数学八年级上册第十四章第4课时反证法作业课件 华东师大版
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华东师大版八年级上册14.反证法课件(共23张)
王戎是怎样知道李子是苦的呢？他运用了
怎样的推理方法？
王戎的推理方法是:
假设李子不苦 则因树在“道”边,李子早就被别人采摘, 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立，李为苦李.
生活实例: 妈妈:小华，听说邻居小芳全家这几天在外 地旅游. 小华:不可能，我上午还在学校碰到了她和 她妈妈呢!
上述对话中，小华要告知妈妈的命题是什么？
课后作业
1、已知：一个整数的平方能被2整除.
求证：这个数是偶数.
2、已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根.
3、已知x＞0，y＞0，x+y＞2.
求证：1+x y
，1+y x
中至少有一个小于2.
4、求证： 2 是无理数.
5、求证：在三角形的内角中，至少有一个角大于 或等于60º. 6、证明：等腰三角形的两底角必定是锐角. 7、证明：两直线平行，同旁内角互补. 8、如图，已知AB∥CD，
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+__∠__C_＞__1_8_0_°
这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾； 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
强调 用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说 明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断 定推出的结果是错误的。
P
a
证明： 假设c与b不相交，
则c∥b.
b c
∵ a∥b，
∴ a∥c，
这与“c、a相交于点P”矛盾， ∴ 假设不成立，故c与b相交.
变式练习
怎样的推理方法？
王戎的推理方法是:
假设李子不苦 则因树在“道”边,李子早就被别人采摘, 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立，李为苦李.
生活实例: 妈妈:小华，听说邻居小芳全家这几天在外 地旅游. 小华:不可能，我上午还在学校碰到了她和 她妈妈呢!
上述对话中，小华要告知妈妈的命题是什么？
课后作业
1、已知：一个整数的平方能被2整除.
求证：这个数是偶数.
2、已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根.
3、已知x＞0，y＞0，x+y＞2.
求证：1+x y
，1+y x
中至少有一个小于2.
4、求证： 2 是无理数.
5、求证：在三角形的内角中，至少有一个角大于 或等于60º. 6、证明：等腰三角形的两底角必定是锐角. 7、证明：两直线平行，同旁内角互补. 8、如图，已知AB∥CD，
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+__∠__C_＞__1_8_0_°
这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾； 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
强调 用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说 明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断 定推出的结果是错误的。
P
a
证明： 假设c与b不相交，
则c∥b.
b c
∵ a∥b，
∴ a∥c，
这与“c、a相交于点P”矛盾， ∴ 假设不成立，故c与b相交.
变式练习
反证法说课课件
一、学习目标：
• 1、知识目标：通过实例体会反证法的含义，掌握反证法 的证明步骤，会用反证法证明简单的命题。 • 2、能力目标：培养学生类比推理的能力以及自主探究数 学问题的能力。 • 3、德育目标：培养他们勇于探索和创新精神以及优化他 们的个性品质。 • 4、情感目标：构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师 生情感交流，体验数学活动充满探索性和创造性。
• 三、自学、对学、群学、合作探究交流
1 用具体列子让学生体会反证法的思路 、
（1）、 思考：在△ABC中，已知
AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°. 求证；a2＋b2≠c2. （2）、求证两条直线相交只有一个交点. （3）、证明：如果两条直线都与第三条 直线平行，那么这两条直线也平行.（结 合图形）
谢谢！
• 恳请各位老师指正
二、情景引入、激发学习兴趣
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看到 路边的李树上结满了 果子.小伙伴们纷纷去 摘取果子,只有王戎站 在原地不动. 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴 摘取一个尝了一下果然是苦.
