高中数学正余弦定理测试题

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高中数学巧证正弦定理、余弦定理和射影定理必修5 试题

卜人入州八九几市潮王学校巧证正弦定理、余弦定理和射影定理苍山县东苑高中刘宗保
如图，在三角形ABC 中，边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c.
以A 为原点，经过B 的直线为x 轴，如图建立直角坐标系.
那么A 、B 、C 的坐标分别为
)(0,0、)(0,c 、)(A b A b sin ,cos
所以BC =)(A b A b sin ,cos ()0,c -(A b c A b sin ,cos -=作B -角的终边AD,使得a AD =||. 那么D 的坐标为()()()B a B a --sin ,cos ,并且
BC =AD -=()()()B a B a ---sin ,cos =(B a ,cos -由BC =AD -
得同理可证
由||||AD BC -=得()()a A b c A b =--22sin cos
同理可证
综上A a sin =C
c B b sin sin =〔正弦定理〕 ⎪⎩
⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222〔余弦定理〕
⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=+=A b B a c C a A c b B c C b a cos cos cos cos cos cos (射影定理)
附：录唐人朱庆馀近试呈张水部诗赠崔教师
昨夜洞房停红烛，待晓堂前拜舅姑。

妆罢低声问夫婿，画眉深浅入时无。

高中数学必修3综合测试题

正弦定理和余弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6解析由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，由正弦定理得：a sin A ＝csin C ，即1032＝c 22.∴c ＝1063.答案 C 2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的值为( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.答案 B3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°.答案 C4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )． A ．3 3 B ．2 3 C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π，∴sin C ＝223， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3. 答案 C5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________．解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝150°为三角形的最大内角．答案 150°考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c . 解由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°， ∴sin A ＝32.∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin Csin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin Csin B ＝6－22.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．【训练1】在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝______a ＝________. 解析因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin Acos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，代入数据解得a ＝210.答案255 210考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．[审题视点] 由cos B cos C ＝－b2a ＋c ，利用余弦定理转化为边的关系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π. (2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.【训练2】已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0. (1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由2cos 2 A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3. (2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4，故△ABC ＝12bc sin A ＝ 3.考向三利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状．[审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．解由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]，即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cos B sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ，由于A ，B 是三角形的内角．故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【训练3】在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ；则△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)． ∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C .即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B考向三正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎨⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.(2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6， a ＝433，b ＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2. (1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20. 所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.【示例】►在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b ＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．正解∵在△ABC中，cos(B＋C)＝－cos A，∴1＋2cos(B＋C)＝1－2cos A＝0，∴A＝π3.在△ABC中，根据正弦定理asin A＝bsin B，∴sin B＝b sin Aa＝22.∵a＞b，∴B＝π4，∴C＝π－(A＋B)＝5 12π.∴sin C＝sin(B＋A)＝sin B cos A＋cos B sin A＝22×12＋22×32＝6＋24.∴BC边上的高为b sin C＝2×6＋24＝3＋12.【试一试】△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B ＋b cos2A＝2a.(1)求b a；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.[尝试解答](1)由正弦定理得，sin2A sin B＋sin B cos2A＝2sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sin A.故sin B＝2sin A，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cos B＝(1＋3)a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cos B＞0，故cos B＝22，所以B＝45°.高中数学必修3综合测试题一、选择题1、已知一组数据为20、30、40、50、60、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为（）A、中位数 >平均数 >众数B、众数 >中位数 >平均数C、众数 >平均数 >中位数D、平均数 >众数 >中位数2、某影院有60排座位，每排70个座号，一次报告会坐满了听众，会后留下座号为15的所有听众60人进行座谈，这是运用了（）A、抽签法B、随机数法C、系统抽样法D、分层抽样法3、某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生（）A、100人B、60人C、80人D、20人4、一个均匀的正方体，把其中相对的面分别涂上红色、黄色、蓝色，随机向上抛出，正方体落地时“向上面为红色”的概率是（）A、1/6B、1/3C、1/2 D 5/65、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）A、角度和它的正切值B、人的右手一柞长和身高C、正方体的棱长和表面积D、真空中自由落体运动物体的下落距离和下落时间6、为了解A、B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取8个进行测试，下面列出了每一种轮胎行驶的最远里程数（单位：1000km）轮胎A：108、101、94、105、96、93、97、106轮胎B：96、112、97、108、100、103、86、98你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定（）A、轮胎AB、轮胎BC、都一样稳定D、无法比较7、我们对那大中学高二（1）班50名学生的身高进行了调查，按区间145--150，150--155，…，180—185（单位：cm）进行分组，得到的分布情况如下图所示，由图可知样本身高在165--170的频率为（）A、0.24B、0.16C、0.12D、0.208、一个射手进行一次射击，则事件“命中环数小于6环”的对立事件是（）A、命中环数为7、8、9、10环B、命中环数为1、2、3、4、5、6环C、命中环数至少为6环D、命中环数至多为6环9、从一副标准的52张的扑克牌中随机地抽取一张，则事件“这张牌是梅花”的概率为（）A、1/26B、13/54C、1/13D、1/410、从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B = “抽到二等品”，事件C =“抽到三等品”，且已知 P（A）= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1。

北师大版高中数学必修五《正、余弦定理》同步检测训练.docx

20米 30米 150°高中数学学习材料唐玲出品吉安三中北师大必修五《正、余弦定理》同步检测训练姓名：得分：一、选择题：1．在△ABC 中，︒=∠︒=︒=70,50sin 2,10sin 4C b a ，则△ABC 的面积为（）A.81 B. 41 C.21D. 12．在△ABC 中，一定成立的等式是( )A ．asinA ＝bsinB B ．acosA ＝bcosBC ．asinB ＝bsinAD ．acosB ＝bcosA3．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）A ．b = 10，A = 45°，B = 70° B ．a = 60，c = 48，B = 100°C ．a = 7，b = 5，A = 80°D ．a = 14，b = 16，A = 45°4．已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．x>2B ．x<2C ．2<x<2 2D ．2<x<2 35．一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对边的长是46，那么120°角所对边的长是( )A ．4B ．12 3C ．4 3D ．126．下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是（）A.sin A +cos A =51B.AB ·BC ＞0C.tan A +tan B +tan C ＞0D.b =3，c =33，B =30° 7．某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（） A ． 450a 元 B ．225 a 元 C ． 150a 元 D. 300a 元8．在△ABC 中，若sinA a ＝cosB b ＝cosCc ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形 9．在△ABC 中，已知b ＋c ＝m ，∠B＝α，∠C＝β，则a 等于( )A.msin αsin α＋sin βB.msin βsinα＋sin β C.α＋βsin α＋sin βD.α＋βsin α＋sin β10．在△ABC 中，c ＝2，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A.32B. 3 C ．3 3D ．3二、填空题11．在△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围是 12．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km13．如图，在△ABC 中，若∠A＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝________.14．在△ABC 中，∠A 满足条件3sinA ＋cosA ＝1，AB ＝2 cm ，BC ＝2 3 cm ，则∠A＝________，△ABC 的面积等于________cm 2. 三、解答题15．在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB .16．(2009·天津卷)在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sinC ＝2sinA.(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．17．在△ABC 中，a ＝10，b ＝56，A ＝45°，解这个三角形．18．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，求证：a 2－b 2c 2 ＝sin （A －B ）sin C.19．如图，有两条相交成60角的直线XX '、YY '，交点是O ，甲、乙分别在OX 、OY 上，起初甲离O 点3千米，乙离O 点1千米，后来两人同时用每小时4千米的速度，甲沿XX ' 方向，乙沿Y Y '方向步行，（1）起初，两人的距离是多少？（2）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？吉安三中北师大必修五《正、余弦定理》同步检测训练答案一、选择题： 1．解析： S ABC ∆=C ab sin 21=4sin10 sin50 sin70 =4cos20 cos40 cos80 = 20sin 20sin 80cos 40cos 20cos 4= 20sin 80cos 40cos 40sin 2=20sin 2160sin =21答案：C2．解析：∵a＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，∴a·sinB＝2RsinA·sinB， b·sinA＝2RsinA·sinB，∴a·sinB＝b·sinA.答案：C3．解：A,B 可根据余弦定理求解，只有一解，选项C 中，A 为锐角，且a>b, 只有一解. 选项D 中bsin A<a<b 所以有两个解。

