777∴>>,即b c a >>.故选:D.7.(2023秋·高一单元测试)函数y =的定义域是()A .}{π|2π2π2,Z x k x k k ≤≤+∈B .π|ππZ}{2,x k x k k ≤≤+∈C .}{π|2ππZ 2,x k x k k ≤≤+∈D .}{ππ|ππ,Z 33x k x k k -≤≤+∈【答案】D【解析】函数y 有意义,则2cos 210x +≥,即1cos 22x ≥-,因此2π2π2π22π,Z 33k x k k -≤≤+∈,解得ππππ,Z 33k x k k -≤≤+∈,所以函数y =的定义域是}{ππ|ππ,Z 33x k x k k -≤≤+∈.故选:D8.(2023春·河北衡水·高一校考阶段练习)不等式cos 20x ≥在[]π,π-上的解集为()A .2π2ππ,,π33⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U B .2π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .5π5ππ,,π66⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U D .5π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】∵cos 20x ≥,则cos 2x ≥-,注意到[]π,πx ∈-,结合余弦函数图象解得5π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选:D.9.(2023春·江西抚州·高一江西省抚州市第一中学校考阶段练习)已知函数()()lg 2cos 1f x x =-,则函数()f x的定义域为()A .ππ2π,2π,Z33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B .ππ2π,2π,Z33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C .Zππ,ππ2,266k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D .Z ππ,ππ2,266k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由题意得:2cos 10x ->,即1cos 2x >,则ππ2π,2π,Z 33x k k k ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭.故选:A10.(2023春·四川眉山·高一校考阶段练习)已知()3sin2x f x =在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()A .1B .13C .12D .43【答案】A【解析】因为π0,,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以,23π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦结合三角函数的图像性质,函数()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,所以()max π1,3f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选:A.11.(2023春·四川眉山·高一校考期中)函数23cos 4cos 1y x x =-+的最小值是()A .13-B .154C .0D .14-【答案】A【解析】函数22213cos 4cos 13cos 33y x x x ⎛⎫=-+=--⎪⎝⎭又函数[]cos 1,1x ∈-,所以当2cos 3x =时,函数2213cos 33y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小值为13-.故选:A.12.(2023春·福建泉州·高一校考期中)(多选)若函数()π3sin 26f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭是偶函数,则ϕ的值不可能为()A .π6B .π2C .2π3D .5π6【答案】ABD【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】由函数()3sin 26f x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭是偶函数,可得()03f =±,即πsin 16ϕ⎛⎫-+=± ⎪⎝⎭,则ππ,Z 62k k ϕπ-+=+∈,解得2ππ,Z 3k k ϕ=+∈,当0k =时,可得2π3ϕ=,无论k 取何值,ϕ都不可能等于π6或π2或5π6.故选:ABD .13.(2023春·河南驻马店·高一校考阶段练习)(多选)下列大小关系中正确的是()A .cos11sin10cos168︒<︒<︒B .cos168sin10cos11︒<︒<︒C .sin11sin168cos10︒<︒<︒D .sin168cos10sin11︒<︒<︒【答案】BC【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】 cos11sin 79sin100︒=︒>︒>,又cos1680︒<,cos168sin10cos11∴︒<︒<︒;且sin11sin168sin12cos10cos80︒<︒=︒<︒=︒.故选:BC.14.(2023春·甘肃兰州·高一校考开学考试)(多选)下列不等式中成立的是()A .sin sin 810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .()cos400cos 50︒>-︒C .sin 3sin 2>D .87sincos 78ππ>【答案】BD【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】对于A ,因为02810πππ-<-<-<,且函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,则sin sin 810ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故A 错误;对于B ,因为()cos 400cos 36040cos 40︒=︒+︒=︒,()cos 50cos50-︒=︒,且函数cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,则cos 40cos50︒>︒,即()cos400cos 50︒>-︒,故B 正确;对于C ,因为32322ππ<<<,且函数sin y x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,则sin3sin 2<,故C 错误;对于D ,因为7733cossin sin sin 82888πππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,8sin sin 77ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且30782πππ<<<,函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,则3sin sin 78ππ<,即87sin cos 78ππ>,故D 正确;故选:BD15.(2022春·辽宁大连·高一大连八中校考期中)(多选)下列坐标所表示的点中,是函数πtan(26x y =-图像的对称中心的是()A .5π(,0)3-B .π(,0)3C .2π(,0)3D .4π(,0)3【答案】ABD【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】令ππ,Z 262x k k -=∈,解得ππ,Z 3x k k =+∈,A 选项,当2k =-时,π5π2π33x =-+=-,故对称中心为5π(,0)3-,A 正确;B 选项,当0k =时,π3x =,故对称中心为π(,0)3,B 正确;C 选项,令π2ππ33k +=,解得13k =,不合要求,舍去,C 错误;D 选项,当1k =时,4π3x =,故对称中心为4π,03⎛⎫⎪⎝⎭,D 正确;故选:ABD16.(2023·上海)(多选)已知函数()πtan 2(0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π2,则()A .2ω=B .()()π2π125f f ->C .()f x 的对称中心为()ππ,0412k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z D .()f x 在区间ππ,123⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】BCD【解析】因为函数()πtan 2(0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π2,所以ππ22T ω==,又0ω>,得到1ω=,所以π()tan(26f x x =-,选项A ,因为1ω=,故选项A 错误;选项B ,因为()()πππ2π19π11πtan()tan ,tan()tan()123353030f f -=-=-==-,又π11ππ03302<<<,由tan y x =的性质知,π11πtan tan 330<,所以()()π2π125f f ->,故选项B 正确;选项C ,由ππ2(Z)62k x k -=∈,得到()ππ412k x k =+∈Z ,所以π()tan(2)6f x x =-的对称中心为()ππ,0412k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ,故选项C 正确;选项D ,当ππ,123x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,ππ2(0,62x -∈,由tan y x =的性质知,()f x 在区间ππ,123⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,故选项D 正确.故选:BCD.17.(2023·全国·高一专题练习)(多选)下列关于函数πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是()A .在区间ππ,312⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B .最小正周期是πC .图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称D .图象关于直线π12x =-成轴对称【答案】AC【解析】对于A ,令ππππ2π232k x k -+<-<+,k ∈Z ,解得ππ5ππ122122k k x -+<<+,当1k =-时,7ππ1212x -<<-,所以πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在7ππ,1212⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减,又ππ7ππ,,3121212⎛⎫⎛⎫--⊆-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间ππ,312⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减,正确;对于B ,πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭最小正周期为ππ22T ==-,错误;对于C ,令ππ232k x -+=得,ππ,Z 64k x k =-∈,所以πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭对称中心为ππ,0,Z 64k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,当1k =-时,5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心,正确;对于D ,函数πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭不成轴对称,没有对称轴,错误.故选:AC.18.(2023·全国·高三专题练习)函数πtan 34y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为.【答案】ππππ,()12343k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】ππtan 3tan 344y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由()()ππππ3πZ Z 242ππππ12343k k k k k x x k -+<-<+∈⇒+<<+∈-,故函数πtan 34y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为ππππ,()12343k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 故答案为:ππππ,()12343k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 19.(2023春·广东佛山·高一校考阶段练习)若()ππcos 232f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数,则ϕ=.【答案】6π/16π【解析】由题设πππ32k ϕ+=+且Z k ∈,故ππ6k ϕ=+,Z k ∈,又π2ϕ<,故0k =有π6ϕ=.故答案为:π620.(2023春·高一课时练习)函数1πsin 226y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与y 轴最近的对称轴方程是.【答案】π6x =-【解析】令ππ2π,62x k k -=+∈Z ,解得ππ,23k x k =+∈Z ,令1k =-,则π6x =-;令0k =,则π3x =;因为ππ63-<,所以与y 轴最近的对称轴方程是π6x =-.故答案为:π6x =-.21.(2023·全国·高一专题练习)已知函数()()()cos 2R ϕ=+∈f x x x 的图象关于点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,则ϕ的最小值为.【答案】π6【解析】因为函数()()()cos 2R ϕ=+∈f x x x 的图象关于点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,所以2ππ2π,Z 32k k ϕ⨯+=+∈,所以5ππ,Z 6k k ϕ=-+∈,则当1k =时,ϕ的最小值为π6.故答案为:π622.(2023春·高一单元测试)已知函数2π()log cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为.【答案】ππ(π,π+Z612k k k -∈【解析】令πcos 26t x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,由0t >,可得πcos 206x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,所以πππ2π22π+,Z 262k x k k -<-<∈,解得ππππ+,Z 63k x k k -<<∈,所以函数的定义域为ππ(π,π+Z 63k k k -∈,由余弦函数的性质可知:πcos 26t x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ(π,π+Z 612k k k -∈上单调递增,在ππ(π+,π+),Z 123k k k ∈上单调递减,又因为2()log f x t =在定义域上为单调递增函数,由复合函数的单调性可知:函数2π()log cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为ππ(π,π+),Z 612k k k -∈.故答案为:ππ(π,π+),Z612k k k -∈23.(2023春·陕西渭南·高一白水县白水中学校考期中)若0πϕ<<,函数()cos(2)f x x ϕ=+在区间ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减,且在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点,则ϕ的取值范围是.【答案】ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时,ππ2,33x ϕϕϕ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦,因为0πϕ<<,函数()cos(2)f x x ϕ=+在区间ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以[]ππ,0,π33ϕϕ⎡⎤-++⊆⎢⎥⎣⎦,所以π03ππ3ϕϕ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩,即π2π33ϕ≤≤,当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,π2,3x ϕϕϕ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭,因为0πϕ<<,()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点,所以ππ23ϕϕ<<+,解得ππ62ϕ<<,综上:ππ32ϕ≤<,故答案为:ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭24.(2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习)求函数()2ln cos 2f x x ⎛=- ⎝⎭的定义域为.【答案】ππ2π,2π,Z46k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦【解析】根据题意可得12sin 0x -≥,解得1sin 2x ≤,所以7ππ2π,2π,Z 66x k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦;又2cos 02x -,即cos 22x >,解得ππ2π,2π,Z 44x k k k ⎛⎫∈-++∈ ⎪⎝⎭取交集部分可得,()f x 的定义域为ππ2π,2π,Z 46k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦.故答案为:ππ2π,2π,Z46k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦25.(2023·全国·高一专题练习)已知关于x 的不等式2cos 4cos 1x x a -+≥在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒成立,则实数a 的取值范围是.【答案】[)4,∞+【解析】由2cos 4cos 1x x a -+≥得2cos 4cos 1a x x ≥-++,设cos t x =,因π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以[]cos 0,1t x =∈,则241a t t ≥-++在[]0,1t ∈上恒成立,设()241f t t t =-++,则二次函数()f t 的对称轴为2t =,因其开口向下,所以[]0,1t ∈时函数()f t 单调递增,所以()f t 的最大值()14f =,故4a ≥,故答案为:[)4,∞+26.(2023春·山东日照·高一统考期中)函数()π3cos 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数,且在[]0,2π上恰好取得一次最小值3-,则ω的取值范围是.【答案】12,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为02x π≤≤,所以πππ24π333x ωω≤+≤+.因为()f x 在[]0,2π上恰好取得一次最小值3-,所以ππ4π3π3ω≤+<,所以1263ω≤<.因为π5π36x -≤≤,所以ππππ5ππ1322π9333339x ωωω-<-+≤+≤+<.因为,()f x 在π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数,根据余弦函数的单调性可知ππ20335πππ33ωω⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩,解得205ω<≤.所以,1265ω≤≤.故答案为:12,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦.27.(2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末)函数()πsin 14f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象的对称轴方程为,对称中心为.【答案】()ππ4x k k =+∈Z ()ππ,04k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】由πππ,42x k k +=+∈Z ,解得ππ,4x k k =+∈Z ,所以函数()f x 的对称轴方程为()ππ4x k k =+∈Z .令ππ,4x k k +=∈Z ,得ππ,4x k k =-+∈Z ,所以函数()f x 的对称中心为()ππ,04k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z .故答案为:()ππ4x k k =+∈Z ,()ππ,04k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 28.(2023·全国·高一课堂例题)求函数π2sin 36y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,[0,π]x ∈的最大值为,最小值为.【答案】41【解析】因为[0,π]x ∈,所以ππ7π,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以1πsin 126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭,所以π22sin 16x ⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭,所以π12sin 346x ⎛⎫≤-++≤ ⎪⎝⎭,故函数π2sin 36y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,[0,π]x ∈的最大值为4,最小值为1.故答案为:4,129.(2023秋·高一课时练习)(1)函数()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为;(2)函数()23πsin 0,42f x x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是.【答案】⎡-⎣1【解析】(1)当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,π3ππ2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦,πcos 242x ⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,()f x -∴∈⎡⎣,即()f x 的值域为⎡-⎣;(2)()222331sin 1cos cos 444f x x x x x x x =+-=-+-=-++,π0,2x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭;令cos x t =,则[]0,1t ∈,()221142g t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭,则当2t =时,()max 1g t =,即()f x 的最大值为1.故答案为:⎡-⎣;1.30.(2023秋·高一课时练习)求下列函数的值域.(1)212cos 2sin y x x =-+;(2)2sin 2sin x y x-=+;(3)ππ()2sin 2,0,62f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【答案】(1)332,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)13,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)[]1,2-【解析】(1)2221312cos 2sin 2sin 2sin 12sin .22y x x x x x ⎛⎫=-+=+-=+- ⎪⎝⎭当1sin 2x =-时,min 32y =-;当sin 1x =时,max 3y =.∴函数212cos 2sin y x x =-+的值域为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)()42sin 412sin 2sin x y x x-+==-++,∵1sin 1x -≤≤,∴12sin 3x ≤+≤,∴44432sin x≤≤+,141332sin x≤-≤+,即,133y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.∴函数2sin 2sin x y x -=+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(3)πππ7π0,,2,2666x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,根据正弦函数的性质,可知π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故[]π2sin 21,26x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭.即函数的值域为[]1,2-.2.(2023·全国·高一课堂例题)已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ,43⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点,则实数ω的取值范围为()A .8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .8,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C .204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .20,73⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()f x 在区间ππ,43⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点,所以ππ342T ⎛⎫--> ⎪⎝⎭,所以127ω>.令π6t x ω=+,当ππ,43x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,ππππ,4636t ωω⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭,于是()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间ππ,43⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最值点个数等价于()2sin g t t =在ππππ,4636ωω⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上的最值点个数.由127ω>知,ππ046ω-+<,ππ036ω+>,因为()g t 在ππππ,4636ωω⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点,所以3ππππ,2462πππ3π,2362ωω⎧-<-+<-⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩解得843ω<<.答案:B.2.(2023春·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习)已知2πππ()sin (0),363f x x f f ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且()f x 在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值,无最小值,则ω的值为()A .223B .263C .343D .383【答案】A 【解析】因为2πππ()sin (0),363f x x f f ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以函数()f x 的图象关于πππ6324x +==对称,且()f x 在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值,无最小值,所以ππ2πsin 1443f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()π2ππ2π,Z 432k k ω+=+∈,所以()8282=8Z 33k k k ω=+--∈,当1k =时,223ω=,当2k =时,462π3πππ,46323363T ω===<-,此时在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭内已存在最小值;当2k >时,462π3πππ,46323363T ω><=<-,此时在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭内已存在最小值.故选:A .3.(2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考阶段练习)已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增,且当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0f x ≥恒成立,则ω的取值范围为()A .522170,,232⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B .4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C .4280,8,33⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D .5220,,823⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】B【解析】由已知,函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以()111π2ππ2πZ 3k x k k ω-≤-≤∈,解得:()1112π2π2ππZ 33k k x k ωωωω-≤≤+∈,由于()111Z π,π,642π2π2ππ33k k k ωωωω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦-+∈,所以112ππ2π632πππ43k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩,解得:()11141248Z 3k k k ω-≤≤+∈①又因为函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()0f x ≥恒成立,所以()222πππ2π2π+Z 232k x k k ω-≤-≤∈,解得:()2222π2ππ5πZ 66k k x k ωωωω-≤≤+∈,由于()2222π2ππ5π,Z 6π,46π3k k k ωωωω-+⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣∈⎦,所以222πππ462ππ5π36k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩,解得:()2222586Z 32k k k ω-≤≤+∈②又因为0ω>,当120k k ==时,由①②可知:04432532ωωω⎧⎪>⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩,解得403ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,;当121k k ==时,由①②可知:028*******2ωωω⎧⎪>⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩,解得1782ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,.所以ω的取值范围为4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选:B.4.(2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习)若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调,则实数ω的取值范围是.【答案】()()1,24,⋃+∞【解析】由题意得()()cos cos 033f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,则π+2π2π,Z 3k x k k πω-≤-≤∈,解得:2+2π+2π33,Z k k x k ππωω-≤≤∈,所以2+2π36,Z +2π33k k k ππωππω⎧-⎪≤⎪⎪∈⎨⎪⎪≤⎪⎩,解得412,Z 16k k k ωω≥-+⎧∈⎨≤+⎩,即41216,Z k k k ω-+≤≤+∈,因为41216,k k k -+≤+∈Z ,所以56k ≤且0ω>,所以0k =,01ω<≤①若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则2ππ+2π,Z 3k x k k πω≤-≤∈,解得4+2π+2π33,Z k k x k ππωω≤≤∈,所以+2π36,Z 4+2π33k k k ππωππω⎧⎪≤⎪⎪∈⎨⎪⎪≤⎪⎩,解得212,Z 46k k k ωω≥+⎧∈⎨≤+⎩,即21246,Z k k k ω+≤≤+∈,因为21246,Z k k k +≤+∈,所以13k ≤且0ω>,所以0k =,24ω≤≤②又因为函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调,且0ω>,所以ω的取值为①②所表示的不等式的补集,即12ω<<或4ω>.故答案为:12ω<<或4ω>.。
三角函数的图像和性质知识点讲解+例题讲解(含解析)