设计意图：通过教师设问，学生思考、探究、类比，学生得出了反证法的概念，初步明 确反证法的步骤。
14.1.3 反证法 说课课件
简阳市禾丰镇励志九年义务教育学校
刘成理
• 教材分析
• • 1、教材的内容、地位及编排依据 本节主要研究反证法的概念以及反证法证明问题的一般步骤。在上一节中， 我们已经学习了直接证明，但是对于有的题目，要证的结论与条件之间的联 系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；或者如果从正面证明，需 要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的 几种情形。所以，教材在直接证明之后安排反证法的内容是很有必要的。 2、教学目标 （1）知识目标：理解反证法的概念，掌握反证法的证题步骤；会用反证法证 明简单的命题. （2）能力目标：培养学生类比推理的能力以及自主探究数学问题的能力； （3）德育目标：培养他们勇于探索和创新精神以及优化他们的个性品质； （4）情感目标：构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流。体验 数学活动充满探索性和创造性. 3、教学的重点、难点、关键 重点：从生活实例抽象出反证法的概念、步骤；会用反证法证明简单的命题. 难点：证明方法的选择；会用反证法证明简单的命题. 关键：在反证法中如何在正确的推理下得出矛盾。
《初中数学反证法》课件
《初中数学反证法》PPT 课件
本PPT课件详细介绍了初中数学中的反证法。内容包括反证法的定义和原理， 反证法在数学中的应用，反证法的基本步骤，以及使用反证法解决数学问题 的示例。
反证法例题解析
数学概念和定理
使用反证法解决常见的数学概念和定理问题。
步骤示例
演示如何运用反证法来解决具体问题。
深入探索
探讨反证法在不同数学领域中的应用。
3
学习建议
分享一些学习反证法的有效方法和技巧。
练习题和答案解析
1 提供练习
给出一些练习题，让学生巩固对反证法的理解。
2 答案解析
提供详细的答案解析，帮助学生检查和纠正错误。
3 挑战题目
提供一些有挑战性的题目，激发学生的思考和探索欲望。
解题技巧
分享一些解题技巧和经验。
反证法的优势和限制
数学推理的优势
反证法在数学推理中的重要作 用。
限制和注意事项
使用反证何促进思维的创 新。
常见误解和常见问题
1
常见错误和误解
学生在学习反证法时可能容易犯的常见错误和误解。
2
问题解答
解答学生常见问题和困惑，帮助他们更好地理解和应用反证法。
本PPT课件详细介绍了初中数学中的反证法。内容包括反证法的定义和原理， 反证法在数学中的应用，反证法的基本步骤，以及使用反证法解决数学问题 的示例。
反证法例题解析
数学概念和定理
使用反证法解决常见的数学概念和定理问题。
步骤示例
演示如何运用反证法来解决具体问题。
深入探索
探讨反证法在不同数学领域中的应用。
3
学习建议
分享一些学习反证法的有效方法和技巧。
练习题和答案解析
1 提供练习
给出一些练习题，让学生巩固对反证法的理解。
2 答案解析
提供详细的答案解析，帮助学生检查和纠正错误。
3 挑战题目
提供一些有挑战性的题目，激发学生的思考和探索欲望。
解题技巧
分享一些解题技巧和经验。
反证法的优势和限制
数学推理的优势
反证法在数学推理中的重要作 用。
限制和注意事项
使用反证何促进思维的创 新。
常见误解和常见问题
1
常见错误和误解
学生在学习反证法时可能容易犯的常见错误和误解。
2
问题解答
解答学生常见问题和困惑，帮助他们更好地理解和应用反证法。
八年级数学(华师版)上册(课件)14.1第4课时 反证法
解：有错误，应为：假设 AC＝BC，∵∠C＝90°，∴∠A＝∠B ＝45°，这与∠A≠45°相矛盾，故 AC≠BC.
16．(10分)用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
解：已知：等腰△ABC，AB＝AC.求证：∠B与∠C都是锐角． 证明：假设∠B与∠C至少有一个不是锐角，即∠B与∠C至少 有一个≥90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C≥90°.又∵∠A＞0°， ∴∠B＋∠C＋∠A＞180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，
13．用反证法证明命题“若实数a，b满足a＋b＝12，则a，b中 至少有一个数不小于6”时，第一步应先假设所求证的结论不成 立，即为 a，b都小于6 ．
14．(8分)已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2≠180°. 求证：l1与l2不平行． 证明：假设l1__∥__l2， 则∠1＋∠2__＝__180°(两直线平行，同旁内角互补) 这与 ∠1＋∠2≠180°矛盾，故__l1 ∥l2__不成立． 所以__l1 不平行于l2__．
14.1 勾股定理
第4课时 反证法
1．在证明一个命题时，有时先假设命题 不成立 ，从这样 的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公 理、定理等矛盾，从而得出假设命题 不成立 ，即所求证的 命题 正确 ，这种证明方法叫做反证法．
2．运用反证法证明命题一般有下列三个步骤：
假设、推理、结论
15．(10 分)阅读下列文字，回答问题． 题目：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若∠A≠45°，所以 AC≠BC. 证明：假设 AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠ B. 所以 AC≠BC，这与假设矛盾，所以 AC≠BC.上面的证明有没有错 误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
16．(10分)用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
解：已知：等腰△ABC，AB＝AC.求证：∠B与∠C都是锐角． 证明：假设∠B与∠C至少有一个不是锐角，即∠B与∠C至少 有一个≥90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C≥90°.又∵∠A＞0°， ∴∠B＋∠C＋∠A＞180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，
13．用反证法证明命题“若实数a，b满足a＋b＝12，则a，b中 至少有一个数不小于6”时，第一步应先假设所求证的结论不成 立，即为 a，b都小于6 ．
14．(8分)已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2≠180°. 求证：l1与l2不平行． 证明：假设l1__∥__l2， 则∠1＋∠2__＝__180°(两直线平行，同旁内角互补) 这与 ∠1＋∠2≠180°矛盾，故__l1 ∥l2__不成立． 所以__l1 不平行于l2__．
14.1 勾股定理
第4课时 反证法
1．在证明一个命题时，有时先假设命题 不成立 ，从这样 的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、公 理、定理等矛盾，从而得出假设命题 不成立 ，即所求证的 命题 正确 ，这种证明方法叫做反证法．
2．运用反证法证明命题一般有下列三个步骤：
假设、推理、结论
15．(10 分)阅读下列文字，回答问题． 题目：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若∠A≠45°，所以 AC≠BC. 证明：假设 AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠ B. 所以 AC≠BC，这与假设矛盾，所以 AC≠BC.上面的证明有没有错 误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
华东师大版数学八年级上册14.反证法课件
已知：在梯形ABCD中，AB//CD，
A
∠C≠∠D
求证：梯形ABCD不是等腰梯形.
