第10章 动量定理

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第10章 动量定理

10.1 主要内容

10.1.1 质点系动量及冲量的计算

质点的动量为

v K m =

质点系的动量为

C i i m m v v K ∑=∑=

式中m 为整个质点系的质量；对于刚体系常用i C i i m v k K ∑=∑=计算质点系的动量，式中v Ci 为第i 个刚体质心的速度。

常力的冲量

t ⋅=F S

力系的冲量

⎰∑=∑=2

1d )(t t i i t t F S S 或

⎰⎰=∑=2

121d )(d )(R t t t t i t t t t F F S 10.1.2 质点系动量定理

质点系动量定理建立了质点系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即

)(d d e i t

F K ∑= （1）质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。

（2）质点系动量守恒定律：当作用于质点系的外力系的主矢量0)(=∑e i

F ，质点系动量守恒，即K =常矢量。或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质点系的动量在此轴

上的投影守恒，如0=∑x F ，则x K =常量。

10.1.3 质心运动定理

质点系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。即 ()())(d d d d e i i i c m t

M t F v v ∑=∑= 对于刚体系可表示为

)(1Ci e i n i m F a

∑=∑=

式中a Ci 表示第i 个刚体质心的加速度。

10.1.4 定常流体流经弯管时的动约束力

定常流体流经弯管时，v C =常矢量，流出的质量与流入的质量相等。若流体的流量为Q ，密度为ρ。流体流经弯管时的附加动约束力为

226 )(12N

v v F -=''Q ρ 式中v 2,v 1分别为出口处和入口处流体的速度矢量。

10.2 基本要求

1． 能理解并熟练计算动量、冲量等基本物理量。

2． 会应用动量定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的情形。当外力主矢量为零时，会应用动量守恒定理求运动的问题。

3． 会求解定常流体流经弯管时的附加动反力。

4． 会应用质心运动定理解决质点系动力学两类问题。

10.3 重点讨论

动量定理的应用

应用质点系动量定理一般可解决质点系动力学的两类问题。一类是已知质点系的运动，这里指的是用动量及其变化率或质心的加速度所表示的运动，求作用在质点系上外力系中的未知约束力。另一类是已知作用于在质点系上的外力系或外力系在某一坐标轴上的投影，求质点系的动量变化率或质心的加速度。

应用动量定理解质点系动力学问题时，应注意以下几点：

1．质点系动量的变化与内力无关。应用动量定理时，必须明确研究对象，分清外力与内力，只需将外力表示在受力图上。

2．应用动量定理可解决质点系动力学的两类问题，即已知力求运动的问题和已知运动求力的问题。一般用动量定理求未知约束力。

当外力系的主矢量为零时，系统的动量守恒，即

0)(=∑e i F ，i C i i m v k K ∑=∑==常矢量

当外力系的主矢量在某一轴（如x 轴）上投影为零时，系统的动量在该轴上的分量为一常数，即

0)(=∑e ix F ，Cx ix i x mv v m K ==∑=常数

对于刚体系可表示为

Cix i v

m ∑=常数 利用以上动量守恒的关系，可以确定系统的运动。

10.4 例题分析 例10-1 一水柱以速度 v 沿水平方向射入一光滑叶片。设水柱的射入速度与叶片相切，水柱的截面积为A ，密度为 ρ，水柱离开叶片时的倾角为θ，不计水柱的重量。若叶片固定不动，求叶片对水柱的附加动约束力主矢的分量F x 和F y 。

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解：选择叶片上的水柱为研究对象。因AB 、CD 两处截面积A 和密度 ρ 均相等，所以v 1＝v 2＝v ，叶片仅改变水流速的方向。由动约束力的计算公式

)(12N

v v F -=''Q ρ 向x 、y 方向投影，有

()1cos 2-=-θρAv F x

得

()θρcos 12-=Av F x

或

θρsin 2Av F y =

例10－2 质量为m A 的小棱柱体A 在重力作用下沿着质量为m B 的大棱柱B 的斜面滑下，设两柱体间的接触是光滑的，其斜角均为θ，如图。若开始时，系统处于静止，不计水平地面的摩擦。试求此时棱柱体B 的加速度a B 。

解：由整体受力图看出，0=∑x F ，所以整个系统在 x 方向的动量守恒。

初始时系统静止，即

Bx B Ax A x v m v m K +=B B B A v m v v m --=)cos (r θ＝0

得

θcos r v m m m v B

A A

B +=

（a ） 将式（a ）求导，得 θcos r a m m m a B

A A

B += （b ）

228 式中还包含一个未知量a r 。因此，解决此问题还必须找到其他方程。由题设条件，棱柱体A 沿棱柱体B 滑下，由动能定理

W T T =-0

其中 00=T

2r 22r 22221)cos 2(2121)(21B B B B A B B Ay Ax A v m v v v v m v m v v m T +-+=

++=

θ 得

θθsin 02

1)cos 2(21r 2r 22r gs m v m v v v v m A B B B B A =-+-+ （c ） 将式（d ）代入上式并化简可得

()()

θθθsin cos cos 21r 222s g m m m m m m m v A A A B A B A B =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-++ （d ） 将式（d ）对t 求导，且r r d d v t

s =，再与式（a ）、式（b ）联立求解得 θθ

θsin cos sin 2g m m m a A B A B =+ 于是求得 ()

B A A B A A B m m g m m m g m a +=+=θθθθθ22sin 22sin sin sin cos 例10－3 真空中斜向抛出一物体，在最高点时，物体炸裂成两块，一块恰好沿原轨道返回抛射点O ，另一块落地点的水平距离OB 则是未炸裂时应有水平距离OB 0的两倍，求物体炸裂后两块质量之比。

解：设炸裂后两物块的质量分别为m 1与m 2，炸裂前共同速度为v ，炸裂后的速度分别为v 1与v 2。

在最高点时，由于0=∑x F ，所以系统在 x 方向动量守恒，即常数=x K ，于是有

()221121v m v m v m m -=+ （a ）

为求出速度v 、v 1、v 2之间的关系，则由题意设下落的水平距离02OB OB =，即

0000003B A B B B A B A =+= （b ）