人教版高中数学必修5测试题及答案全套(20200731141056).pdf

(2) 何时两人距离最近
16．在△ ABC中， a， b， c 分别是角 A，B， C的对边，且 cosB cosC
(1) 求角 B 的值；
b
.
2a c
(2) 若 b＝ 13 ，a＋ c＝ 4，求△ ABC的面积 .
第二章数列
测试三数列
Ⅰ 学习目标
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法 ( 列表、图象、通项公式 ) ，了解数列是一种特殊的函数 .
7．在等差数列 { an} 中，已知 a1＋a2＝ 5， a3＋ a4＝ 9，那么 a5＋ a6＝ ________.
8．设等差数列 { an} 的前 n 项和是 Sn，若 S17＝ 102，则 a9＝________. 9．如果一个数列的前 n 项和 Sn＝ 3n2＋ 2n，那么它的第 n 项 an＝________. 10．在数列 { an} 中，若 a1＝ 1， a2＝ 2， an＋ 2－an＝ 1＋ ( －1) n( n∈ N*) ，设 { an} 的前 n 项和是 Sn，则 S10＝ ________.
三、解答题
11．已知数列 { an} 是等差数列，其前 n 项和为 Sn， a3＝7， S4＝ 24．求数列 { an} 的通项公式 .
12．等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，已知 a10＝30， a20＝ 50. (1) 求通项 an； (2) 若 Sn＝ 242，求 n.
13．数列 { an} 是等差数列，且 a1＝50， d＝－． (1) 从第几项开始 an＜ 0； (2) 写出数列的前 n 项和公式 Sn，并求 Sn 的最大值 .
②cos( A＋ B) ＝ cos C ③ sin A
B
C cos
2
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2021_2022学年高中数学第一章正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理作业1新人教A版必修5

1.1.2余弦定理基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．10[答案] A[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a 2＝52＋(53)2－2×5×53×cos30°， ∴a 2＝25，∴a ＝5.2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于( ) A ．π3B ．π6C ．2π3D ．π3或2π3[答案] C[解析] ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－c 2－bc 2bc ＝－12，又∵0<A <π，∴A ＝2π3.3．(2014·全国新课标Ⅱ理，4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1[答案] B[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×1×sin B ＝12，∴sin B ＝22， ∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．当B ＝3π4时，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B ．4．(2014·江西理，4)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 3[答案] C[解析] 本题考查正弦、余弦定理及三角形的面积公式．由题设条件得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.选C ．5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( ) A ．14 B ．34 C ．24D ．23[答案] B[解析] 由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a ＝34.6．(2015·广东文，5)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝2，c ＝23， cos A ＝32，且b ＜c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D ． 3[答案] C[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝b 2＋12－6b ，即b 2－6b ＋8＝0， ∴b ＝2或b ＝4. 又∵b <c ，∴b ＝2.二、填空题7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角) [答案] 锐角[解析] 由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cos α＝16＋25－362×4×5＝18>0，因此0°<α<90°. 8．若2、3、x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为________． [答案] (5，13)[解析] 长为3的边所对的角为锐角时，x 2＋4－9>0，∴x >5，长为x 的边所对的角为锐角时，4＋9－x 2>0，∴x <13， ∴5<x <13.三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .[解析] 解法一：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°.a ＋c ＝8，ac ＝15，则a 、c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根．解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19.∴b ＝19.解法二：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，已知sin C ＝12，a ＝23，b ＝2，求边c .[解析] ∵sin C ＝12，且0<C <π，∴C 为π6或5π6.当C ＝π6时，cos C ＝32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2. 当C ＝5π6时，cos C ＝－32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝28，即c ＝27.能力提升一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A ．322B ．332C ．32D ．3 3[答案] B[解析] 由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－1322×3×4＝12，所以sin A ＝32. 则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332，故选B ． 2．在△ABC 中，∠B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形[答案] B[解析] 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12，则(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又∠B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．3．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 在△ABC 中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则cos B ＝49＋25－362×5×7＝1935.又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B ) ＝－|AB →|·|BC →|cos B ＝－7×5×1935＝－19.4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3[答案] B[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.二、填空题5．(2015·重庆文，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. [答案] 4[解析] ∵3sin A ＝2sin B ， ∴3a ＝2b ，又∵a ＝2，∴b ＝3. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×(－14)＝16，∴c ＝4.6．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________.[答案] －83[解析] 由余弦定理，得BC 2＝22＋12－2×2×1×(－12)＝7，∴BC ＝7，∴cos B ＝4＋7－12×2×7＝5714.∴AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC →＝AB →·BC →＋BD →·BC → ＝－2×7×5714＋73×7×1＝－83.三、解答题7．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积． [解析] 如图，连结AC ．∵B ＋D ＝180°，∴sin B ＝sin D ．S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB ·BC ·sin B ＋12AD ·DC ·sin D ＝14sin B ．由余弦定理，得AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ，即40－24cos B ＝32－32cos D ．又cos B ＝－cos D ， ∴56cos B ＝8，cos B ＝17.∵0°<B <180°，∴sin B ＝1－cos 2B ＝437. ∴S 四边形ABCD ＝14sin B ＝8 3.8．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a 、c 的值； (2)求sin(A －B )的值．[解析] (1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9.由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝429. 由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝223，∵a ＝c ，∴A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13.∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c 且a ＝3，C ＝60°，△ABC 的面积为332，求边长b 和c .[解析] ∵S △ABC ＝12ab sin C ，∴332＝12×3b ×sin60°＝12×3b ×32， ∴b ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×cos60° ＝9＋4－2×3×2×12＝7，∴c ＝7.。

高中数学必修5：正弦定理与余弦定理知识点及经典例题(含答案)

正弦定理与余弦定理【知识概述】在△ABC 中，a , b, c 分别为内角A, B, C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径. 1. 正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === 定理变式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin = ,sin sin ,sin sin ,sin sin C b B c A c C a A b B a ===C B A c b a sin :sin :sin ::=2.余弦定理：C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2,cos 2,cos 2222222222-+=-+=-+=定理变式：,2cos ,2cos ,2cos 222222222abc b a C ac b c a B bc a c b A -+=-+=-+=3.射影定理：,cos cos ,cos cos ,cos cos A c C a c A c C a b B c C b a +=+=+=4.面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆【学前诊断】1．[难度] 易在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．[难度] 易在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或3．[难度] 易在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 且ba b a c -=-222，∠C = .【经典例题】例1．在△ABC 中，若 ,则△A =45°，a = 2,c ，则△B =_______, b =___________.例2．已知△ ABC 满足条件cos cos ,a A b B =判断△ ABC 的形状.例3．在△ABC 中，△A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且满足 cos3.25A AB AC =⋅= （1）求△ ABC 的面积；（2）若b + c =6，求a 的值．例4．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++ （1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.例5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是 a ，b ，c ，已知 c =2，C =π3．（1）若△ABC a ，b ；（2）若sin 2sin B A =，求△ABC 的面积．【本课总结】一、合理选择使用定理解三角形需要利用边角关系，正弦定理和余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理，如何恰当的选择公式则是解题的关键，一般来说，如果题目中含有边的一次式或角的正弦，可考虑选择正弦定理，如果题目中含有边的二次式或角的余弦，可考虑选择余弦定理.二、确定三角形的形状常用归一法在解三角形的题目中，条件中往往会同时涉及边和角，解题策略则是选择合适的公式把已知条件转化成只含有边或角的关系式.三、解三角形主要涉及的问题解三角形主要处理的是三角形中各边的长度、角的大小以及三角形面积等问题，在三角形中有六个基本元素，三条边、三个角，通常是给出三个独立条件，可求出其它的元素，如果是特殊三角形，如直角三角形，则给出两个条件就可以了.如，若已知两边a,b 和角A,则解的情况如下：（1）当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解. （2）当A 为锐角时，如果a≥b ，那么只有一解；如果a<b ，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若>sin a b A ，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解.【活学活用】1．[难度] 易在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，A =60°，a =3，b =1，则c 的值为（） A. 1 B. 2 C. 3－1 D. 32. [难度] 易△ABC 中，若a =2b cos C ，则△ABC 的形状一定为（） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形3. [难度] 中在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足c a )13(-=，tan 2tan B a cC c-=，求A 、B 、C 的大小.。

高中数学三角函数正弦余弦定理解答题(1)题目

《三角函数、正弦余弦定理》1、已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若21sin sin cos cos =-C B C B ．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,32=+=c b a ，求ABC ∆的面积．2、已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量)1,(cos ),sin 31,1(A n A m =-= ，且n m ⊥. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a c b 3=+，求)6sin(πB +的值.3、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.(1)若sin(A＋π6)＝2cos A，求A的值；(2)若cos A＝13，b＝3c，求sin C的值．4、如图，函数y =2sin(ϕπ+x ),x ∈R,(其中0≤ϕ≤2π) 的图象与y 轴交于点（0，1）.(Ⅰ)求ϕ的值； (Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求.的夹角的余弦与PN PM5、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2sin2B＋C2－12cos 2A＝74．(1)求角A的度数；(2)若a＝3，b＋c＝3(b>c)，求b和c的值．6、已知函数)0(43)6sin(sin )(>-+=ωπωωx x x f ，且其图象的相邻对称轴间的距离为4π. (I) 求)(x f 在区间]89,1211[ππ上的值域；（II ）在锐角ABC ∆中，若,21)8(=-πA f ,2,1=+=c b a 求ABC ∆的面积.7、已知△ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且22cos ,12B B b ==.（1）若512A π=，求边c 的大小；（2）若2a c =，求△ABC 的面积．8、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b B A =cos cos ，且32π=∠C ．（Ⅰ）求角A ，B 的大小；（Ⅱ）设函数x A x x f cos )sin()(++=，求)(x f 在]3,6[ππ-上的最大值．9、已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2. (Ⅰ)当]125,12[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值和最大值; (Ⅱ)设△ABC 的对边分别为,,a b c ，若c =3，0)(=C f ，sin 2sin B A =，求,a b 的值.10、设△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知cos (2)cos b C a c B =-. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若[0,)x π∈，求函数()sin()sin f x x B x =-+的值域.11、已知函数)6(,8)0(,cos 2cos sin 2)(2==+=πf f x b x x a x f 且（１）求实数,a b 的值；（２）求函数)(x f 的最小正周期及其单调增区间12、已知α为第二象限角，且)252sin()4cos(,1312sin πααπα+-=求的值.13、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且coscosBCba c=-+2.（I）求角B的大小；（II）若b=，求△ABC的面积最大值.14、已知函数.cos sin 4sin 3cos 35)(22x x x x x f -+=（Ⅰ）当R x ∈时，求)(x f 的最小值；（Ⅱ）若2474ππ≤≤x ，求)(x f 的单调区间。