三角函数的图像与性质一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,1,(π,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2,-1,(2π,0).(2)余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,0,(π,-1),⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2,0,(2π,1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π3.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.(3).对于y =tan x 不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π-π2,k π+π2(k ∈Z )内为增函数.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y =cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y =tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y =k sin x +1,x ∈R ,则y 的最大值为k +1.( ) (4)y =sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y =cos x 的对称轴有无穷多条,y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y =tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π-π2,k π+π2(k ∈Z )上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数.(3)当k >0时,y max =k +1;当k <0时,y max =-k +1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若函数y =2sin 2x -1的最小正周期为T ,最大值为A ,则( ) A.T =π,A =1 B.T =2π,A =1 C.T =π,A =2D.T =2π,A =2解析 最小正周期T =2π2=π,最大值A =2-1=1.故选A. 答案 A3.函数y =-tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -3π4的单调递减区间为________.解析 由-π2+k π<2x -3π4<π2+k π(k ∈Z ), 得π8+k π2<x <5π8+k π2(k ∈Z ),所以y =-tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8+k π2,5π8+k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8+k π2,5π8+k π2(k ∈Z )4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T =2π2=π. 答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )=15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3,则f (x )=15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3=65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3,函数的最大值为65. 答案 A6.(2018·江苏卷)已知函数y =sin(2x +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2<φ<π2 的图象关于直线x =π3对称,则φ的值是________.解析 由函数y =sin(2x +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2<φ<π2的图象关于直线x =π3对称,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3+φ=±1.所以2π3+φ=π2+k π(k ∈Z ),所以φ=-π6+k π(k ∈Z ),又-π2<φ<π2,所以φ=-π6. 答案 -π6考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )=-2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠-π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π+π6(k ∈Z ) D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2+π6(k ∈Z ) (2)不等式3+2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )=64-x 2+log 2(2sin x -1)的定义域是________. 解析 (1)由2x +π6≠k π+π2(k ∈Z ),得x ≠k π2+π6(k ∈Z ).(2)由3+2cos x ≥0,得cos x ≥-32,由余弦函数的图象,得在一个周期[-π,π]上,不等式cos x ≥-32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-5π6≤x ≤56π,故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-56π+2k π≤x ≤56π+2k π,k ∈Z .(3)由题意,得⎩⎨⎧64-x 2≥0,①2sin x -1>0,②由①得-8≤x ≤8,由②得sin x >12,由正弦曲线得π6+2k π<x <56 π+2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-116π,-76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6,8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-56π+2k π≤x ≤56π+2k π,k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫-116π,-76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6,8【训练1】 (1)函数y =sin x -cos x 的定义域为________. (2)函数y =lg(sin x )+cos x -12的定义域为______.解析 (1)要使函数有意义,必须使sin x -cos x ≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y =sin x 和y =cos x 的图象,如图所示.在[0,2π]上,满足sin x =cos x 的x 为π4,5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4+2k π≤x ≤54π+2k π,k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0,cos x -12≥0, 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0,cos x ≥12,解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π+2k π,-π3+2k π≤x ≤π3+2k π(k ∈Z ),所以2k π<x ≤π3+2k π(k ∈Z ),所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4+2k π≤x ≤54π+2k π,k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin 2x +3cos x -34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2的最大值是________. (3)函数y =sin x -cos x +sin x cos x 的值域为________.解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,5π6,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3,即y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3. (2)由题意可得f (x )=-cos 2x +3cos x +14=-(cos x -32)2+1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,∴cos x ∈[0,1].∴当cos x =32,即x =π6时,f (x )max =1. (3)设t =sin x -cos x ,则t 2=sin 2x +cos 2x -2sin x cos x ,sin x cos x =1-t22,且-2≤t ≤2,所以y =-t 22+t +12=-12(t -1)2+1.当t =1时,y max =1;当t =-2时,y min =-12- 2 .所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12-2,1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12-2,1【训练2】 (1)函数f (x )=cos 2x +6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6,其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,a ,若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )=cos 2x +6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-x =1-2sin 2x +6sin x =-2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x -322+112,又sin x ∈[-1,1],所以当sin x =1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,a ,知x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,a +π6.因为x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π2时,f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,所以由函数的图象知π2≤a +π6≤7π6,所以π3≤a ≤π. 答案 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3-1】 (1)函数f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12-π12,k π2+5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12-π12,k π2+5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π+π6,k π+2π3(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ) (2)函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2x +π3的单调递减区间为________. 解析 (1)由k π-π2<2x -π3<k π+π2(k ∈Z ),得k π2-π12<x <k π2+5π12(k ∈Z ),所以函数f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2-π12,k π2+5π12(k ∈Z ).(2)y =-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3,它的减区间是y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的增区间.令2k π-π2≤2x -π3≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π12≤x ≤k π+5π12,k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π12,k π+5π12,k ∈Z . 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π12,k π+5π12,k ∈Z角度2 利用单调性比较大小【例3-2】 已知函数f (x )=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6,设a =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7,b =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,c =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c解析 令2k π≤x +π6≤2k π+π,k ∈Z ,解得2k π-π6≤x ≤2k π+5π6,k ∈Z ,∴函数f (x )=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,5π6上是减函数,∵-π6<π7<π6<π4<5π6, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 答案 A角度3 利用单调性求参数【例3-3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )=cos x -sin x 在[-a ,a ]是减函数,则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )=cos x -sin x =2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4,由题意得a >0,故-a +π4<π4,因为f (x )=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4在[-a ,a ]是减函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧-a +π4≥0,a +π4≤π,a >0,解得0<a ≤π4,所以a 的最大值是π4.答案 A【训练3】 (1)设函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π,则以下结论正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上单调递增 C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6,π上单调递增(2)cos 23°,sin 68°,cos 97°的大小关系是________.(3)若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3上单调递增,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π2上单调递减,则ω=________.解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,0,得2x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-4π3,-π3,此时函数f (x )先减后增;由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,得2x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,2π3,此时函数f (x )先增后减;由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,5π6,得2x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3,4π3,此时函数f (x )单调递减;由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6,π,得2x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3,5π3,此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°=cos 22°,又y =cos x 在[0°,180°]上是减函数,∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )=sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点,由已知并结合正弦函数的图象可知,π3为函数f (x )的14周期,故2πω=4π3,解得ω=32.法二 由题意,得f (x )max =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=sin π3ω=1.由已知并结合正弦函数图象可知,π3ω=π2+2k π(k ∈Z ),解得ω=32+6k (k ∈Z ),所以当k =0时,ω=32.答案 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4-1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=2cos 2x -sin 2x +2,则( ) A.f (x )的最小正周期为π,最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π,最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π,最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π,最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +θ-3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称,则θ=( ) A.-π6 B.π6 C.-π3 D.π3解析 (1)易知f (x )=2cos 2x -sin 2x +2=3cos 2x +1=3cos 2x +12+1=32cos 2x +52,则f (x )的最小正周期为π,当2x =2k π,即x =k π(k ∈Z )时,f (x )取得最大值,最大值为4.(2)f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +θ-3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +θ=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +θ-π3, 由题意可得f (0)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π3=±2,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π3=±1,∴θ-π3=π2+k π(k ∈Z ),∴θ=5π6+k π(k ∈Z ). ∵|θ|<π2,∴k =-1时,θ=-π6. 答案 (1)B (2)A角度2 三角函数图象的对称性【例4-2】 (1)已知函数f (x )=a sin x +cos x (a 为常数,x ∈R )的图象关于直线x =π6对称,则函数g (x )=sin x +a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3,0对称 C.关于直线x =π3对称 D.关于直线x =π6对称解析 (1)因为函数f (x )=a sin x +cos x (a 为常数,x ∈R )的图象关于直线x =π6对称,所以f (0)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,所以1=32a +12,a =33,所以g (x )=sin x +33cos x =233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6,函数g (x )的对称轴方程为x +π6=k π+π2(k ∈Z ),即x =k π+π3(k ∈Z ),当k =0时,对称轴为直线x =π3,所以g (x )=sin x +a cos x 的图象关于直线x =π3对称. 规律方法 1.对于可化为f (x )=A sin(ωx +φ)形式的函数,如果求f (x )的对称轴,只需令ωx +φ=π2+k π(k ∈Z ),求x 即可;如果求f (x )的对称中心的横坐标,只需令ωx +φ=k π(k ∈Z ),求x 即可.2.对于可化为f (x )=A cos(ωx +φ)形式的函数,如果求f (x )的对称轴,只需令ωx +φ=k π(k ∈Z ),求x ;如果求f (x )的对称中心的横坐标,只需令ωx +φ=π2+k π(k ∈Z ),求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )=tan x1+tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3,则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为-2πB.y =f (x )的图象关于直线x =8π3对称 C.f (x +π)的一个零点为x =π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π单调递减解析 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π+π2,k ∈Z .f (x )=sin x cos x 1+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2=sin x ·cos x =12sin 2x ,∴f (x )的最小正周期T =2π2=π.(2)A 项,因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0),所以f (x )的一个周期为-2π,A 项正确.B 项,因为f (x )图象的对称轴为直线x =k π-π3(k ∈Z ),当k =3时,直线x =8π3是其对称轴,B 项正确.C 项,f (x +π)=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +4π3,将x =π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6=cos 3π2=0,所以x =π6是f (x+π)的一个零点,C 项正确.D 项,因为f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π3,2k π+2π3 (k ∈Z ),递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+2π3,2k π+5π3 (k ∈Z ),所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,2π3是减区间,⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3,π是增区间,D 项错误.答案 (1)C (2)D三、课后练习1.若对于任意x ∈R 都有f (x )+2f (-x )=3cos x -sin x ,则函数f (2x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π-π4,0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π-π8,0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2-π4,0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2-π8,0(k ∈Z ) 解析 因为f (x )+2f (-x )=3cos x -sin x ,所以f (-x )+2f (x )=3cos x +sin x .解得f (x )=cos x +sin x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4,所以f (2x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4. 令2x +π4=k π(k ∈Z ),得x =k π2-π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2-π8,0(k ∈Z ). 答案 D2.(2017·天津卷)设函数f (x )=2sin(ωx +φ),x ∈R ,其中ω>0,|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8=2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8=0,且f (x )的最小正周期大于2π,则( ) A.ω=23,φ=π12 B.ω=23,φ=-11π12C.ω=13,φ=-11π24D.ω=13,φ=7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8=2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8=0,且f (x )的最小正周期大于2π, ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8-5π8=3π, ∴ω=2π3π=23,∴f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x +φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8+φ=2,得φ=2k π+π12(k ∈Z ), 又|φ|<π,∴取k =0,得φ=π12.答案 A3.已知x 0=π3是函数f (x )=sin(2x +φ)的一个极大值点,则f (x )的单调递减区间是________.解析 因为x 0=π3是函数f (x )=sin(2x +φ)的一个极大值点,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3+φ=1,解得φ=2k π-π6(k ∈Z ). 不妨取φ=-π6,此时f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6, 令2k π+π2≤2x -π6≤2k π+3π2(k ∈Z ),得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π3,k π+56π(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π3,k π+56π(k ∈Z )4.已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-x sin x -3cos 2x +32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值;(2)若方程f (x )=23在(0,π)上的解为x 1,x 2,求cos(x 1-x 2)的值.解 (1)f (x )=cos x sin x -32(2cos 2x -1) =12sin 2x -32cos 2x =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3. 当2x -π3=π2+2k π(k ∈Z ),即x =512π+k π(k ∈Z )时,函数f (x )取最大值,且最大值为1.(2)由(1)知,函数f (x )图象的对称轴为x =512π+k π(k ∈Z ),∴当x ∈(0,π)时,对称轴为x =512π.又方程f (x )=23在(0,π)上的解为x 1,x 2.∴x 1+x 2=56π,则x 1=56π-x 2,∴cos(x 1-x 2)=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π-2x 2=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2-π3, 又f (x 2)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2-π3=23, 故cos(x 1-x 2)=23.5.已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6,若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-5π6,-π2,都存在唯一的实数β∈[0,m ],使f (α)+f (β)=0,则实数m 的最小值是________.解析 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-5π6,-π2,所以α-π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π,-2π3,则f (α)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,0,因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-5π6,-π2,都存在唯一的实数β∈[0,m ],使f (α)+f (β)=0,所以f (β)在[0,m ]上单调,且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,32,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,32,则β-π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3,所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,π2,即实数m 的最小值是π2. 答案 π26.(2017·山东卷)函数y =3sin 2x +cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π解析 ∵y =2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x +12cos 2x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6, ∴T =2π2=π.答案 C7.(2019·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8,0是函数f (x )=sin ωx +cos ωx 图象的一个对称中心,则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8解析 因为f (x )=sin ωx +cos ωx =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π4,由题意,知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8+π4=0,所以ωπ8+π4=k π(k ∈Z ),即ω=8k -2(k ∈Z ),当k =1时,ω=6.答案 C8.已知函数f (x )=2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,π4上的最小值是-2,则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析 ∵ω>0,-π3≤x ≤π4,∴-ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知-ωπ3≤-π2,∴ω≥32.答案 B9.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )=2sin ωx -cos ωx (ω>0),若f (x )的两个零点x 1,x 2满足|x 1-x 2|min =2,则f (1)的值为( ) A.102 B.-102 C.2 D.-2解析 依题意可得函数的最小正周期为2πω=2|x 1-x 2|min =2×2=4,即ω=π2,所以f (1)=2sin π2-cos π2=2.答案 C10.(2018·北京卷)设函数f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立,故当x =π4时,函数f (x )有最大值,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=1,πω4-π6=2k π(k ∈Z ),∴ω=8k +23(k ∈Z ).又ω>0,∴ωmin =23. 答案 2311.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )=sin ωx -cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y =f (x )图象的对称轴方程;(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )=sin ωx -cos ωx =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π4,且T =π, ∴ω=2,于是f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4. 令2x -π4=k π+π2(k ∈Z ),得x =k π2+3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x =k π2+3π8(k ∈Z ).(2)令2k π-π2≤2x -π4≤2k π+π2(k ∈Z ),得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π8,k π+3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,所以令k =0,得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,3π8; 同理,其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8,π2.。
第01讲 任意角和弧度制及三角函数的概念 (精讲+精练)(教师版)
第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念(精讲+精练)目录第一部分:知识点精准记忆第二部分:课前自我评估测试第三部分:典型例题剖析高频考点一:象限角、区域角、终边相同的角角度1:象限角角度2:区域角角度3角:终边相同的角高频考点二:角度制与弧制度的相互转化高频考点三:弧长公式与扇形面积公式角度1:弧长的有关计算角度2:与扇形面积有关的计算角度3:题型归类练角度4:扇形弧长公式与面积公式的应用高频考点四:任意角的三角函数角度1:单位圆法与三角函数角度2:终边上任意点法与三角函数角度3:三角函数值符号的判定高频考点五:三角函数线高频考点六:解三角不等式第四部分:高考真题感悟第五部分:第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念(精练)1、角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.②按终边位置不同分为象限角和轴线角. ③终边相同的角:终边与角α相同的角可写成360()k k Z βα=+⋅∈.2、弧度制的定义和公式①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,||lrα=,l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为半径.③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值lr与所取的r 的大小无关,仅与角的大小有关. ④弧度与角度的换算:3602rad π=;180rad π=. 若一个角的弧度数为α,角度数为n ,则180()rad απ=,180n n rad π=⋅.3、任意角的三角函数3.1.单位圆定义法:任意角的三角函数定义:设α是一个任意角,角α的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么 (1)点P 的纵坐标叫角α的正弦函数,记作sin y α=; (2)点P 的横坐标叫角α的余弦函数,记作cos x α=; (3)点P 的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数,记作tan yxα=(0x ≠).它们都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.3.2.终边上任意点法:设(,)P x y 是角α终边上异于原点的任意一点,它到原点的距离为r (0r >)那么:sin y r α=;cos x rα=;tan yx α=(0x ≠)(1)弧长公式在半径为r 的圆中,弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α,则||lrα=变形可得||l r α=,此公式称为弧长公式,其中α的单位是弧度.(2)扇形面积公式211||22S lr r α== 5、三角函数线正弦线:MPOM正切线:AT6常用结论(1)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(2)角度制与弧度制可利用180rad π=进行相互转化,在同一个式子中,采用的度量方式必须统一,不可混淆. 30 60 90 150 180)象限角:,k k ∈360180,}k k Z +∈36090,}k k Z +∈ 360270,}k k Z +∈180,}k k Z ∈ 18090,}k k Z +∈ 90,}k k Z ∈一、判断题1.(2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习)“角α是第一象限的角”是“角2α是第一象限的角”的充分不必要条件.( ) 【答案】错误 【详解】由α是第一象限角可举例380α=︒, 则1902α=︒,得角2α是第二象限的角, 即由“角α是第一象限的角”推不到“角2α是第一象限的角”,所以不是充分条件,所以错误.故答案为:错误. 2.(2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习)已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧度数α是1或4.( ) 【答案】正确 【详解】设扇形所在圆的半径为r ,则扇形弧长l r α=,于是得226122r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩,解得21r α=⎧⎨=⎩或14r α=⎧⎨=⎩,所以扇形的圆心角的弧度数α是1或4. 故答案为:正确3.(2022·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习)已知角α的终边经过点()P m ,0m ≠,且sin α=,则cos α= ) 【答案】正确 【详解】因为角α的终边经过点()P m ,0m ≠,且sin α=,=m =所以cos α==故答案为:正确4.(2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习)角θ终边经过点(-3,4),则7cos 225θ=-.( ) 【答案】正确 【详解】由角θ终边经过点()3,4-,可得3cos 5θ==-,而2237cos 22cos 12()1525θθ=-=--=-.故答案为:正确.5.(2022·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习)tan 300︒= ) 【答案】错误 【详解】tan 300tan(36060)tan 60︒=︒-︒=-︒=故答案为:错误高频考点一:象限角、区域角、终边相同的角①象限角角度1:确定已知角所在象限例题1.(2022·河南·南阳中学高一阶段练习)若()45180k k α=+⋅∈Z ,则α的终边在( ) A .第二或第三象限 B .第一或第三象限 C .第二或第四象限 D .第三或第四象限【答案】B 【详解】当k 为奇数时,记21,k n n =+∈Z ,则()225360n n α+⋅∈︒=Z ,此时α为第三象限角;当k 为偶数时,记2,k n n =∈Z ,则()45360n n α+⋅∈︒=Z ,此时α为第一象限角. 故选:B例题2.(2022·上海市宝山中学高一期中)平面直角坐标系中,若角532α=︒,则α是第________象限的角. 【答案】二##2 【详解】532360172︒=︒+︒,因此532︒与172︒终边相同,而172︒是第二象限角.所以α是第二象限角. 故答案为:二.角度1题型归类练1.(2022·江西抚州·高一期中)若34πα=-,则α是第( )象限角. A .一 B .二C .三D .四【答案】C 【详解】34πα=-,α终边落在第三象限,α为第三象限角.故选:C.2.(2022·河南南阳·高一期中)“α是第一象限角”是“0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】若α是第一象限角,则22,2k k k Z ππαπ<<+∈,无法得到α一定属于0,2π⎛⎫⎪⎝⎭,充分性不成立, 若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则α一定是第一象限角,必要性成立,所以“α是第一象限角”是“0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”的必要不充分条件.故选:B3.