D
证明：假设梯形ABCD是等腰梯形。 ∴∠C=∠D（等腰梯形同一底上
的两内角相等）
这与已知条件∠C≠∠D矛盾, 假 设不成立。
∴梯形ABCD不是等腰梯形.
B C
五、拓展应用
1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
感 受 则 AB＝AC （ 等角对等边 ）
反 这与 已知AB≠AC
矛盾．
证 假设不成立．
法: ∴ ∠B ≠ ∠ C
．
A
B
C
小结：
反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻 辑推理得出矛盾→肯定原结论正确
例2Байду номын сангаас求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点，不
证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ∴△ABP≌△ACP（S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应 B
边相等）
这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾， 假设不成立.
∴PB≠PC
A
P C
华盛顿抓小偷
美国总统华盛顿从小非常聪明,小偷翻进 鲍克家偷走了许多东西,根据迹象表明小偷就 是本村人,华盛顿灵机一动,对全村人讲起了 故事:“黄蜂是上帝的使者,能辨别人间的真 假.”忽然华盛顿大声喊道:“小偷就是他，黄 蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下来了！” 大家回头张望，看着那个想把帽子上的黄蜂 赶走的人，其实哪有什么黄蜂？华盛顿大喝 一声：“小偷就是他！”
八年级数学上册 反证法课件
点拨：至少的反面是没有！
你能说出下列结论的反面吗?
1. a⊥b
2. d是正数 3. a≥0
a不垂直于b d不是正数，即d ≤0
a＜0
a 、b不平行
4. a∥b
5．“a＜b”的反面应是（ D ） A．a≠b B ．a ＞b C ．a ＝b D ．a ＝b 或a ＞b
6．用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时， 应假设__________________________________ ． 三角形中有两个或三个角是直角
2
证明：假设结论不成立，即a∥b．
∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等）
这与已知的∠1≠∠2矛盾
∴假设不成立 ∴a与b不平行
2、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小 于或等于60°。 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60°， ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 则 。 ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ， 即 ∠A+∠B+∠C>180° 。 这与 三角形的内角和为180度 矛盾．假设不成立． ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．
在证明一个命题时,有时先假设命题 的结论不成立,从这样的假设出发,经过推 理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理, 定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立是错误的,即 所求证的命题正确。这种证明方法叫做反 证法。
三、应用新知
例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B
证明：假设 ∠B ＝ ∠ C， 则 这与 AB＝AC （ 等角对等边 已知AB≠AC 矛盾． ）
《反证法》ppt课件
2.2直接证明与间接证明
2.2.2
间接证明
一、复习
1、直接证明的两种基本证法：综合法和分析法 2、这两种基本证法的推证过程和特点： 综合法 — —已知条件⇒ ⇒ ⇒ 结论 由因导果 分析法 — —结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法提供思路，再由综合法写过程
二.练习
1.已知a,b,c是不全相等的正数，且0 < x < 1. 求证： a+b b+c c+a log x + log x + log x 2 2 2 < log x a + log x b + log xc
2.设a,b是异面直线，在a上任取两点A,C， 在b上任取两点B,D， 试证：AB和CD也是异面直线.
否定结论q
逻辑矛盾
为
假
为
真
注3.反证法的证明过程可以概括为： 否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即三个步骤：反设—归谬—存真 注4.用反证法证明的步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立 （反设） （2）从反设和已知条件出发，经过一系列正确的推理， 得出矛盾结果（归谬） （3）由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立 （存真）
例2.已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上 的射影． 求证：H不可能是△SBC的垂心．
解题反思：
证明该问题的关键 是哪一步？ 本题中得到的逻辑 矛盾归属哪一类？
例3：求证：正弦函数没有比2π 小的正周期.