正余弦定理习题加答案详解超级详细

20．（2016•鹰潭一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a﹣c
∴由余弦定理可得：cosC= = = ．
故答案为：．
14．（2016•抚顺一模）已知△ABC的周长为 +1，且sinA+sinB= sinC，则边AB的长为1．
【解答】解：由题意及正弦定理，得：AB+BC+AC= +1．
BC+AC= AB，
两式相减，可得AB=1．
故答案为：1．
15．（2016•长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于1．
（1）求角A的值；
（2）若a= ，则求b+c的取值范围．
【解答】解：（1）在锐角△ABC中，根据（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2 =a﹣2a• ，
利用正弦定理可得（sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），
即sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，
【解答】解：（1）∵ ．
∴由正弦定理，得，化简得cosA= ，
∴A= ；
（2）∵∠B= ，∴C=π﹣A﹣B= ，
可知△ABC为等腰三角形，
在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7= ，
解得b=2，
∴△ABC的面积S= b2sinC= = ．
19．（2016•平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b﹣2c）cosA=a﹣2aco模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）

(完整版)正余弦定理习题加答案详解超级详细

正余弦定理高中数学组卷一．选择题（共9小题）1．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B． C． D．2．（2016•潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2016•岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：14．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形5．（2016•河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（）A．B．C．D．6．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C．D．或7．（2016•岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2C．D．8．（2016•新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（）A．B．C．D．9．（2016•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）10．（2016•上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=．11．（2016•丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于．12．（2016•焦作一模）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于．13．（2016•潍坊一模）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．14．（2016•抚顺一模）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为．15．（2016•长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于．16．（2016•湖南校级模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则b=．三．解答题（共4小题）17．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．18．（2016•安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．19．（2016•平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b ﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围．20．（2016•鹰潭一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a ﹣c（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．正余弦定理高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2016•太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B． C． D．【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S△ABC=，∴bcsinA=bc=，∴bc=3，①又a=2，A是锐角，∴cosA==，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，∴b+c=2②由①②得：，解得b=c=．故选A．2．（2016•潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：当sinA=sinB时，则有A=B，则△ABC为等腰三角形，故sinA=sinB是△ABC 为等腰三角形的充分条件，反之，当△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，若是A=C≠60时，则sinA≠sinB，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件．故选A．3．（2016•岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．故选：C．4．（2016•大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，∴sinBcosB=sinAcosA∴sin2A=sin2B∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，即有△ABC为等腰或直角三角形．故选C．5．（2016•河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则∠B=（）A．B．C．D．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：=，即c2﹣b2=ac﹣a2，∴a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，∵B为三角形的内角，∴B=．故选：C．6．（2016•宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C．D．或【解答】解：由正弦定理可得：sinA===∵a=＜b=∴∴∠A=，故选：B．7．（2016•岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a，则=（）A．2 B．2C．D．【解答】解：∵△ABC中，asinAsinB+bcos2A=a，∴根据正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，可得sinB（sin2A+cos2A）=sinA，∵sin2A+cos2A=1，∴sinB=sinA，得b=，可得=．故选：C．8．（2016•新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由条件及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=﹣2sinAcosB．即sin（B+C）=﹣2sinAcosB．∵A+B+C=π，A＞0∴sin（B+C）=sinA，又sinA≠0，∴cosB=﹣，而B∈（0，π），∴B=．故选：C．9．（2016•江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵A+B+C=π，A=2B，∴===．再结合正弦定理得：．故选：D．二．填空题（共7小题）10．（2016•上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=．【解答】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C=．故答案为：11．（2016•丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于30°．【解答】解：利用正弦定理化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=30°．故答案为：30°12．（2016•焦作一模）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于4．【解答】解：∵a=8，B=60°，C=75°，即A=45°，∴由正弦定理，得：b===4．故答案为：413．（2016•潍坊一模）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．【解答】解：∵a•cosB+b•cosA=3c•cosC，∴利用余弦定理可得：a×+b×=3c×，整理可得：a2+b2﹣c2=，∴由余弦定理可得：cosC===．故答案为：．14．（2016•抚顺一模）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为1．【解答】解：由题意及正弦定理，得：AB+BC+AC=+1．BC+AC=AB，两式相减，可得AB=1．故答案为：1．15．（2016•长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于1．【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c，外接圆半径为R，由正弦定理得，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵a+b+c=2（sinA+sinB+sinC），∴2RsinA+2RsinB+2RsinC=2（sinA+sinB+sinnC），∴R=1．故答案为：1．16．（2016•湖南校级模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，则b=2．【解答】解：B=π﹣A﹣C=，△ABC中，由正弦定理可得，∴b=2，故答案为：2．三．解答题（共4小题）17．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．18．（2016•安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．19．（2016•平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b ﹣2c）cosA=a﹣2acos2．（1）求角A的值；（2）若a=，则求b+c的取值范围．【解答】解：（1）在锐角△ABC中，根据（b﹣2c）cosA=a﹣2acos2=a﹣2a•，利用正弦定理可得（sinB﹣2sinC）cosA=sinA（﹣cosB），即sinBcosA+cosBsinA=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，∴A=．（2）若a=，则由正弦定理可得==2，∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（﹣B）]=3sinB+cosB=2sin（B+）．由于，求得＜B＜，∴＜B+＜．∴sin（B+）∈（，1]，∴b+c∈（3，2]．20．（2016•鹰潭一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a ﹣c（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．【解答】解：（1）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA﹣sinC，﹣﹣﹣﹣（2分）在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴2cosBsinC=sinC，又∵C是三角形的内角，可得sinC＞0，∴2cosB=1，可得cosB=，∵B是三角形的内角，B∈（0，π），∴B=．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵S△ABC==，B=∴，解之得ac=4，﹣﹣﹣﹣（8分）由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac=4，（当且仅当a=c=2时，“=”成立）∴当且仅当a=c=2时，b的最小值为2．﹣﹣﹣﹣（12分）综上所述，边b的取值范围为[2，+∞）﹣﹣﹣﹣（13分）。