(多选)(2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末)下列四个角为第二象限角的是( )A .200-B .100C .220D .420【答案】AB 【详解】对于A 选项,200160360-=-,故200-为第二象限角; 对于B 选项,100是第二象限角; 对于C 选项,220是第三象限角;对于D 选项,42060360=+,故420为第一象限角. 故选:AB.角度2:由已知角所在的象限确定某角的范围例题1.(多选)(2021·全国·高一专题练习)有一个小于360︒的正角α,这个角的6倍的终边与x 轴的非负半轴重合,则这个角可以为( ) A .60︒ B .90︒ C .120︒ D .300︒【答案】ACD 【详解】由题意,62180k α=⨯︒且k Z ∈,则1803kα︒=,又0360α︒<<︒, ∴1k =时,60α=︒;2k =时,120α=︒;3k =时,180α=︒;4k =时,240α=︒;5k =时,300α=︒; 故选:ACD6.(多选)(2021·全国·高一专题练习)若α为第一象限角,则180()k k Z α⋅︒+∈的终边所在的象限可能是( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】AC 【详解】由题设,36036090k k α''︒<<︒+︒,k Z '∈,∴(2)180180(2)18090k k k k k α''+⋅︒<⋅︒+<+⋅︒+︒,令12k k k Z '=+∈,∴1118018018090k k k α⋅︒<⋅︒+<⋅︒+︒,故180()k k Z α⋅︒+∈的终边所在的象限可能是第一、三象限. 故选:AC角度2题型归类练1.(2021·全国·高一专题练习)若α是第一象限角,则2α-是( )A .第一象限角B .第一、四象限角C .第二象限角D .第二、四象限角【答案】D 【详解】由题意知,36036090k k α⋅︒<<⋅︒+︒,k ∈Z ,则180180452k k α⋅︒<<⋅︒+︒,所以180451802k k α-⋅︒-︒<-<-⋅︒,k ∈Z .当k 为偶数时,2α-为第四象限角;当k 为奇数时,2α-为第二象限角.所以2α-是第二或第四象限角.故选:D.2.(2021·广东·中山纪念中学高一阶段练习)若α是第四象限角,则90º-α是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限角【答案】B 【详解】由题知,(90360,360)k k α∈-+⋅⋅,k Z ∈, 则90(90360,180360)k k α-∈-⋅-⋅,在第二象限, 故选:B3.(多选)(2022·安徽·界首中学高一期末)若α是第二象限角,则( ) A .πα-是第一象限角 B .2α是第一或第三象限角 C .32πα+是第二象限角D .2α是第三或第四象限角【答案】AB 【详解】解:因为α与α-关于x 轴对称,而α是第二象限角,所以α-是第三象限角,所以πα-是第一象限角,故A 选项正确;因为α是第二象限角,所以222k k ππαππ+<<+,k ∈Z ,所以422k k παπππ+<<+,k ∈Z ,故2α是第一或第三象限角,故B 选项正确;因为α是第二象限角,所以32πα+是第一象限角,故 C 选项错误;因为α是第二象限角,所以222k k ππαππ+<<+,k ∈Z ,所以4224k k ππαππ+<<+,k ∈Z ,所以2α的终边可能在y 轴负半轴上,故D 选项错误. 故选:AB.角度3:确定n 倍角所在象限例题1.(2022·广东广州·高一期末)已知α是锐角,那么2α是( ). A .第一象限角 B .第二象限角 C .小于180°的正角 D .第一或第二象限角【答案】C 【详解】因为α是锐角,所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()20,απ∈,满足小于180°的正角.其中D 选项不包括90,故错误. 故选:C2.(2021·上海·高一课时练习)角θ的终边在第二象限,则角2θ的终边在_________. 【答案】第三、四象限或y 轴非正半轴 【详解】解:θ是第二象限角,36090360180k k θ∴︒+︒<<︒+︒,k Z ∈.236018022360360k k θ︒+︒<<︒+︒,k Z ∈.2θ的终边的位置是第三或第四象限,y 的非正半轴.故答案为:第三、第四象限或y 轴的非正半轴角度3题型归类练1.(2021·上海·高一课时练习)若α是第三象限角,则α-是第_________象限角. 【答案】二 【详解】因为α是第三象限角,所以α的终边在第三象限, 又α-的终边与α的终边关于x 轴对称,所以α-的终边在第二象限,所以α-是第二象限角, 故答案为:二.2.(2018·广西·高一阶段练习)已知α终边在第四象限,则2α终边所在的象限为_______________. 【答案】第三象限或第四象限或y 轴负半轴 由于α是第四象限角,故π2π2π2k k α-<<,故4ππ24πk k α-<<,即2α终边在” 第三象限或第四象限或y 轴负半轴”. 角度4:确定n 分角所在象限例题1.(2021·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习)若角α是第一象限角,则2α是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第一或第三象限角 D .第二或第四象限角【答案】C 【详解】因为α是第三象限角,所以36036090,k k k Z α⋅<<⋅+∈, 所以18018045,2k k k Z α︒⋅<<⋅+∈,当k 为偶数时,2α是第一象限角, 当k 为奇数时,2α是第三象限角. 故选:C .例题2.(多选)(2022·辽宁·抚顺县高级中学校高一阶段练习)如果α是第三象限的角,那么3α可能是下列哪个象限的角( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限【答案】ACD 【详解】α是第三象限的角,则32,22k k παπππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭,k Z ∈,所以22,33332k k αππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭,k Z ∈; 当=3,k n n Z ∈,2,2,332n n n Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭,在第一象限; 当=31,k n n Z +∈,72,2,36n n n Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭,在第三象限; 当=32,k n n Z +∈,5112,2,363n n n Z αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭,在第四象限; 所以3α可以是第一、第三、或第四象限角. 故选:ACD角度4题型归类练1.(2022·河南新乡·高一期末)“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】当α是第四象限角时,3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈,则3,42k k k Z παπππ+<<+∈,即2α是第二或第四象限角.当324απ=为第二象限角,但32πα=不是第四象限角,故“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的充分不必要条件. 故选:A2.(多选)(2022·江西·南昌十五中高一阶段练习)已知角α是第一象限角,则角3α可能在以下哪个象限( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限【答案】ABC 【详解】解:因为角α是第一象限角,所以222k k ππαπ<<+,k Z ∈,所以223363k k παππ<<+,k Z ∈, 当3k t =,t Z ∈时,2236t t απππ,t Z ∈,3α位于第一象限,当31k t =+,t Z ∈时,2522336t t παπππ,t Z ∈,3α位于第二象限,当32k t =+,t Z ∈时,4322332t t παπππ,t Z ∈,3α位于第三象限,综上可得3α位于第一、二、三象限; 故选:ABC3.(2022·上海师大附中高一期末)设α是第三象限的角,则2α的终边在第______象限. 【答案】二或四 【详解】因为α是第三象限角,所以3222k k ππαππ+<<+,k Z ∈,所以3224k k παπππ+<<+,k Z ∈, 当k 为偶数时,2α为第二象限角, 当k 为奇数时,2α为第四象限角. 故答案为:二或四.②区域角例题1.(2022·湖南·高一课时练习)已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界),那么角α的集合是________.【答案】{α|k ·360°+45°<α<k ·360°+150°,k ∈Z } 【详解】观察图形可知,终边落在边界上的角分别是36045,360150,k k k Z ⋅︒+︒⋅︒+︒∈, 所以角α的集合是{α|k ·360°+45°<α<k ·360°+150°,k ∈Z }. 故答案为:{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°,k ∈Z} 例题2.(2020·全国·高一课时练习)如图所示,终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是________.【答案】{}90180120180,k k k αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈Z 【详解】因为终边落在y 轴上的角为90180,k k Z ︒+⋅︒∈,终边落在虚线上的角为1203601202180,k k ︒︒+⋅︒=+⋅︒k Z ∈; 3003601201802180120(21)180,n n n n Z ︒︒︒+⋅︒=+︒+⋅︒=++⋅︒∈,即终边在虚线上的角为120180k ︒+⋅︒,k Z ∈,所以终边落在阴影部分的角为90180120180,k k k Z α︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈, 故答案为:{}90180120180,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈题型归类练1.(2022·上海·华师大二附中高一期中)用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(含边界)的角θ的集合是__________.【答案】32,2,Z 64k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【详解】由题图,终边OB 对应角为26k ππ-且Z k ∈,终边OA 对应角为324k ππ+且Z k ∈, 所以阴影部分角θ的集合是32,2,Z 64k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故答案为:32,2,Z 64k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦2.(2021·全国·高一专题练习)如图所示,终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为______.【答案】{}4518060180,n n n Z αα+⋅≤≤+⋅∈ 【详解】终边在直线OM 上的角的集合为:{}{}45360,225360,M k k Z k k Z αααα==︒+⋅︒∈⋃=︒+⋅︒∈{}(){}452180,4521180,k k Z k k Z αααα==︒+⋅︒∈⋃=︒++⋅︒∈{}45180,n n Z αα==︒+⋅︒∈.同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{}60180,n n Z αα=︒+⋅︒∈,所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为{}4518060180,n n n Z αα︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈. 故答案为:{}4518060180,n n n Z αα︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒∈3.(2020·全国·高一课时练习)如下图,终边落在OA 位置时的角的集合是__________;终边落在OB 位置,且在360360-︒︒内的角的集合是________;终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是______.【答案】 {|360120,}k k αα=︒+︒∈Z {45,315}-︒︒ {|36045360120,}k k k αα︒-︒︒+︒∈Z 【详解】由题意以OA 为终边的一个角是120︒,因此以OA 为终边的角的集合是{|360120,}k k αα=︒+︒∈Z ;以OB 为终边的角的集合是{|36045,}k k αα=︒-︒∈Z ,在已知范围内的有45,315-︒︒两个角,集合表示为{45,315}-︒︒;∴终边落在阴影部分(含边界)的角的集合为{|36045360120,}k k k αα︒-︒︒+︒∈Z . 故答案为:{|360120,}k k αα=︒+︒∈Z ;{45,315}-︒︒;{|36045360120,}k k k αα︒-︒︒+︒∈Z .4.(2019·江苏·海安市南莫中学高一期中)如图所示,阴影部分表示的角的集合为(含边界)______(用弧度表示).【答案】{|,}3k k k Z παπαπ≤≤+∈【详解】如图,阴影部分表示的角α位于一、三象限, 在第一象限,03πα≤≤;在第三象限,43ππα≤≤, ∴阴影部分表示的角的集合为(含边界): {|223k k παπαπ≤≤+或()()21213k k ππαπ+≤≤++,}{|,}3k Z k k k Z παπαπ∈=≤≤+∈.故答案为{|,}3k k k Z παπαπ≤≤+∈.③终边相同的角例题1.(2022·北京师大附中高一期中)将x 轴正半轴绕原点逆时针旋转30,得到角α,则下列与α终边相同的角是( ) A .330︒ B .330-︒C .210︒D .210-︒【答案】B 【详解】由题意得:{}30360,k k Z αα=︒+⋅︒∈,当1k =-时,330α=-︒,B 正确,其他选项经过验证均不正确. 故选:B例题2.(2017·天津市红桥区教师发展中心高一期末)在0~180范围内,与950-终边相同的角是______.【答案】130 【详解】与950-终边相同的角的集合为}{()950360Z k k αα=-+∈, 当3k =时,9503603130α=-+⨯=,所以在0~180范围内, 与950-终边相同的角是130.故答案为:130题型归类练1.(2022·辽宁·凌源市实验中学高一阶段练习)下列与角23π的终边一定相同的角是( ) A .53πB .()43k k Z ππ-∈ C .()223k k Z ππ+∈ D .()()2213k k Z ππ++∈ 【答案】C 【详解】 对于选项C :与角23π的终边相同的角为()223k k Z ππ+∈,C 满足. 对于选项B :当()2k n n Z =∈时, ()442,33k n k Z n Z ππππ-=-∈∈成立; 当()21k n n Z =+∈时,()()44212,333k n n k Z n Z ππππππ-=+-=-∈∈不成立. 对于选项D :()()2521233k k k Z ππππ++=+∈不成立. 故选: C2.(2022·上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习)与1920°终边相同的角中,最小的正角是________ 【答案】120° 【详解】19205360120︒=⨯︒+︒,所以与1920°终边相同的角中,最小的正角为120°. 故答案为:120°.高频考点二:角度制与弧制度的相互转化例题1.(2022·河南南阳·高一期中)把π5化成角度制是( )A .36°B .30°C .24°D .12°【答案】A 【详解】由角度制与弧度制的互化知,π180=︒, 所以ππ180()3655π=⨯︒=︒, 故选:A例题2.(2022·陕西汉中·高一期中)如图,时钟显示的时刻为12:55,将时针与分针视为两条线段,则该时刻的时针与分针所夹的锐角为( )A .π3B .23π72C .11π36D .3π10【答案】B 【详解】由图可知,该时刻的时针与分针所夹的锐角为2π112π23π12121272+⨯=. 故选:B.题型归类练1.(2022·安徽·砀山中学高一期中)将210°化成弧度为( ) A .5π6-B .5π6C .4π3D .7π6【答案】D 【详解】 7210=210=1806ππ︒⨯, 故选:D.2.(2022·上海市七宝中学高一开学考试)经过50分钟,钟表的分针转过___________弧度的角. 【答案】5π3-【详解】根据题意,分针转过的弧度为5052603ππ-⨯=-. 故答案为:53π-.3.(2022·湖南·高一课时练习)将下表中的角度和弧度互化:180π=︒∴1180π︒=,1801π︒=故:高频考点三:弧长公式与扇形面积公式角度1:弧长的有关计算例题1.(2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是( ) A .2 B .sin 2 C .2sin1D .2sin1【答案】C 【详解】2弧度的圆心角所对的弦长为2,∴半径1sin1r =,∴所求弧长为22sin1r =. 故选:C.例题2.(2022·湖南·高一课时练习)已知相互咬合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿,当大轮顺时针转动一周时,小轮转动的角是多少度?多少弧度?如果大轮的转速是150r/min ,小轮的半径为10cm ,那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少? 【答案】小轮转动的角是864︒,245π弧度,小轮圆周上的点每秒转过的弧长为120π cm 【详解】由题意得,相互咬合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿, 所以当大轮旋转一周时,大轮转了48个齿,小轮转了20齿, 所以小轮转动了4812205=周,即123608645⨯︒=︒,1224255ππ⨯=,所以当大轮的转速为150r/min 时,小轮的转速为121503605⨯=r/min , 所以小轮圆周上的点每秒转过的弧度数为 36026012ππ⨯÷=,因为小轮的半径为10cm ,所以小轮圆周上的点每秒转过的弧长 1210120ππ⨯= cm角度1题型归类练1.(2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末)已知扇形的圆心角为2rad 5,半径为10,则扇形的弧长为( )A .12 B .1 C .2 D .4【答案】D 【详解】解:因为扇形的圆心角为2rad 5,半径为10,所以由弧长公式得:扇形的弧长为21045l r α=⋅=⨯=故选:D2.(2022·北京·汇文中学高一期中)一圆锥的侧面展开图为一圆心角为23π的扇形,该圆锥母线长为6,则圆锥的底面半径为________. 【答案】2 【详解】因为圆锥的母线长为6,所以侧面展开图扇形的半径为6,设该圆锥的底面半径为r , 所以有26223r r ππ⋅=⇒=, 故答案为:2.角度2:与扇形面积有关的计算例题1.(2022·河北·沧县中学高一阶段练习)已知扇形OAB 的圆心角为8rad ,其周长是,则该扇形的面积是___2cm . 【答案】8 【详解】设扇形的半径为R ,弧长是88l R R =⨯=,则其扇形周长是82R R +=R =22188cm 2R ⨯⨯=. 故答案为:8例题2.(2022·重庆八中高一期末)如图所示,弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形,若弧田的弧AB 长为3π,弧所在的圆的半径为4,则弧田的面积是___________.【答案】6π-【详解】解:根据题意,只需计算图中阴影部分的面积, 设AOB α∠=,因为弧田的弧AB 长为3π,弧所在的圆的半径为4, 所以34πα=,所以阴影部分的面积为113444sin 622παπ⨯⨯-⨯⨯⨯=-所以弧田的面积是6π-故答案为:6π-例题3.(2022·湖南·雅礼中学高一期中)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图(2),在半圆O (半径为20cm )中作出两个扇形OAB 和OCD ,用扇环形ABDC (图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC 的面积为1S ,扇形OAB 的面积为2S,当12S S =时,扇形的现状较为美观,则此时扇形OCD 的半径为__________cm【答案】1) 【详解】设,AOB θ∠=,半圆O 的半径为r ,扇形OCD 的半径为1r ,1252S S =,所以2212112212r r rθθθ-,即2212r r r -,所以2212r r===,所以1r r =20,r cm =,所以11)r cm=, 故答案为:1).角度2题型归类练1.(2022·上海市行知中学高二期中)已知圆锥的表面积为28π,其侧面展开扇形的圆心角大小为3π,则这个圆锥的底面半径为______. 【答案】2 【详解】设圆锥的底面半径为r ,母线长为l , 由题意,有228rl r πππ+=①, 由于侧面展开扇形的圆心角大小为3π, 所以23l r ππ=,即6l r =②,由①②得12l =,2r =, 即圆锥的底面半径为2, 故答案为:2.2.(2022·上海市七宝中学高一开学考试)已知扇形的圆心角为3π,弧长为45π,则扇形的面积为___________.【答案】2425π 【详解】依题意,扇形的半径412553lrππα===,所以扇形的面积1141224225525S lrππ==⨯⨯=,故答案为:2425π.3.(2022·上海·高三专题练习)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦´矢+矢2).弧田(如图),由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为,弦长等于9米的弧田.(1)计算弧田的实际面积;(2)按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少平方米?(结果保留两位小数)【答案】(1)9π2m);(2)少1.522m.试题解析:(1) 扇形半径,扇形面积等于弧田面积=(m2)(2)圆心到弦的距离等于,所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得(弦´矢+矢2)=.平方米按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.角度3:扇形中的最值问题例题1.(2022·吉林·长春十一高高一期末)已知扇形周长为40,当扇形的面积最大时,扇形的圆心角为()A.32B.52C.3 D.2【答案】D 【详解】设扇形半径为r ,易得020r <<,则由已知该扇形弧长为402r -.记扇形面积为S ,则()()()22014022010024r r S r r r r +-=-=-≤=,当且仅当20r r =-,即10r =时取到最大值,此时记扇形的圆心角为θ,则40220210r r θ-=== 故选:D例题2.(2022·江西·奉新县第一中学高一阶段练习)如果一个扇形的周长为60cm ,那么当它的半径和圆心角分别为多少时,扇形的面积最大?【答案】当扇形的半径为15cm ,圆心角为2rad 时,扇形的面积最大 【详解】解:设该扇形的半径为cm r ,圆心角为θ,弧长为cm l ,面积为2cm S , 则260l r +=,所以602l r =-,其中030r <<,所以,()()2211602301522522S lr r r r r r ==-=-+=--+,所以当15cm r =时,S 最大,最大值为2225cm , 此时()602152rad 15l r θ-⨯===. 例题3.(2022·广西梧州·高一期中)已知扇形的周长为30. (1)若该扇形的半径为10,求该扇形的圆心角α,弧长l 及面积S ; (2)求该扇形面积S 的最大值及此时扇形的半径 . 【答案】(1)1α=,10l =,50S =; (2)2254,152. (1)由题知扇形的半径10r =,扇形的周长为30, ∴22030l r l +=+=, ∴10l =,10110lr α,1110105022S lr ==⨯⨯=.(2)设扇形的圆心角α,弧长l ,半径为r ,则230l r +=, ∴302l r =-,∴()()21522530112222154S lr r r r r r r -+⎛⎫--=⎪=⎭≤⎝== 当且仅当15r r -=,即152r =取等号, 所以该扇形面积S 的最大值为2254,此时扇形的半径为152.1.(2022·浙江·高三专题练习)某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的).已知10OA =,()010OB x x =<<,线段BA ,CD 与BC ,AD 的长度之和为30,圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数表达式;(2)记铭牌的截面面积为y ,试问x 取何值时,y 的值最大?并求出最大值. 【答案】(1)210(010)10x x x θ+=<<+; (2)52x =,2254. (1)解:根据题意,可算得()m BC x θ=,()10m AD θ=. 因为30AB CD BC AD +++=,所以()2101030x x θθ-++=, 所以,()21001010x x x θ+=<<+. (2)解:根据题意,可知()()()2222251011102210AOD BOCx x y S S x x θ+-=-=-=⨯+扇形扇形 ()()22522551055024x x x x x ⎛⎫=+-=-++=--+⎪⎝⎭, 当()5m 2x =时,()2max 225m 4=y .综上所述,当5m 2x =时铭牌的面积最大,且最大面积为2225m 4. 2.(2022·全国·高一阶段练习)已知一扇形的圆心角为()0αα>,周长为C ,面积为S ,所在圆的半径为r . (1)若35α=︒,8r =cm ,求扇形的弧长;(2)若16C =cm ,求S 的最大值及此时扇形的半径和圆心角. 【答案】(1)149πcm ; (2)S 的最大值是216cm ,此时扇形的半径是4 cm ,圆心角为2. 【解析】35α=︒=735rad rad 18036ππ⨯=, 扇形的弧长7148369l r αππ==⨯=cm ; (2)设扇形的弧长为l ,半径为r ,则216r l +=,∴162l r =-()08r <<,则()()2211162841622S lr r r r r r ==-=-+=--+,当4r =时,2max 16cm S =,16248l =-⨯=cm ,2l rα,∴S 的最大值是216cm ,此时扇形的半径是4 cm ,圆心角2α=.3.(2022·河北张家口·高一期末)已知扇形的圆心角是α,半径为r ,弧长为l . (1)若135α=,10r =,求扇形的弧长l ;(2)若扇形AOB 的周长为22,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大,并求出此时扇形面积的最大值. 【答案】(1)152π; (2)当2α=时,扇形面积最大值max 1214S =. (1)31354πα==,∴扇形的弧长3151042l r ππα==⨯=;(2)扇形AOB 的周长()22222L r l r r r αα=+=+=+=,222rα∴=-, ∴扇形AOB 面积2221111112S r r r r r α⎛⎫==-=-+ ⎪⎝⎭,则当112r =,max 1214S =, 即当2α=时,扇形面积最大值max 1214S =. 角度4:扇形弧长公式与面积公式的应用例题1.(2022·陕西·西安中学高一期中)中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰:“叠扇放床上,企想远风来轻袖佛华妆,窈窕登高台.”如图所示,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为67π,扇面所在大圆的半径为20cm ,所在小圆的半径为8cm ,那么这把折扇的扇面面积为( )A .288πB .144πC .487π D .以上都不对【答案】B 【详解】 由题意得,大扇形的面积为11612002020277S ππ=⨯⨯⨯=, 小扇形的面积为21619288277S ππ=⨯⨯⨯=, 所以扇面的面积为12120019214477S S πππ-=-=. 故选:B6.(2022·全国·高一课时练习)已知扇形面积为225cm ,当扇形的圆心角为多大时,扇形的周长取得最小值? 【答案】当扇形的圆心角为2时,扇形的周长取得最小值. 【详解】解:设扇形的半径为R ,弧长为l ,扇形的周长为y ,则2y l R =+. 由题意,得1252lR =,则50l R =,故502522(0)y R R R R R ⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭. 利用函数单调性的定义,可得当05R <时,函数502y R R=+是减函数; 当5R >时,函数502y R R=+是增函数. 所以当5R =时,y 取得最小值20,此时10l =,2lRα==, 即当扇形的圆心角为2时,扇形的周长取得最小值. 【点睛】要求周长的最小值,可考虑将周长写成某个变量的函数式,利用函数的单调性求最值.函数()()0,0kf x x x k x=+≠>在(x ∈-∞上单调递减,在)x ∈+∞上单调递增.角度4题型归类练1.(2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习)已知扇形所在圆的半径为2,圆心角的弧度数是2,则该扇形的弧长为( ) A .1 B .4C .6D .8【答案】B因为扇形所在圆的半径2r =,圆心角的弧度数α=2, 所以该扇形的弧长224l r α==⨯=. 故选:B2.(2022·北京·高一期中)已知某扇形的圆心角为6π,弧长为23π,则该扇形的半径为___________;面积为___________. 【答案】 4 43π##43π 【详解】由题设,该扇形的半径2436r ππ=÷=,面积为1244233S ππ=⨯⨯=. 故答案为:4,43π3.(2022·江苏省木渎高级中学高一期末)中国扇文化有着深厚的文化底蕴,文人雅士喜在扇面上写字作画.如图,是书画家唐寅(1470—1523)的一幅书法扇面,其尺寸如图所示,则该扇面所在扇形的圆心角为____rad ,此时扇面..面积为____cm 2.【答案】 52704 【详解】解:如图,设AOB θ∠=,OA OB r ==,由题意可得:2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩,解得:485r =,52θ=. 所以,21481486416247042525OCD OAB S S S cm ⎛⎫=-=⨯⨯+-⨯⨯=⎪⎝⎭.故答案为:5;7042.高频考点四:任意角的三角函数角度1:单位圆法与三角函数例题1.(2022·全国·高三专题练习)设0a <,角α的终边与圆221x y +=的交点为(34)P a a -,,那么sin 2cos αα+=( ) A .25-B .15-C .15D .25【答案】D 【详解】画图,角α的终边与圆221x y +=的交点为(34)P a a -,,设()P x y ,,则3x a =-,4y a =,代入得22(3)(4)1a a -+=,解得2125a =, ∵0a <, ∴15a =-,∴34()55P -,, 又∵在单位圆中,cos x α=,sin y α=, ∴3cos 5α=,4sin 5α=-, ∴2sin 2cos 5αα+=, 故选:D例题2.(2022·北京师大附中高三期中)已知正角α的终边经过点1(2P -,则角α的值可以是_______(写出一个就可以).【详解】因为1(2P -,所以2tan 12α==-所以角α的值可以是23π.故答案为:23π(答案不唯一)角度1题型归类练1.(2022·全国·高三专题练习)点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点,将点P 沿圆周逆时针旋转至点P ',当转过的弧长为2π3时,点P '的坐标为( )A.1,2⎛ ⎝⎭ B.12⎛- ⎝⎭C.21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D.12⎫-⎪⎪⎝⎭【答案】B 【详解】设旋转角为θ,则22123θπππ⨯⨯=,得23πθ=,从而可得1(2P '-. 故选:B.2.(2022·四川凉山·高一期末)已知角α的顶点在原点,始边与x 轴非负半轴重合,终边与以原点为圆心,半径为1的圆相交于点则34,55A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,则 tan α=( )A .34B .43C .34-D .43-【答案】B 【详解】由题意可得:角α的终边与单位圆的交点为34,55A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,所以35x =-,45y =-,所以445tan 335y x α-===-,故选:B.角度2:终边上任意点法与三角函数例题1.(2022·北京师大附中高一期中)若角α的终边经过点(2,4)P -,则tan α=( ) A .12-B .12C .2D .2-由题设,4tan 22α==--. 故选:D例题2.(2022·北京·人大附中高一期中)已知角α的终边过点()4,3(0)P a a a ->,则cos α的值是( ) A .35 B .35C .45D .45-【答案】C 【详解】 由题意知:44cos 55a a α===.故选:C.角度2题型归类练1.(2022·山东山东·高一期中)已知点(1)P -是角α终边上一点,则cos α=() A . B .12-C D .12【答案】A 【详解】因为点(1)P -是角α终边上一点,所以cos α==故选:A.2.(2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模(理))已知角θ的终边上有一点(4,3)(0)a a a P ->,则2sin cos θθ+的值是( ) A .25-B .25C .25或25-D .不确定【答案】B 【详解】角θ的终边上点(4,3)(0)aa a P ->,则||5r OP a ==, 于是得3344sin ,cos 5555a a a a θθ-====-, 所以3422sin cos 2()555θθ+=⨯+-=.故选:B3.(2022·河南焦作·高一期中)若角θ的终边经过点(),3P x -,且3sin 5θ=-,则tan θ=( )A .43-B .43±C .34-D .34±由三角函数的定义可得3sin 5θ==-,解得4x =±,因此3tan 4θ=±.故选:D.4.(2022·四川自贡·高一期末)角α的终边过点()12,5P ,则cos α=( ) A .513B .1213C .125D .512【答案】B 【详解】由题意P 到原点的距离为13r OP ==, 所以12cos 13α=. 故选:B .角度3:三角函数值符号的判定例题1.(2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习)若3α=,则( ) A .sin 0,cos 0αα>> B .sin 0,cos 0αα>< C .sin 0,cos 0αα<> D .sin 0,cos 0αα<<【答案】B 【详解】 因32παπ<=<,则α是第二象限象限角, 所以sin 0,cos 0αα>< . 故选:B例题2.(2022·北京房山·高一期中)若sin 0θ<且tan 0θ<,则角θ所在的象限是( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限【答案】D 【详解】sin 0θ<,则角θ在第三,四象限,tan 0θ<,则角θ在第二,四象限,所以满足sin 0θ<且tan 0θ<,角θ在第四象限. 故选:D3.(2022·全国·高三专题练习(理))若tan 0α<,则下列结论一定正确是( ) A .sin 0α< B .sin 20α<C .cos 0α<D .cos20α<【答案】B 【详解】。
5.7 三角函数的应用(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为 t1 ,t2 ,t3 0 t1 t2 t3 ,且 t1 t2 2 ,t2 t3 5 ,则
在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 0.5m 的总时间为( )
D. t 40,50 时,盛水筒 P 处于向上运动状态
【答案】AC
【解析】对于
A,
d
3sin
π 30
t
π 6
3 2
的振幅为筒车的半径,筒车的半径为
3m
;
d
3sin
π 30
t
π 6
3 2
的最小正周期 T
2π π 30
60 ,旋转一周用时 60s ,A
正确;
对于
B, dmax
3
3 2
9 2
,筒车的半径 r
A 0, 0,
π 2
近似刻画,据此可估计当天12h 的水深为(
)
A. 7 m 2
C.
5
3
2 2
m
B.4m
D.
5
3
3 2
m
【答案】A
【解析】由题图可得, T
2π
18
6
12
,则
6
,
当 sin(x ) 1 时, y 取得最小值 2 ,即 A 5 2 ,解得 A 3 ,
∵函数 f x 3sin
π 6
x
5 的图象过点
6,
13 2
,
∴sin
π 6
6
1 2
,又 |
|
2
,则
人教版高中数学精讲精练必修一5.5 三角恒等变换(精讲)(解析版)
5
13
33 A.
65
B. 33 65
16 C.
65
D. 16 65
【答案】A
【解析】 α,β 为锐角,α β 0,π , sin α β 1 cos2 α β 12 ,
13
又 sinα 1 cos2α 4 , 5
cosβ
cos
α
β
α
cos α
β cosα
sin
α
β
sinα
5 13
=
2
cos
3
21 2
1,故正确.
C
选项,
2 tan 22.5 1 tan2 22.5
tan
45
1 ,故正确.
D 选项, 1 1 cos 1 1 3 2 3 1 ,故错误故选:ABC
22 6 22 2
2
考点二 给值求值
【例 2-1】(2022 日照)已知锐角 α,β 满足 cosα 3 , cos α β 5 ,则 cosβ 的值为( )
A. 3 2
B. 1 2
C. 3 2
D. 1 2
【答案】B
【解析】 sin62cos32 sin32cos118 sin62cos32 sin32cos(180 62)
sin62cos32 sin32cos62
sin 62 32 sin30 1 ,A,C,D 不符合题意.
2 故答案为:B. 2.(2022 昌平期末)在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 以 Ox 为始边,终边经过点 P(2,3) ,则 tan(α π )
B. 4 5
C. 2 3 5
D. 2 3 5
【解析】由
cos
α
π 6
高考数学复习精讲精练及测试【专题3三角函数】[附答案]