解题反思：
证明该问题的关键是哪一步？ 本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？
A
C a
2.2.2
间接证明
一、复习
1、直接证明的两种基本证法：综合法和分析法 2、这两种基本证法的推证过程和特点： 综合法 — —已知条件⇒ ⇒ ⇒ 结论 由因导果 分析法 — —结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法提供思路，再由综合法写过程
二.练习
1.已知a,b,c是不全相等的正数，且0 < x < 1. 求证： a+b b+c c+a log x + log x + log x 2 2 2 < log x a + log x b + log xc
2.设a,b是异面直线，在a上任取两点A,C， 在b上任取两点B,D， 试证：AB和CD也是异面直线.
否定结论q
逻辑矛盾
为
假
为
真
注3.反证法的证明过程可以概括为： 否定结论——推出矛盾——肯定结论， 即三个步骤：反设—归谬—存真 注4.用反证法证明的步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立 （反设） （2）从反设和已知条件出发，经过一系列正确的推理， 得出矛盾结果（归谬） （3）由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立 （存真）
例2.已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC， △ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上 的射影． 求证：H不可能是△SBC的垂心．
解题反思：
证明该问题的关键 是哪一步？ 本题中得到的逻辑 矛盾归属哪一类？
例3：求证：正弦函数没有比2π 小的正周期.
解题反思：
证明该问题的关键是哪一步？ 本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？
A
C a
《反证法》PPT课件 图文
你总该记得，有一个黄昏，白马湖上的 黄昏， 在你那 间天花 板要压 到头上 来的， 一颗骰 子似的 客厅里 ，你和 我读着 竹久梦 二的漫 画集。 你告诉 我那篇 序做得 有趣， 并将其 大意译 给我听 。我对 于画， 你最明 白，彻 头彻尾 是一条 门外汉 。但对 于漫画 ，却常 常要像 煞有介 事地点 头或摇 头；而 点头的 时候总 比摇头 的时候 多—— 虽没有 统计， 我肚里 有数。 那一天 我自然 也乱点 了一回 头。 点头之余，我想起初看到一本漫画，也 是日本 人画的 。里面 有一幅 ，题目 似乎是 《aa子 爵b泪》 （上两 字已忘 记）， 画着一 个微侧 的半身 像：他 严肃的 脸上戴 着眼镜 ，有三 五颗双 钩的泪 珠儿， 滴滴答 答历历 落落地 从眼睛 里掉下 来。我 同时感 到伟大 的压迫 和轻松 的愉悦 ，一个 奇怪 的矛盾 ！梦二 的画有 一幅— —大约 就是那 画集里 的第一 幅—— 也使我 有类似 的感觉 。那幅 的题目 和内容 ，我的 记性真 不争气 ，已经 模糊得 很。只 记得画 幅下方 的左角 或右角 里，并 排地画 着极粗 极肥又 极短的 一个“ ！”和 一个“ ？”。 可惜我 不记得 他们哥 儿俩谁 站在上 风，谁 站在下 风。我 明白（ 自己要 脸）他 们俩就 是整个 儿的人 生的谜 ；同时 又觉着 像是那 儿常常 见着的 两个胖 孩子。 我心眼 里又是 糖浆， 又是姜 汁，说 不上是 什么味 儿。无 论如何 ，我总 得惊异 ；涂呀 抹的几 笔，便 造起个 小世界 ，使你 又要叹 气又要 笑。叹 气虽是 轻轻的 ，笑虽 是微微 的，似 一把锋 利的裁 纸刀， 戳到喉 咙里去 ，便可 要你的 命。而 且同时 要笑又 要叹气 ，真是 不当人 子，闹 着玩儿 ！
A
求证：三角形中不可能有两个钝角。
A
求证：三角形中不可能有两个钝角。
反证法 课件
() A．a3＝b3
C B．a3<b3
C．a3≤b3
D．a3<b3 且 a3＝b3
(2)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以 下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相 矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
2．反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定的“结论的反面”是错误的， 从而肯定原结论是正确的．
结论反设不当致误
已知 a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.
[错解] 假设 a≤0，b≤0，c≤0，则 a＋b＋c≤0，abc≤0 与题设条件 a＋b＋ c>0，abc>0 矛盾．
C
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个正数
D．两个都是负数
[解析] 假设两个数分别为 x1、x2，且 x1≤0，x2≤0，则 x1＋x2≤0，这与两个
数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选 C．
命题方向1 ⇨用反证法证明否(肯)定性命题
(1)用反证法证明命题“如果 a>b，那么 a3>b3”时，假设的内容是
2．用反证法证明数学命题的步骤
特别提醒：(1)用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步骤，其次注意反证法是在条件较 少，直接证明不易入手时常用的方法．
(2)结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“没有”等词语的否定性命题，结论的反面 比较具体，适于应用反证法．
(3)注意否定结论时，要准确无误．
反证法PPT教学课件
∴假设不成立
∴AB//CD
考考你
“对角线相等的四边形是矩形” A
是真命题吗？为什么？ 你是用什么方法说明的？
B A
你能说说举反例和反证法的B
联系和区别吗？
D C D
C
1、求证：垂直于同一条直线的两条 直线平行.