高中数学-余弦定理、正弦定理应用举例跟踪测试卷及答案

课时跟踪检测（十三）余弦定理、正弦定理应用举例层级(一) “四基”落实练1.如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的 ( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°.又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．设甲、乙两幢楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033m B ．10 3 m, 2 0 3 m C ．10(3－2)m, 20 3 mD.1532 m ，2033m 解析：选A 由题意，知h 甲＝20tan 60°＝203(m)， h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)． 3．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( ) A ．15 2 km B ．30 2 km C ．45 2 kmD ．60 2 km解析：选B 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠ CBM ＝15°，所以∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°.在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BMsin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．4．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船的航行速度为( )A.1762n mile/h B ．34 6 n mile/h C.1722n mile/h D ．34 2 n mile/h解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．故选A. 5.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选B 依题意可得AD ＝2010(m)， AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22.又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.6．某人朝正东方向走x m 后，向右转150°，然后朝新方向走3 m ，结果他离出发点恰好为3m ，那么x 的值为_______．解析：如图，在△ABC 中，AB ＝x ，B ＝30°，BC ＝3，AC ＝3，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2×3×x ×cos 30°， ∴x 2－33x ＋6＝0，∴x ＝3或2 3. 答案：23或 37.如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°， 45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从C 点到B 点历时14 s ，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236) 解析：由题意可知，AB ＝200 m ，AC ＝100 2 m ，由余弦定理可得BC ＝40 000＋20 000－2×200×1002×－22≈316.2(m)，这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)．答案：22.68.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，求山高MN .解：根据图示，AC ＝100 2 m ．在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°解得AM ＝100 3 m ．在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°，所以MN ＝1003×23＝150(m)．层级(二) 能力提升练1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )：①测量A ，B ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a .则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A 对于①，利用内角和定理先求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理b sin B ＝c sin C解出c ；对于②，直接利用余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 即可解出c ；对于③，先利用内角和定理求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理a sin A ＝csin C解出c .故选A. 2．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________. 解析：如图，设竹竿的影子长为x . 依据正弦定理可得2sin 60°＝xsin (120°－α).所以x ＝43·sin(120°－α)．因为0°<120°－α<120°，所以要使x 最大，只需120°－α＝90°，即α＝30°时，影子最长．答案：30°3．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为______小时．解析：如图，设A 地东北方向上存在点P 到B 的距离为30千米， AP ＝x .在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°，化简得x 2－402x ＋700＝0， |x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400， |x 1－x 2|＝20，即图中的CD ＝20(千米)，故t ＝CD v ＝2020＝1(小时)．答案：14.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217s ．A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°. (1)求A ，C 两地的距离； (2)求该仪器的垂直弹射高度CH . (声音的传播速度为340 m/s)解：(1)由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －217×340＝(x －40)m.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝BA 2＋AC 2－2BA ·AC cos ∠BAC ，即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420. 所以A ，C 两地间的距离为420 m.(2)在Rt △ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°，所以CH ＝AC tan ∠CAH ＝140 3 m. 所以该仪器的垂直弹射高度CH 为140 3 m.5.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4 m 后，在点B 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为75°. (1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70 m ，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度(精确到0.01 m ，其中3≈1.732)．解：(1)在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°，则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4. 由正弦定理得BC sin 45°＝4sin 30°，解得BC ＝42(m)．即BC 的长为4 2 m. (2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42，所以DC ＝42sin 75°.因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24，则DC ＝2＋2 3. 所以CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C 离地面的高度为7.16 m. 层级(三) 素养培优练1．北京冬奥会，首钢滑雪大跳台(如图1)是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．西青区某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A (如图2)距离地面的高度AB (AB 与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物PQ .测得PQ 的高度约为25米，并从P 点测得A 点的仰角为30°.在赛道与建筑物PQ 之间的地面上的点M 处测得A 点、P 点的仰角分别为75°和30°(其中B ，M ，Q 三点共线)．则该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A 距离地面的高度约为(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A ．59B ．60C ．65D ．68解析：选A 如图所示，由题意得∠AMB ＝75°，∠PMQ ＝30°，∠AMP ＝75°，∠APM ＝60°，∠PAM ＝45°，在△PMQ 中，PM ＝PQsin ∠PMQ＝50，在△PAM 中，由正弦定理得AM sin ∠APM ＝PMsin ∠PAM，AM sin 60°＝50sin 45°，所以AM ＝256，在△ABM 中，AB ＝AM ·sin ∠AMB ＝256×sin 75° ＝256×6＋24，所以AB ＝150＋5034≈150＋50×1.734＝236.54＝59.125，所以赛道造型最高点A 距离地面的高度约59.2．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 的北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值． (3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则由余弦定理，可得S ＝900t 2＋400－2×30t ×20cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900t －132＋300，故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝303，即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图，设小艇与轮船在B 处相遇，由题意可知(v t )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，化简得，v 2＝400t2－600t 900＝400 1t －342＋675. 由于0<t ≤12，所以1t ≥2，所以当1t ＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为10 13 海里/时． (3)存在．由(2)知，v 2＝400t2－600t ＋900，设1t ＝u (u >0)，于是400u 2－600u ＋900－v 2＝0.小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程有两个不等正根，即6002－1 600(900－v 2)>0，900－v 2>0，解得153<v <30，所以v 的取值范围是(153，30)．。

2020秋高中数学人教版5达标检测：1.1第3课时正、余弦定理的综合应用含解析

2020秋高中数学人教A版必修5达标检测：1.1第3课时正、余弦定理的综合应用含解析A级基础巩固一、选择题1．已知三角形的三边长分别是a，b,错误!,则此三角形中最大的角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°解析：因为错误!＞a, 错误!＞b,所以最大边是错误!，设其所对的角为θ,则cos θ＝错误!＝－错误!，所以θ＝120°.答案:C2．△ABC的内角A,B，C所对的边分别为a，b，c。

若B＝2A，a＝1,b＝错误!，则c＝()A．2错误!B．2 C.错误!D．1解析：由asin A＝错误!，得错误!＝错误!,所以错误!＝错误!，故cos A＝错误!，因为A∈（0，π），所以A＝错误!，所以B＝错误!，C＝错误!，c＝错误!＝错误!＝2.答案：B3．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6。

则错误!·错误!的值为(）A．19 B．14 C．－18 D．－19解析:由余弦定理的推论知：cos B＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝1935。

所以错误!·错误!＝|错误!|·｜错误!|·cos（π－B）＝7×5×错误!＝－19.答案：D4．锐角三角形ABC中，sin A和cos B的大小关系是(）A．sin A＝cos B B．sin A＜cos BC．sin A＞cos B D．不能确定解析：在锐角三角形ABC中，A＋B＞90°.所以A＞90°－B,所以sin A＞sin (90°－B）＝cos B.答案：C5．在△ABC中，b＝8，c＝3,A＝60°，则此三角形外接圆面积为()A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!解析：a2＝b2＋c2－2bc cos A＝82＋32－2×8×3×错误!＝49,所以a＝7，所以2R＝错误!＝错误!＝错误!，所以R＝错误!，所以S＝π错误!错误!＝错误!π.答案:D二、填空题6．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________．答案：错误!7．在△ABC中，AB＝错误!，D为BC的中点，AD＝1,∠BAD ＝30°,则△ABC的面积S△ABC＝________．解析:因为AB＝3，AD＝1，∠BAD＝30°，所以S△ABD＝错误!·错误!·1·sin 30°＝错误!，又D是BC边中点,所以S△ABC＝2S ABD＝错误!.答案：错误!8．(2018·浙江卷）在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°,则sin B＝________，c＝________．解析:本小题考查正弦定理、余弦定理．由错误!＝错误!得sin B＝错误!sin A＝错误!，由a2＝b2＋c2－2bc cos A,得c2－2c－3＝0，解得c＝3(舍负)．答案：错误!3三、解答题9．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cos C·（a cos C＋c cos A)＋b＝0.（1）求角C的大小;（2）若b＝2，c＝2错误!，求△ABC的面积．解:（1）由正弦定理可得2cos C （sin A cos C ＋sin C cos A ）＋sin B ＝0，所以2cos C sin(A ＋C ）＋sin B ＝0，即2cos C sin B ＋sin B ＝0，又0<B <π,所以sin B ≠0,所以cos C ＝－错误!，即C ＝错误!。

高中数学必修二 6 4 2 正余弦定理(精练)(含答案)

6.4.2 正余弦定理（精练）【题组一余弦定理】1．（2020·福建宁德市·高一期末）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中2a =，b =3B π=，则边c 的长为______．【答案】4【解析】因为2a =，b =3B π=，所以2222222cos 222cos3b ac ac B c c π=+-∴=+-⋅⋅⋅，228004c c c c ∴--=>∴=故答案为：42．（2020·上海高一课时练习）在ABC中，若a b c ===，则A =________.【答案】60°【解析】由余弦定理的推论得2222221cos 22b c aA bc +-+-===， 0180A <<，60A ∴=.故答案为：60°3．（2020·长春市第二实验中学高一期中）在ABC 中，若::5:7:8a b c =，则B 的大小是_______. 【答案】3π【解析】::5:7:8a b c =设5a k =，7b k =，8c k =，由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==；3B π∴∠=．故答案为：3π． 3．（2020·湖北荆门外语学校高一期中）在ABC 中，内角、、A B C 对应的边分别为ab c 、、，若120,2Ab =︒=，1c =，则边长a 为（）A B C D ．2【答案】A【解析】在ABC 中， 120,2A b =︒=，1c =，所以22212cos 4122172a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，a ∴= A.4．（2020·安徽高一期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知3b =，c =4A π=，则a =（）A ．5 BC ．29D【答案】B【解析】由余弦定理得a ===.故选：B 5．（2020·吉林长春市）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，::3:2:4a b c =，则cos C 。