专题内容纲要三角函数是高中数学的重要内容之一,跨学科应用是它的鲜亮特色.在解回复数、立体几何、分析几何问题时,三角函数是常用工具,更是物理学科的基本工具.所以三角函数是历年高考命题必定要波及的热门内容之一.从 1996 年~ 20XX年全国高考理科三角试题的题型、题量和分值的统计表中,我们能够看出:①三角试题的分值在 10~28 分之间,均匀 21.5 分;②分值固然有较大颠簸,且似有降落趋向, 1999、 2000 年分值均靠近均匀值,但 20XX年仅占 10 分.预计 20XX 年高考试卷中三角试题的分值仍旧会控制在21 5 分上下 . 从 1998 年开始,高考取对三角函数的和差化积与积化和差公式不要求记忆.特别当高考命题从知识立意转向能力立意此后,设计以复数、立体几何、分析几何等形式出现,而化归为三角函数问题解答的试题,成为考察跨学科应用能力的主渠道之一(如1999 年理科第( 6)题和第( 20)题,文科第(21)题).而增大问题情况的抽象性与综合性,以提升对考生能力的考察力度,是命题的另一个明显趋向.故而在首轮复习的基础上,本专题要进一步深入复习:①三角函数的性质与图象;②三角恒等变换;③解三角形的综合问题.复习中应侧重加强以下三个能力:①灵巧运用三角函数的性质和图象解答三角问题(主假如选择、填空题)的能力;②对三角函数式娴熟进行恒等变形的能力以及对三角函数图象娴熟进行平移和伸缩变换的能力;③把三角问题、复数、分析几何、立体几何等问题转变成三角恒等变形问题的能力.1996 年1997 年1998 年1999 年2000 年20XX年题型题量分值题量分值题量分值题量分值分值题量题量选择题312416313313210210填空题141414解答题11211019112§1三角函数的性质与图象一、复习重点三角函数的性质(包含三角公式)与图象是解答三角函数问题的知识基础;借助三角函数的图象来理解、掌握、运用三角函数的基天性质,是常用的复习方法.三角函数的周期性、奇偶性、单一性、对称性、值域性质、关系性质(包含相等关系与不等关系)的判断与应用,是本节复习的重点;掌握好图形变换中,三角函数的图象、表达式及其性质的对应变化规律(要求能把这种规律迁徙到一般函数理论中),是本节复习的又一重点,也是难点.二、例题解说例 1( 1)假如α,β∈((π/2),π ),且tgα<ctgβ,那么必有().A.α<βB.β<αC.α+β<( 3/ 2)πD.α+β>( 3/ 2)π( 1992 年高考文科试题)(2)知足arccos( 1-x)≥arccosx的取值范围是().A.[- 1,-( 1/2)]B.[-( 1/ 2), 0]C.[ 0,( 1/ 2)]D.[( 1/22), 1](1997 年高考理科试题)(3)已知点 P(sinα-cosα,tgα)在第一象限,则在[0,2π)内α的取值范围是 ________.(1998 年高考题)解说:( 1)本题要用已知的正切函数tgα 与余切函数ctgβ 的大小关系,来推测角α 与β 的大小关系,回想与这个问题密切有关的基础知识与方法,若想到函数的单一性和利用单位圆作直观剖析的方法,可理出以下推测方法:图 3-1在单位圆的第二象限中,让角α、β 沿逆时针方向旋转,则看到:tgα 从-∞开始单一递加到0,而ctgβ从 0 开始单一递减向-∞;若α 与β 重合在第二象限的角均分线上,则tgα=ctgβ=- 1.立知当α 与β 在第二象限的上半象限中随意变化,即α ,β ∈((π /2),(3π /4))时,总有tgα<ctgβ;而α,β ∈(( 3π/4),π)时,总有tgα>ctgβ .进而由α ,β∈((π/ 2),π),tgα<ctgβ,推出π<α+β<( 3π/ 2).选 C.若想用解不等式的方法作推测,并在变形中巧用正切倍角公式,又得以下解法:∵α,β∈((π/ 2),π),tg α< ctg βtgα<( 1/tgβ)tgαtgβ>11-tgαtgβ<0( tg α+tg β)/ tg (α+β ))< 0,∴tgα<ctgβ(tgα+tgβ)/tg(α+β))< 0.∵tgα+tgβ< 0,∴tg(α+β)> 0,并推得π<α+β<( 3π/ 2).应选 C.若考虑函数的单一性,由tgα <ctgβ,得tgα<tg(( 3/2)π-β).∵α,β∈((π/2),π),∴(3/2)π -β ∈((π/ 2),π).又y=tgx在((π /2),π )上是增函数,∴α<( 3/ 2)π-β,应选C.本题还能够用极限思想做推测:当(π/2)<α<π,(π/ 2)<β<π,且α→(π/2),β →(π/2)时,有 tg α→-∞,ctg β →0.∴总有 tg α<ctg β建立.可见A、 B、 D均不建立,应选C.(2)本题是对于反余弦函数的简单不等式解集的判断问题.若想利用反余弦函数的图象来剖析判断,则先想出或画出草图.由图可知,反余弦函数在定义域[-1,1]上单一递减,所以原不等式等价于1-x≤xx≥( 1/ 2)-1≤x≤ 1,(1/2)≤x≤ 1.0≤x≤1-1≤1-x≤1故而选D.图 3-2若能注意到,在x轴上x 与 1-x 两点对于(1/2)点对称,则由图象立刻看出x 的取值范围是(1/ 2)≤x≤ 1.若想利用特别值法判断,则取x=-(1/ 2),可清除A、B;取x=0,可清除C.( 3)本题的条件是几何型的,而目标倒是求变量α 的取值范围,所以解答本题,应第一将几何型条件等价转变成不等式或不等式组,而后剖析求解得出答案.现剖析解答以下.点 P(sin α -cosα,tgα)在第一象限sinα -cosα> 0,tgα> 0sinα >cosα,tgα> 0.①②在单位圆中剖析易知:知足不等式①的α 为第一、三象限角均分线左上方半圆中的角;知足不等式②的α 角为第一或第三象限中的角.图 3-3故取以上两个α 的变化范围所对应的会合与区间[0,2π)的交集,即得α 的取值范围是((π /4),(π/2))∪(π,( 5π/4)).例 2把函数y=sin(ωx+φ )(此中φ 为锐角)的图象起码向右平移(π/8)或起码向左平移( 3π/ 8),可使对应的函数成为奇函数.则函数y=sin(ωx+φ )的一条对称轴为().A.x=(π/2)B.x=(π/4)C.x=-(π/ 8)D.x=( 5π/8)解说:从题目的条件能够发现这样两个信息:第一,此函数的周期为π ;第二,平移后函数图象过原点.由前者得ω =2;图象向右平移(π /8)后对应的函数分析式为y=sin[2(x-(π/ 8))+φ],由其过原点知sin(φ-(π /4))=0,又φ 为锐角,∴φ=(π /4).至此可得原函数为y=sin(2x+(π/4)).再依据此类函数图象的性质:与均衡地点的交点为对称中心,过极点作x 轴的垂线即为对称轴.经查验当x=(5π/ 8)时此函数取最小值,故应选D.例3 (1)若函数y=(1+asinx/2-sinx)的值域为[0,2],则a的值为_____.(2)设直线xcosθ+ysinθ -1= 0?( 0<θ<(π/2)).①求此直线的倾角φ;②求f(φ)=(sin2 2φ/cos 3φ -cosφ)+sinφ 的值域.解说:( 1)对于此类构造式,必定是用sinx的范围来确立y的范围,门路有两条:一是化部分分式,将变元集中于分母(请独立思虑);二是将sinx分别出来,用sinx来反控y的范围:sinx=( 2y- 1)/(a+y),∴|( 2y- 1)/(a+y)|≤ 1,平方并化简,得3y2-2(a+ 2)y+ 1-a2≤0.由条件知此不等式的解为[0, 2],由韦达定理得a= 1.( 2)①由题意知tgφ =-(cosθ /sinθ)=-ctgθ=tg((π/2)+θ ),∵0<θ<(π/ 2),∴φ=(π/2)+θ .②∵f(φ )=(sin2 2φ/cos 3φ-cosφ)+sinφ=(sin2 2φ/- 2sin 2φsinφ)+sinφ=(-sin 2φ/ 2sinφ)+sin φ=sinφ -cosφ=2sin(φ -(π/ 6))= 2sin(θ+(π/3)),而θ+(π/3)∈((π/ 3),( 5π/6)),∴f(φ)∈( 1, 2].例 4在△ABC中,A、B、C为其三个内角,设y=2+cosCcos(A-B)-cos2C.(1)若随意互换A、B、C的地点,y的值能否发生变化?证明之;(2)求y的最大值.解说:( 1)y的值能否变化取决于其表达式能否为轮换对称式,为此注意到为使A、B对称,可将cosC换为-cos(A+B):y=2-cos(A+B)cos(A-B)-cos2C= 2-( 1/2)(cos 2A+cos 2B)-( 1+cos 2C/ 2)=( 3/ 2)-( 1/2)(cos 2A+cos 2B+cos 2C),故 y 的值不发生变化.(2)因为变量许多,故应试虑减少变元.方法之一是研究这些变量之间的内在关系,之二是选用主元.对前者,因为三角形的随意性,不易达到目的,对后者较明显的是以 C 为主元.这时又有两种思想角度:若运用函数思想,将y视为cosC的二次函数,用配方法y=-[cosC-(cos(A-B)/2)]2+ 2+(cos2(A-B)/ 4).当-[cosC-(cos(A-B)/2)]2=0 且cos2(A-B)= 1 同时建即刻y获得最大值.这时有A=B且C=(π/3),即△ABC为正三角形时y取最大值( 9/4).若运用方程思想,将原式变形为cos2C-cos(A-B)cosC+y-2=0,视此式为对于cosC的一元二次方程,则=cos2(A-B)- 4y+8≥0,即y≤ 2+(cos2(A-B)/ 4)≤( 9/4),取等号的条件与上边同样.从本题能够看出,要擅长运用数学的看法、思想、方法剖析和思虑问题,这是提升解题能力的有效途径.三、专题训练1.函数y= 9- 8cosx- 2sin2x的最大值是().A. 17B.- 1C. 1D. 32.若 f (x)2sinx是周期为π 的奇函数,则 f (x )能够是().A.sinxB.cosxC.sin 2xD.cos 2x3.若sinα>tgα>ctgα( - (π /2)<α<(π/ 2)),则A.( - (π/2), - (π/4))B.( - (π/4), 0)C.( 0,(π/ 4))D.((π/4),(π/ 2))-14.设 y=f ( x)的定义域为[-1, 1],其反函数y=f(x)的图象如图α∈(3- 4.对于) .f ( x)分析式的判断有以下四种:①f ( x )=arcsinx;②f ( x )=arcsinx+ (π/2) ;③f ( x )=arccos ( -x );④f ( x )=π-arccosx.此中错误判断的个数是() .图 3-4A. 0B.1C.2D.35.把函数y= 2sin(( 1/2)x+(π/6))的图象向y轴均匀压缩,使图象上全部点的横坐标缩短到本来的(1/3).则图象所对应函数的最小正周期变成________.6.当x∈(π,( 3/2)π )时,arcsin(sinx)= ________.7.已知点P( sinx,cosx ),角θ以 OP为终边,且为第二象限角,那么函数y=tgx+tg θ的值域是________.8.设α为锐角,试比较sin2α与sin(α+(π/ 4))的大小.9.已知θ∈( 0,2π),且sinθcos 2θ>0,求θ的取值范围.10.设 0≤ θ ≤(π/2),f(θ)=sinθ .cosθ +sinθ ,g(θ)=cosθ-(1)当θ为什么值时,f(θ)有最大值 ?(2)若g(θ)=-( 8/5),求f(θ )、sinθ 的值.§ 2 三角恒等变换一、复习重点三角函数式的恒等变换是解答三角函数问题的方法基础.所谓三角式的恒等变换,就是运用有关看法和公式把给定的三角式化为另一等价形式.同一式子的不一样形状,能够裸露式子的不一样整体性质,我们对式子作恒等变换的目的,就是要把我们所需的整体性质展现出来.对式子的一次变形经常不可以获取所需形状,须经过数次变形转变,才能达到目的.怎样选择变形起步点?怎样一步一步把给定式子转变成所需形状 ?经过对例题及训练题的剖析,总结概括出思想规律来,这是本节复习的重难点;本节复习的另一重点是,怎样把一个三角函数问题化归为三角式的恒等变形问题.三角式的化简、求值问题,是训练三角恒等变换的基本题型.求三角函数的最小正周期、求三角函数最值、证明三角恒等式、解证三角方程或三角不等式问题,一般都要借助三角恒等变换而达成.联想三角公式与基本题型,并把两者与方程、不等式看法综合运用,这是运用三角恒等变换解答三角函数问题的思想重点.例 1(1)函数y= 2sinxcosx+2cos2x的最小正周期是();A.(π/2)B.πC. 2πD. 4π(2)函数y=2sinxsin2x的最大值是();A.( 64/27)B.( 8/9)C.2D.(/2)(3)若( 1/cos θ)- ( 1/ sin θ)=1,则 sin2 θ的值等于 _________.解说:( 1)本题是判断一个较复杂三角函数的最小正周期问题.联想与此问题有关的基础知识与方法,想起我们会求角为ω x+φ 的基本三角函数的最小正周期,自然产生这样一个解题念想:希望运用三角公式和看法把原函数式变形为y=Asin(ωx+φ)+B(或y=A 2cos(ωx+φ )+B)的形式,而后用熟知方法求出最小正周期.在这一思路指导下,侧重察看已知三角函数式的构造特色,朝着既定目标方向,发现用倍角公式与和角公式能达成变形工作,得解法以下:y= 2sinxcosx+2cos2x=sin 2x+cos 2x+ 1=2sin( 2x+(π/6))+ 1,∴T=( 2π/2)=π,应选 B.(2)本题是一道无附带条件的最值问题 . 回想求三角函数最值的基本模型方法,想到用三角恒等变换向基本模型转变,但转变方向一下看不透,应在变形过程中逐渐明亮化.第一想到应用倍角公式,把原式化为y=4sin 2 xcosx ,接着思虑第二步变形.想法一:希望把原式化为y=Asin (ωx+φ)+B的形式;想法二:希望把原式化为二次函数模型.这两种转变思想均受阻此后,应从头深入剖析 y=4sin 2 xcosx 的构造特色,从中找出转变的新出路.注意到 y 的最大值应在 cosx > 0 时获得,所以:① y=4sin 2 xcosx 可视为正变量的乘积,所以 y 与 y 2=16sin 4 xcos 2 x 同时获得最大值;②由 y2的表达形式与 sin 2 x+cos 2 x=1,联想到均值不等式,产生出想用均值不等式实行转变的思想方向——想法把式子变形为能用均值不等式求最值的形式.构想后,可得如下解法:当 cosx >0 时,当且仅当 sin2 x=2cos 2 x,即 cos2 x=( 1/3)时,等号建立.应选 B.( 3)这是一道填空题 . 条件为: sin θ与 cos θ知足的一个方程式;目标为:求 sin2 θ的值.由目标第一联想到正弦倍角公式,得sin2 θ= 2sinθ2cosθ ,看到了目标与条件的内在联系,萌生出解题的方程看法,想到由方程组( 1/cosθ)-( 1/sinθ)= 1,sin22求出 sin2 θ .θ+cosθ= 1,细思虑感觉,先求出 sin θ与 cos θ的方法比较繁,暂不采纳.转而思虑:可否对条件中的方程式实行三角恒等变换,产生出对于sin2 θ的方程而求得其值.朝着这一既定方向,运用三角恒等变换和解方程的方法,即可获取以下两种解法:解法 1( 1/cosθ)-(1/sinθ)= 12= 1((1/cosθ)-( 1/sinθ))1/cos2222θ)-( 2/sinθcosθ)+( 1/sinθ)= 1( 1/sinθ cos θ)-( 2/sinθcosθ)= 1,即( 1/sinθcosθ)2- 2(1/sinθcosθ)- 1= 0.解得( 1/sinθcosθ)=1±.又由 | sinθcosθ | ≤1|( 1/sinθcosθ)|≥ 1,∴( 1/sinθcosθ)= 1+,∴sinθcosθ=-1.故sin 2θ= 2(-1).解法 2( 1/cosθ)-(1/sinθ)=1sinθ-cosθ=sin θcosθ1- 2(2sinθ -cosθ)= 1-2sinθcosθ=(sinθ-cosθ),即(sin θ-cosθ)2+2(sinθ -cosθ)- 1=0.解得sin θ -cosθ=-1±.又因|sinθ -cosθ|=|sinθcosθ|≤1,∴ sinθ -cosθ=-1.故sin 2θ= 2sinθcosθ= 2(sinθ-cosθ)= 2(- 1).例 2 ( 1)计算 ctg10 °- 4cos 10°的值 ;(2)化简sin22α +β ).α+sinβ+2sinαsinβ2cos(解说:(1)本题是详细角的两个基本三角函数求差,形状虽简单,但两项角度均非特别角,其倍、半角也非特别角,也不可以分拆为含特别角的和或差,所以既没法分别求得其值,又不可以用拆分角的方法,经过睁开、抵消、归并得出结果.这种状况下,一个有效的策略思想是,先想法将两项分别的信息聚笼贯通,希望从中能看到“某种整体特别性”或“内在联系”,在这一思想下,想到从“切化弦”并通分下手,得ctg 10°- 4cos 10°=(cos 10°/sin 10°)-4cos 10°=(cos 10°-4cos10°sin 10°/sin 10°).均为分子中第二项能用倍角公式将角扩大,出现一新角,得(cos 10°- 2sin 20°/sin 10°).思路 1.经察看可见,分子中两项的角度之和恰为特别角30°,且分母的角度与分子中第一项的角度10°,由这种关系想到拆角法:20°=30°-10°,得(cos 10°- 2sin( 30°-10°)/sin 10°)=(cos 10°-2[( 1/ 2)cos10°-(/2)sin 10°]/sin 10°=(sin 10°)/sin 10°.至此求解思路已贯穿.整理以上剖析,得出解答以下:原式=(cos 10°/sin 10°)-4cos10°=(cos10°-2sin20°)/sin10°=(cos 10°- 2sin(30°-10°))/sin 10°=(cos 10°- 2[(1/ 2)cos 10°-(/2)sin 10°]/sin 10°)=.思路 2.注意到分式化简的基本思想是对分子、分母因式分解,再行约分,而cos 10°与20°的系数不一样,不便于化积,加之化为同名(sin 80°与sin 20°)后两角之差的一半为2sin30°,想到拆项办理:(cos 10°- 2sin 20°)/sin 10°=(sin 80°-sin 20°-sin 20°)/sin10°=( 2cos 50°sin 30°-sin 20°)/sin 10°=(cos 50°-cos 70°)/sin10°)=( 2sin 60°sin 10°)/sin 10°=.(2)这是一道二元三角多项式的化简问题.从式子各项中含基本三角函数的名称、幂次、角度及其组合关系看式子的构造特色:第三项比前两项角度复杂,组合关系复杂,而前两项为单角正弦的平方,幂次拥有特别性.由此能够产生出以下三个变形方向:①从分解较复杂的第三项下手,先把和角的三角函数化为单角的三角函数,从角度和幂次方面把第三项向前两项聚拢;②从分解较复杂的第三项下手,先把单角化为和差角,并从角度和幂次方面把第三项向前两项聚拢;③以前两项幂次的特别性下手,先降幂,再从角度方面向第三项聚拢.若选定第一方向,则先用和角公式睁开第三因子,得sin22β+ 2sinαsinβ[cosαcosβ-sinαsinβ]α+sin=sin2222α+sinβ+ 2sinαsinβcosαcosβ -2sinαsinβ .看到第四项与前两项已经相通,打开第四项与前两项分别归并,得sin2222α( 1-sinβ)+sinβ(1-sinα)+ 2sinαsinβcosαcos2222β=sinαcosβ+sinβcosα+2sinαsinβcosαcosβ .认真察看发现:式子整体已体现出两数和的平方睁开式的形状,即式子的各部分用两数和的平方公式能贯穿为一个整体:(sinαcosβ+cosα sinβ )2.再用正弦和角公式,立得化简出结果:sin2(α +β ).整理以上变形过程,得出解法一以下:原式=sin22α+sinβ+2sinαsinβ[cosαcosβ-sinαsinβ]=sin2222α( 1-sinβ)+sinβ(1-sinα)+ 2sinαsinβcosαcosβ=sin2αcos 2β+cos 2αsin 2β+2sinαsinβcosαcosβ=(sinαcosβ+22若选定第二变形方向,并在变形中运用积化和差公式,cosα sinβ )=sin(α +β ).可得解法二以下:原式=sin22α+sinβ+[cos(α-β)-cos(α+β)] 2cos(α+β )=sin222(α +β )=sin22α+sinβ +cos(α-β)cos(α+β)-cosα +sinβ+( 1/ 2)(cos 2α+cos 2β)-cos2(α +β )=sin22α +sinβ+( 1/2)( 1-2sin2α+1-sin2β)-cos2(α+β)= 1-cos2(α+β)=sin2(α+β).若选定第三变形方向,并在变形中运用和差化积公式,可得解法三以下:原式= 1-( 1/ 2)(cos 2α+cos 2β)+ 2sinαsinβcos(α+β)=1-cos(α+β)cos(α-β)+ 2sinαsinβcos(α+β)=1-cos(α+β)[cos(α -β)-2sinαsinβ]=1-cos(α+β)[cosαcosβ-sinαsinβ]=1-cos2(α+β)2=sin(α +β ).例 3(1)求(1+tg7°+tg8°-tg7°tg8°/1-tg 7°-tg 8°-tg 7°tg 8°)的值;(2)若tgθ、ctgθ是方程 2x2-2kx= 3-k2的两个实根,且π<θ<(5π/4),求cosθ-sinθ 的值.解说:( 1)从表达式中含有tg 7°+tg 8°和tg 7°tg 8°能想到什么呢?在tg( 7°+8°)的展式中将会出现这样的式子! 于是想到思路:tg 15°=(tg 7°+tg 8°)/(1-tg 7°tg8°).故原式= [ ( 1+tg 15°( 1-tg 7°tg 8°)-tg 7°tg 8°] /[[1 -tg 15°( 1-tg 7°tg8°)-tg 7°tg 8°)] =[ (1+tg 15°)( 1-tg 7°tg 8°) ] /( 1-tg 15°)( 1-tg7°tg 8°))=( 1+tg 15°)/( 1-tg 15°)=tg( 45°+15°)=.本题中运用的构造联想的思想方法在数学解题中是十分重要的.( 2)由这样的条件想到韦达定理是很自然的:tgθ+ctgθ=k,tgθ 2ctgθ=( 1/2)(k2-3)= 1,k2=5,k=±.对吗 ?注意θ的范围!由此应有k=.因为k确实定,不难求出tgθ=(- 1)/ 2(也要注意由θ的范围,0<tgθ< 1),∴ (c2=1-sin 2θ=1-( 2tgθ/1+tg2).又∵ cosθ-sinθ )θ)=(1/5)( 5-2osθ<sinθ,∴ cosθ -sinθ =后直接变形得sinθcosθ=( 1/=-)代入上式).(本题也可由tgθ +ctgθ例 4设asinx+bcosx=0,Asin 2x+Bcos 2x=C(a,b不一样时为0).证明: 2Aab+(b2-a2)B+(a2+b2)C= 0.解说:本题要证明的是一个条件等式,其条件可当作对于x的两个三角方程构成的方程组.可由前式解出x再代入后式得出求证不等式.但x不是特别角,这样做计算量大,不行取.若由前式分别求出sinx和cosx再代入后式也能够,但求sinx、cosx时波及到符号问题,这样办理也很麻烦.运用思想模块对asinx+bcosx进行变形:asinx+bcosx=((a/)sinx+(b/)cosx).令siny=-(b/),cosy=(a/),则sin(x-y)= 0,由此得x=y+kπ (k∈Z),并求出cos2x和sin 2x的值(cos 2x=cos 2(y+kπ)=cos 2y= 2cos2y- 1=, )代入后式即可得求证的结论.假如联想到sin 2x、cos 2x与tgx的关系,可由前式求得tgx=(b/a)(a=0 时另证),用全能公式求得sin2x、cos 2x后辈入后式也可得证.三、专题训练1.已知cos 78°约等于0. 20,那么sin 66°约等于().A. 0. 92B. 0. 85C. 0. 88D. 0. 952.复数 z=cos2+i的模为().A. -cos2B. -cos2C.cos2D. cos23.函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期是().A.(π/ 4)B.(π/2)C.πD. 2π4.设( 1-tgα)/(1+tgα)=3- 2,则sin 2α的值是().A.(/2)B.( 2/ 3)C.(3/4)D.(3/8)5.化简(sin(α /2)+cos(α+β/ 2)sin(β/2)/cos(α/2)-sin(α+β)/ 2sin(β/2)),得______________.6.已知α、β 为锐角,2tg(α+3)sinβ=7,tgα- 6sinβ=1,则sinα=________.7.已知ctgα=2,tg(α -β)=-(2/ 3),则tg(β- 2α)= ______________.8.求以下三角式的值:(1)sin 80°ctg 20°(tg20°-1);(2)sin( 60°-(α/2))cos(30°-(α/2))2(sin(α /2)/sin(3α/2)).9.(1)化简:( 1+sinα/ctg(α/2)-tg(α/2)[( 3cosα/2cos 2((π/4)-(α/ 2)))- 2tg((π/4)-(α/ 2)];(2)证明:2sin4x+(3/4)sin22x+5cos4x-cos3xcosx=2(1+cos2x).10.已知α、β、γ为锐角,tg(α/ 2)=tg 3(γ/ 2), 2tgβ=tgγ,求证:α,β,γ 成等差数列.§3解三角形的综合问题一、复习重点本节复习的重点是:怎样把三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理、勾股定理及面积公式与其余三角函数公式配合运用,解答三角形的综合问题. 这种试题在历年高考取时有出现.把方程看法和三角式的恒等变形方法联合运用,是解答这种问题的策略之一.把边和角的已知关系式互相转变,是解答这种问题的策略之二.巧用内角和定理,是解答这种问题的策略之三.比如,sin(B+C)=sinA,cos(B+C)=-cosA,sin(B+C)/2=cos(A/ 2),cos(B+C)/2=sin(A/ 2),tg(B+C)/2=ctg(A/2)等.二、例题解说例 1(1)在△ABC中,A=(π/3),求证b+c≤ 2a;(2)在△AB C 中,a,b,c成等差数列,求证B≤60°.解说:(1)本题是由三角形角的一种特别性,推证边的一种大小关系. 要达成证明,应先吃透条件,找寻交流目标与条件的渠道.由A=(π/3)B+C=(2/3)π ,A=(B+C)/2;依据目标不等式的形状,想到用正弦定理可把目标与条件交流,即用正弦定理可把边的不等式转变成对于角的不等式,进而与条件相连接,剖析概括后得证法以下:由正弦定理和A=(π /3),A+B+C=π 推知b+c≤ 2asinB+sinC≤ 2sinAsin((2π/ 3)-C)+sinC≤(/ 2)cosC+(3/2)sinC≤cosC+sinC≤22sin(C+(π /6))≤2sin(C+(π /6))≤ 1.最后一不等式是明显建立的,故有b+c≤2a.( 2)本题是由三角形边的一种特别关系,推证角的一种大小关系问题. 先理解条件a,b,c成等差数列,即 2b=a+c;再找寻目标与条件的联系:因为目标不等式是三角形一个内角的变化范围,故用余弦定理能把目标与条件联系起来.得证法以下:∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,且由余弦定理,得cosB=(a2+c2-b2)/( 2ac)=(a2+c2-((a+c)/2)2/( 2ac)22=( 3(a+c)-2ac/8ac)≥( 6ac- 2ac/ 8ac)=( 1/2)=cos 60°.又 0<B<π,且余弦函数在区间[0,π]上单一递减,故得B≤60°.例 2 在△ABC中,若( sin 2A+sin2B-sin2C)/(sin2A-sin2B+sin2C)=( 1+cos 2C)/( 1+cos 2B),试证明△ ABC 为等腰三角形或直角三角形;解说:思路 1.要证明三角形为等腰三角形,须由条件推得两边相等或两角相等;要证明三角形为直角三角形,须由条件推得三边知足勾股关系或一角等于 90°.这就需要运用恒等变形的方法和方程看法对条件等式进行转变.注意到条件等式右端若用二倍角公式,条件即化为更均称的形式(sin2A+sin2B-sin2C)/(sin2A-sin2B+sin2C)=(cos2C/2cosB).察看此式,易从左端想到正弦定理,而从右端想到余弦定理;左右两头分别用正余弦定理变形,即能够从边的关系方面把左右两头交流,有希望解出勾股关系或边的相等关系.进一步剖析后,得证法以下:依据二倍角公式,由条件得(sin2A+sin2B-sin2C)/(sin2A-sin2B+sin2C)=(cos2C/cos2B).等式左右两头分别用正、余弦定理,得(a2+b2-c2/a2-b2+c2)=(((a2+b2-c2/2ab))2/((a2+c2-b2/ 2ac))2)=((a2+b2-c2/a2-b2+c2))2 2(c2/b2),∴(a2+b2-c2)/(a2-b2+c2)(a2+b2-c2)/(a2-b2+c2)2(c2/b2)-1)= 0.由(a2+b2-c2)/(a2-b2+c2)= 0,得a2+b2=c2;由(a2+b2-c2)/(a2-b2+c2)2(c2/b2)- 1= 0,得a2c2+b2c2-c4=a2b2-b4+b2c2,即(c2-b2)(b2+c2-a2)= 0.∴b=c或b2+c2=a2.故三角形为等腰三角形或直角三角形.思路 2.变换到(sin2A+sin2B-sin2C)/(sin2A-sin2B+sin2C)=(cos2C/cos2B)时,左端用正弦定理即为(a2+b2-c2)/(a2+c2-b2),而此表达式的形式又简单使我们想到余弦定理a2+b2-c2=2abcosC,a2+c2-b2= 2accosB,故而此式=(bcosC)/(ccosB)=(sinBcosC)/(sinCcosB),进而有(cos2C)/cos2B)=(sinBcosC)/(sinCcosB),(cosC/cosB)=(sinB/sinC),即sin2B=sin 2C, 2B= 2C或 2B=π -2C,即B=C或B+C=(π/ 2).可知此三角形为等腰三角形或直角三角形.例 3已知△ABC的三个内角A、B、C 知足A+C=2B,( 1/cosA)+(1/cosC)=-(/cosB).求cos(A-C)/2)的值.( 1996 年高考题)解说:这是一道三角形中的条件求值问题.依据题目的条件与目标构造特色,解答本题的基本想法可以是:将其余已知条件代入条件方程式(1/cosA)+(1/cosC)=-(/cosB),而后运用恒等变形方法和方程看法进行转变,从中解出目标cos(A-C)/ 2 来.由△ABC中,A+C=2BB=60°,A+C= 120°;代入条件方程式,整理,得cosA+cosC=-2cosAcosC.察看并朝着目标方向思虑,想到用和差化积公式可把方程左端转变成2cos(A+C)/ 22cos(A-C)/ 2,目标出现了,而右端用积化和差公式可转变成-[cos(A+C)+cos(A-C)];且二倍角公式能把左侧cos(A-C)/ 2 与右侧cos(A-C)订交流,又左侧cos(A+C)/ 2 与右侧cos(A+C)能求出,故cos(A-C)/ 2 可由解二次方程求出. 整理得解法以下:由题设条件知,B= 60°,A+C= 120°.∵(-/cosB)=-2,∴(1/cosA)+(1/cosC)=-2.将上式化为cosA+cosC=-2cosAcosC.利用和差化积及积化和差公式,上式化为2cos(A+C)/2cos(A-C)/2=-[cos(A+C)+cos(A-C)].将cos(A+C)/2=cos 60°=( 1/2 ),cos(A+B)=-(1/ 2)代入上式,得cos(A-C)/2=(/2)-cos(A-C).将cos(A-C)=2cos2 [ (A-C)/ 2] -1 代入上式并整理,得24cos(A-C)/2+2cos(A-C)/2-3=0,( 2cos(A-C)/2-)(2cos(A-C)/2+3)= 0,∵2cos(A-C)/ 2+3≠0,∴2cos(A-C)/ 2-=0.进而得cos(A-C)/2=/2.若运用变量替代法,还能够有以下解法:由题设条件知B= 60°,A+C= 120°.设α=(A-C)/2,则 A-C= 2α,可得A=60°+α,C= 60°-α.∴(1/cosA)+( 1/cosC)=-(cos(60°+α)+cos(60°-α)/cosB)化为=- 2cos( 60°+α)cos( 60°-α).又cos( 60°+α)=( 1/2)cosα -(/2)sinα ,cos( 60°-α)=( 1/ 2)cosα+(/ 2)sinα,cos( 60°+α)cos( 60°-α)=( 1/ 4)cos22α -( 3/4)sinα2=cosα -(3/4),代入上式并整理,得4cos2= 0,α+2cosα -3(2cosα-)( 2cosα+3)= 0.∵2cosα +3≠0,∴2cosα -=0.故cos(A-C)/2=cosα=(/2).三、专题训练1.若x 为三角形中的最小内角,则函数y=sinx+cosx的值域是().A.( 0,(/ 2))B.( 1,]C.[( 1/ 2),(/2)]D.(( 1/ 2),(/2)]2.△ABC中, cos2 A< cos2 B是A> B 的().A.充足非必需条件B.必需非充足条件C.充要条件D.既非充足也非必需条件3.等腰三角形腰长为2,底边的中点到腰的距离为(/ 2),则三角形外接圆半径为().A.( 2/ 3)B. 4C.2或(2/)D.4或(4/3)4.设1<t<(/ 2),在△ABC中,C=(π/2),a+b=tc,则|A-B|的变化范围是区间().A.( 0,(π/3))B.((π/ 4),(π/3))C.((π/ 3),(π/2))D.( 0,(π/2))5.操场上有一旗杆OP(如图 3-5 ),为了测得它的高度h,在地面上取一基线AB=20 米,在 A 处测得 P 点的仰角∠OAP= 30°,在 B 处测得 P 点的仰角∠OBP= 45°,又测得∠AOB= 150°,则旗杆的高h= ________米.图 3-56.如图 3-6 所示,货轮在海上以40km/ 小时的速度沿着方向角(从指正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为 140°的方向航行,为了确立船位,在 B 点观察灯塔 A 的方向角为 110°,航行半小时后抵达 C 点,观察灯塔 A 的方向角是 65°,则货轮抵达 C点与灯塔 A 的距离是 ________km(结果能够保存根号).图 3-67.设△AB C 中角 A、B、C所对边长分别为a、b、c,对于直线xsinA+ay+c=0 与bx+ysinB+sinC=0 的地点关系有以下四个判断:①能够是互相平行的地点关系;②能够是重合的地点关系;③能够是互相垂直的地点关系;④必定是订交但不垂直的地点关系.此中正确判断的序号是________.(把你以为正确判断的序号都填上)8.在Rt△ABC中,C=90°,r、R分别是三角形内切圆半径和外接圆半径,求(r/R)的最大值.9.已知△AB C 的三内角 A,B,C 成等差数列,公差为θ,又( 1/sin 2A),(1/sin 2B),(1/sin 2C)也成等差数列,求cosθ .10.锐角△ABC中, 2tgB=tgA+tgC,且函数f(x)知足f(cos2C)=cos(B+C-A).(1)求tgAtgC的值;( 2)求f(x)的表达式.专题能力测试一、选择题1.ω是正实数,函数 f(x )=2sin ωx 在[ -(π/3),(π/4)]上递加,那么().A. 0<ω ≤( 3/2)B. 0<ω ≤2C.0<ω ≤(24/7)D.ω≥22.arcsin(cos(5π/4))的值是().A.-(π/ 4)B.( 3π/4)C.(π/4)D.-( 3π/ 4)3.若函数f(x)=asin(ax)+acos(ax)(a>0)的最大值是2,则f(x)的最小正周期为().A.(π/4)B.(π/2)C.πD.2π4.函数f(x)=Msin(ωx+φ )(ω>0)在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(ω x+φ)在区间[a,b]上().A.是增函数B.是减函数C.可获得最大值MD.可获得最小值-M5.假如函数 y=f (x)知足 f (-x )=-f ( x),且有 f ( x+(π/ 2)) =-f (x ),那么 f ( x)的分析式能够是().A. tg ( x+π)B. sin (x+π)C. sin2xD.cos2x6.已知 sin α>sin β,那么以下命题建立的是().A.若α、β是第一象限角,则cos α> cos βB.若α、β是第二象限角,则tg α> tg βC.若α、β是第三象限角,则 cos α>cos βD.若α、β 是第四象限角,则 tg α>tg β7.函数 y=-xcosx的部分图象是().A.B.C.D.图 3-78.已知奇函数 f (x)在[- 1,0]上为单一减函数,又α、β 为锐角三角形两内角,则().A.f (cos α)> f ( cosβ)B.f ( sin α)> f (sin β)C.f (sin α)> f ( cos β)D. f (sin α)< f (cosβ)9.以下命题中正确的一个是().A.函数y=cosx(x∈[0,2π])是一个偶函数B.函数y=sin(x+(π/4))在第一象限内是增函数C.函数y=|tgx|的最小正周期是πD.函数y=(1/sinx)的值域是[- 1,1]10.把函数y= 3sin(x+( 4π/3))- 1的图象向右平移θ(θ> 0)个单位,使点((π/2),- 1)成为图象的一个对称中心,则θ 的最小值为().A.(π/6)B.(π/3)C.( 5π/6)D.( 4π/3)11.已知α是第二象限的角,给出四个不等式:①tg(α/ 2)>sin(α/ 2)>cos(α/ 2);②sin(α/2)>cos(α/2)>tg(α/ 2);③tg(α/ 2)>cos(α/ 2)>sin(α/ 2);④cos(α/2)>tg(α/ 2)>sin(α/ 2).此中可能建立的是().A.①②B.①③C.②③D.③④12.设 f 1(x )=cos(2x+(π/ 3)),f 2(x)=cos( 3x- ( 2π/3)),把f 1(x)与 f 2( x)的图象作以下三种变换:①先把 f1 ( x)图象向右平移(π /3)个单位,再把图象上各点的横坐标缩短到本来的(②先把 f 1( x)图象上各点的横坐标压缩到本来的(2/3),再把图象向左平移(π/③先把 f 2( x)图象向右平移(π/3)个单位,再把图象上各点的横坐标伸长到本来的(能使 f 1(x)与 f 2( x)重合的变换个数是().2/3);3)个单位;3/2).A.0B.1C.2D.3二、填空题13 .函数 f (x ) =sin (2x+(π/3))在[ 0,π)内的单一减区间是_______.14.函数 f( x )=(1+sinx-2sin2((π/4)-(x/2))/4sin(x/2))的最小正周期是_______.15.( 1/sin 40°)+tg 10°的值是_____.16.给出以下命题:①存在实数x,使sinx+cosx=(3/2);②若α 、β 是第一象限角,且α>β,则cosα<cosβ ;③函数y=sin((2/3)π+( 7x/ 2))是偶函数;④若cosαcosβ=1,则sin(α+β)= 0;⑤函数y=sin2x的图象向左平移(π /4)个单位,获取y=sin(2x+(π /4))的图象.此中正确命题的序号是_________.三、解答题 17.已知 1+cosα-sinβ+sinαsinβ= 0,1-cosα -cosβ+sinαcosβ= 0.求sinα的值.18.已知(sinβ /sinα)=cos(α +β ),此中α 、β 为锐角.(1)求证:tgβ=(sin 2α/3-cos 2α);(2)求tgβ的最大值.219.在△ABC中,三角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且b=ac建立.求y=( 1+sin 2B)/(sinB+cosB)的取值范围.20.在△ABC中,cosA=(5/13),tg(B/2)+ctg(B/2)=( 10/3).求:(1)cos(A-B)的值;(2)cos(A-B/ 2)的值.专题方法总结一、高考取考察三角函数的主要题型有:1.求三角函数的最小正周期;2.求三角函数及反三角函数的值、值域或定义域;3.比较三角函数或反三角函数值的大小;4.解证三角函数及反三角函数不等式,或判断不等式的解集;5.求三角函数的最值问题;6.求或判断三角函数的单一区间;7.对于三角函数的某一种或几种性质的判断问题;8.三角函数图象与分析式或性质的变换判断问题;9.与函数y=Asin(ω x+φ)的图象有关的问题;10.解三角形的问题( 常揉进立几试题中考察) ;11.与三角形有关的综合问题;12.把三角函数的基天性质与恒等变形方法揉进复数、解几等问题中进行考察.二、三角函数式的基本变形转变方法及技巧有:①化异名函数为同名函数;②化复角为单角,化异角为同角;③化异次式为同次式;④和差化积或积化和差;⑤切割弦互化;⑥用特别角的三角函数值代换常数;⑦引入协助角;⑧分拆角;⑨用全能公式.三、三角函数值在单位圆中的线段表示,能够看作自变量为角度的图象,是对不一样三角函数值进行综合剖析比较的有力工具.在解答三角不等式或三角方程,比较三角函数值的大小,或由三角函数值判断角的变化范围时,借助单位圆剖析是一种极有效的方法.四、对三角函数式进行恒等变形的基本思想策略有:1.第一从问题要乞降式子的种类特色( 多项式、分式、根式等) 掌握恒等变形的目的或大方向.比如解三角方程f(x)= 0 时,对左侧f(x)作恒等变形的大方向自然是把f(x)分解为因式乘积形状;化简三角式时,作恒等变形的大方向则应依据三角式的构造特色而选定.2.其次,从式子内部各部分的函数名称、角度、次数、运算关系等方面,深入察看式子构造特色,经过联想有关看法和公式,找寻并发现各部分间的内在联系( 对复杂问题,发现的联系经常是大概的,隐隐约约的,在变形过程中逐渐明亮化) ;而后选定变形起步点,灵巧运用公式及各样变形转变方法,一步步把各部分交流,使给定式子化为所需形状.3.要注意把三角式的基本变形转变方法与代数式的一般变形转变方法综合运用.比如对一般代数式分解因式的拆项、添项法,分式的变形方法等,都是常用方法.4.从近几年的高考看,三角恒等变换中积化和差与和差化积公式已淡化.如需要用积化和差公式或和差化积公式,而公式又没给出时,可改用和差角公式办理.比如:cosA+cosB=cos(1/ 2)[(A+B)+(A-B)]+cos( 1/2)[(A+B)-(A-B)]=cos(1/2)(A+B)cos(1/ 2)(A-B)-sin(1/ 2)(A+B)2sin(1/ 2)(A-B)+cos(1/2)(A+B)cos(1/2)(A-B)+sin(1/2)(A+B)sin(1/ 2)(A-B)=2cos(A+B)/ 22cos(A-B)/2.五、在将来高考取,三角选择题与填空题仍会以考察三角函数的性质和图象为主;而三角综合题必以考察三角恒等变换、图象变换及应意图识为重点.无论是什么题型,其难度都会控制在低、中档题的水平上,但运用三角基本看法、图象和基本公式进行转变的思想能力,必是考察的中心;而在题目的构想上会突出三角知识与其余数学知识(如几何、不等式、复数、数列等)综合运用的设计,特别是在函数大框架下的特别设计 .专题三三角函数参照答案及提示§1三角函数的性质与图象1.A; 2.B; 3.B;4.C; 5.( 4π/3); 6.π-x;7.( - ∞, -2 ].8.方法 1:运用正弦函数的单一性,分三种情况研究:(1)当α∈( 0,(π/ 4))时, 0< 2α<α+(π/ 4),sin 2α<sin(α+(π/4));(2)当α=(π/4)时, 2α=α+(π/ 4),sin 2α=sin(α+(π/4));(3)当α ∈((π/ 4),(π/2))时,(π/ 2)<α+(π/4)< 2α<π,sin 2α<sin(α+(π/ 4)).方法 2:sin 2α-sin(α+(π/4))=-cos((π/2)+ 2α)-sin(α+(π/4))= 2t2-t -1= 2(t-( 1/ 4))2-(9/ 8)(t=sin(α +(π /4))∈((/。
