中国邮路问题及其算法

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中国邮路问题及其算法

Xxxxxx系本xxxxx班 xxxxxx

指导教师： xxxxxxx

摘要：本文利用图论中的相关概念阐述并解决中国邮路问题，通过比较不同路径，归纳总结，找到其具体算法，再利用上述方法找到的具体算法，求解实例，加以验证，然后将其推广到实际生活中，帮助人们快速找到欧拉回

路，即找到省时，省力，省钱的最佳路线，对于图论教学及理论研究均有一定

的指导意义。

关键词：中国邮路，欧拉回路，最佳路线。

China's postal problem and its algorithm

Xxxxxxxxx

Class xxxxx,The Department of mathematics

Instructor: xxxxxx

Abstract: in this paper, using the relevant concepts in this paper, the graph theory and solve the problem of China post road, through comparing the different paths, sum up, find its specific algorithm, using the above to find the specific algorithm, solving the instance, verified, and then to promote it to real life, to help people quickly find eular loop, namely find to save time, effort, save money, the best way of the graph theory teaching and theoretical research have certain guiding significance.

Key words: China post road, eular circuit, the best route.

1引言

中国邮路问题是我国着名图论学者管梅谷教授首先提出并解决的。它起初为了帮助邮递员选择一条合适道路，使其在完成任务的同时所走路程最短，后来其方法在实际生产生活中有广泛的应用，如邮政部门，扫雪车线路，洒水车路线，警车巡逻路线等，具有很强的实用价值，本文紧抓其实质与核心，通过对传统中国邮路问题研究方法的归纳总结，帮助人们快速找出欧拉回路，实现了将数学知识应用于实际生活中，服务于人类。

2中国邮路问题

图的概念

定义1 二元组()()()G E G V ,称为图，其中()G V 是非空集合，称为结点集，()G E 是()G V 诸结点之间边的集合，常用()E V G ,=表示图。

(1) 图可分为有限图与无限图两类，现只讨论V ,E 都是有限集，给定某个图()E V G ,=，如果不加特别说明，认为()n v v v v V Λ321,,=，

()m e e e e E Λ321,,=，即结点数n V =，边数m E =。

(2) 图G 的边可以是有方向的，也可以是无方向的，它们分别称为有向边 和无向边，用()j i k v v e ,=表示。

定义2 ()E V G ,=的某结点v 所关联的边数称为该结点的度，用()v d 表示。

定义3 任意两结点间最多只有一条边，且不存在自环的无向图称为简单图。

性质1 设()E V G ,=有n 个结点，m 条边，则

()()

m v d G V v 2=∑∈。 性质2 G 中度为奇数的结点必为偶数个。

定义4 若图()E V G ,=的每条边()j i k v v e ,=都赋以一个实数k w 作为该边的权，则称G 是赋权图，特别地，如果这些权都是正实数，就称G 是正权图，权可以表示该边的长度，时间，费用或容量等，如下图所示：

图

道路与回路

基本概念

定义1 有向图()E V G ,=中，若边序列()iq i i i e e e e P Λ321,,=，其中

()j i ik v v e ,=，满足i v 是1-ik e 的终点,j v 是1+ik e 的始点，就称P 是G 的一条有向道路，如果iq e 的终点是1i e 的始点，则称P 是G 的一条有向回路。

如果P 中的边没有重复出现，则分别称为简单有向道路和简单有向回路，进而，如果P 中结点也不重复出现，又分别称它们为初级有向道路或初级有向回路，简称为路或回路。显然，初级有向道路（回路）一定是简单有向道路（回路）。如下图所示：

图边序列()7545,,,e e e e 是有向道路；边序列()37545,,,,e e e e e 是有向回路； 边序列()2145,,,e e e e 是简单有向道路；边序列()32145,,,,e e e e e 是简单有向回路； 边序列()21,e e 是初级有向道路；边序列()321,,e e e 是初级有向回路。

定义2 无向图()E V G ,=中，若点边交替序列()iq iq i i i i v e e v e v P ,,,,12211-=Λ满足ik v ,1+ik v 是ik e 的两个端点，则称P 是G 中的一条链或道路；如果1i iq v v =,则称P 是G

图边序列()6454,,,e e e e 是道路；边序列()36454,,,,e e e e e 是回路；

边序列()2154,,,e e e e 是简单道路；边序列()32154,,,,e e e e e 是简单回路； 边序列()21,e e 是初级道路；边序列()321,,e e e 是初级回路。

定义3 设G 是无向图，若G 的任意两结点之间都存在道路，则称G 是连通图，否则称为非连通图。

欧拉回路

定义1 对于连通的无向图G ，若存在一简单回路，它通过G 的所有边，则这回路称为G 的Euler 回路。

定理1 无向连通图G 存在欧拉回路的充要条件是G 中各结点的度都是偶数。

推论1 若无向连通图G 中只有2个度为奇数的结点，则G 存在欧拉道路。