高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解

高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解一、选择题1．(2010·广东六校)两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )km.( )A ．a B.2a C ．2aD.3a[答案] D[解析] 依题意得∠ACB ＝120°.由余弦定理cos120°＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝a 2＋a 2－2a 2⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2 ∴AB ＝3a .故选D.2．(文)(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC 中，“sin A >32”是“∠A >π3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 在△ABC 中，若sin A >32，则∠A >π3，反之∠A >π3时，不一定有sin A >32，如A ＝5π6时，sin A ＝sin 5π6＝sin π6＝12. (理)在△ABC 中，角A 、B 所对的边长为a 、b ，则“a ＝b ”是“a cos A ＝b cos B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当a ＝b 时，A ＝B ， ∴a cos A ＝b cos B ；当a cos A ＝b cos B 时，由正弦定理得 sin A ·cos A ＝sin B ·cos B ，∴sin2A ＝sin2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， ∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.则a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.所以“a ＝b ”⇒“a cos A ＝b cos B ”， “a cos A ＝b cos B ”⇒/ “a ＝b ”，故选A.3．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，观测得∠ABC ＝120°，则AC 两地的距离为( )A ．10km B.3kmC ．105kmD ．107km[答案] D[解析] 如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠B ＝120°，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120° ＝102＋202－2×10×20×⎝⎛⎭⎫－12＝700， ∴AC ＝107km.∴选D.4．(文)在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形[答案] B[解析] sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc，∴a 2＋b 2＝c 2，故选B.(理)(2010·河北邯郸)在△ABC 中，sin 2A ＋cos 2B ＝1，则cos A ＋cos B ＋cos C 的最大值为( )A.54B. 2 C ．1D.32[答案] D[解析] ∵sin 2A ＋cos 2B ＝1，∴sin 2A ＝sin 2B ， ∵0<A ，B <π，∴sin A ＝sin B ，∴A ＝B . 故cos A ＋cos B ＋cos C ＝2cos A －cos2A＝－2cos 2A ＋2cos A ＋1＝－2(cos A －12)2＋32，∵0<A <π2，∴0<cos A <1，∴cos A ＝12时，取得最大值32.5．(文)(2010·广东汕头一中)已知△ABC 的外接圆半径为R ，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B ，那么角C 的大小为( )A.π3 B.π2 C.π4D.2π3[答案] C[解析] 由正弦定理得，a 2－c 2＝2ab －b 2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∵0<C <π，∴C ＝π4.(理)已知a 、b 、c 是△ABC 三内角A 、B 、C 的对边，且A 为锐角，若sin 2A －cos 2A ＝12，则( )A ．b ＋c <2aB ．b ＋c ≤2aC ．b ＋c ＝2aD ．b ＋c ≥2a[答案] B[解析] ∵sin 2A －cos 2A ＝12，∴cos2A ＝－12，又A 为锐角，∴A ＝60°，∴B ＋C ＝120°， ∴b ＋c 2a ＝sin B ＋sin C2sin A＝2sinB ＋C 2cos B －C23＝cos B －C 2≤1，∴b ＋c ≤2a .6．(2010·北京顺义一中月考)在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35，则cos C 的值为( )A.1665B.5665C.1665或5665D ．－1665[答案] A[解析] ∵cos A ＝513，∴sin A ＝1213>35＝sin B ，∴A >B ，∵sin B ＝35，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.[点评] 在△ABC 中，有sin A >sin B ⇔A >B .7．在地面上一点D 测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m ，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m ．( )A ．237B ．227C ．247D ．257[答案] A[解析] 如图，∠D ＝45°，∠ACB ＝60°，DC ＝100，∠DAC ＝15°， ∵AC ＝DC ·sin45°sin15°，∴AB ＝AC ·sin60° ＝100·sin45°·sin60°sin15°＝100×22×326－24≈237.∴选A.8．(文)(2010·青岛市质检)在△ABC 中，∠B ＝π3，三边长a 、b 、c 成等差数列，且ac ＝6，则b 的值是( )A. 2B. 3C. 5D. 6[答案] D[解析] 由条件2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝a 2＋c 2＋2ac ＝a 2＋c 2＋12，又cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴12＝a 2＋c 2－b212，∴a 2＋c 2＝6＋b 2， ∴4b 2＝18＋b 2，∴b ＝ 6.(理)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23[答案] B[解析] ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，又∵c ＝2a ， ∴b 2＝2a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ×2a＝34.[点评] 在知识的交汇处命题是高考命题的基本原则．本题融数列与三角函数于一体，集中考查正弦定理、余弦定理、等比数列等基础知识．同时也体现了数列、三角函数等内容是高考中的热点问题，复习时要注意强化．9．如图所示的曲线是以锐角△ABC 的顶点B 、C 为焦点，且经过点A 的双曲线，若△ABC 的内角的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝6，c sin A a ＝32，则此双曲线的离心率为( )A.3＋72B.3－72C ．3－7D ．3＋7[答案] D [解析]c sin A a ＝32⇒a sin A ＝c 32＝c sin C⇒sin C ＝32，因为C 为锐角，所以C ＝π3，由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋62－2×4×6×12＝28，∴c ＝27∴e ＝a b －c ＝66－27＝3＋7.10．(文)(2010·山东济南)设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为( )A.3－12B.3＋12 C ．2D.5＋12[答案] D[解析] 由条件知，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，根据双曲线定义得：4a 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2－4ac ＝4c 2－4ac ，∴a 2＋ac －c 2＝0，∴1＋e －e 2＝0， ∵e >1，∴e ＝5＋12. (理)(2010·安徽安庆联考)如图，在△ABC 中，tan C 2＝12，AH →·BC →＝0，AB →·(CA →＋CB →)＝0，经过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为( )A.5＋12B.5－1C.5＋1D.5－12[答案] A[解析] ∵AH →·BC →＝0，∴AH ⊥BC ， ∵tan C 2＝12，∴tan C ＝2tanC21－tan 2C 2＝43＝AHCH，又∵AB →·(CA →＋CB →)＝0，∴CA ＝CB ， ∴tan B ＝tan ⎝⎛⎭⎫180°－C 2＝cot C 2＝2＝AHBH ，设BH ＝x ，则AH ＝2x ，∴CH ＝32x ，AB ＝5x ，由条件知双曲线中2C ＝AH ＝2x,2a ＝AB－BH ＝(5－1)x ，∴e ＝c a ＝25－1＝5＋12，故选A.二、填空题11．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 和对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，则河的宽度为________米．[答案] 60(3－1)[解析] 过C 点作CD ⊥AB 于D ，设BD ＝x ，则CD ＝x ，AD ＝120－x ，又∵∠CAB ＝30°，∴x 120－x ＝33，解之得，x ＝60(3－1)． 12．(2010·福建三明一中)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处．则两艘轮船之间的距离为________海里．[答案]13[解析] 如图可知，∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，∴AC ＝5，∠BAC ＝60°，从而∠DAC ＝45°，又AD ＝32，∴由余弦定理得， CD ＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos45°＝13.13．(文)(2010·山东日照模拟)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3，△ABC 的面积等于3，则a ＋b ＝________.[答案] 4[解析] 由条件知，12ab sin π3＝3，∴ab ＝4，∵cos π3＝a 2＋b 2－42ab，∴a 2＋b 2＝8，∴(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝8＋8＝16， ∴a ＋b ＝4.(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，若a ＝10，则bc 的最大值是______．[答案] 100＋50 2[解析] 由题意得，12bc sin A ＝14(b 2＋c 2－a 2)，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc sin A ，结合余弦定理得，sin A ＝cos A ，∴∠A ＝π4，又根据余弦定理得100＝b 2＋c 2－2bc ≥2bc －2bc ，∴bc ≤1002－2＝100＋50 2.14．(文)(2010·山东日照)一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是________海里/小时．[答案] 10[解析] 设该船的速度为v 海里/小时，如图由题意知，AD ＝v 2，AC ＝32v ，∵tan75°＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝2＋3，又tan75°＝ABAD，∴2＋3＝10＋3v2v 2，解得v ＝10. (理)(2010·合肥质检)如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．[答案] m cos αcos β>n sin(α－β)[解析] ∠MAB ＝90°－α，∠MBC ＝90°－β＝∠MAB ＋∠AMB ＝90°－α＋∠AMB ，∴∠AMB ＝α－β，由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin (90°－α)＝m sin (α－β)，解得BM ＝m cos αsin (α－β)，要使船没有触礁危险需要BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin (α－β)>n ，所以α与β满足m cos αcos β>n sin(α－β)时船没有触礁危险．三、解答题15．(2010·河北唐山)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且a cos B ＋b cos A ＝1.(1)求c ；(2)若tan(A ＋B )＝－3，求CA →·CB →的最大值． [解析] (1)由a cos B ＋b cos A ＝1及正弦定理得， c sin A sin C ·cos B ＋c sin Bsin C ·cos A ＝1， ∴c sin(A ＋B )＝sin C ，又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ≠0， ∴c ＝1.(2)∵tan(A ＋B )＝－3，0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π3.由余弦定理得，12＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ＝2CA →·CB →，∴CA →·CB →≤12，当且仅当a ＝b ＝1时取“＝”号．所以，CA →·CB →的最大值是12.16．(文)(2010·广东玉湖中学)如图，要计算西湖岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得AD ⊥CD ，AD ＝10km ，AB ＝14km ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝135°，求两景点B 与C 的距离(精确到0.1km)．参考数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236.[解析] 在△ABD 中，设BD ＝x ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2·10x ·cos60°，整理得：x 2－10x －96＝0，解之得，x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，由正弦定理得， BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin135°·sin30°＝82≈11.3(km)答：两景点B 与C 的距离约为11.3km.(理)(2010·湖南十校联考)长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域可近似为半径是R 的圆面．该圆的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界AB ＝AD ＝4万米，BC ＝6万米，CD ＝2万米．(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆面的半径R 的值；(2)因地理条件的限制，边界AD 、CD 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整．为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求出其最大值．[解析] (1)因为四边形ABCD 内接于圆，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°，连接AC ，由余弦定理：AC 2＝42＋62－2×4×6cos ∠ABC ＝42＋22－2×2×4cos ∠ADC .∴cos ∠ABC ＝12.∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝60°.则S 四边形ABCD ＝12×4×6×sin60°＋12×2×4×sin120°＝83(万平方米)．在△ABC 中，由余弦定理： AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝16＋36－2×4×6×12＝28，故AC ＝27.由正弦定理得，2R ＝AC sin ∠ABC ＝2732＝4213，∴R ＝2213(万米)．(2)S 四边形APCD ＝S △ADC ＋S △APC ， S △ADC ＝12AD ·CD ·sin120°＝2 3.设AP ＝x ，CP ＝y ，则S △APC ＝12xy ·sin60°＝34xy .又由余弦定理：AC 2＝x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝28.∴x 2＋y 2－xy ≥2xy －xy ＝xy .∴xy ≤28，当且仅当x ＝y 时取等号．∴S 四边形APCD ＝23＋34xy ≤23＋34×28＝93，即当x ＝y 时面积最大，其最大面积为93万平方米．17．(2010·上海松江区模拟)如图所示，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到点A 的距离分别为20千米和50千米．某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值．(2)求P 到海防警戒线AC 的距离(结果精确到0.01千米)．[解析] (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△P AB 中，AB ＝20cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x同理，在△P AC 中，AC ＝50cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x， ∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，∴3x ＋325x ＝25x，解之得，x ＝31. (2)作PD ⊥AC 于D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531得， sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠APD ＝31·42131＝421≈18.33千米，答：静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为18.33千米．。