高中数学必修一 讲义 专题5.3 三角函数的概念-重难点题型精讲(学生版)
专题5.3 三角函数的概念-重难点题型精讲1.任意角的三角函数(1)利用单位圆定义任意角的三角函数设是一个任意角,∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).①把点P的纵坐标y叫做的正弦函数,记作,即y=;②把点P的横坐标x叫做的余弦函数,记作,即x=;③把点P叫做的正切,记作,即=(x≠0).我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,通常将它们记为:(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数如图,设是一个任意角,它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y),点P与原点的距离为r.则,=,=.2.三角函数的定义域和函数值的符号(1)三角函数的定义域(2)三角函数值在各象限的符号由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值,根据三角函数的定义,知①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号;②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号;③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的,即x,y同号为正,异号为负.因此,正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示.3.诱导公式一由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一):4.同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的基本关系(2)基本关系式的变形公式【题型1 任意角的三角函数的定义及应用】【例3】(2022·湖南·高一课时练习)求值:√3cos420°+tan330°+sin(−60°).【变式3-1】(2021·全国·高一课前预习)计算下列各式的值:(1)tan405°−sin450°+cos750°;(2)sin25π3+tan(−15π4).【变式3-2】(2021·全国·高一课时练习)化简下列各式:(1)sin760∘√1−cos240∘;(2)tanα√1sin2α−1(其中α是第二象限角).【变式3-3】(2021·全国·高一课前预习)求下列各式的值:【例5】(2021·福建·高一阶段练习)(1)已知cosα+2sinα=0求1−2cos 2αsin 2α−sinαcosα的值;(2)已知sinβ+cosβ=23,且β为第四象限角,求sinβ−cosβ的值.【变式5-1】(2022·全国·高一课时练习)已知3sin 2α−4sinαcosα+1=0. (1)求tanα的值; (2)求sinαcosα1+cos 2α的值.【变式5-2】(2022·全国·高一课时练习)已知tan α=2,求下列各式的值. (1)1sin αcos α;(2)11−sin α+11+sin α.【变式5-3】(2022·天津·模拟预测)已知3π4<α<π, tan α+1tana =−103. (1)求tanα的值; (2)求sinα+cosαsinα−cosα的值;(3)求2sin 2α−sin αco sα−3co s 2α .的值【例6】(2022·全国·高一课时练习)求证: (1)(1−cosαsinα+1sinα)(1−tanα+1cosα)=2;(2)sinα(1+tanα)+cosα(1+1tanα)=1sinα+1cosα.【变式6-1】(2021·全国·高一课时练习)求证: (1)1−2sinxcosx cos 2x−sinx 2=1−tanx 1+tanx(2)tan 2α−sin 2α=tan 2α⋅sin 2α【变式6-2】(2021·全国·高一专题练习)求证:sin 4α+cos 4α=1﹣2sin 2αcos 2α【变式6-3】(2022·全国·高一课时练习)求证: (1)sinα−cosα+1sinα+cosα−1=1+sinαcosα;(2)2(sin 6θ+cos 6θ)−3(sin 4θ+cos 4θ)+1=0。
江苏高考一轮复习精讲精练三角函数
三角函数【知识导读】【方法点拨】三角函数是一种重要的初等函数,它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系,同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”.这一部分的内容,具有以下几个特点:1.公式繁杂.公式虽多,但公式间的联系非常密切,规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系,是记住这些公式的关键.2.思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终,类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题,将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题,将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.3.变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等,并且有的变换技巧性较强.4.应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多,它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具,并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用,比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.第1课 三角函数的概念【考点导读】1. 理解任意角和弧度的概念,能正确进行弧度与角度的换算.角的概念推广后,有正角、负角和零角;与α终边相同的角连同角α本身,可构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360αββ;把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角,熟练掌握角度与弧度的互换,能运用弧长公式r l α=及扇形的面积公式S =lr 21(l 为弧长)解决问题.2. 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.角的概念推广以后,以角的顶点为坐标原点,角的始边为x 轴的正半轴,建立直角坐标系,在角的终边上任取一点(,)P x y (不同于坐标原点),设O P r =(0r =>),则α的三个三角函数值定义为:sin ,cos ,tan y x y rrxααα===.从定义中不难得出六个三角函数的定义域:正弦函数、余弦函数的定义域为R ;正切函数的定义域为{|,,}2R k k Z παααπ∈≠+∈.3. 掌握判断三角函数值的符号的规律,熟记特殊角的三角函数值.由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号,可以简记为:一正(第一象限内全为正值),二正弦(第二象限内只有正弦值为正),三切(第三象限只有正切值为正),四余弦(第四象限内只有余弦值为正).另外,熟记0、6π、4π、3π、2π的三角函数值,对快速、准确地运算很有好处.4. 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念.在平面直角坐标系中,正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线,并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题. 【基础练习】1. 885-化成2(02,)k k Z πααπ+≤≤∈的形式是 . 2.已知α为第三象限角,则2α所在的象限是 .3.已知角α的终边过点(5,12)P -,则cos α= , tan α= . 4.tan(3)sin 5cos 8-的符号为 .5.已知角θ的终边上一点(,1)P a -(0≠a ),且a -=θtan ,求θsin ,θcos 的值.解:由三角函数定义知,1a =±,当1a =时,sin 2θ=-,cos 2θ=;13612ππ-+第二或第四象限 513-125- 正当1a =-时,sin 2θ=-,cos 2θ=-.【范例解析】例1.(1)已知角α的终边经过一点(4,3)(0)P a a a -≠,求2sin cos αα+的值;(2)已知角α的终边在一条直线y =上,求sin α,tan α的值.分析:利用三角函数定义求解.解:(1)由已知4x a =,5r a =.当0a >时,5r a =,3sin 5α=-,4cos 5α=,则22s i n c o s 5αα+=-;当0a <时,5r a =-,3sin 5α=,4cos 5α=-,则22sin cos 5αα+=.(2)设点()(0)P a a ≠是角α的终边y =上一点,则tan α=当0a >时,角α是第一象限角,则sin 2α=;当0a <时,角α是第三象限角,则sin 2α=-.点评:要注意对参数进行分类讨论.例2.(1)若sin cos 0θθ⋅>,则θ在第_____________象限. (2)若角α是第二象限角,则sin 2α,cos 2α,sin2α,cos2α,tan2α中能确定是正值的有____个.解:(1)由sin cos 0θθ⋅>,得sin θ,cos θ同号,故θ在第一,三象限. (2)由角α是第二象限角,即222k k ππαππ+<<+,得422k k παπππ+<<+,4224k k ππαππ+<<+,故仅有tan2α为正值.点评:准确表示角的范围,由此确定三角函数的符号.例3. 一扇形的周长为20cm ,当扇形的圆心角α等于多少时,这个扇形的面积最大?最大面积是多少? 分析:选取变量,建立目标函数求最值.解:设扇形的半径为x ㎝,则弧长为(202)l x =-㎝,故面积为21(202)(5)252y x x x =-=--+,当5x =时,面积最大,此时5x =,10l =,2l xα==,所以当2α=弧度时,扇形面积最大252cm .点评:由于弧度制引入,三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数.【反馈演练】1.若sin cos θθ>且sin cos 0θθ⋅<则θ在第_______象限. 2.已知6α=,则点(sin ,tan )A αα在第________象限. 3.已知角θ是第二象限,且(,P m为其终边上一点,若cos 4m θ=,则m 的值为. 4.将时钟的分针拨快30m in ,则时针转过的弧度为 . 5.若46παπ<<,且α与23π-终边相同,则α= . 6.已知1弧度的圆心角所对的弦长2,则这个圆心角所对的弧长是_______,这个圆心角所在的扇形的面积是___________. 7.(1)已知扇形AO B 的周长是6cm ,该扇形中心角是1弧度,求该扇形面积.(2)若扇形的面积为82cm ,当扇形的中心角α(0)α>为多少弧度时,该扇形周长最小. 简解:(1)该扇形面积22cm ;(2)2182r l yrl +=⎧⎪⎨=⎪⎩,得162y r r =+≥r =l =,2l r α==.二 三 12π- 163π11sin211co s 1-第2课 同角三角函数关系及诱导公式【考点导读】1.理解同角三角函数的基本关系式;同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系.2.掌握正弦,余弦的诱导公式;诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律,起着变名,变号,变角等作用. 【基础练习】1. tan600°=______. 2. 已知α是第四象限角,5tan 12α=-,则sin α=______. 3.已知cos 22πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭,且2πϕ<,则tan ϕ=. 4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___. 【范例解析】 例1.已知8cos()17πα-=,求sin(5)απ-,tan(3)πα+的值.分析:利用诱导公式结合同角关系,求值. 解:由8cos()17πα-=,得8cos 017α=-<,α∴是第二,三象限角.若α是第二象限角,则15sin(5)sin 17απα-=-=-,15tan(3)tan 8παα+==-;若α是第三象限角,则15sin(5)sin 17απα-=-=,15tan(3)tan 8παα+==.点评:若已知正弦,余弦,正切的某一三角函数值,但没有确定角所在的象限,可按角的象限进行分类,做到不漏不重复.例2.已知α是三角形的内角,若1sin cos 5αα+=,求tan α的值.分析:先求出sin cos αα-的值,联立方程组求解. 解:由1sin cos 5αα+=两边平方,得112sin cos 25αα+⋅=,即242sin cos 025αα∴⋅=-<.又α是三角形的内角,cos 0α∴<,2παπ∴<<.由249(sin cos )25αα-=,又sin cos 0αα->,得7sin cos 5αα-=.3 513-联立方程组1sin cos 57sin cos 5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,得4tan 3α=-.点评:由于2(sin cos )12sin cos αααα±=±⋅,因此式子sin cos αα-,sin cos αα+,sin cos αα⋅三者之间有密切的联系,知其一,必能求其二. 【反馈演练】 1.已知sin 5α=,则44sin cos αα-的值为_____.2.“21s i n =A ”是“A =30º”的必要而不充分条件.3.设02x π≤≤,sin cos x x =-,则x 的取值范围是544x ππ≤≤4.已知1sin cos 5θθ+=,且324θππ≤≤,则cos 2θ的值是 .5.(1)已知1cos 3α=-,且02πα-<<,求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值.(2)已知1sin()64x π+=,求25sin()sin ()63x x ππ-+-的值.解:(1)由1cos 3α=-,得tan α=-原式=2cos 3sin 23tan 4cos sin 4tan αααααα-+-+=--2=-.(2)1sin()64x π+=,225sin()sin ()sin[()]sin [()]63626x x x x ππππππ∴-+-=-++-+219sin()cos ()6616x x ππ=+++=.6.已知4tan 3α=-,求 (I )6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值;(II )212sin cos cos ααα+的值.解:(I )∵ 4tan 3α=-;所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--.53-725-(II )由4tan 3α=-,于是212sin cos cos ααα+2222sin cos tan 152sin cos cos 2tan 13ααααααα++===-++.第3课 两角和与差及倍角公式(一)【考点导读】1.掌握两角和与差,二倍角的正弦,余弦,正切公式,了解它们的内在联系;2.能运用上述公式进行简单的恒等变换;3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角,函数名称及次数三方面的差异及联系,然后通过“角变换”,“名称变换”,“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系;4.证明三角恒等式的基本思路:根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简,左右归一,变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”. 【基础练习】1.sin 163sin 223sin 253sin 313+=___________.2.x x -=. 3. 若f (sin x )=3-cos2x ,则f (cos x )=___________. 4.化简:sin sin 21cos cos 2αααα+=++___________ .【范例解析】例 .化简:(1)42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+;(2(1sin cos )(sincos))θθθθθπ++-<<.(1)分析一:降次,切化弦.解法一:原式=2221(2cos 1)22sin()4cos ()4cos()4x x x x πππ----22(2cos 1)4sin()cos()44x x x ππ-=--2cos 22sin(2)2x x π=-1cos 22x =.分析二:变“复角”为“单角”.123+cos2x )3x π+tan α解法二:原式221(2cos 1)(1tan 22x x -=+22cos 2cos sin 2(sin cos )cos sin xx x x x x x=-⋅++1cos 22x =.(2)原式2(2sincos2cos)(sincos)θθθθθ+-22cos(sincos)coscos 2222coscos22θθθθθθθ--⋅==0θπ<< ,022θπ∴<<,cos02θ>,∴原式=cos θ-.点评:化简本质就是化繁为简,一般从结构,名称,角等几个角度入手.如:切化弦,“复角”变“单角”,降次等等. 【反馈演练】 1.化简22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+ααααtan 2α.2.若sin tan 0x x ⋅<=. 3.若0<α<β<4π,sin α+cos α = α,sin β+cos β= b ,则a 与b 的大小关系是_________. 4.若sin cos tan (0)2παααα+=<<,则α的取值范围是___________. 5.已知α、β均为锐角,且cos()sin()αβαβ+=-,则tan α= 1 .6.化简:222cos 12tan()sin ()44αππαα--⋅+.解:原式=222cos 12sin()4cos ()4cos()4απαπαπα--⋅--cos 22sin()cos()44αππαα=-⋅-cos 21cos 2αα==.7.求证:222sin 22cos cos 22cos x x x x +=.证明:左边=2224sin cos 2cos cos 2x x x x +22222cos (2sin 12cos )2cos x x x x =+-==右边. 8.化简:22sin sin 2sin sin cos()αβαβαβ+++.解:原式=22sin sin 2sin sin (cos cos sin sin )αβαβαβαβ++-2222sin sin 2sin sin cos cos 2sin sin αβαβαβαβ=++-)3,4(ππ x a b <2222sin (1sin )sin (1sin )2sin sin cos cos αββααβαβ=-+-+2222sin cos sin cos 2sin sin cos cos αββααβαβ=++2(sin cos sin cos )αββα=+2sin ()αβ=+.第4课 两角和与差及倍角公式(二)【考点导读】1.能熟练运用两角和与差公式,二倍角公式求三角函数值;2.三角函数求值类型:“给角求值”,“给值求值”,“给值求角” . 【基础练习】1.写出下列各式的值:(1)2sin 15cos15︒︒=_________; (2)22cos 15sin 15︒-︒=_________; (3)22sin 151︒-=; (4)22sin 15cos 15︒+︒=____1_____. 2.已知3(,),sin 25παπα∈=)4πα+=_________.3.求值:(1)1tan 151tan 15-︒=+︒_______;(2)5cos cos 1212ππ=_________.4.求值:tan 10tan 2010tan 20)︒⋅︒+︒+︒=____1____.5.已知tan32α=,则cos α=________.6.若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭,则cos sin αα+=_________.【范例解析】例1.求值:(1)sin 40(tan 10︒︒-;(2.分析:切化弦,通分.12 2321714 3 -5412解:(1)原式=sin 10sin 40(cos 10︒︒-︒=sin 10sin 40cos10︒-︒︒⋅︒2sin(1060)sin 40cos10︒-︒=︒⋅︒2cos 40sin 40cos10︒=-︒⋅︒sin 801cos10-︒==-︒.(2)cos10102sin 401101cos10cos10︒+︒︒+︒=+==︒︒5=︒.原式=2sin 402sin 50sin 80︒︒+︒⋅=2==.点评:给角求值,注意寻找所给角与特殊角的联系,如互余,互补等,利用诱导公式,和与差公式,二倍角公式进行转换. 例2.设4cos()5αβ-=-,12cos()13αβ+=,且(,)2παβπ-∈,3(,2)2παβπ+∈,求co s 2α,cos 2β.分析:2()()ααβαβ=-++, 2()()βαβαβ=+--. 解:由4cos()5αβ-=-,(,)2παβπ-∈,得3sin()5αβ-=,同理,可得5sin()13αβ+=-33cos 2cos[()()]65ααβαβ∴=-++=-,同理,得63cos 265β=-.点评:寻求“已知角”与“未知角”之间的联系,如:2()()ααβαβ=-++,2()()βαβαβ=+--等. 例3.若3cos()45x π+=,177124x ππ<<,求2sin 22sin 1tan x xx+-的值.分析一:()44x x ππ=+-. 解法一:177124x ππ<< ,5234x πππ∴<+<,又3cos()45x π+=,4sin()45x π∴+=-,4tan()43x π+=-.cos cos[()]4410x x ππ=+-=-,sin 10x ∴=-,tan 7x =.所以,原式=22((2(281010101775⨯-⨯-+⨯-=--.分析二:22()42x x ππ=+-.解法二:原式=sin 2sin 2tan 1tan x x xx+⋅-sin 2(1tan )sin 2tan()1tan 4x x x x xπ+==⋅+- 又27sin 2sin[2()]cos 2()[2cos ()1]424425x x x x ππππ=+-=-+=--+-=,所以,原式7428()25375=⋅-=-.点评:观察“角”之间的联系以寻找解题思路.【反馈演练】 1.设)2,0(πα∈,若3sin 5α=,则)4cos(2πα+=__________.2.已知tan2α=2,则tanα的值为_______,tan ()4πα+的值为___________ . 3.若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ,则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =___________.4.若13cos(),cos()55αβαβ+=-=,则tan tan αβ= .5.求值:11sin 20tan 40-=︒︒. 6.已知232,534cos παππα<≤=⎪⎭⎫⎝⎛+.求⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos πα的值 解:().2sin 2cos 224sin 2sin 4cos2cos 42cos ααπαπαπα-=-=⎪⎭⎫⎝⎛+又3cos 0,224πππαα⎛⎫≤<+> ⎪⎝⎭且,47443ππαπ<+≤ 4cos 14sin 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴παπα从而25244cos 4sin 222sin 2cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=παπαπαα, 5143- 17- 97- 124cos 2122cos 2sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=παπαα 5023125725242242cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πα第5课 三角函数的图像和性质(一)【考点导读】1.能画出正弦函数,余弦函数,正切函数的图像,借助图像理解正弦函数,余弦函数在[0,2]π,正切函数在(,)22ππ-上的性质;2.了解函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义,能画出sin()y A x ωϕ=+的图像;3.了解函数的周期性,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 【基础练习】1. 已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T =_____6____;初相ϕ=__________. 2. 三角方程2sin(2π-x )=1的解集为_______________________. 3. 函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示,则函数表达式为______________________.4. 要得到函数sin y x =的图象,只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象向右平移__________个单位. 【范例解析】例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+.(Ⅰ)用五点法画出函数在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象,长度为一个周期;(Ⅱ)说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到.6π{2,}3x x k k Z ππ=±∈)48sin(4π+π-=x y第3题π6分析:化为sin()A x ωϕ+形式. 解:(I )由x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+=)42s i n (21)4s i n 2c o s 4c o s 2(s i n 21πππ-+=-⋅+=x x x .列表,取点,描图:故函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象是:(Ⅱ)解法一:把sin y x =图像上所有点向右平移4π个单位,得到sin()4y x π=-的图像,再把sin()4y x π=-的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变),得到sin(2)4y x π=-的图像,然后把s i n (2)4y x π=-的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),得到)4y x π=-的图像,再将)4y x π=-的图像上所有点向上平移1个单位,即得到1)4y x π=+-的图像.解法二:把sin y x =图像上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变),得到sin 2y x =的图像,再把sin 2y x =图像上所有点向右平移8π个单位,得到sin(2)4y x π=-的图像,然后把sin(2)4y x π=-的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),得到)4y x π=-的图像,再将)4y x π=-的图像上所有点向上平移1个单位,即得到1)4y x π=+-的图像.例2.已知正弦函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示.(1)求此函数的解析式1()f x ;(2)求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ; (3)作出函数12()()y f x f x =+的图像的简图.解:(1)由图知,A =22(62)16πω=⨯+=,8πω∴=,即)8y x πϕ=+.将2x =,y =)4πϕ+=4πϕ=,即1())84f x x ππ=+.(2)设函数2()f x 图像上任一点为(,)M x y ,与它关于直线8x =对称的对称点为(,)M x y ''', 得8,2.x xy y '+⎧=⎪⎨⎪'=⎩解得16,.x x y y '=-⎧⎨'=⎩代入1())84f x x ππ''=+中,得2())84f x x ππ=-.(3)12()()))2cosy f x f x x x x πππππ=+=+--=,简图如图所示.点评:由图像求解析式,A 比较容易求解,困难的是待定系数求ω和ϕ,通常利用周期确定ω,代入最高点或最低点求ϕ.【反馈演练】1.为了得到函数Rx x y ∈+=),63sin(2π的图像,只需把函数2sin y x =,x R ∈的图像上所有的点①向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变); ②向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变);③向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变); ④向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变).其中,正确的序号有_____③______.2.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象向右平移__3π__个单位长度.3.若函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R (其中0ω>,2ϕπ<)的最小正周期是π,且(0)f =,则ω=__2____;ϕ=__________. 4.在()π2,0内,使x x cos sin >成立的x 取值范围为____________________. 5.下列函数:①sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭; ②sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;③cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; ④cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____.6.如图,某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段时间的函数解析式.解:(1)由图示,这段时间的最大温差是201030=-℃(2)图中从6时到14时的图象是函数b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期 ∴614221-=⋅ωπ,解得8πω=由图示,10)1030(21=-=A 20)3010(21=+=b这时,20)8sin(10++=ϕπx y将10,6==y x 代入上式,可取43πϕ=综上,所求的解析式为20)438sin(10++=ππx y (]14,6[∈x )7.如图,函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ,,≤≤的图象与y轴相交于点(0,且该函数的最小正周期为π. (1)求θ和ω的值;第6题3π5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭第5题(2)已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭,,点P 是该函数图象上一点,点00()Q x y ,是P A当02y =0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,时,求0x 的值.解:(1)将0x =,y =代入函数2cos()y x ωθ=+得cos 2θ=因为02θπ≤≤,所以6θπ=.又因为该函数的最小正周期为π,所以2ω=, 因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. (2)因为点02A π⎛⎫⎪⎝⎭,,00()Q x y ,是P A 的中点,02y = 所以点P 的坐标为022x π⎛-⎝. 又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上,所以05cos 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 因为02x ππ≤≤,所以075194666x πππ-≤≤,从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=.即023x π=或034x π=.第7题第6课 三角函数的图像和性质(二)【考点导读】1.理解三角函数sin y x =,cos y x =,tan y x =的性质,进一步学会研究形如函数sin()y A x ωϕ=+的性质;2.在解题中体现化归的数学思想方法,利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究. 【基础练习】1.写出下列函数的定义域: (1)y =的定义域是______________________________; (2)sin 2cos xy x=的定义域是____________________.2.函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________.3.函数 22sin sin 44f x x x ππ=+--()()()的最小正周期是_______. 4. 函数y =sin(2x +3π)的图象关于点_______________对称. 5. 已知函数tan y x ω= 在(-2π,2π)内是减函数,则ω的取值范围是______________. 【范例解析】例1.求下列函数的定义域: (1)sin tan x y x=+(2)y =解:(1),2tan 0,2sin 10.x k x x ππ⎧≠+⎪⎪≠⎨⎪+≥⎪⎩即,2,722.66x k x k k x k πππππππ⎧≠+⎪⎪≠⎨⎪⎪-≤≤+⎩,{663,}x k x k k Z πππ≤≤+∈ {,}2x x k k Z ππ≠+∈ π π (3π,0)10ω-≤<故函数的定义域为7{2266x k x k ππππ-≤≤+且,x k π≠,}2x k k Z ππ≠+∈(2)122log 0,tan 0.x x +≥⎧⎪⎨⎪≥⎩即04,.2x k x k πππ<≤⎧⎪⎨≤<+⎪⎩故函数的定义域为(0,)[,4]2ππ⋃.点评:由几个函数的和构成的函数,其定义域是每一个函数定义域的交集;第(2)问可用数轴取交集.例2.求下列函数的单调减区间: (1)sin(2)3y x π=-; (2)2cos sin()42x y x π=-;解:(1)因为222232k x k πππππ-≤-≤+,故原函数的单调减区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈.(2)由sin()042x π-≠,得{2,}2x x k k Z ππ≠+∈,又2cos 4sin()24sin()42x x y x ππ==+-,所以该函数递减区间为3222242x k k πππππ+<+<+,即5(4,4)()22k k k Z ππππ++∈.点评:利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制. 例3.求下列函数的最小正周期: (1)5tan(21)y x =+;(2)sin sin 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . 