高等数学在实际生活中的应用72690

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

高等数学知识在实际生活中的应用

(4)对模型进行分析、检验和修改。建立模型后,要对模型进行分析,即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明得到数量结果,将此结果与实际问题进行比较,以验证模型的合理性。一般地,一个模型要经过反复地修改才能成功。

(5)模型的应用。用已建立的模型分析、解释已有的现象,并预测未来的发展趋势,以便给人们的决策提供参考。

归纳起来,数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明:

图1

(二)数学建模的范例

例教室的墙壁上挂着一块黑板,学生距离墙壁多远,能够看得最清楚?

这个问题学生在实际中经常遇到,凭我们的实际经验,看黑板上、下边缘的视角越大,看得就会越清楚,当我们坐得离黑板越远,看黑板上、下边缘的视角就会越小,自然就看不清楚了,那么是不是坐得

越近越好呢?

先建立一个非常简单的模型:

模型1:

A

a

B b

D C

图2.3-1

先对问题进行如下假设:

1.假设这是一个普通的教室(不是阶梯教室),黑板的上、下边缘在学生水平视线的上方a 米和b 处。

2.看黑板的清楚程度只与视角的大小有关。

设学生D 距黑板x 米,视黑板上、下边缘的的仰角分别为βα,。 由假设知:

ab b

a x a

b x b a ab

x x b a tna x

b

x a 2)(tan 1tan tan )tan(,tan ,tan 2-≤

+

-=+-=+-=-∴=

βαβαβαβα

所以,当且仅当ab

x =

时,)tan(βα-最大,从而视角βα-最大。

从结果我们可以看出,最佳的座位既不在最前面,也不在最后面。坐得太远或太近,都会影响我们的视觉,这符合我们的实际情况。

下面我们在原有模型的基础上,将问题复杂一些。

模型2:设教室是一间阶梯教室,如图2.3-2所示。为了简化计算我们将阶梯面看成一个斜面,与水平面成γ角,以黑板所在直线为y 轴,以水平线为x 轴,建立坐标系(见图2.3-2)。则直线O E 的方程(除原点)为:

γtan x y = )0(>x

若学生D 距黑板的水平距离为x ,则D 在坐标系中的坐标为

)tan ,(γx x ,

图2.3-2

则:x

x b x

x a γ

βγ

αtan tan ,tan tan -=-=

所以β

αβαβαtan tan 1tan tan tan(+-=

-)

x

x b x x a x x b x x a γγγ

γtan tan 1tan tan -⋅

-+---=

x

x x b a ab x b

a 2

2tan )tan tan (γγγ++-+

-=

x

x x b a ab x x f 2

2tan )tan tan ()(γγγ++-+

=,要使)tan(βα-最大,只要)(x f 最小就可以了。对)(x f 求导得:

2

22'

)tan 1()(x ab

x x f -+=

γ

γ2tan 1+>

ab x 时,

('>)x f ,则

)

(x f 随x

的增大而增大;当

γ

2tan 10+<

x f ,则)(x f 随x 的增大而减小,由因为)(x f 是连续的,所以当γ

2tan 1+=ab x 时,)(x f 取最小值,也就是γ

2tan 1+=

ab

x 时,

学生的视角最大。

通过这两个模型,我们便可以解释为什么学生总愿意坐在中间几排。模型1和模型2所应用的基本知识都是相同的,只是因为假设的教室的环境不同,建立的模型有些细微差别,所以结果不同,但这两个结果都是基本符合实际的。在解题过程中,我们只考虑了一个因素,那就是视角,其实我们还可以考虑更多的因素,比如:前面学生对后面学生的遮挡,学生看黑板的舒适度(视线与水平面成多少度角最舒服),等。我们考虑的因素越多,所的结果就会越合理。但有时如果

考虑的因素过多、过细的话,解题过程就会相当繁琐,有时甚至得不到结果。所以“简化假设”时就需要我们冷静的分析,在众多的因素中抓住主要矛盾,作出最佳的选择。因此在建立模型时既要符合实际,又要力求计算简便。

二、矩阵在实际生活中的应用 (一)有关矩阵的乘法

矩阵A =⎢⎣⎡c a ⎥⎦⎤d b 与→a =⎥⎦

⎢⎣⎡y x 相乘

=→

a A ⎢⎣⎡c a ⎥

d b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++dy cx by ax =→

)(a A λ⎢⎣⎡c a ⎥

d b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x λ=⎢⎣⎡c a ⎥⎦

⎤d b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x λλ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y d x c y b x a λλλλ=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++dy cx by ax λλλλ=→a A λ →

+=+b A a A b a A )( →

+=+b A a A b a A 2121)(λλλλ

(二)矩阵应用的范例—人口流动问题

例 假设某个中小城市及郊区乡镇共有40万人从事农、工、商工作,假定这个总人数在若干年内保持不变,而社会调查表明:

(1) 在这40万就业人员中,目前约有25万人从事农业,10万

人从事工业,5万人经商;

(2) 在务农人员中,每年约有10%改为务工,10%改为经商; (3) 在务工人员中,每年约有10%改为务农,20%改为经商; (4) 在经商人员中,每年约有10%改为务农,20%改为务工。 现欲预测一、二年后从事各业人员的人数,以及经过多年之后,从事各业人员总数之发展趋势。

相关文档
最新文档