高中数学考点16 正弦定理和余弦定理(含2017高考试题)

考点16 正弦定理和余弦定理一、选择题1。

（2017·全国乙卷文科·T11）△ABC 的内角A,B ，C 的对边分别为a,b ，c 。

已知sinB+sinA （sinC-cosC)=0,a=2，，则C= （ ) A.12π B 。

6π C 。

4π D.3π 【命题意图】本题主要考查三角公式的应用,重点考查正弦定理在解决三角形问题中的应用.【解析】选B 。

由题意得sin （A+C)+sinA(sinC —cosC ）=0,sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC —sinAcosC=0,即sinC(sinA+cosA ）sinCsin 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=0,所以A=34π. 由正弦定理sinA a =sinC c 得23sin 4π=sinC ,即sinC=12，得C=6π,故选B 。

【反思总结】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息。

一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到。

2.(2017·山东高考理科·T9）在△ABC 中,角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB （1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC ，则下列等式成立的是 ( ）A.a=2b B 。

b=2a C 。

A=2B D.B=2A【命题意图】本题考查三角恒等变换及正弦定理的应用，意在考查考生对数学式子的变形能力与运算推理能力.【解析】选A 。

2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinAcosC+sinB=sinB+2sinBcosC ，即sinAcosC=2sinBcosC ，由于△ABC 为锐角三角形,所以cosC ≠0,sinA=2sinB ，由正弦定理可得a=2b 。

高中数学必修二专题6 7 正弦、余弦定理-同步培优专练

专题6.7 正弦、余弦定理知识储备一．余弦定理在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则有【思考】在a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 中，若A ＝90°，公式会变成什么？【答案】a 2＝b 2＋c 2，即勾股定理. 二．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即CcB b A a sin sin sin == 三．正弦定理的变形公式1.a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .2.RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===(其中R 是△ABC 外接圆的半径). 【思考】在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？【答案】等于2R (R 为该三角形外接圆的半径)，与该三角形外接圆的直径相等.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·广西桂林市·高二期末（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若45A =︒，60B =︒，2a =，则b =（）ABCD．【答案】A【解析】因为45A =︒，60B =︒，2a =，所以由正弦定理可得sin sin a bA B=，则b=2sin 2sin 60sin sin 45a B A ===，故选：A. 2．（2021·云南高三期末）在ABC 中，若4AC =，6AB =，BC =A ∠=（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】由余弦定理可得：2221636281cos 22462b c a A bc +-+-===⨯⨯又()0,A π∈所以3A π=故选：C3．（2021·广西桂林市·高二期末（理））ABC 的内角,,A BC 的对边分别为,,a b c ，且1a =，c =6B π=，则ABC 的面积为（）A ．32B ．34C D 【答案】D【解析】在ABC 中，由1a =，c =6B π=，则111sin 12224ABCSac B ==⨯=．故选：D ．4．（2021·河南新乡市·高二期末（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin sin b B c C a A +=，则ABC 的形状为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】C【解析】因为2222b c a +=，所以2222cos 022b c a c A bc bc+--==<，所以90A >︒，所以ABC 的形状为钝角三角形.故选C5．（2021·河南信阳市·高二期末（理））已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22226c ab a b +=++，若ABC 的面积为2，则tan C 的值为（）A B C ．1 D 1【答案】B【解析】由题意22222262cos c a b ab a b ab C =+-+=+-即()1cos 3ab C -=①，1sin 2S ab C ==①联立①①得1cossin C C -=sin 2sin 3C C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭即sin 32C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又0C π<<4333C πππ∴<+< 2,333C C πππ∴+==tan C ∴=B ． 6．（2021·江苏镇江市·高一期末）如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，总建筑面积700多平方米.塔内供奉观音大士铜铸32应身，玻璃钢彩铸大悲咒出相84尊，有通道拾级而上可登顶层.塔名由中国书法协会名誉主席、中国佛教协会顾问、国学大师启功先生题写.塔是佛教的工巧明（即工艺学，比如建筑学就是工巧明之一），东汉明帝永平年间方始在我国兴建.所谓救人一命胜造七级浮屠，这七级浮屠就是指七级佛塔.下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30，沿直线DB 前进51米达到E 点，此时看点C 点的仰角为45︒，若23BC AC =，则该八角观音塔的高AB 约为（） 1.73≈）A ．8米B ．9米C ．40米D ．45米【答案】D【解析】设AC x =，由23BC AC =得，32BC x =因为45CEB ∠=︒，所以32BE BC x ==，在Rt ABD △中，32tan 3033512x xAB BD x +︒===+，解得18x =≈所以5452AB x =≈故选D7．（2021·全国高三专题练习（理））秦九韶，字道古，汉族，鲁郡（今河南范县）人，南宋著名数学家，精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学．1208年出生于普州安岳（今四川安岳），咸淳四年（1268）二月，在梅州辞世．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他在著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，即是已知三角形的三条边长,,a b c ，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S =，若ABC 满足2sin c A 2sin C =，3cos 5B =，且a<b<c ，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（） A ．35B ．45 C ．1 D ．54【答案】B【解析】因为2sin c A 2sin C =，所以22,2ac c ac =∴=.因为3cos 5B =，所以22222236,2525a cb ac b ac +-+-=∴=，所以45S ==.故选：B 8．（2021·江西新余市·高二期末（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，b c =且sin 1cos sin cos B B A A-=，若点O 是ABC 外一点，()0AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =.则平面四边形OACB 的面积的最大值是（）A B ．44+ C ．3 D ．42+ 【答案】A【解析】在ABC 中，sin 1cos sin cos B BA A-=，sin cos cos sin sin B A B A A ∴+=，即sin()sin()sin sin A B C C A π+=-==A C ∴=，b c =，∴ABC 是等边三角形，OACB AOBABCS SS∴=+211||||sin ||22OA OB AB θ=⋅+⨯)22121sin ||||2||||cos 2OA OB OA OB θθ=⨯⨯⨯+-⋅sin (41221cos )4θθ=++-⨯⨯⨯sin 4θθ=-+2sin 34πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 0θπ<<，2333πππθ∴-<-<，则当32ππθ-=，即56πθ=时，sin 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值1，故四边形OACB 面积的最大值为2=故选A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

人教B版高中数学必修五 1.1正弦定理和余弦定理(5必修)

1.1正弦定理和余弦定理（数学5必修）1.2应用举例1.3实习作业[基础训练A 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 1 3．在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长=（）A ．2B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或6．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．090B ．0120C ．0135D ．0150二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）1．在Rt △ABC 中，C=090，则B A sin sin 的最大值是_______________。

2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C=7∶8∶13，则C=_____________。

5．在△ABC 中，,26-=AB ∠C=300，则AC+BC 的最大值是________。

三、解答题（四个小题，每题10分，共40分）1．在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

高中数学《正弦余弦定理》大题集锦

《正弦、余弦定理》高考大题集锦1. △ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知0cos b sin 3=-A B .(1) 求角A(2) 若a=2,求△ABC 面积的最大值2. 已知函数],0[,3cos 3x sin f(x)π∈+=x x ，设f(x)的最大值为M,记f(x)取得最大值时x 的值为θ.(1) 求M 和θ(2) 在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.若a=22,b=102,B=θ,求c.3. 在△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知bc a c +=+222b .(1) 求角A 的大小(2) 若C B A cos sin 2sin =,试判断△ABC 的形状并给出证明4. 在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c ，已知△ABC 的面积为B cos ac 23,且C A sin 3sin =. （1）求角B 的大小（2）若c=2,AC 的中点为D,求BD 的长5.在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.已知AB cos tan cosB tanA tanB)tanA 2+=+（. (1)求cb +a 的值（2）若c=2,3c π=,求△ABC 的面积5.如图，在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.且B b C a c A sin sin )(sin a =-+.点D 是AC 的中点，DE ⊥BC=2,DE=26.(1)求角B(2)求△ABC 的面积7. 已知△ABC 的面积为33，且内角A,B,C 依次成等差数列.(1) sinA 3sin =C ,求AC 的长(2) 设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值8. 如图，在平行四边形中，已知∠ABC=π43，AB ⊥AD,AB=1.(1) 若AC=5,求△ABC 的面积(2) 若sin ∠CAD=552，AD=4,求CD 的长。

