3-3向量空间的基、维数

1
0
3 2
3
3 1
0
0
1
1
2 3
因A 有 ~E，a故 1,a2,a3为 R3的一个基
2 4
3 3
b1 , b2
(a1 ,a2
,a3
)
2 3
1 .
1
2 3
即
x11 (b1,b2) (a1,a2,a3) x21
x31 记B 作 A.X
x12 x22, x32
对矩(A阵 B)施行初等行A变 能换 变E， 为若
则a1,a2,a3为R3的一个基A， 变且 为 E时当 ， B变为 XA1B.
2 2 1 1 4 (A B) 2 1 2 0 3
1 2 2 4 2
第三节 向量空间的基、维数
1、向量空间的概念
定义1 设 V为 n维向量的集合，如果集合V非空，
且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 V为向量空间． 说明
1．集合V对于加法及乘数两种运算封闭指
若 V , V ,则 V ;
若 V , R ,则 V .
2．n维向量的集合是一个向量空间,记作R n.
1
3(r1
r2
~
r3)
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
1
3(r1
r2
~
r3)
1 1 1 2 1 2 1 2 2
1 0 4
3 3 2
~ r2 2 r1
r3 r1
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
~ r2 2 r1
r3 r1
1 1 1 1 3 0 3 0 2 3 0 3 3 5 5
1 2 2
1 4
B(b1,b2) 0 3,
4 2
验a证 1,a2,a3,是 R3的一个b 基 1,b2用 ，这 并个 把
线性. 表示
解要a证 1,a2,a3是 R3的一个基a， 1,a2只 ,a3 要 线性无关， A~即 E. 只要证
设 b1x1a 11x2a 12x3a 13, b2x1a 21x2a 22x3a 23，
3、向量空间的基与维数
定义3 设 V是向量空间，如果 r个向量 1,2,
,rV，且满足
(1)1,2,,r线性;无关
(2V )中任一 向 1,2, 量 ,r线 都性 可 . 表
那末，向量组 1,2,,r就称为向量 V的一个
基，r称为向量空间 V的维数，并称 V为 r维向量
空间．
说明
（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量 空间，因此它没有基．
r2r3~(33)
1 1 1 1 3
0 1
0
2
1
3
0 1
1
5 3
5 3
r2r3~(33)
r1
~
r3
r3 r2
1 1 1 1 3
0 1
0
2
1
3
0 1
1
5 3
5 3
1 0 0 2 4
0
1
0
3 2
3 1
3
0
0
1
1
2 3
1 0 0 2 4
~ (A B)初等行变换0
一般地，由向a量 1,a2组 ,,am所生成的向
间 为
V x 1 a 1 2 a 2 m a m 1 , 2 , , m R
2、子空间
定义2 设有向量空间 V 1及V 2 ，若向量空间V1 V2， 就说 V 1 是 V 2 的子空间． 实例
设V是由 n维向量所组成的向量空间， 显V 然 R n 所V 以 总是 Rn的子.空间
（2）若把向量空间 V看作向量组，那末V的基 就是向量组的最大无关组, V的维数就是向量组的 秩.
（3）若向量组 1Fra Baidu bibliotek2,,r是向量空间V的一
个基，则 V可表示为 V x 1 1 2 2 r r 1 , , r R
例 1 设矩阵
2 2 1
A(a1,a2,a3) 2 1 2,