解:(1)由函数5tan(21)y x =+的最小正周期为π2,得5tan(21)y x =+的周期2T π=.(2)sin()sin()(sin coscos sin )cos 3233y x x x x xππππ=++=+2111cos 2sin cos cos sin 222422xx x x x +=+=+1sin(2)423x π=+T π∴=.点评:求三角函数的周期一般有两种:(1)化为sin()A x ωϕ+的形式特征,利用公式求解;(2)利用函数图像特征求解.【反馈演练】 1.函数x x y 24cossin+=的最小正周期为 _____________. 2.设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ,则()f x 在[0,2]π上的单调递减区间为___________________. 3.函数()sin ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是________________. 4.设函数()sin 3|sin 3|f x x x =+,则()f x 的最小正周期为_______________. 5.函数22()cos 2cos2x f x x =-在[0,]π上的单调递增区间是_______________. 6.已知函数π124()πsin 2x f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求()f x 的定义域; (Ⅱ)若角α在第一象限且3cos 5α=,求()f α.解:(Ⅰ) 由πsin 02x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得ππ2x k ≠-+,即ππ2x k ≠-()k ∈Z . 故()f x 的定义域为π|π2x x k k ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭R Z ,.(Ⅱ)由已知条件得4sin 5α===.2π[,0]6π-32π[,]3ππ2[,]63ππ,75[,]63ππ从而π124()πsin 2f ααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+⎪⎝⎭ππ1cos 2cos sin 2sin 44cos ααα⎫++⎪⎭=21cos 2sin 22cos 2sin cos cos cos ααααααα+++==142(cos sin )5αα=+=.7. 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x .(Ⅰ)求ϕ;(Ⅱ)求函数)(x f y =的单调增区间; (Ⅲ)画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像解:(Ⅰ))(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴,,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ,.42k k Z ππϕπ∴+=+∈ .43,0πϕϕπ-=<<-(Ⅱ)由(Ⅰ)知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为(Ⅲ)由知)32sin(π-=x y故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =第7课 三角函数的值域与最值【考点导读】1.掌握三角函数的值域与最值的求法,能运用三角函数最值解决实际问题;2.求三角函数值域与最值的常用方法:(1)化为一个角的同名三角函数形式,利用函数的有界性或单调性求解;(2)化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式,利用配方法或图像法求解;(3)借助直线的斜率的关系用数形结合求解;(4)换元法. 【基础练习】 1.函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 .2.函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 3.函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是___________________. 4.当20π<<x 时,函数xxx x f 2sin sin82cos 1)(2++=的最小值为 4 .【范例解析】例1.(1)已知1sin sin 3x y +=,求2sin cos y x -的最大值与最小值.(2)求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值. 分析:可化为二次函数求最值问题.43(,1][1,)-∞-⋃+∞解:(1)由已知得:1sin sin 3y x =-,sin [1,1]y ∈- ,则2sin [,1]3x ∈-.22111sin cos (sin )212y x x ∴-=--,当1sin 2x =时,2sin cos y x -有最小值1112-;当2sin 3x =-时,2sin cos y x -有最小值49.(2)设sin cos x x t +=(t ≤,则21sin cos 2t x x -⋅=,则21122y t t =+-,当t =时,y有最大值为12+点评:第(1)小题利用消元法,第(2)小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题;但要注意变量的取值范围. 例2.求函数2cos (0)sin x y x xπ-=<<的最小值.分析:利用函数的有界性求解.解法一:原式可化为sin cos 2(0)y x x x π+=<<)2x ϕ+=,即2sin()x ϕ+=,故1≤,解得y ≥或y ≤(舍),所以y 解法二:2cos (0)sin x y x xπ-=<<表示的是点(0,2)A 与(sin ,cos )B x x -连线的斜率,其中点B 在左半圆221(0)a b a +=<上,由图像知,当AB 与半圆相切时,y 最小,此时AB k =,所以y .点评:解法一利用三角函数的有界性求解;解法二从结构出发利用斜率公式,结合图像求解.例3.已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,.(I )求()f x 的最大值和最小值;(II )若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,上恒成立,求实数m 的取值范围.分析:观察角,单角二次型,降次整理为sin cos a x b x +形式.解:(Ⅰ)π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+-=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.又ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∵,ππ2π2633x -∴≤≤,即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤,m ax m in ()3()2f x f x ==,∴.(Ⅱ)()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵,ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,,m ax ()2m f x >-∴且m in ()2m f x <+, 14m <<∴,即m 的取值范围是(14),.点评:第(Ⅱ)问属于恒成立问题,可以先去绝对值,利用参数分离转化为求最值问题.本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识,以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力.【反馈演练】 1.函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于____-1_______.2.当04x π<<时,函数22cos ()sin xf x x x=-的最小值是______4 _______.3.函数sin cos 2x y x =+的最大值为,最小值为________. 4.函数cos tan y x x =⋅的值域为 .5.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-,则ω的最小值等于_________.6.已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ,. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的最小值和最大值.解:(Ⅰ)π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭.32 33- (1,1)-因此,函数()f x 的最小正周期为π.(Ⅱ)因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上为增函数,在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上为减函数,又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦,1-.第8课 解三角形【考点导读】1.掌握正弦定理,余弦定理,并能运用正弦定理,余弦定理解斜三角形;2.解三角形的基本途径:根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理,然后通过化边为角或化角为边,实施边和角互化. 【基础练习】1.在△ABC 中,已知BC =12,A =60°,B =45°,则AC =. 2.在A B C ∆中,若sin :sin :sin 5:7:8A B C =,则B ∠的大小是______________.3.在A B C △中,若1tan 3A =,150C =,1B C =,则A B = . 【范例解析】例1. 在△ABC 中,a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 的对边,已知20a c +=,2C A =,3cos 4A =.(1)求c a的值;(2)求b 的值.分析:利用2C A =转化为边的关系. 解:(1)由sin sin 232cos sin sin 2c C A A a AA====.3π2(2)由20,3.2a c c a+=⎧⎪⎨=⎪⎩得8,12.a c =⎧⎨=⎩.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得: 218800b b -+=,解得:8b =或10b =,若8b =,则A B =,得4A π=,即3cos 24A =≠矛盾,故10b =.点评:在解三角形时,应注意多解的情况,往往要分类讨论.例2.在三角形ABC 中,已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+,试判断该三角形的形状. 解法一:(边化角)由已知得:22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=---+, 化简得222cos sin 2cos sin a A B b B A =,由正弦定理得:22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =,即sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B -=, 又,(0,)A B π∈,sin sin 0A B ∴⋅≠,sin 2sin 2A B ∴=.又2,2(0,2)A B π∈,22A B ∴=或22A B π=-,即该三角形为等腰三角形或直角三角形. 解法二:(角化边)同解法一得:222cos sin 2cos sin a A B b B A =,由正余弦定理得:2222222222b c aa c ba bb abcac+-+-=,整理得:22222()()0a b c a b ---=,即a b =或222c a b =+,即该三角形为等腰三角形或直角三角形.点评:判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化,从而利用角或边判定三角形形状. 例3.如图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB =AD ,记∠CAD =α,∠ABC =β.(1)证明:sin cos 20αβ+=; (2)若ACDC ,求β.分析:识别图中角之间的关系,从而建立等量关系. (1)证明:C βα=+ ,2C B π=-,22πβα∴=+,sin cos 20αβ∴+=(2)解: AC,2sin 2βαββ∴===-BD Cαβ A例4(0,)2πβ∈,sin 2β∴=,3πβ∴=.点评:本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系,从而建立三角函数关系,进而求出β的值.【反馈演练】 1.在ABC ∆中,,75,45,300===C A AB 则BC =_____________. 2.A B C ∆的内角∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等比数列,且2c a =,则c o s B =_____. 3.在ABC ∆中,若2a b c =+,2sin sin sin A B C =,则∆的形状是____等边___三角形.4.若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =,则sin cos A A += .5.在ABC ∆中,已知2A C =,3B C =,4cos 5A =-.(Ⅰ)求sin B 的值; (Ⅱ)求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.解:(Ⅰ)在ABC ∆中,3sin 5A ===,由正弦定理,sin sin B C A C AB=.所以232sin sin 355A CB A B C==⨯=.(Ⅱ)因为4cos 5A =-,所以角A 为钝角,从而角B 为锐角,于是cos 5B ===2217cos 22cos 12)1525B B =-=⨯-=,2sin 22sin cos 25525B B B ==⨯⨯=.sin 2sin 2cos cos 2sin666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭171252252=⨯+⨯1750=. 6.在ABC ∆中,已知内角A π=3,边BC =.设内角B x =,周长为y .33- 343(1)求函数()y f x =的解析式和定义域;(2)求y 的最大值. 解:(1)ABC ∆的内角和A B C ++=π,由00A B C π=>>3,,得20B π<<3.应用正弦定理,知sin 4sin sin sinBC AC B x x A===3,2sin 4sin sin BCAB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭. 因为y AB BC AC =++,所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭,(2)因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪⎪2⎝⎭5s i n 3x x ππππ⎛⎫⎫=++<+<⎪⎪6666⎝⎭⎭, 所以,当x ππ+=62,即x π=3时,y取得最大值7.在ABC ∆中,1tan 4A =,3tan 5B =.(Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)若ABC ∆解:(Ⅰ)π()C A B =-+ ,1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯.又0πC << ,3π4C ∴=.(Ⅱ)34C =π ,A B ∴边最大,即AB =.又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭,,,,∴角A 最小,B C 边为最小边.由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩,,且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,得sin 17A =.由sin sin A B B C CA=得:sin sin AB C A B C==所以,最小边BC =第9课 解三角形的应用【考点导读】1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题,深化对三角公式和基础知识的理解,进一步提高三角变换的能力. 【基础练习】1.在200m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为_________m . 2.某人朝正东方向走x km 后,向右转150°,然后朝新方向走3km,结果他离出发点恰好3km ,那么x的值为_______________km . 3.一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 60 ,行驶4h 后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15 .4.如图,我炮兵阵地位于A 处,两观察所分别设于B ,D ,已知ABD ∆为边长等于a 的正三角形,当目标出现于C 时,测得45BDC ∠=,75CBD ∠=,求炮击目标的距离A C 解:在B C D ∆中,由正弦定理得:sin 60sin 45a B C =︒︒C23或3 34001A2A例1(1)∴3BC a =在A B C ∆中,由余弦定理得:2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠∴AC =答:线段A C.【范例解析】例 .如图,甲船以每小时1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105 方向的1B 处,此时两船相距2020分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B分析:读懂题意,正确构造三角形,结合正弦定理或余弦定理求解.解法一:如图(2),连结12A B,由已知22A B =122060A A ==1222A A AB ∴=,又12218012060A A B =-=∠,122A A B ∴△是等边三角形,1212A B A A ∴==,由已知,1120A B =,1121056045B A B =-=∠, 在121A B B △中,由余弦定理,22212111211122cos 45B B A B A B A B A B =+-22202202=+-⨯⨯200=.1A2A例1(2)12B B ∴=6020⨯=(海里/小时).答:乙船每小时航行解法二:如图(3),连结21A B , 由已知1120A B =,122060A A ==112105B A A =∠,cos105cos(4560)=+ cos 45cos 60sin 45sin 60=-4=sin 105sin(4560)=+ sin 45cos 60cos 45sin 60=+4+=.在211A A B △中,由余弦定理,22221111211122cos105A B A B A A A B A A =+-22202204=+-⨯⨯100(4=+.2110(1A B ∴=+.由正弦定理1112111221sin sin 42A B A A B B A A A B === ∠∠,12145A A B ∴= ∠,即121604515B A B =-= ∠,cos15sin 1054+==.在122B A B △中,由已知22A B =22212212221222cos15B B A B A B A B A B =+-22210(1210(14=++-⨯+⨯200=.12B B ∴=6020⨯=(海里/小时).答:乙船每小时航行点评:解法二也是构造三角形的一种方法,但计算量大,通过比较二种方法,学生要善于利用条件简化解题过程.1A2A例1(3)中小学个性化一对一辅导中心第31页 【精讲精练】共31页【反馈演练】1.江岸边有一炮台高30m ,由炮台顶部测得俯角分别为45︒和30︒,而且两条船与炮台底部连线成30︒角,则两条船相距m. 2.有一长为1km 的斜坡,它的倾斜角为20︒,现要将倾斜角改为10︒,则坡底要伸长____1___km . 3.某船上的人开始看见灯塔在南偏东30︒方向,后来船沿南偏东60︒方向航行45海里后,看见灯塔在正西方向,则此时船与灯塔的距离是海里. 4.把一根长为30cm 的木条锯成两段,分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和B C ,且120A B C ∠=︒,则第三条边A C 的最小值是cm . 5.设)(t f y =是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数,其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系:经长期观察,函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中, 最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 ( A )A .]24,0[,6sin 312∈+=t t y π B .]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC .]24,0[,12sin312∈+=t t y πD .]24,0[),212sin(312t t y ππ++=。
专题01 三角函数的图象与综合应用(精讲精练)(原卷版)
专题01 三角函数的图象与综合应用【命题规律】三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查:1、三角函数的图象,涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查;2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以解答题的形式考查.3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点,常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查,如果单独命题,多用选择、填空题中呈现,难度较低;如果三角恒等变换作为工具,将其与三角函数及解三角形相结合求解最值、范围问题,多以解答题为主,中等难度.【核心考点目录】核心考点一:齐次化模型 核心考点二:辅助角与最值问题 核心考点三:整体代换与二次函数模型 核心考点四:绝对值与三角函数综合模型 核心考点五:ω的取值与范围问题 核心考点六:三角函数的综合性质【真题回归】1.(2022·全国·高考真题)记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T .若23T ππ<<,且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A .1B .32C .52D .32.(2022·全国·高考真题(理))设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是( )A .513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B .519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .138,63⎛⎤⎥⎝⎦D .1319,66⎛⎤⎥⎝⎦3.(2022·全国·高考真题)若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+⎪⎝⎭,则( )A .()tan 1αβ-=B .()tan 1αβ+=C .()tan 1αβ-=-D .()tan 1αβ+=-4.(2022·全国·高考真题(文))将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ,若C 关于y 轴对称,则ω的最小值是( )A .16B .14C .13D .125.(多选题)(2022·全国·高考真题)已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,则( )A .()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B .()f x 在区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭有两个极值点 C .直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D .直线y x =-是曲线()y f x =的切线 6.(2022·全国·高考真题(理))记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ,若()f T =,9x π=为()f x 的零点,则ω的最小值为____________. 【方法技巧与总结】1、三角函数图象的变换(1)将sin y x =的图象变换为sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图象主要有如下两种方法:(2)平移变换函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”,但是左右平移变换只是针对x 作的变换; (3)伸缩变换①沿x 轴伸缩时,横坐标x 伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>为原来的1ω(倍)(纵坐标y 不变);②沿y 轴伸缩时,纵坐标y 伸长(1)A >或缩短(01)A <<为原来的A (倍)(横坐标x 不变). (4)注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移. 2、三角函数的单调性 (1)三角函数的单调区间sin y x =的单调递增区间是2,2()22k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z ,单调递减区间是32,2()22k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ; cos y x =的单调递增区间是[2,2]()k k k π-ππ∈Z ,单调递减区间是[2,2]()k k k ππ+π∈Z ;tan y x =的单调递增区间是,()22k k k ππ⎛⎫π-π+∈ ⎪⎝⎭Z .(2)三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合|sin |y x =,sin ||y x =, |cos |y x =,cos ||cos y x x ==的图象进行判断会很快得到正确答案.3、求三角函数最值的基本思路(1)将问题化为sin()y A x B ωϕ=++的形式,结合三角函数的图象和性质求解. (2)将问题化为关于sin x 或cos x 的二次函数的形式,借助二次函数的图象和性质求解. (3)利用导数判断单调性从而求解. 4、对称性及周期性常用结论 (1)对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.(2)与三角函数的奇偶性相关的结论若sin()y A x ωϕ=+为偶函数,则有()2k k ϕπ=π+∈Z ;若为奇函数,则有()k k ϕ=π∈Z .若cos()y A x ωϕ=+为偶函数,则有()k k ϕ=π∈Z ;若为奇函数,则有()2k k ϕπ=π+∈Z . 若tan()y A x ωϕ=+为奇函数,则有()k k ϕ=π∈Z . 5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法(1)子集法:求出原函数相应的单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解. (2)反子集法:由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解.(3)周期性:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14个周期列不等式(组)求解.【核心考点】核心考点一:齐次化模型【规律方法】齐次分式:分子分母的正余弦次数相同,例如:αααα++sin cos sin cos a b c d (一次显型齐次化)或者αααααααααα++⇒+222222sin cos +sin cos sin cos +sin cos sin cos a b c a b c (二次隐型齐次化)这种类型题,分子分母同除以αcos (一次显型)或者α2cos (二次隐型),构造成αtan 的代数式,这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.【典型例题】例1.(2022·广东揭阳·高三阶段练习)若tan 2θ=-,则()sin 1sin 24θθπθ-=⎛⎫- ⎪⎝⎭( )A .25B .25-C .65D .65-例2.(2022·江苏省丹阳高级中学高三阶段练习)已知tan 3α=,则3cos cos πcos 2ααα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭( )A .34-B .34C .310-D .310例3.(2022·湖南·高三阶段练习)已知曲线y =()1,4处的切线的倾斜角为2α,则1sin cos π14ααα++=⎛⎫+ ⎪⎝⎭( ) AB.C .12D .1例4.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)若ππ2θ<<,tan 3θ=-,=( ) A .35 B .54-C .45-D .45核心考点二:辅助角与最值问题【规律方法】第一类:一次辅助角:αα±sin cos a b αϕ±).(其中ϕ=tan b a)第二类:二次辅助角()ωωω±>2sin cos cos ,0a x x b x a bωωω±=2sin cos cos a x x b x ()()ωωωϕϕ±+=±±=sin2cos212(tan )222a b b b x x x a【典型例题】例5.(2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习(理))已知函数()41sin cos 55f x x x =+,当x β=时,()f x 取得最大值,则cos β=( ) ABC .47D .17例6.(2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习(理))若2,43⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ,则函数2()3sin cos =f x x x x 的值域为( )A.⎡⎢⎣⎦B.⎡⎢⎣⎦C.D.[0,3+例7.(2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习(文))若π0,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则函数()23sin cos f x x x x=的值域为( )A.⎡⎢⎣⎦B.⎡⎢⎣⎦C.⎡⎣ D.0,3⎡⎣例8.(2022·全国·高三专题练习)函数()222sin f x x x =+,若()()123f x f x ⋅=-,则122x x -的最小值是( ) A .23πB .4πC .3πD .6π例9.(2022·浙江省杭州第二中学高三阶段练习)已知关于x 的方程sin cos 2a x b x +=有实数解,则()()2211a b -+-最小值是______.例10.(2022·全国·高三专题练习)函数()44sin sin cos 44xf x x x =+的最小值为___________. 例11.(2022·全国·高三专题练习)已知2251x y -+=,,x y R ∈,则22x y +的最小值为____.核心考点三:整体代换与二次函数模型【规律方法】三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型,我们将其分为三类,第一类是最简单的,就是sin x ,cos x 与cos2x 之间的二次函数关系,第二类则有一点隐藏,就是±sin cos x x 与sin cos x x 之间的关系,第三类则是+sin cos a x b x 与sin2x 之间的关系.【典型例题】例12.(2022·全国·高三专题练习)函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________. 例13.(2022·全国·高考真题(文))函数cos 22sin y x x =+的最大值为________.例14.(2022·全国·高考真题(理))函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是_________. 例15.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++,则()f x 的最大值为___________.例16.(2022·全国·高三专题练习)若x 是三角形的最小内角,则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值是 A.12+B.12-+C .1 D核心考点四:绝对值与三角函数综合模型 【规律方法】关于=sin y x 和=sin y x ,如图,=sin y x 将=sin y x 图像中x 轴上方部分保留,x 轴下方部分沿着x 轴翻上去后得到,故=sin y x 是最小正周期为π的函数,同理ωφ=+sin()y A x 是最小正周期为πω的函数;=sin y x 是将=sin y x 图像中y 轴右边的部分留下,左边的删除,再将y 轴右边图像作对称至左边,故=sin y x 不是周期函数.我们可以这样来表示:ππππππ⎧∈+⎪=⎨-∈-⎪⎩,,sin ([22])sin sin ((22))x x k k x x x k k ,⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩sin (0)sin sin (0)x x x x x 【典型例题】例17.(2022·安徽·铜陵一中高三阶段练习(理))已知函数()sin cos f x x x =+,则下列说法正确的是( ) A .()f x 的最小正周期为πB .()f xC .()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭D .()f x 5,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解 例18.(2022·全国·高三专题练习)已知()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ,给出下述四个结论: ①()y f x =是偶函数; ②()y f x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数; ③()y f x =在(,2)ππ上为增函数; ④()y f x =的最大值为 其中所有正确结论的编号是( )A .①②④B .①③④C .①②③D .①④例19.(2022·江苏·泗阳县实验高级中学高三阶段练习)已知函数()cos ||2|sin |f x x x =-,以下结论正确的是( )A .π是()f x 的一个周期B .函数在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减C .函数()f x 的值域为[D .函数()f x 在[2π,2π]-内有6个零点例20.(多选题)(2022·安徽·砀山中学高三阶段练习)已知函数()sin cos 336x x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,则( ) A .()f x 的最小正周期为3π B .()f xC .()f x 在[5,7]ππ上单调递减D .()f x 在[4,4]ππ-上有4个零点例21.(2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习)函数()sin sin cos cos f x x x x x =+++的最大值为______.例22.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则 ①()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1; ②()f x 的最小正周期是2π;③直线()2k x k Z π=∈是()fx 图象的对称轴;④直线2y x π=与()fx 的图象恰有2个公共点.其中说法正确的是________________.例23.(2022·陕西·长安一中高一期末)关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论: ①()f x 是偶函数;②()f x 在区间()2,π上递增; ③()f x 在[]π,π-上有4个零点; ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号__________.例24.(2022·云南省玉溪第一中学高二期中(文))设函数()cos 2sin f x x x =+,下述四个结论正确结论的编号是__________.①()f x 是偶函数; ②()f x 的最小正周期为π; ③()f x 的最小值为0; ④()f x 在[]0,2π上有3个零点.