2、证明不存在整数m,n,使得 m2 n2成立20.06
华盛顿抓小偷
美国总统华盛顿从小非常聪明,小偷翻进 鲍克家偷走了许多东西,根据迹象表明小偷就 是本村人,华盛顿灵机一动,对全村人讲起了 故事:“黄蜂是上帝的使者,能辨别人间的真假.” 忽然华盛顿大声喊道:“小偷就是他，黄蜂正 在他的帽子上兜圈子，要落下来了！”大家 回头张望，看着那个想把帽子上的黄蜂赶走 的人，其实哪有什么黄蜂？华盛顿大喝一声： “小偷就是他！”
所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确, 于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.
议一议
在古希腊,有两个哲学家,由于争论 和天气的炎热感到疲倦,于是就在花园 里的一棵大树下躺下休息,不一会儿就 睡着了,这时一个爱开玩笑的人用炭涂 黑了他们的前额,当他们醒来后,彼此相 看时都笑了.一会儿其中一个人突然不 笑了.这是为什么呢?
综合① 和②知假设不成立,
所以∠B一定是锐角.
例3、证明：如果两条直线都和第三条直 线平行，那么这两条直线也互相平行.
已知：如图，AB//EF，CD//EF，
求证：AB//CD
A
B
D C
E
F
A
B
C
D
O
E
F
证明：假设AB ∥CD，即AB与CD相交于点O
∵AB//EF，CD//EF
∴过点O有两条直线AB、CD与直线EF平行 这与“过直线外一点有且只有一条直线和这 条直线平行”矛盾，
14.1.2 直角三角形的判定、反证法(课件)2024-2025-华东师大版数学八年级上册
课堂新授
知识点 2 勾股数
知2－讲
1. 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数， 称为勾股数. 勾股数必须同时满足两个条件：(1)三个 数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的 平方.
课堂新授
2. 判别一组数是不是勾股数的一般步骤
知2－讲
(1)“看”：看是不是三个正整数；
(2)“找”：找最大数；
课堂新授
解：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角 .
知3－练
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角 .
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角 .
不妨设∠B＝∠C＝90°.
∴∠A ＋ ∠B ＋ ∠C ＝ ∠A ＋ 90° ＋ 90° ＝ ∠A ＋ 180°>
180°. 这与“三角形的内角和是 180°”相矛盾 .
遇比例用参数法.
(3)设a＝3x，则b＝4x，c＝5x. 易得(3x)2＋(4x)2＝(5x)2，即
a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形.
课堂新授
知1－练
方法点拨：判定直角三角形的方法： 1. 如果已知条件与角度有关，可求出其中一个角是直角， 或者证明其中一个角等于已知的直角，得到直角三角形. 2 . 如果已知条件与边有关，可通过计算推导出三角形三边 长的数量关系[即a2＋b2＝c2(c为最长边)]，得到直角三角形.
归纳总结
直角三角形的判定、反证法
反证法
论新授
例 2 下面四组数中是勾股数的一组是( D )
A. 6，7，8
B. 5，8，13
知2－练
C. 1.5，2，2.5
D. 21，28，35
解题秘方：紧扣“勾股数定义中的两个条件”进行判断.
华师大版八年级数学上册第14章勾股定理PPT教学课件
的数学思想．（难点）
导入新课 问题情境
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高
3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基
的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?
讲授新课
直角三角形三边的关系
观察正方形瓷砖铺成的地面. （1）正方形P的面积是 （2）正方形Q的面积是 1 1 平方厘米； 平方厘米；
典例精析
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=c, BC=a, AC=b，
A
a² +b² =c² ，求证：∠C=90°. 证明：如图，作△A'B′C′,使∠C′=90°
A′C′=b，B′C′=a， 则A′B′²=a²+b²=c²， 即A′B′=c. 在△ABC和△A′B′C′中， ∵BC=a=B′C′， AC=b=A′C′， AB=c=A′B′， ∴△ABC≌△A′B′C′. ∴∠C=∠C′=90°.
A
R
P
C Q B
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
（图中每一格代表一平方厘米）
上面三个正方形的面积之间有什么关系？ SP+SQ=SR
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 AC2+BC2=AB2
想一想
这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平 方和等于斜边的平方 那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和
做一做
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，
你能否根据这一图形，证明勾股定理.
