离散数学习题五

习题五

1.设个体域D={a,b,c}，在D 中消去公式(()())x F x yG y ∀∧∃的量词。甲乙用了不同的演算过程：

甲的演算过程如下：

(()())

(()(()()()))

(()(()()()))

(()(()()()))

(()(()()()))

(()()())(()()())x F x yG y x F x G a G b G c F a G a G b G c F b G a G b G c F c G a G b G c F a F b F c G a G b G c ∀∧∃⇔∀∧∨∨⇔∧∨∨∧∧∨∨∧∧∨∨⇔∧∧∧∨∨

乙的演算过程如下：

(()())

()()

(()()())(()()())

x F x yG y xF x yG y F a F b F c G a G b G c ∀∧∃⇔∀∧∃⇔∧∧∧∨∨ 显然，乙的演算过程简单，试指出乙在演算过程中的关键步骤。

解：乙在演算中的关键步骤是，在演算开始就利用量词辖域收缩与扩张等值式，将量词的辖域缩小，因而演算简单。

2. 设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词：

(1)(()())

(2)(()())

(3)()()

(4)(,)())x y F x G y x y F x G y xF x yG y x F x y yG y ∀∃∧∀∃∨∀→∀∀→∃（

解：

（1）))()()(())()()((c G b G a G c F b F a F ∨∨∧∧∧

（2）))()()(())()()((c G b G a G c F b F a F ∧∧∨∧∧

（3）))()()(())()()((c G b G a G c F b F a F ∧∧→∧∧

（4）))()()(()),(),(),((c G b G a G y c F y b F y a F ∨∨→∨∨

在（1）（2）（4）中均将量词的辖域缩小，所以演算结果都比较简单

3. 设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释1I 和2I ，使得下面公式在1I 下都是真命题，而在2I 下都是假命题。

（1）(()())x F x G x ∀→

（2）(()())x F x G x ∃∧

解：

解释I1为：个体为实数集合R ，F(x)：x 为自然数，G(x)：x 为整数。在I1下，（1）为自然数都是整数，（2）为存在整数为自然数。他们都是真命题

解释I2为：个体域仍为实数集R ，F(x)：x 是无理数，G(x)：x 能表示成分数，在I2下，（1）为无理数都能表示成分数，（2）为存在能表示成分数的无理数，他们都是假命题

4. 给定公式()()A xF x xF x =∃→∀

（1）在解释1I 中，个体域1D ={a}，证明公式A 在1I 下的真值为1.

（2）在解释2I 中，个体域2D ={12,,,n a a a L }，2n ≥,A 在2I 下的真值还一定是1吗？为什么？

解：

（1）在I1下，1)()()()()()(⇔∨⌝⇔→⇔∀→∃a F a F a F a F x xF x xF

（2）在I2下

))()()(())()()(()()(2121n n a F a F a F a F a F a F x xF x xF ∧∧∧→∨∨∨⇔∀→∃ΛΛ

为可满足式，设F(x)：x 为奇数，2,,2,1,≥==n n i i a i K ，此时，蕴涵式前件为真，后件为假，故蕴含式为假，若令F(x)；x 为整数，则蕴含式前后件均为真，所以（2）中公式在I2下为可满足式

5. 给定解释I 如下：

（a ）个体域D={3,4}；

（b ）()f x 为(3)4,(4)3;f f ==

（c ）(,)F x y 为(3,3)(4,4)0,(3,4)(4,3) 1.F F F F ====

试求下列公式在I 下的真值。

(1)(,)

(2)(,)

(3)(,)((),()))

x yF x y x yF x y x yF x y F f x f y ∀∃∃∀∀∀→

解：

（1） 1

1

1))

4,4()3,4(())4,3()3,3(())

4,()3,(()

,(⇔∧⇔∨∧∨⇔∨∀⇔∃∀F F F F x F x F x y x yF x （2）

)4,4()3,4(())4,3()3,3(())

4,()3,((⇔∧∨∧⇔∧∃⇔F F F F x F x F x

（3）

1

))))4(),4(()4,4(()))3(),4(()3,4(((())))4(),3(()4,3(()))3(),3(()3,3(((())))

4(),(()4,(()))3(),(()3,(((⇔→∧→∧→∧→⇔→∧→∀⇔f f F F f f F F f f F F f f F F f x f F x F f x f F x F x

6.甲使用量词辖域收缩与扩张等值式进行如下演算

),()())

,()((y x G x xF y x G x F x →∃⇔→∀

乙说甲错了，乙说的对吗？为什么？

解：乙说的对，甲错了，全称量词∀的指导变元x ，辖域为)),()((y x G x F →，其中F(x)与G(x,y)都是x 的约束变元，因而不能讲量词的辖域变小

7.请指出下面等值运算的两处错误

)),())()((())

,()(()(())

,()(()((y x H y G x F y x y x H y G x F y x y x H y G x F y x →∧∃∀⇔→∧∃∀⇔→∧∀⌝∃

解：

演算的第一步，应用量词辖域收缩与扩张算值式时丢掉了否定连接词⌝，演算的第二步，在原错的基础上又用错了等值式

)),()()((y x H y G x F →∧和)),()()((y x H y G x F →∧不等值

8.在一阶逻辑中将下列命题符号化，要求用两种不同的等值形式

（1）没有小于负数的正数

（2）相等的两个角未必都是对顶角

解：

（1）))()(())()((x F x G x x G x F x ⌝→∀⇔∧⌝∃ 其中F(x)：x 小于负数，G(x)：x 是正数

（2）)),(),()()((),(),()()((y x L y x H y F x F y x y x L y x H y F x F y x ⌝∧∧∧∃∃⇔→∧∧∀⌝∀其中F(x)：x 是角，H(x,y)：x=y ，L(x,y)：x 和y 是对顶角

9.设个体域D 为实数集合，命题“有的实数既是有理数又是无理数”，这显然是个假命题。可是某人却说这是真命题，其理由如下

设F(x)：x 是有理数，G(x ）：x 是无理数。)(),(x xG x xF ∃∃都是真命题，于是，

))()(()()(x G x F x x xG x xF ∧∃⇔∃∧∃