核心考点五:ω的取值与范围问题【规律方法】1、()sin()f x A x ωϕ=+在()sin()f x A x ωϕ=+区间()a b ,内没有零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤+<+<+≤≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≤-≥≤-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2 同理,()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ,内没有零点 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+<+<+<≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+<-><-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2 2、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ,内有3个零点⎪⎩⎪⎨⎧+≤+<++<+≤≤-<⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k Ta b T 432(1)(3)(24)T b a k T k a k k b πϕπϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒≤<⎨⎪⎪+<-≤-+-<≤⎪⎩同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ,内有2个零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+≤++≤+<<-≤⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k T a b T 32232(2))2(332k TT b k a k b a k πϕππϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+≤-<-+-≤<⎪⎩ 3、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ,内有n 个零点⇒(()(+1)1)(1)22n Tn T b a k k a k n k n b πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-⎧⎪⎪-+-⎪≤<⎨⎪⎪+-+-<≤⎩<⎪同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ,内有n 个零点(1)(1()()22+1)n T n T b k k a k n k n b a πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-<⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+-+-≤<⎪⎩4、已知一条对称轴和一个对称中心,由于对称轴和对称中心的水平距离为214n T +,则21(21)42n n T b a πω++==-. 5、已知单调区间(,)a b ,则2T a b -≤.【典型例题】例25.(2022·河南·模拟预测(文))已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭,3x π=-为()f x 的一个零点,3x π=为()y f x =图象的一条对称轴,且()f x 在,20216ππ⎛⎫⎪⎝⎭内不单调,则ω的最小值为______. 例26.(2022·全国·高三专题练习)若函数()()cos 0f x x ωω=>在区间()2,3ππ内既没有最大值1,也没有最小值1-,则ω的取值范围是___________.例27.(2022·上海·高三专题练习)已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-(其中,a ω为常数,且0ω>)有且仅有3个零点,则ω的最小值是_________.例28.(2022·宁夏·平罗中学高三期中(理))已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,若()f x 在()2ππ,内单调且有一个零点,则ω的最大值是______________.例29.(2022·湖南·永州市第一中学高三阶段练习)若函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,则ω的最大值为________.例30.(2022·全国·高三阶段练习(理))已知函数π()2cos (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ,()f x 的一个极值点为πx=.若π2π33T <<,则ω的最大值是_____.例31.(2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习(文))将函数()sin2cos 222x x x f x ωωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(0ω>)的图象向左平移π3个单位长度,得到曲线C .若C 关于y 轴对称,则ω的最小值是______.例32.(2022·北京师大附中高三阶段练习)记函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕ=+><<π的最小正周期为T ,若()f T =π12x =为()f x 的零点,则ω的最小值为_______. 例33.(2022·云南·高三阶段练习)已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭,若π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心,()f x 在区间5π7π,1818⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值点无最小值点,且5π7π1818f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,记满足条件的ω的取值集合为M ,则=M ______.例34.(2022·四川成都·模拟预测(理))已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,若03f π⎛⎫=⎪⎝⎭,且()f x 在5,312ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值,没有最小值,则ω的最大值为______. 例35.(2022·全国·高三专题练习(理))设函数()sin()f x x ωϕ=+,其中0ω>.且1(0),0263f f f ππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则ω的最小值为________.例36.(2022·福建省福州教育学院附属中学高三开学考试)已知()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值,无最大值,则ω=______.例37.(多选题)(2022·山西·高三阶段练习)已知函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,若()f x 在区间π,π3⎛⎤⎥⎝⎦内没有零点,则ω的值可以是( )A .18B .12C .76D .32核心考点六:三角函数的综合性质 【典型例题】例38.(多选题)(2022·山东德州·高三期中)已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件:②该函数图象的两条对称轴之间的距离的最小值为π; ③该函数图象关于5,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 那么下列说法正确的是( ) A .ϕ的值可唯一确定B .函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是奇函数 C .当52()6x k k ππ=-∈Z 时,函数()f x 取得最小值 D .函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增例39.(多选题)(2022·湖北襄阳·高三期中)函数π()sin(2)3f x x =-的图象向左平移π4个单位长度,得到函数()g x 的图象,则下列结论正确的有( ) A .直线5π6x =-是()g x 图象的一条对称轴B .()g x 在ππ(,)26-上单调递增C .若()g x 在(0,)α上恰有4个零点,则23π29π(,]1212α∈ D .()g x 在ππ[,]42上的最大值为12例40.(多选题)(2022·江苏南通·高三期中)已知函数()f x ,()g x 的定义域均为R ,它们的导函数分别为()f x ',()g x '.若()1y f x =+是奇函数,()()cos g x x π'=,()f x 与()g x 图象的交点为()11,x y ,()22,x y ,…,(),m m x y ,则( )A .()f x 的图象关于点()1,0-对称B .()f x '的图象关于直线1x =对称C .()g x 的图象关于直线12x =对称D .()1mi i i x y m =+=∑例41.(多选题)(2022·山东菏泽·高三期中)已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( ).A .π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B .()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C .()f x 在区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上有且仅有2个零点 D .将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后,可得到一个奇函数的图象 例42.(多选题)(2022·河北·模拟预测)已知函数π()sin()(0,0π),()04f x x f ωϕωϕ=+><<=,且对任意x ∈R均有π()(),()2f x f f x 在π[0,]2上单调递减,则下列说法正确的有( ) A .函数()f x 为偶函数B .函数()f x 的最小正周期为2πC .若1()([0,2π])3f x x =∈的根为(1i x i =,2,⋯,)n ,则14πn i i x ==∑ D .若(2)()f x f x >在(,)m n 上恒成立,则n m -的最大值为π3例43.(多选题)(2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中)已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图(1)所示,函数()()1111()cos 0,0,||πg x A x A ωαωα=+>><的部分图象如图(2)所示,下列说法正确的是( )A .函数()y f x =的周期为2πB .函数()y f x =的图象关于直线1912x π=对称 C .函数()1y f x =-在区间[0,2]π上有4个零点 D .将函数()y f x =的图像向左平移23π可使其图像与()y g x =图像重合例44.(多选题)(2022·福建·厦门外国语学校高三期中)将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上所有的点向右平移π6个单位长度,得到函数()g x 的图像,则下列说法正确的是( ) A .()g x 的最小正周期为π B .()g x 图像的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭C .()g x 的单调递增区间为()π5ππ,πZ 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D .()g x 的图像与函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像重合例45.(多选题)(2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中)已知()44cossin 22x xf x =+,则下列说法错误的是( ) A .函数()f x 的最小正周期为2π B .函数4f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C .函数()f x 在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为5,18⎛⎫⎪⎝⎭D .函数()34y f x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数为8【新题速递】一、单选题1.(2022·河北·张家口市第一中学高三期中)函数()()πtan 0,02f x x ωϕϕω⎛⎫=+<<> ⎪⎝⎭某相邻两支图象与坐标轴分别交于点π,06A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2π,03B ⎛⎫⎪⎝⎭,则方程()[]πsin 2,0,π3f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所有解的和为( ) A .5π12B .5π6 C .π2D .π2.(2022·北京市第十一中学高三阶段练习)已知函数()2π2cos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则( )A .()f x 是奇函数B .函数()f x 的最小正周期为4πC .曲线()y f x =关于π2x =对称D .()()12f f >3.(2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中(理))已知函数()()sin f x x ωϕ=+(0ω>,π<ϕ),其图象相邻两条对称轴的距离为π2,且对任意x ∈R ,都有()7π12f x f ⎛⎫⎪⎝⎭,则在下列区间中,()f x 为单调递减函数的是( ) A .ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.(2022·吉林长春·模拟预测)定义域为[]0,π的函数())()1cos cos 02f x x x x ωωωω=-+>,其值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则ω的取值范围是( ) A .30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B .3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .10,3⎛⎤⎥⎝⎦D .12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.(2022·江苏南通·高三期中)已知112tan sin =-αα,则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A .7-B .17-C .19D .436.(2022·河南·高三阶段练习(理))设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>,已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点,下述四个结论中,正确结论的编号是( ) ①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在05π⎛⎫⎪⎝⎭,单调递增④ω的取值范围是1229510⎡⎫⎪⎢⎣⎭, A .①④B .②③C .①②③D .①③④7.(2022·天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习)下列关于函数()4cos cos 3f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π的命题,正确的有( )个(1)它的最小正周期是π2(2)π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是它的一个对称中心 (3)π6x =是它的一条对称轴 (4)它在π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上的值域为[]2,3A .0B .1C .2D .38.(2022·宁夏六盘山高级中学高三期中(理))已知函数()()sin f x x ωϕ=+(其中0,2πωϕ><),()30,88f f x f ππ⎛⎫⎛⎫-=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立,且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调,给出下列命题①()f x 是偶函数;②()304f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭;③ω是奇数;④ω的最大值为3;其中正确的命题有( )A .①②③B .①②④C .②③④D .①③④二、多选题9.(2022·重庆八中高三阶段练习)已知函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<,曲线()y f x =关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称,则( )A .将该函数向左平移π6个单位得到一个奇函数B .()f x 在3π7π,46⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C .()f x 在π7π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上只有一个极值点 D .曲线()y f x '=关于直线π6x =对称10.(2022·福建·泉州五中高三期中)已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A .直线7π6x =是()fx 的对称轴B .点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心 C .()f x 在区间π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D .()f x 的图象向右平移7π12个单位得cos 2y x =的图象11.(2022·山东青岛·高三期中)已知函数i π()sin 23s n 2cos π66f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则( )A .()f x 的最大值为2B .π3x =是()f x 的图象的一条对称轴C .()f x 在ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减 D .()f x 的图象关于π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称12.(2022·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习)设()()sin f x x ωϕ=+(其中ω为正整数,π2<ϕ),且()f x 的一条对称轴为π12x =-;若当0ϕ=时,函数()f x 在ππ,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增且在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不单调,则下列结论正确的是( ) A .2ω=B .()f x 的一个对称中心为5π,06⎛⎫⎪⎝⎭C .函数()f x 向右平移π12个单位后图象关于y 轴对称 D .将()f x 的图象的横坐标变为原来的一半,得到()g x 的图象,则()g x 的单调递增区间为()ππ5ππ,Z 242242k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭三、填空题13.(2022·甘肃·兰州市外国语高级中学高三阶段练习(文))已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的相邻对称轴之间的距离为π2,且()f x 图象经过点π,03P ⎛⎫⎪⎝⎭,则下列说法正确的是___________.(写出所有正确的题号)A .该函数解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;B .函数()f x 的一个对称中心为2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭C .函数y =()π5ππ,π2424k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z D .将函数()y f x =的图象向右平移(0)b b >个单位,得到函数()g x 的图象,且函数()g x 的图象关于原点对称,则b 的最小值为π3.14.(2022·四川省遂宁市教育局模拟预测(文))正割(Secant ,sec )是三角函数的一种,正割的数学符号为sec ,出自英文secant .该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用,正割与余弦互为倒数,即1sec cos x x=.若函数()sec sin f x x x x =⋅-,则下列结论正确的有__ ①函数()f x 的图像关于直线x π=对称;②函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线与x 轴平行,且与x 轴的距离为π; ③函数()f x 在区间95,168ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增; ④()f x 为奇函数,且()f x 有最大值,无最小值.15.(2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习(理))若1sin cos 2θθ=,则()sin 1sin 2sin cos θθθθ-=+______.16.(2022·吉林·东北师大附中模拟预测)已知函数()sin ||f x x x =,若关于x 的方程()f x m =在4π,2π3⎛⎤- ⎥⎝⎦上有三个不同的实根,则实数m 的取值范围是_________. 四、解答题17.(2022·江西·丰城九中高三开学考试(理))已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间;(2)若函数()()g x f x k =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的零点,求实数k 的取值范围.18.(2022·江苏盐城·高三阶段练习)已知函数()22cos 2sin cos sin (04)f x x x x x ωωωωω=+-<<,且_____.从以下①②③三个条件中任选一个,补充在上面条件中,并回答问题:①过点;8π⎛⎝②函数()f x 图象与直线0y 的两个相邻交点之间的距离为;π③函数()f x 图象中相邻的两条对称轴之间的距离为2π.(1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)设函数()2cos 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,则是否存在实数m ,使得对于任意1[0,]2x π∈,存在2[0,]2x π∈,()()21m g x f x =-成立?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.19.(2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习)已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)若函数()()32g x f x =-在区间(0,π)上恰有2个零点()1212,x x x x <,求()12cos x x -的值.20.(2022·福建省诏安县桥东中学高三期中)已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心;(2)先将()f x 的图象横坐标不变,纵坐标缩短到原来的12倍,得到函数()g x 图象,再将()g x 图象右平移π12个单位后得到()h x 的图象,求函数()y h x =在π3π,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调减区间.21.(2022·青海·西宁市海湖中学高三期中)某同学用“五点法”画函数()sin()0,||2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:()f x 的解析式;(2)将()y f x =图象上所有点向左平移(0)θθ>个单位长度,得到()y g x =的图象.若()y g x =图象的一个对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭,求θ的最小值.22.(2022·北京·北大附中高三阶段练习)已知函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭的部分图像如下图所示.(1)直接写出()f x 的解析式;(2)若对任意0,3s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,存在[]0,t m ∈,满足()()f s f t =-,求实数m 的取值范围.。
专题03 两角和与差的三角函数(知识串讲+热考题型+专题训练)(解析版)
专题3两角和与差的三角函数(一)两角和与差的余弦C(α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;C(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;【点拨】①简记为:“同名相乘,符号反”.②公式本身的变用,如cos(α-β)-cosαcosβ=sinαsinβ.③公式中的α,β不仅可以是任意具体的角.角的变用,也称为角的变换,如cosα=cos[(α+β)-β],cos2β=cos[(α+β)-(α-β)].(二)两角和与差的正弦S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;S(α-β):sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;【点拨】①简记为:“异名相乘,符号同”.②公式中的α,β不仅可以是任意具体的角,还可以是任意形式的“整体”.(三)两角和与差的正切T(α+β):tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ;.T(α-β):tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ【点拨】1公式T α±β只有在α≠2π+k π,β≠2π+k π,α±β≠2π+k π(k ∈Z )时才成立,否则就不成立.②当tan α或tan β或tan(α±β)的值不存在时,不能使用T α±β处理有关问题,但可改用诱导公式或其他方法.③变形公式:tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β),如tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β),tan(α+β)-tan α-tan β=tan αtan βtan(α+β),1-tan αtan β=tan tan tan()αβαβ++.1+tan αtan β=tan tan tan()αβαβ--.(四)辅助角公式函数f(α)=acos α+bsin α(a ,b 为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=-φ),其中φ可由a ,b 的值唯一确定.4sin(2cos sin πααα±=±.题型一公式的正用【典例1】【多选题】(2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习)如图,在平面直角坐标系xOy 中,角α、β的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点,若点A 、B 的坐标分别为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,则以下结论正确的是()A .3cos 5α=B .3cos 5β=C .()cos 0αβ+=D .()cos 0αβ-=【答案】AD(0,π)β∈,则tan()αβ+的值为______.【典例3】(2023·江苏·高一专题练习)已知tan ,4αα=-是第四象限角.(1)求cos sin αα-的值;(2)求ππcos ,tan 44αα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.正用公式问题,一般属于“给角求值”、“给值求值”问题,应该通过应用公式,转化成“特殊角”的三角函数值计算问题.给角求值问题的策略:一般先要用诱导公式把角化整化小,化“切”为“弦”,统一函数名称,然后观察角的关系以及式子的结构特点,选择合适的公式进行求值.题型二公式的变用、逆用【典例4】(2022春·江苏泰州·高一江苏省姜堰第二中学校联考阶段练习)已知sin100cos100M =︒-︒,44cos 78cos 46cos12)N =︒︒+︒︒,1tan101tan10P -︒=+︒,那么M ,N ,P 之间的大小顺序是()A .M N P <<B .N M P<<C .P M N<<D .P N M<<A cos15︒︒B .2cos 15sin15cos75︒︒︒-C .2tan 301tan 30︒︒-D .1tan151tan15︒︒+-【答案】AD【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.(1)1-tan75°1+tan75°;(2)(1+tan1°)(1+tan2°)…(1+tan44°);(3)tan25°+tan35°+3tan25°tan35°.【答案】(1)3-;(2)222;(3【解析】尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值.详解:(1)原式=tan45°-tan75°1+tan45°tan75°tan(45°-75°)=33-.(2)因为(1+tan1°)(1+tan44°)=1+tan1°+tan44°+tan1°×tan44°=2,同理(1+tan2°)(1+tan43°)=2,…,所以原式=222.(3)∵tan60°=tan(25°+35°)=tan25°+tan35°1-tan25°tan35°=,∴tan25°+tan35°=3(1-tan25°tan35°)∴tan25°+tan35°.【规律方法】1.“1”的代换:在T α±β中如果分子中出现“1”常利用1=tan45°来代换,以达到化简求值的目的.2.若α+β=4π+k π,k ∈Z ,则有(1+tan α)(1+tan β)=2.3.若化简的式子里出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体,常考虑tan(α±β)的变形公式.题型三给值求值【典例7】(2023·江苏·高一专题练习)已知34sin sin ,cos cos 55+=+=αβαβ,则cos()αβ-=()A .12-B .13-C .12D .34取得最大值,则πcos 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A .B .12-C D【典例9】(2021春·江苏南京·高一校考阶段练习)已知cos 27βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,1sin 22αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,2απ<<π,02βπ<<,求:(1)cos2αβ+的值;tanαβ+的值.(2)()给值求值问题的解题策略.(1)从角的关系中找解题思路:已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.(2)常见角的变换.①α=(α-β)+β;②α=α+β2+α-β2;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β).题型四给值求角【典例10】(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)已知()0παβ∈,,,1tan()2αβ-=,1tan 7β=-,则2αβ-=()A .5π4B .π4C .π4-D .3π4-1,0,,cos 222π2a a βαββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,求αβ+的值.解题的一般步骤是:(1)先确定角α的范围,且使这个范围尽量小(极易由于角的范围过大致误);(2)根据(1)所得范围来确定求tan α、sin α、cos α中哪一个的值,尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数;(3)求α的一个三角函数值;(4)写出α的大小.题型五三角函数式化简问题【典例12】(2022春·江苏镇江·高一统考期末)计算:70cos10︒︒=︒()A .1B .2C .3D .4【答案】C【分析】根据两角差的正弦公式化简求解即可.【详解】【典例13】(2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习)已知,且()(),22k k k k ππαβπα+≠+∈≠∈Z Z ,则()tan tan αβα+=___________.1.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.(2)使用公式求值,应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.(3)使用公式求值,应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.(2)注意特殊角的应用,当式子中出现12,1,33,23入特殊角,把“值变角”构造适合公式的形式.题型六三角恒等式证明问题【典例14】(2023春·上海浦东新·高一校考阶段练习)求证:(1)22sin cos 1sin cos 1cot 1tan αααααα+=-++;(2)在非直角三角形ABC 中,tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=【典例15】(2023·高一课时练习)求证:(1)当18045()k k αβ+=⋅︒+︒∈Z 时,(1tan )(1tan )2αβ++=;(2)当180()k k αβγ++=⋅︒∈Z 时,tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=⋅⋅.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)根据正切两角和公式求解即可.(2)根据正切两角和公式求解即可.【详解】(1)因为18045()k k αβ+=⋅︒+︒∈Z 所以(1tan )(1tan )αβ++1tan tan tan tan αβαβ=+++()()1tan 1tan tan tan tan αβαβαβ=++-+()()1tan 451801tan tan tan tan k αβαβ=++⋅-+ ()1tan 451tan tan tan tan αβαβ=+-+ 11tan tan tan tan αβαβ=+-+2=.即证:(1tan )(1tan )2αβ++=.(2)因为180()k k αβγ++=⋅︒∈Z 所以tan tan tan αβγ++()()tan 1tan tan tan αβαβγ=+-+()()tan 1801tan tan tan k γαβγ=⋅--+ ()tan 1tan tan tan γαβγ=--+tan tan tan αβγ=⋅⋅.即证:tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=⋅⋅.【总结提升】三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边,相当于解决化简题目.(2)等式两边同时变形,变形后的结果为同一个式子.(3)先将要证明的式子进行等价变形,再证明变形后的式子成立.提醒:开平方时正负号的选取易出现错误,所以要根据已知和未知的角之间的关系,恰当地把角拆分,根据角的范围确定三角函数的符号.一、单选题1.(2023秋·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末)5cos 12π=()A B C D2.(2023·江苏·高一专题练习)化简tan tan 44A A ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()A .2tan AB .2tan A-C .2tan 2AD .2tan 2A-,,1,2b =,且a b ⊥,则()tan 45θ-︒的值是()A .1B .3-C.3D .134.(2023·江苏·高一专题练习)若1tan θ-=+,则cot 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为().A .12B C D .1【答案】C5.(2023·江苏·高一专题练习)在ABC 中,若cos 5A =,cos 13B =-,则cos()A B +等于()A .1665-B .3365C .5665D .6365-6.(2023·江苏·高一专题练习)若cos 5θ=-且(,π)2θ∈,则πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为()A B.410+-C D 7.(2022春·江苏苏州·高一统考期中)已知02α<<,02β<<,且()sin 5αβ-=-,12sin 13β=,则sin α=()A .6365B .5665C .3365D .1665-合,将角α的终边绕O 点顺时针旋转π3后,经过点()3,4-,则sin α=()A B C D .9.(2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习)对任意的锐角αβ、,下列不等关系恒成立的是()A .()sin cos cos αβαβ+<+B .()cos sin sin αβαβ+<+C .()sin cos cos αβαβ-<+D .()cos sin sin αβαβ-<+【答案】ACA .1sin15222-=-B .sin20cos10cos160sin102-C .sin1212ππ=D .sin105=11.(2023·江苏·高一专题练习)化简:πtan 3π13αα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭______.12.(2023秋·陕西西安·高一西安市第六中学校考期末)已知α,β满足04α<<,44β<<,3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π12sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则()sin αβ-=______.13.(2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习)求sin 36sin15sin 39cos36cos15sin 39︒︒︒-︒︒+︒的值.()cos ,sin b ααβ=- ,且a b ⊥ .(1)求()cos αβ+的值;(2)若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且tan 3α=-,求2αβ+的值.︒︒+︒︒+︒︒=,tan10tan20tan20tan60tan60tan101tan20tan30tan30tan40tan40tan201︒︒+︒︒+︒︒=,tan33tan44tan44tan13tan33tan131︒︒+︒︒+︒︒=.(1)尝试再写出一个相同规律的式子;(2)写出能反映以上式子一般规律的恒等式,并对你写出的恒等式进行证明.。
专题4 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲(举一反三)(新高考地区专用)(解析版)