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ;
b a b
a
也可以表示为
c2 +4•ab/2
第14章 勾股定理-思维图解+项目学习 华东师大版数学八年级上册知识考点梳理课件
形，则这圈金属丝的周长最小为 2AC 的长度 ．
∵ 圆柱底面的直径 BC = 8，圆柱的高AB=9，∴ 该长度
最短的金属丝的长为 2AC=2 + （） =2 + =30
．
项目学习
［点拨］ 圆柱的侧面展开图是一个长方形，例题中长方
形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高，此类问题就是
解
先假设结论的反面是正确的
勾
股
定
理
反
证
法
步骤
然后通过演绎推理，推出与基本
事实、已证的定理、定义或已知
条件相矛盾
从而说明假设不成立，
进而得出原结论正确
第 14 章 勾股定理
单
元
思
维
图
解
最短路线问题
勾
股
定
理
勾
股
定
理
的
应
用
常见
问题
在生活中的应用：如方位角问题，
折叠问题，旗杆折断问题，方案
设计问题等
在数学问题中的应用
直角三角形两直角边的
平方和等于斜边的平方
第 14 章 勾股定理
单
元
思
维
图
解
勾
股
定
理
直
角
三
角
形
的
判
定
勾股定理的逆定理
勾股数
如果三角形的三边长 a，
b，c 有关系 a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三
角形，且边c所对的长的三个正整数
第 14 章 勾股定理
单
元
思
维
图
第 14 章 勾股定理
课标领航·核心素养学段目标
∵ 圆柱底面的直径 BC = 8，圆柱的高AB=9，∴ 该长度
最短的金属丝的长为 2AC=2 + （） =2 + =30
．
项目学习
［点拨］ 圆柱的侧面展开图是一个长方形，例题中长方
形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高，此类问题就是
解
先假设结论的反面是正确的
勾
股
定
理
反
证
法
步骤
然后通过演绎推理，推出与基本
事实、已证的定理、定义或已知
条件相矛盾
从而说明假设不成立，
进而得出原结论正确
第 14 章 勾股定理
单
元
思
维
图
解
最短路线问题
勾
股
定
理
勾
股
定
理
的
应
用
常见
问题
在生活中的应用：如方位角问题，
折叠问题，旗杆折断问题，方案
设计问题等
在数学问题中的应用
直角三角形两直角边的
平方和等于斜边的平方
第 14 章 勾股定理
单
元
思
维
图
解
勾
股
定
理
直
角
三
角
形
的
判
定
勾股定理的逆定理
勾股数
如果三角形的三边长 a，
b，c 有关系 a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三
角形，且边c所对的长的三个正整数
第 14 章 勾股定理
单
元
思
维
图
第 14 章 勾股定理
课标领航·核心素养学段目标
数学八年级上册第14章勾股定理 作业课件 华东师大版(付,148)
6．(8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c. (1)已知a＝40，c＝41，求b； (2)已知a＝5，b＝12，求c. 解：(1)b＝9 (2)c＝13
7．(4分)历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形， 其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上， 证明中用到的面积相等关系是( ) D A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD
第十四章 勾股定理
14．1 勾股定理
第1课时 直角三角形三边的关系(一)
1．(4分)有下列判断：①已知a，b，c分别是直角三角形的三边长， 则必有a2＋b2＝c2；②直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方； ③在Rt△ABC中，若∠B＝90°，边BC，CA，AB的长分别是a，b，c， 则有c2＝a2＋b2；④在Rt△ABC中，若∠A＝90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C的对边，则有b2＋c2＝a2.其中正确的有( ) A A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【素养提升】 19．(12分)如图所示，沿AE折叠长方形ABCD， 使点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝10 cm. (1)求EC的长； (2)求DE的长； (3)求△AFE的面积． 解：(1)3 cm (2)5 cm (3)25 cm2
第十四章 勾股定理
14．1 勾股定理
6．(4分)如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图， 根据图中标出的尺寸(单位：mm)， 计算两圆孔中心A和B的距离为____mm1.00
7．(4分)如图，在校园内有两棵树相距8 m，一棵树高12 m， 另一棵树高6 m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端， 小鸟至少要飞____m1.0
反证法(证明) ppt课件
若存在，求出其值，若不存在，请说明理由。
练习
求证：在任何三个整数中，必有这样的 两个数，他们的和是2的倍数
如果把9个苹果放在4个盒子里那么至少 有1个盒子中放了3个或者3个0 对于直线l : y kx 1 ，是否存在这样的
实数 k ，使得l 与双曲线 C : 3x2 y2 1
的交点A，B关于直线 y ax（a 是常数）对称？
例3 抛物线上任取四点4所组成的不可能是平行四边形。
练习
有一个4×4的方格表.先从中涂黑3个方格，然后再 将那些至少与两个已涂黑的方格相邻的方格也涂黑. 求证：无论最初涂黑哪3个方格，都不可能按这样的 规则涂黑所有的方格.