高中数学必修4解三角形——正弦定理和余弦定理习题(教案)

则角 B 为( ) A．45°或 135°
B．135°
C．45° D．以上答案都不对
【答案】选 C.由正弦定理sianA＝sibnB得：sinB＝bsainA＝ 22，又∵a>b，∴B<60°， ∴B＝45°.
3．在△ABC 中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则 sinA∶sinB∶sinC 等于( )
A．1∶5∶6
A. 3
B．7
C．3
D. 7
【答案】D 由题意，知 a＋b＝3，ab＝2. 在△ABC 中，由余弦定理，知 c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2＋ab ＝(a＋b)2－ab ＝7，
∴c＝ 7.
8．已知三角形的三边长分别为 x2＋x＋1，x2－1,2x＋1(x＞1)，求三角形的最大角．
【答案】比较得知，x2＋x＋1 为三角形的最大边，设其对角为 A. 由余弦定理，得
又 0＜A＋B＜π，∴A＋B＝π4.
(2)由(1)知，C＝34π，∴sin
C＝
2 2.
由正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C得
5a＝ 10b＝ 2c，即 a＝ 2b，c＝ 5b.
∵a－b＝ 2－1，∴ 2b－b＝ 2－1，∴b＝1.
∴a＝ 2，c＝ 5.
23. △ABC 中，ab＝60 3，sin B＝sin C，△ABC 的面积为 15 3，求边 b 的长．
12. 已知△ABC
中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则sin
a－2b＋c A－2sin B＋sin
C＝
________.
【答案】由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， ∴2R＝sianA＝sin130°＝2，又∵a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，

高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解

高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解一、选择题1．(2010·聊城市、银川模拟)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )sin B ，则角C 等于( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3 [答案] B[解析] 由正弦定理得a 2－c 2＝(a －b )·b ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3. 2．(文)(2010·泰安模拟)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．45°或135°[答案] B[解析] ∵AC ·sin60°＝42×32＝26<42<43，故△ABC 只有一解，由正弦定理得，42sin B ＝43sin60°， ∴sin B ＝22，∵42<43，∴B <A ，∴B ＝45°. (理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2 C.3－1D. 3[答案] B[解析] ∵b sin A ＝32<1<3，∴本题只有一解． ∵a ＝3，b ＝1，A ＝π3， ∴根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋c 2－32c ＝12，解之得，c ＝2或－1，∵c >0，∴c ＝2.故选B.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π3[答案] A[解析] 由条件知b sin A <a ，即22sin A <2，∴sin A <22， ∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <π4. [点评] 如图，AC ＝22，以C 为圆心2为半径作⊙C ，则⊙C上任一点(⊙C 与直线AC 交点除外)可为点B 构成△ABC ，当AB 与⊙C 相切时，AB ＝2，∠BAC ＝π4，当AB 与⊙C 相交时，∠BAC <π4，因为三角形有两解，所以直线AB 与⊙C 应相交，∴0<∠BAC <π4. 4．(2010·湖南理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 [答案] A[解析] ∵∠C ＝120°，c ＝2a ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C∴a 2－b 2＝ab ，又∵a >0，b >0，∴a －b ＝ab a ＋b >0，所以a >b . 5．(文)(2010·天津理)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] A[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc， ∵sin C ＝23sin B ，∴c ＝23b ，∴c 2＝23bc ，又∵b 2－a 2＝－3bc ，∴cos A ＝32，又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A.(理)(2010·山东济南)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 [答案] D[解析] 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得，a 2＋c 2－b 2ac·tan B ＝3，再由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，2cos B ·tan B ＝3，即sin B ＝32，∴角B 的值为π3或2π3，故应选D. 6．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3[答案] C[解析] 12ac sin B ＝12，∴ac ＝2，又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋33. 7．(2010·厦门市检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( )A. 2B. 3C.32 D ．2 [答案] C[解析] ∵A 、B 、C 成等差数列，∴B ＝60°，∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝a sin B b ＝1×323＝12， ∴A ＝30°或A ＝150°(舍去)，∴C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝32. 8．(2010·山师大附中模考)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形[答案] A [解析] ∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴1＋cos B 2＝sin A ＋sin C 2sin C， ∴sin C cos B ＝sin A ，∴sin C cos B ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＝0，∵0<B ，C <π，∴sin B ≠0，cos C ＝0，∴C ＝π2，故选A. 9．(2010·四川双流县质检)在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010，若最长边为1，则最短边的长为( ) A.455B.355C.255D.55[答案] D[解析] 由tan A >0，cos B >0知A 、B 均为锐角， ∵tan A ＝12<1，∴0<A <π4，cos B ＝31010>32， ∴0<B <π6，∴C 为最大角，由cos B ＝31010知，tan B ＝13，∴B <A ，∴b 为最短边，由条件知，sin A ＝15，cos A ＝25，sin B ＝110， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝15×310＋25×110＝22，由正弦定理b sin B ＝c sin C 知，b 110＝122，∴b ＝55. 10．(2010·山东烟台)已知非零向量AB →，AC →和BC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AC →·BC →|AC →|·|BC →|＝22，则△ABC 为( ) A ．等边三角形B ．等腰非直角三角形C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形[答案] D[解析] ∵AC →·BC →|AC →|·|BC →|＝cos ∠ACB ＝22， ∴∠ACB ＝45°，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， ∴∠A ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形，故选D.二、填空题11．(文)判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是________．①a ＝1，b ＝2，B ＝45°；②a ＝5，b ＝15，A ＝30°；③a ＝6，b ＝20，A ＝30°；④a ＝5，B ＝60°，C ＝45°.[答案] ①④[解析] ①一解，a sin B ＝22<1<2，有一解． ②两解，b ·sin A ＝152<5<15，有两解； ③无解，b ·sin A ＝10>6，无解．④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．(理)在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________．[答案] 3<c < 5[解析] 边c 最长时：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 22×1×2>0， ∴c 2<5.∴0<c < 5.边b 最长时：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋c 2－42c>0， ∴c 2>3.∴c > 3.综上，3<c < 5.12．(2010·上海模拟)在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1,0)，C (1,0)，顶点B 在椭圆x 24＋y 23＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值为________．[答案] 2[解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4，由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BA AC＝2. 13．(文)(2010·沈阳模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2＝a 2＋bc ，且AC →·AB →＝4，则△ABC 的面积等于________．[答案] 2 3[解析] ∵b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵AC →·AB →＝4，∴b ·c ·cos A ＝4，∴bc ＝8，∴S ＝12AC ·AB sin A ＝12×bc ·sin A ＝2 3. (理)(2010·北京延庆县模考)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝c＝2b 且sin B ＝45，当△ABC 的面积为32时，b ＝________. [答案] 2[解析] ∵a ＋c ＝2b ，∴a 2＋c 2＋2ac ＝4b 2(1)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝25ac ＝32，∴ac ＝154(2) ∵sin B ＝45，∴cos B ＝35(由a ＋c ＝2b 知B 为锐角)， ∴a 2＋c 2－b 22ac ＝35，∴a 2＋c 2＝92＋b 2(3) 由(1)、(2)、(3)解得b ＝2.14．(2010·合肥市质检)在△ABC 中，sin A －sin B sin (A ＋B )＝2sin A －sin C sin A ＋sin B，则角B ＝________. [答案] π4[解析] 依题意得sin 2A －sin 2B ＝sin(A ＋B )(2sin A －sin C )＝2sin A sin C －sin 2C ，由正弦定理知：a 2－b 2＝2ac －c 2， ∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22， ∴B ＝π4. 三、解答题15．(文)(2010·广州六中)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．[解析] (1)∵cos A 2＝255， ∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45. 又由AB →·AC →＝3得，bc cos A ＝3，∴bc ＝5，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝2. (2)∵bc ＝5，又b ＋c ＝6，∴b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，∴a ＝2 5.(理)(2010·山东滨州)已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．[解析] (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由于sin(A ＋B )＝sin C .∴m ·n ＝sin C .又∵m ·n ＝sin2C ，∴sin2C ＝sin C ，∴2sin C cos C ＝sin C .又sin C ≠0，所以cos C ＝12.而0<C <π，因此C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列得，2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得，2c ＝a ＋b .∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝18.即ab cos C ＝18，由(1)知，cos C ＝12，所以ab ＝36. 由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－3ab .∴c 2＝4c 2－3×36，∴c 2＝36.∴c ＝6.16．(文)在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2.(1)若cos B ＝－36，求sin C 的值； (2)求角C 的取值范围．[解析] (1)在△ABC 中，由余弦定理知，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝3＋4－2×23×⎝⎛⎭⎫－36＝9. 所以AC ＝3.又因为sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫－362＝336，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B. 所以sin C ＝AB AC sin B ＝116. (2)在△ABC 中，由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ，∴3＝AC 2＋4－4AC ·cos C ，即AC 2－4cos C ·AC ＋1＝0.由题意知，关于AC 的一元二次方程应该有解，令Δ＝(4cos C )2－4≥0，得cos C ≥12，或cos C ≤－12(舍去，因为AB <BC ) 所以，0<C ≤π3，即角C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π3. [点评] 1.本题也可用图示法，如图：A 为⊙B 上不在直线BC 上的任一点，由于r ＝AB ＝3，故当CA 与⊙B 相切时∠C 最大为π3，故C ∈⎝⎛⎦⎤0，π3. 2．高考命题大题的第一题一般比较容易入手，大多在三角函数的图象与性质、正余弦定理、平面向量等内容上命制，这一部分要狠抓基本原理、公式、基本方法的落实．(理)(2010·东北师大附中、辽宁省实验中学联考)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a cos C ＋12c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．[解析] (1)由a cos C ＋12c ＝b 得 sin A cos C ＋12sin C ＝sin B又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)解法1：由正弦定理得：b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝23sin C l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23(sin B ＋sin(A ＋B )) ＝1＋2⎝⎛⎭⎫32sin B ＋12cos B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6 ∵A ＝π3，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1. 故△ABC 的周长l 的取值范围是(2,3]．解法2：周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋b ＋c由(1)及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴b 2＋c 2＝bc ＋1，∴(b ＋c )2＝1＋3bc ≤1＋3⎝⎛⎭⎫b ＋c 22，∴b ＋c ≤2，又b ＋c >a ＝1，∴l ＝a ＋b ＋c ∈(2,3]，即△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]．17．(文)△ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．[解析] (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝⎛⎭⎫2cos 2B 2－1＝－3cos2B ∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－ 3又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，b ＝2， ∴由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac得， a 2＋c 2－ac －4＝0又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)， [点评] 本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新疑精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处构题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解．(理)(2010·山师大附中模考)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin B ＝513，且a 、b 、c 成等比数列． (1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)若ac cos B ＝12，求a ＋c 的值．[解析] (1)依题意，b 2＝ac由正弦定理及sin B ＝513得，sin A sin C ＝sin 2B ＝25169. 1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin (A ＋C )sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝135. (2)由ac cos B ＝12知cos B >0，∵sin B ＝513，∴cos B ＝1213(b 不是最大边，舍去负值) 从而，b 2＝ac ＝12cos B＝13. 由余弦定理得，b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B .∴13＝(a ＋c )2－2×13×⎝⎛⎭⎫1＋1213. 解得：a ＋c ＝37.。