专题4.7 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲1.正弦函数与余弦函数的图象(1)正弦函数的图象①根据三角函数的定义,利用单位圆,我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象,如图所示.②五点法观察图,在函数y=,x∈[0,2π]的图象上,以下五个点:,1),( π,0),(-1),(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.(2)余弦函数的图象①图象变换法作余弦函数的图象由诱导公式六,我们知道,而函数x∈R的图象可以通过正弦函数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度,就得到余弦函数的图象,如图所示.②五点法作余弦函数的图象类似于正弦函数图象的作法,从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出,要作出函数y=在[0,2]上的图象,起关键作用的五个点是:(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点,然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图,再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.(3)正弦曲线、余弦曲线正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.2.正弦函数与余弦函数的性质(1)周期函数①定义:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.②最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函数与余弦函数的性质正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表:3.正弦型函数的性质的性质4.正切函数的性质与图象(1)正切函数的图象及性质(2)三点两线法作正切曲线的简图类比于正、余弦函数图象的五点法,我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-上的简图.5.余切函数的图象及性质正切函数的图象及性质:的图象先向右平移个单位长度,再以x轴为对称轴上下翻折,可得的图象.余切函数的图象与性质如下表:【题型1 三角函数的定义域和值域(最值)】【方法点拨】求与三角函数有关的函数的值域(最值)的常用方法有:(1)借助三角函数的有界性、单调性求解;(2)转化为关于的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时,要考虑三角函数的周期性.【例1】(2022·甘肃·高二开学考试)函数f(x)=tan(x+π4)的定义域为()A.{x|x≠kπ+π4,k∈Z}B.{x|x≠2kπ+π4,k∈Z}C.{x|x≠kπ−π4,k∈Z}D.{x|x≠kπ,k∈Z}【解题思路】根据正切函数的定义域可得结果.【解答过程】因为x+π4≠kπ+π2,k∈Z,所以x≠kπ+π4,k∈Z.故f(x)的定义域为{x|x≠kπ+π4,k∈Z}.故选:A.【变式1-1】(2022·四川省高三阶段练习(理))若x∈[π4,2π3],则函数f(x)=3sin x cos x+√3sin2x的值域为( ) A .[0,3√32]B .[0,√32] C .[0,√3]D .[0,3+√3]【解题思路】利用二倍角公式和辅助角公式化简原式为f (x )=√3sin(2x -π6)+√32,结合正弦函数的图像和性质,求解即可. 【解答过程】由题意,f (x )=3sin x cos x +√3sin 2x =32sin2x +√32(1-cos2x )=√3×(√32sin2x -12cos2x )+√32=√3×(cos π6sin2x -sin π6cos2x )+√32=√3sin(2x -π6)+√32,当x ∈[π4,2π3]时,有2x -π6∈[π3,7π6],当2x -π6=π2,即x =π3时,f (x )max =f (π3)=√3+√32=3√32; 当2x -π6=7π6,即x =2π3时,f (x )min =f (2π3)=0.即函数f (x )的值域为[0,3√32].故选:A.【变式1-2】(2022·福建省高二阶段练习)函数f (x )=sinx +cos (x +π6)的值域为( ) A .[−2,2]B .[−√3,√3]C .[−1,1]D .[−√32,√32] 【解题思路】利用两角和的余弦公式和辅助角公式进行化简,即可得到答案 【解答过程】解:函数f (x )=sinx +cos (x +π6)=sinx +√32cosx −12sinx =√32cosx +12sinx =cos (x −π6),∵x ∈R ,∴cos (x −π6)∈[−1,1],∴函数的值域为[−1,1], 故选:C .【变式1-3】(2022·全国·高一单元测试)若x ∈[−π3,2π3],则函数y =cos 2(x +π6)+sin (x +2π3)的最大值与最小值之和为( )A .12B .1C .74D .√2【解题思路】利用诱导公式可化简函数为y =(cos (x +π6)+12)2−14,根据余弦型函数值域的求法可求得cos(x+π6)∈[−√32,1],结合二次函数最值的求法可求得y的最大值和最小值,加和即可求得结果.【解答过程】y=cos2(x+π6)+sin(x+2π3)=cos2(x+π6)+sin(π2+x+π6)=cos2(x+π6)+cos(x+π6)=(cos(x+π6)+12)2−14,当x∈[−π3,2π3]时,x+π6∈[−π6,5π6],∴cos(x+π6)∈[−√32,1],∴当cos(x+π6)=1时,y max=94−14=2;当cos(x+π6)=−12时,y min=−14;∴y max+y min=2−14=74.故选:C.【方法点拨】证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法:(1)定义法:即对定义域内的每一个x值,看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立,若成立,则函数是周期函数且T是它的一个周期.(2)公式法:利用三角函数的周期公式来求解.(3)图象法:画出函数的图象,通过图象直观判断即可.【例2】(2023·广东·高三学业考试)函数f(x)=sin(x2−π4)的最小正周期是()A.π2B.πC.2πD.4π【解题思路】利用正弦函数的周期求解.【解答过程】f(x)的最小正周期为T=2π12=4π.故选:D.【变式2-1】(2023·广东·高三学业考试)函数f(x)=cos(12x+π6)的最小正周期为()A.π2B.πC.2πD.4π【解题思路】利用余弦型函数的周期公式进行求解.【解答过程】∵f(x)=cos(12x+π6),∴f(x)最小正周期T=2π12=4π.故A,B,C错误.故选:D.【变式2-2】(2022·甘肃临夏·高二期末(理))函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π,则f(π2)=()A.−√32B.−12C.12D.√32【解题思路】由周期求出ω,从而可求出f(x),进而可求出f(π2).【解答过程】因为函数f(x)的最小正周期为π,ω>0,所以ω=2ππ=2,得f(x)=cos(2x+π6),所以f(π2)=cos(2×π2+π6)=−cosπ6=−√32.故选:A.【变式2-3】(2022·广东佛山·高三阶段练习)在下列函数中,最小正周期为π且在(0,π2)为减函数的是()A.f(x)=sin|2x|B.f(x)=cos(2x+π6)C.f(x)=|cosx|D.f(x)=tan(2x−π4)【解题思路】根据三角函数的图像性质,逐个选项进行判断即可得出答案.【解答过程】对于A,f(x)=sin|2x|的图像关于y轴对称,在(0,π2)为增函数,不符题意,故A错;对于B,f(x)=cos(2x+π6)的最小正周期为π,x∈(0,π2),2x+π6∈(π6,7π6),不是减函数,不符题意,故B错;对于C,f(x)=|cosx|的最小正周期为π,在(0,π2)为减函数,符合题意,故C对;对于D,f(x)=tan(2x−π4)的最小正周期为π2,不符题意,故D错;故选:C.【题型3 三角函数的奇偶性】【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性相关知识,结合具体题目,灵活求解.【例3】(2022·广东·高三学业考试)若函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数,则φ可取一个值为()A.−πB.−π2C.π4D.2π【解题思路】根据偶函数的定义得φ=kπ+π2,k∈Z,结合选项可确定答案.【解答过程】∵函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数,∴f(−x)=f(x),即sin(−x+φ)=sin(x+φ).∴−x+φ=x+φ+2kπ或−x+φ+x+φ=π+2kπ,k∈Z.当−x+φ=x+φ+2kπ时,可得x=−kπ,不满足函数定义.当−x+φ+x+φ=π+2kπ时,φ=kπ+π2,k∈Z,若φ=kπ+π2=−π,解得k=−32∉Z,故A错误;若φ=kπ+π2=−π2,解得k =−1∈Z ,故B 正确; 若φ=kπ+π2=π4,解得k =−14∉Z ,故C 错误;若φ=kπ+π2=2π,解得k =32∉Z ,故D 错误;故选:B.【变式3-1】(2022·全国·高一)下列函数中,在其定义域上是偶函数的是( ) A .y =sinxB .y =|sinx |C .y =tanxD .y =cos (x −π2)【解题思路】根据奇偶性定义,结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.【解答过程】对于A ,∵y =sinx 定义域为R ,sin (−x )=−sinx ,∴y =sinx 为奇函数,A 错误;对于B ,∵y =|sinx |定义域为R ,|sin (−x )|=|−sinx |=|sinx |,∴y =|sinx |为偶函数,B 正确;对于C ,∵y =tanx 定义域为(kπ−π2,kπ+π2)(k ∈Z ),即定义域关于原点对称,tan (−x )=−tanx ,∴y =tanx 为奇函数,C 错误;对于D ,∵y =cos (x −π2)=sinx 定义域为R ,sin (−x )=−sinx ,∴y =cos (x −π2)为奇函数,D 错误. 故选:B.【变式3-2】(2022·北京高三阶段练习)函数f (x )=cos x +cos2x 是( ) A .奇函数,且最大值为2 B .偶函数,且最小值为-98 C .奇函数,且最小值为-98D .偶函数,且最大值为98【解题思路】利用函数奇偶性的定义可判断出函数f (x )的奇偶性,利用二次函数的基本性质可求得函数f (x )的最值.【解答过程】函数f (x )的定义域为R ,f (-x )=cos (-x )+cos (-2x )=cos x +cos2x =f (x ), 故函数f (x )为偶函数,因为-1≤cos x ≤1,则f (x )=2cos 2x +cos x -1=2(cos x +14)2-98, 所以,f (x )min =-98,f (x )max =2+1-1=2.故选:B.【变式3-3】(2022·广西·模拟预测(理))若将函数f (x )=sin2x −√3cos2x 的图象向右平移m (m >0)个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则m 的最小值是( ) A .π6B .π3C .2π3D .5π6【解题思路】首先对f (x )化简得到f (x )=2sin (2x −π3),再写出平移后的解析式y =2sin (2x −2m −π3),因为其为奇函数,则−2m −π3=k π,k ∈Z ,解出m 即可得到最小值.【解答过程】f (x )=sin2x −√3cos2x =2(12sin2x −√32cos2x)=2sin (2x −π3),向右平移m(m >0)个单位后得到函数y =2sin [2(x −m )−π3]=2sin (2x −2m −π3),由于是奇函数,因此,得−2m −π3=k π,k ∈Z ,m =−π6−k π2,k ∈Z.又∵m >0,则当k =−1时,m 的最小值是π3,故选:B.【方法点拨】掌握正弦、余弦、正切函数的对称性相关知识,结合具体题目,灵活求解.【例4】(2022·安徽·高三开学考试)函数f (x )=tan (2x −π3)的图象的一个对称中心为( ) A .(π12,0)B .(7π12,0)C .(−5π12,0)D .(−π12,0)【解题思路】根据正切型函数的对称中心为(k π2,0) k ∈Z ,求解即可. 【解答过程】由2x −π3=k π2,k ∈Z ,可得x =k π4+π6,k ∈Z ,当k =0时,x =π6,当k =1时,x =π4+π6=5π12,当k =2时,x =8π12=23π, 当k =−1时,x =−π4+π6=−π12, 当k =−2时,x =−4π12=−13π, 当k =−3时,x =−7π12,所以(−π12,0)为f (x )图象的一个对称中心, 故选:D.【变式4-1】(2022·河南·高三阶段练习(理))已知函数f (x )=2cos (ωx −π6)(ω>0)在[0,2π]内恰有三条对称轴,则ω的取值范围是( ) A .[43,116)B .(43,116]C .[1312,1912)D .(1312,1912]【解题思路】根据余弦函数的性质可得2π≤2ωπ−π6<3π,进而即得. 【解答过程】因为0≤x ≤2π, 所以−π6≤ωx −π6≤2ωπ−π6, 所以2π≤2ωπ−π6<3π, 解得1312≤ω<1912.故选:C.【变式4-2】已知函数f(x)=sin (12x −π6),则结论正确的是( )A .f (x )的图象关于点(5π3,0)中心对称B .f (x )的图象关于直线x =−π3对称C .f (x )在区间(−π,π)内有2个零点D .f (x )在区间[−π2,0]上单调递增【解题思路】A 、B 应用代入法判断对称轴和对称中心;C 、D 根据给定区间求12x −π6的范围,结合正弦型函数的性质求零点和单调性. 【解答过程】A :f(5π3)=sin (12×5π3−π6)=sin2π3≠0,故(5π3,0)不是对称中心,错误;B :f(−π3)=sin[12×(−π3)−π6]=−sin π3≠±1,故x =−π3不是对称轴,错误;C :在x ∈(−π,π),则12x −π6∈(−2π3,π3),故f(x)=0,可得12x −π6=0,所以x =π3为f (x )在(−π,π)内的唯一零点,错误;D :在x ∈[−π2,0],则12x −π6∈[−5π12,−π6],故f(x)=sin (12x −π6)递增,正确. 故选:D.【变式4-3】(2022·贵州·高三阶段练习(文))已知函数f (x )=2cos (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的相邻两条对称轴之间的距离为2π,且为奇函数,将f (x )的图象向右平移π3个单位得到函数g (x )的图象,则函数g (x )的图象( ) A .关于点(−5π3,0)对称B .关于点(π2,0)对称 C .关于直线x =−π3对称D .关于直线x =π2对称【解题思路】两个相邻对称轴的为半个周期,奇函数可以确定f (x )为正弦函数,由此条件得出f (x )的解析式,再根据平移得出g (x )的解析式,根据解析式写出对称中心和对称轴的通式即可得出答案.【解答过程】由相邻两条对称轴之间的距离为2π可知T2=2π,即T =4π,ω=2πT ,ω=12, 因为f (x )为奇函数,根据0<φ<π可知φ=π2,f (x )=2sin 12x , g (x )=2sin (12(x −π3))=2sin (12x −π6),对称中心:12x −π6=k π(k ∈Z ),x =2k π+π3(k ∈Z ),故A 正确,B 错误;对称轴:12x −π6=π2+k π(k ∈Z ),x =2k π+4π3(k ∈Z ),故C 、D 错误;故选:A.【方法点拨】三角函数的单调性问题主要有:三角函数的单调区间的求解、比较函数值的大小、根据三角函数的单调性求参数;结合具体条件,根据三角函数的图象与性质进行求解即可.【例5】(2022·江西·高三阶段练习(理))函数y =sin (π6−2x)(x ∈[0,π])为增函数的区间是( ) A .[0,π3]B .[π12,7π12]C .[π3,5π6]D .[5π6,π]【解题思路】根据三角函数单调性的求法求得正确答案. 【解答过程】y =sin (π6−2x)=−sin (2x −π6),2k π+π2≤2x −π6≤2k π+3π2,k π+π3≤x ≤k π+5π6,k ∈Z , 令k =0可的y =sin (π6−2x)(x ∈[0,π])的递增区间为[π3,5π6]. 故选:C.【变式5-1】(2022·河南信阳·一模(理))已知函数f (x )=2√3cos (x -π2)cos x -2sin 2x ,若f (x )在区间[m ,π4]上单调递减,则实数m 的取值范围( )A .[π6,π4]B .[π3,π2]C .[π6,π4)D .[π6,π3)【解题思路】利用三角恒等变换,化简三角函数,利用正弦型函数的单调性,建立不等式组,可得答案.【解答过程】f (x )=2√3cos (x -π2)cos x -2sin 2x =2√3sin x cos x -2·1-cos2x 2=√3sin2x -1+cos2x=2(√32sin2x +12cos2x)-1 =2sin (2x +π6)-1,由x ∈[m ,π4],则2x +π6∈[2m +π6,2π3],由题意,[2m +π6,2π3]⊆[π2,3π2],则π2≤2m +π6<2π3,解得π6≤m <π4. 故选:C.【变式5-2】(2022·江苏·高三阶段练习)已知a =log 168,b =πln0.8,c =sin2.5,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .c <a <b B .c <b <a C .a <b <cD .a <c <b【解题思路】由对数的运算法则求出a ,又πln0.8,sin2.5分别可看做y =πx ,y =sinx 的函数值,考虑构造指数函数和正弦函数,利用函数的单调性对其值进行估计,又因为ln0.8估值困难,故考虑利用与函数y =lnx 近似的有理函数y =1−1x 对其大小进行估值,最后求得答案.【解答过程】由题意,a =log 168=log 2423=34=0.75, 设f (x )=lnx +1x −1,则f ′(x )=1x −1x 2=x−1x 2,当0<x <1时,f ′(x )<0,函数f (x )在(0,1)上单调递减,当x >1时,f ′(x )>0,函数f (x )在(1,+∞)上单调递增,所以f (0.8)>f (1),即ln0.8+54−1>0,所以ln0.8>−14,因为函数y =πx 在(−∞,+∞)上单调递增,所以πln0.8>π−14,又(π−14)−4=π,(34)−4=25681≈3.16,所以(34)−4>(π−14)−4,因为y =x−4在(0,+∞)单调递减,所以34<π−14,所以πln0.8>34,故b >a , 因为3π4<2.5<5π6,函数y =sinx 在(π2,π)上单调递减,所以sin 5π6<sin2.5<sin3π4,所以12<sin2.5<√22,所以sin2.5<34,即c <a ,所以c <a <b , 故选:A.【变式5-3】(2022·内蒙古·高三阶段练习(文))若函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减,则ω的最大值为( )A .37 B .34C .14D .1【解题思路】由题知ωx +π4∈(π4,7π4ω+π4),再根据函数y =√2cosx 在(0,π)上单调递减可得7π4ω+π4≤π,进而解不等式求解即可.【解答过程】解:因为函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减,所以7π4≤12T =πω,解得0<ω≤47,因为x ∈(0,7π4),所以ωx +π4∈(π4,7π4ω+π4),因为函数y =√2cosx 在(0,π)上单调递减, 所以,函数f(x)=√2cos (ωx +π4)(ω>0)在(0,7π4)上单调递减,则有7π4ω+π4≤π,解得ω≤37,所以ω的取值范围是ω∈(0,37],即ω的最大值为37. 故选:A.【方法点拨】解决正(余)弦型函数性质的综合应用问题的思路: (1)熟练掌握函数或的图象,利用基本函数法得到相应的函数性质,然后利用性质解题.(2)直接作出函数图象,利用图象形象直观地分析并解决问题. 【例6】已知函数f (x )=4sinxcos (x +π6)+1.(1)求f (x )的最小正周期及单调区间; (2)求f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值与最小值.【解题思路】(1)先利用三角恒等变换化简得到f (x )=2sin (2x +π6),从而利用T =2π|ω|求出最小正周期,再利用整体法求解函数的单调区间;(2)根据x ∈[−π6,π4]求出2x +π6∈[−π6,2π3],从而结合函数图象求出最大值为2,最小值为−1.【解答过程】(1)因为f (x )=4sinx (cosxcos π6−sinxsin π6)+1=2√3sinxcosx −2sin 2x +1 =√3sin2x +cos2x =2sin (2x +π6) 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π;令−π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π,k ∈Z ,解得:[−π3+k π,π6+k π],k ∈Z , 令π2+2k π≤2x +π6≤3π2+2k π,k ∈Z ,解得:[π6+k π,2π3+k π],k ∈Z ,单调增区间为[−π3+k π,π6+k π],k ∈Z ,单调减区间为[π6+k π,2π3+k π],k ∈Z ;(2)已知x ∈[−π6,π4],所以2x +π6∈[−π6,2π3],当2x +π6=π2,即x =π6时,f (x )取得最大值,最大值为2, 当2x +π6=−π6,即x =−π6时,f (x )取得最小值,最小值为-1, 所以f (x )在区间[−π6,π4]上的最大值为2,最小值为−1.【变式6-1】(2022·陕西·高三阶段练习(文))已知函数f (x )=4sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)图象的一条对称轴为直线x =−π12,这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为π8.(1)求f (x );(2)求f (x )在[−π24,π4]上的值域.【解题思路】(1)先求出周期,由此求出ω的值,利用对称轴方程求出φ,即可得到函数的解析式;(2)根据自变量的范围求得4x −π6∈[−π3,5π6],根据正弦函数的取值求得函数的值域【解答过程】(1)因为函数f(x)图象的对称轴与相邻对称中心之间的距离为π8, 所以T =π2,故ω=2πT=4,又f(x)的图象的一条对称轴方程为x =−π12, 则4×(−π12)+φ=π2+k π,k ∈Z ,即φ=5π6+k π,k ∈Z ,又|φ|<π2,所以φ=−π6, 故f(x)=4sin (4x −π6);(2)因为x ∈[−π24,π4],所以4x −π6∈[−π3,5π6],所以sin (4x −π6)∈[−√32,1],所以4sin (4x −π6)∈[−2√3,4], 故f (x )在[−π24,π4]上的值域为[−2√3,4].【变式6-2】(2021·天津·高一期末)已知函数f (x )=2√3cos 2(π2+x)-2sin(π+x )cos x -√3 (1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间; (2)求f (x )在区间[π4,π2]上的最值;(3)若f (x 0-π6)=1013,x 0∈[3π4,π],求sin2x 0的值.【解题思路】(1)根据三角恒等变换可得f (x )=2sin (2x -π3),然后根据三角函数的性质即得;(2)根据正弦函数的性质即得;(3)由题可得sin (2x 0-2π3)=513,然后根据同角关系式及和差角公式即得. 【解答过程】(1)因为f (x )=2sin x cos x +2√3sin 2x -√3 =sin2x -√3cos2x =2sin (2x -π3). 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π,∵π2+2k π≤2x -π3≤3π2+2k π,k ∈Z ,∴5π12+k π≤x ≤11π12+k π,所以f (x )的单调递减区间为[5π12+k π,11π12+k π](k ∈Z);(2)由(1)知f (x )的单调递减区间为[5π12+k π,11π12+k π](k ∈Z),∵x ∈[π4,π2],∴f (x )在[π4,5π12]上单调递增,在[5π12,π2]上单调递减,又f (5π12)=2sin π2=2,f (π4)=2sin π6=1,f (π2)=2sin2π3=√3,故f (x )min =1,f (x )max =2; 另解:∵x ∈[π4,π2], ∴t =2x -π3∈[π6,2π3],∵y =sin t 在t ∈[π6,π2]单调递增,在[π2,2π3]上单调递减, ∴当t =π2时,(sin t )max =1,f (x )max =2×1=2, ∴当t =π6时,(sin t )min =12,f (x )min =2×12=1; (3)∵f (x 0-π6)=1013,∴sin (2x 0-2π3)=513, 由x 0∈[3π4,π],得2x 0-2π3∈[5π6,4π3],∴cos (2x 0-2π3)=-1213, ∴sin2x 0=sin [(2x 0-2π3)+2π3]=sin (2x 0-2π3)cos2π3+cos (2x 0-2π3)sin 2π3=513×(-12)+(-1213)×√32=-5+12√326. 【变式6-3】(2022·黑龙江·高三阶段练习)已知函数f (x )=[(1+√2)sin x -cos x]⋅[(1-√2)sin x -cos x]. (1)求f (x )的最小正周期T 和单调递减区间;(2)四边形ABCD 内接于⊙O ,BD =2,锐角A 满足f (3A4)=-1,求四边形ABCD 面积S 的取值范围.【解题思路】(1)利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得f (x )=√2cos (2x +π4),从而可求出最小正周期,再由2kπ≤2x +π4≤2kπ+π(k ∈Z )求出其单调区间,(2)由f (3A4)=-1,求得A =π3,再由圆的性质可得C =2π3,设AB =a ,AD =b ,BC =c ,CD =d ,分别在△ABD 和△CBD 中利用余弦定理结合基本不等式可得0<ab ≤4,0<cd ≤43,从而可求出四边形ABCD 面积S 的取值范围.【解答过程】(1)[(1+√2)sin x -cos x]⋅[(1-√2)sin x -cos x]=[(sin x -cos x )+√2sin x]⋅[(sin x -cos x )-√2sin x]=(sin x -cos x )2-2sin 2x =sin 2x -2sin x cos x +cos 2x -2sin 2x=1-2sin 2x -sin2x =cos2x -sin2x=√2cos (2x +π4), ∴f (x )=√2cos (2x +π4) ∴T =π.由2kπ≤2x +π4≤2kπ+π(k ∈Z ),得kπ-π8≤x ≤kπ+3π8(k ∈Z ),所以f (x )单调递减区间为[kπ-π8,kπ+3π8](k ∈Z ). (2)由于f (3A4)=-1,根据(1)得√2cos (2×3A 4+π4)=-1,∵0<A <π2,∴A =π3,C =2π3.分别设AB =a ,AD =b ,BC =c ,CD =d .因BD =2,分别在△ABD 和△CBD 中由余弦定理得a 2+b 2-2ab cos π3=4,c 2+d 2-2cd cos2π3=4,∴a 2+b 2=4+ab ,c 2+d 2=4-cd .∵a 2+b 2≥2ab ,c 2+d 2≥2cd ,等号在a =b =2,c =d =2√33时成立,∴4+ab ≥2ab ,4-cd ≥2cd ,解得0<ab ≤4,0<cd ≤43. ∴0<ab +cd ≤163.等号在a =b =2,c =d =2√33时成立,∵S =12ab sin A +12cd sin C =√34(ab +cd ), 所以S 的取值范围是(0,4√33].。
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A. B. ∪ C. D.
3.若函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是()
A.4 B.8 C.2π D.4π
题型四三角恒等变换
例5(1)若α∈( ,π),tan(α+ )= ,则sinα=()
三角函数专题精讲精练
一.知识梳理
1.三角函数定义、同角关系与诱导公式
(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=y,
cosα=x,tanα= .各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
(2)同角关系:sin2α+cos2α=1, =tanα.
(3)诱导公式:在 +α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.
例3(求最值)(1)(图像法)[北京卷]已知函数f(x)=sin - 求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.
(2)(换元法)设|x|≤ ,函数f(x)=cos2x+sinx的值域是______.
(3)求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域.
变式训练:(全国卷II文)函数 的最大值为
(A)4(B)5(C)6(D)7
题型三三角形的面积公式
例3、[福建卷]若锐角△ABC的面积为10 ,且AB=5,AC=8,则BC等于________.
变式训练:(1)[天津卷]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3 ,b-c=2,cosA=- ,则a的值为________.
(2)(山西省太原市高三)已知 中, , , ,则 的面积为()
(3)[福建卷]已知函数f(x)的图像是由函数g(x)=cosx的图像经如下变换得到:先将g(x)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移 个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图像的对称轴方程.
题型三借用三角函数图象研究问题
例4、设常数 使方程 在闭区间 上恰有三个解 ,则 .
( +kπ,0) (k∈Z)
( ,0)(k∈Z)
对称轴方程
x= +kπ(k∈Z)
x=kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
4.二倍角公式:
(1)
5.辅助角公式
=
其中 令
由 定 ,由 的符号定 的象限。
6.正弦定理和余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则
3、设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______
例4(图像变换)(1)函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中|φ|< )的图象如图所示,为了得到
g(x)=sinωx的图象,则只要将f(x)的图象( )
A.向右平移 个单位B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位D.向左平移 个单位
题型二三角函数图像
例2(对称性及单调性)(1)[江西高三联考]已知函数f(x)=sin(ωx+ )-1(ω>0)的最小正周期为 ,则f(x)的图象的一条对称轴方程是()
A.x= B.x= C.x= D.x=
(2)(豫北六校联考)若函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点 成中心对称,
且- <φ< ,则函数y=f 为()
(2)若f = ,求cos 的值.
3.[陕西卷]△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a, b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a= ,b=2,求△ABC的面积.
4.[杭州质检]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos 2A+ =2cos A.(1)求角A的大小;(2)若a=1,求△ABC的周长l的取值范围.
[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上递减
(- +kπ, +kπ)(k∈Z)上递增
最值
x= +2kπ(k∈Z)时,ymax=1;
x=- +2kπ(k∈Z)时,ymin=-1
x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;
x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
(kπ,0)(k∈Z)
二.家庭作业
1.(成都三诊理)已知函数 。
(1)求函数 的单调递增区间;(2)将函数 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变得到函数 的图象,再将 的图象向右平衡移 个单位得到 的图象,求函数 的解析式,并求 在 上的值域
2.[重庆卷]已知函数f(x)= sin(ωx+φ) 的图像关于直线x= 对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;
题型五正余弦定理及运用
题型一正弦定理
例1、(天津文)在 中,内角 所对应的边分别为a,b,c,已知 .
(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若 ,求sinC的值。
(全国卷II)(15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 , ,a=1,则b=____________.
变式训练:(浙江文)16.(本题满分14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.
(2)(遂宁二诊)要得到函数 的图象,只要将函数 的图象(A)
A.向右平移 个单位长度,再将各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变
B.向左平移 个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变
C.向左平移 个单位长度,再将各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变
D.向右平移 个单位长度,再将各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变
(Ⅰ)证明:A=2B;
(Ⅱ)若cosB= ,求cosC的值.
题型二余弦定理
例2、(四川)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 。
(I)证明:sinAsinB=sinC;
(II)若 ,求tanB。
变式训练:(高考(上海文))在 中,若 ,则 的形状是( )
A.钝角三角形.B.直角三角形.C.锐角三角形.D.不能确定.
cosA= ;
cosB= ;
cosC=
7.三角形中常用的面积公式
(1)S= ah(h表示边a上的高).(2)S= bcsinA= absinC= acsinB.
(3)S= r(a+b+c)(r为△ABC内切圆半径).
三.典例剖析
题型一三角函数概念、诱导公式及同角关系
例1(1)(三角定义)已知点P 落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为A. B. C. D.
(1)求函数 的单调递增区间;
(2)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为 且角A满足 若 边上的中线长为3,求△ABC的面积S。
变式训练:在 中, 边上的中线为 ,求证:
多次使用正、余弦定理
例6、(安徽理)在 中, ,点D在 边上, ,求 的长。
四边形对角互补与余弦定理的多次使用
[四川卷]如图1 4所示,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.
A.6 B.12 C.5 D.10
题型四正、余弦定理的多角度使用
角平分线问题
例4、[全国卷Ⅱ]△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.
(1)求 ;(2)若AD=1,DC= ,求BD和AC的长.
【变式训练】在 中, , , 的角平分线 ,则
中线问题
例5、已知函数
A. B. C.- D.-
(2)[陕西卷]“sinα=cosα”是“cos 2α=0”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
(3)(重庆)) ( )
A. B. C. D.
(4)[重庆卷]已知函数f(x)=sin( -x)sinx- cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在 , 上的单调性.
(2)(切化弦)若tan + =4,则sin2 =( )
A. B. C. D.
(3)(弦化切)已知 ,则
A. B. C. D.
课堂练习:(1)已知α∈(-π,0),tan(3π+α)= ,则cos 的值为
A. B.- C. D.-
(2)如图,以Ox为始边作角α(0<α<π),终边与单位圆相交于点P,已知点P的坐标为 .求 的值.
A.奇函数且在 上单调递增B.偶函数且在 上单调递增
C.偶函数且在 上单调递减D.奇函数且在 上单调递减
(3)[安徽卷]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x= 时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()
A.f(2)<f(-2)<f(0)B.f(0)<f(2)<f(-2)C.f(-2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(-2)
(1)证明:tan = ;
(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan +tan +tan +tan 的值.
变式训练:(山东省潍坊市第一中学高三过程性检测·14)如图为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD的各边的长度(单位:km): ,如图所示,且A、B、C、D四点共圆,则AC的长为___________km.
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
定义域
R
R
{x|x∈R且x≠ +kπ,k∈Z}
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
单调性
[- +2kπ, +2kπ](k∈Z)上递增;