存在无限性命题与反证法
问题涉及存在多个符合某条件时，也使用反证法
反证法
反证法定义 方法的步骤 反证法的分类
反证法
反证法：通过证明命题的否定命题不真 实，从而肯定原命题成立的论证方式
包括归谬法和穷举法
反证法证题步骤
1、假设原命题不成立 2、从否定结论出发，逐层推理，得出与
公理、订立或者题设条件自相矛盾的结 论 3、根据排中律，肯定原命题成立
存在至多或者至少型命题
例8
若x, y, z 为实数，令 a x2 2y ，
2
b y2 2z , c z2 2x
3
6
求证：a,b, c 至少有一个不大于0。
例题
例8 把43人分成7各小组，总有一个小组 至少有7人
例9 把11个参加活动的名额分配给6个班， 每班至少分配1人，求证：不管怎么分， 至少有3个班的名额相等
否定性命题与反证法
否定型命题：结论中含有“不可 能……”“不是……”“不存在……”“不等于……” 等词句。这类命题通常用反证法证明。
练习
求证：在任何三个整数中，必有这样的 两个数，他们的和是2的倍数
如果把9个苹果放在4个盒子里那么至少 有1个盒子中放了3个或者3个0 对于直线l : y kx 1 ，是否存在这样的
实数 k ，使得l 与双曲线 C : 3x2 y2 1
的交点A，B关于直线 y ax（a 是常数）对称？
例3 抛物线上任取四点4所组成的不可能是平行四边形。
练习
有一个4×4的方格表.先从中涂黑3个方格，然后再 将那些至少与两个已涂黑的方格相邻的方格也涂黑. 求证：无论最初涂黑哪3个方格，都不可能按这样的 规则涂黑所有的方格.
存在无限性命题与反证法
问题涉及存在多个符合某条件时，也使用反证法
反证法
反证法定义 方法的步骤 反证法的分类
反证法
反证法：通过证明命题的否定命题不真 实，从而肯定原命题成立的论证方式
包括归谬法和穷举法
反证法证题步骤
1、假设原命题不成立 2、从否定结论出发，逐层推理，得出与
公理、订立或者题设条件自相矛盾的结 论 3、根据排中律，肯定原命题成立
存在至多或者至少型命题
例8
若x, y, z 为实数，令 a x2 2y ，
2
b y2 2z , c z2 2x
3
6
求证：a,b, c 至少有一个不大于0。
例题
例8 把43人分成7各小组，总有一个小组 至少有7人
例9 把11个参加活动的名额分配给6个班， 每班至少分配1人，求证：不管怎么分， 至少有3个班的名额相等
否定性命题与反证法
否定型命题：结论中含有“不可 能……”“不是……”“不存在……”“不等于……” 等词句。这类命题通常用反证法证明。
14.反证法PPT课件(华师大版)
反证法的第一步假设，假设时要特别注意命题 的反面成立，当反面不止一种情形时，应把所有可 能情形都列出来，然后再分类证明列举出来的各种 情形均不成立，从而肯定原命题成立．
1 用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD， AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一步是( ) A．假设CD∥EF B．已知AB∥EF C．假设CD不平行于EF D．假设AB不平行于EF
知识点 2 反证法的假设
易错警示：若结论的反面只有一种情况，则反设 单一，只需驳倒这种情况，即可到达反证的目的； 若结论的反面不止一种情况，那么要各种情况一 一驳倒，才能肯定原命题正确．
运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定情势有：
结论 词
是
都是
大(小) 于
能
至少 至少 至多 相等 有一 有n 有一 负数
解： 已知：在△ABC中 ，AB＝AC，求证：∠B，∠C一定是锐角． 证明：假设∠B，∠C不是锐角，则∠B，∠C是直角或钝角． 若∠B，∠C是直角，即∠B＝∠C＝90°， 故∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和定理矛盾． 所以∠B，∠C不是直角． 若∠B，∠C是钝角，即∠B＝∠C＞90°， 故∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和定理矛盾． 所以∠B，∠C不是钝角． 综上所述，∠B，∠C不是直角，也不是钝角，即∠B，∠C是 锐角． 所以等腰三角形的底角一定是锐角．
反证法证明命题的一般步骤：反设——归谬——结论， 即： 假设命题的结论不成立； 从这个假设出发，经过推理论证，得出与公理、定
理、定义或已知条件相矛盾； 由矛盾断定所作假设不正确，从而得出原命题成立．
读一读 反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著
名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有 困难或者不可能 时，就可以尝试运用反证法，有时该问 题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.因此，牛 顿就说过：“反证法是数学家最精良的 武器之一.”用反 证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反 的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的 证明方法.