人教A版高中数学必修五正弦定理、余弦定理课时练习

正弦定理、余弦定理●作业导航能运用正弦定理、余弦定理求解三角形问题和进行解的判断．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是() A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝42，B＝45°C．a＝6，b＝63，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°2．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则⋅的值为() A．79 B．69C．5 D．-53．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则CBAcbasinsinsin++++等于()A．33B．3392C．338D．2394．在△ABC中，已知a＝x cm，b＝2 cm，B＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是()A．2＜x＜22B．2＜x≤22C．x＞2 D．x＜25．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是()A．135<<x B．13＜x＜5C．2＜x＜5D．5＜x＜5二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC的面积为3，B＝60°，b＝4，则a＝________；c＝________．2．化简a·cos A＋b·cos B-c·cos(A-B)的结果是________．3．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________．4．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S＝4222cba-+，则角C＝________．5．在△ABC中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|-|＝________；|＋AC|＝________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？2．已知钝角三角形ABC中，B＞90°，a＝2x-5，b＝x＋1，c＝4，求x的取值范围．3．在△ABC中，cos210922=+=ccbA，c＝5，求△ABC的内切圆半径．4．R是△ABC的外接圆半径，若ab＜4R2cos A cos B，则外心位于△ABC的外部．5．半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(3a-b)sin B．(1)求角C；(2)求△ABC面积的最大值．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．C分析：A中b sin C＞c，无解；B中c sin B＜b＜c，有两解；C中a sin B＜a＜b，有一解；D中b sin A＜a＜b，有两解．2．D分析：∵·＝-·，∵·＝||||cos B＝21(||2＋||2-||2)＝21(52＋72-82)＝5∴·＝-·＝-53．B分析：∵S△ABC＝21×1×c×sin60°＝3，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2-2bc cos A＝13∴R＝339 sin2=Aa∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C∴33922sinsinsin==++++RCBAcba4．A分析：若解此三角形有两解，则a sin B＜b＜a，即22x＜2＜x，∴2＜x＜22．5．A分析：由三角形三边的关系，得1＜x＜5，(1)当1＜x＜3时，由22＋x2＞32解得5＜x＜3；(2)当3≤x＜5时，由22＋32＞x2解得3≤x＜13，由(1)(2)可知5＜x＜13．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．7±37±3分析：∵S△ABC＝21acsin B＝3，∴ac＝4 ①∵b2＝a2＋c2-2ac cos B，∴a2＋c2＝20 ②由①②解得a＝7±3；c＝7μ32．0分析：∵a＝b cos C＋c cos B，b＝a cos C＋c cos A，c＝b cos A＋a cos B，∴a·cos A＋b·cos B-c·cos(A-B)＝(b cos C＋c cos B)cos A＋(a cos C＋c cos A)cos B-c·(cos A cos B＋sin A sin B)＝b cos C cos A＋c cos B cos A＋a cos C cos B＋c cos A cos B-c cos A cos B-c sin A sin B ＝cos C(b cos A＋a cos B)＋c(cos A cos B-sin A sin B)＝c cos C＋c cos(A＋B)＝c cos C-c cos C＝03．3337分析：设60°的角的对边长为x，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则x2＝82＋52-2×8×5×cos60°＝49，∴x＝7∵7＝2R sin60°，∴R＝33 7∵S△ABC＝21×8×5×sin60°＝21×r×(8＋5＋7)，∴r＝34．45°分析：S△ABC＝21ab sin C＝21224222222=⋅-+=-+ababcbacbaab cos C∴sin C＝cos C，∴tan C＝1，∴C＝45°5．719分析：由三角形法则知|-|2＝||2＝||2＋|AC|2-2||·|AC|·cos A＝32＋22-2×3×2×cos60°＝7∴|-|＝7类似地由平行四边形及余弦定理可知|＋AC|2＝32＋22-2×3×2×cos120°＝19∴|＋|＝19三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：∵A＝30°，b＝10(1)当0＜a＜b sin A时无解，即0＜a＜5时，无解．(2)当a＝b sin A时，有一解，即a＝5时，有一解．(3)当b sin A＜a＜b时，有两解，即5＜a＜10时，有两解．(4)当a≥b时，有一解，即当a≥10时，有一解．综上(1)、(2)、(3)、(4)得当0＜a＜5时，无解；a＝5或a≥10时，有一解；5＜a＜10时，有两解．2．解：∵B＞90°∴A、C皆为锐角，应有43104310630402232360)1(4)52(14524152102222222<<∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+->><∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+++>+->+->+∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>+>>x x x x x x x x x x x x x x x b c a b c a c b a b∴ x 的取值范围是310＜x ＜4．3．解：∵ c ＝5，1092=+cc b ，∴ b ＝4又cos2c c b A A 22cos 12+=+=∴ cos A ＝c b又cos A ＝bc a c b 2222-+∴c bbc a c b =-+2222∴ b 2＋c 2-a 2＝2b 2 ∴ a 2＋b 2＝c 2∴ △ABC 是以角C 为直角的三角形．a ＝22b c -＝3∴ △ABC 的内切圆半径r ＝21(b ＋a -c )＝1．4．证明：∵ ab ＜4R 2cos A cos B由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ∴ 4R 2sin A sin B ＜4R 2cos A cos B ∴ cos A cos B ＞sin A sin B ∴ cos A cos B -sin A sin B ＞0 ∴ cos(A ＋B )＞0∵ cos(A ＋B )＝-cos C∴ -cos C ＞0 ∴ cos C ＜0 ∴ 90°＜C ＜180°∴ △ABC 是钝角三角形∴三角形的外心位于三角形的外部．5．解：(1)∵ R C cB b A a 2sin sin sin === RbB R cC R a A 2sin ,)2(sin ,)2(sin 2222===∴∵ 2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a －b )sin B∴2R ［(R a 2)2-(R c 2)2］＝(3a -b )·R b 2∴ a 2-c 2＝3ab -b 2∴232222=-+ab c b a∴ cos C ＝23，∴C ＝30°(2)∵S ＝21ab sin C＝21·2R sin A ·2R sin B ·sin C＝R 2sin A sin B＝-22R ［cos(A ＋B )-cos(A -B )］＝22R ［cos(A -B )＋cos C ］＝22R ［cos(A -B )＋23］当cos(A -B )＝1时，S 有最大值。