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16．(10分)用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角． 解：已知：等腰△ABC，AB＝AC.求证：∠B与∠C都是锐角．证明：假设 ∠B与∠C至少有一个不是锐角，即∠B与∠C至少有一个大于等于90°.∵AB ＝AC，∴∠B＝∠C≥90°.又∵∠A＞0°，∴∠B＋∠C＋∠A＞180°，这与 三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立．∴∠B与∠C都是锐角
【素养提升】 17．(12分)已知△ABC和△A′BC有公共边BC， 且A′B＋A′C＞AB＋AC.求证：点A′一定在△ABC的外部． 证明：假设点A′不在△ABC的外部，则有两种可能情况：点A′在三角形内 部；点A′在三角形的边上．①假设点A′在△ABC的内部．延长BA′交AC于 点D，则有BA＋AD＞BD＝BA′＋A′D，且A′D＋DC＞A′C，故有BA＋AD ＋DC＞BA′＋A′D＋DC＞BA′＋A′C.∴AB＋AC＞A′B＋A′C.这与题设条件 矛盾．故点A′不可能在△ABC的内部；②同法可证点A′也不能在△ABC的 边上．综合①②得点A′一定在△ABC的外部
第一步应假设在这个三角形中(C )
A．没有锐角
B．都是直角
C．最多有一个锐角 D．有三个锐角
6．(4分)用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设(A )
A．一个三角形中至少有两个钝角
B．一个三角形中至多有一个钝角
C．一个三角形中至少有一个钝角
D．一个三角形中没有钝角
7．(4分)用反证法证明命题“如果AB∥CD，AB∥EF， 那么CD∥EF”第一个步骤是( )B A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EF C．已知AB∥EF D．假定AB不平行于EF
C． 3 是有理数 D． 3 是实数
3．(4分)用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( )D
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b
D．a与b相交
4．(4分)用反证法证明“a≥b”时应假设( ) A A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．a≤b
5．(4分)在证明“在△ABC中至少有两个锐角”时，
第十四章 勾股定理
14．1 勾股定理
第4课时 反证法
1．(4 分)下列选项中，可以用来证明命题“若 a2＞1， 则 a＞1”是假命题的反例是( A )
A．a＝－2
B．a＝－1
C．a＝1
D．a＝2
2．(4 分)用反证法证明“ 3 是无理数时”，最恰当的证法是先假设(C )
A． 3 是分数
B． 3 是整数
13．用反证法证明命题“若实数a，b满足a＋b＝12，
则a，b中至少有一个数不小于6”时， 第一步应先假设所求证的结论不成立，即为____a_，__b_都__小__于_．6
三、解答题(共40分)
14．(8分)如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2≠180°. 求证：l1与l2不平行． 证明：假设l1___∥_l2， 则∠1＋∠2___＝_180°(两直线平行，同旁内角互补)， 这与___∠__1_＋__∠__2_≠_1_8_0_°__矛盾，故____l1_∥__l不2 成立． 所以____l_1_不__平__行__于__l2_．
15．(10分)阅读下列文字，回答问题． 命题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC. 证明：假设AC＝BC，∵∠A≠45°，∠C＝90°，∴∠A≠∠B. ∴AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC. 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法； 若有错误，请予以纠正． 解：有错误，应为假设AC＝BC，∵∠C＝90°， ∴∠A＝∠B＝45°，这与∠A≠45°相矛盾，故AC≠BC
11．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°” 时应假设( D)
A．三角形中有一个内角小于或等于60° B．三角形中有两个内角小于或等于60° C．三角形中有三个内角小于或等于60° D．三角形中没有一个内角小于或等于60°
12．“在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°”． 下面写出了用于证明这个命题过程中的四个推理步骤： ①所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾； ② 所 以 ∠ B ＜ 90° ； ③ 假 设 ∠ B≥90° ； ④ 那 么 ， 由 AB ＝ AC ， 得 ∠ B ＝ ∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应该是( ) C A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③①②
证明：假设线段 AB 有两个中点 M，N，不妨设 M 在 N 的左边， 则 AM＜AN.又∵AM＝12 AB，AN＝12 AB，∴AM＝AN， 这与 AM＜AN 矛盾，∴线段 AB 只有一个中点
10．用反证法证明一个命题，下列说法正确的是( B ) A．将结论与条件同时否定，推出矛盾 B．肯定条件，否定结论，推出矛盾 C．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾， 才是反证法的正确运用 D．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件
8．(6分)证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度． 证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即都大于60°； 那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180°； 这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾，原命题正确
9．(6分)用反证法证明：一条线段只有一个中点． 解：已知：一条线段AB，M为AB的中点． 求证：线段AB只有一个中点M.