(完整word版)三角恒等变换常考题型及解析

三角恒等变换常考题型及解析

山东省寿光中学 刘万岗 262700

三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供同行们商榷。

题型一： 通过和差角公式以及倍角公式考察三角函数函数的求值问题。 例题1.若则的值为( ).

A.2

B.

C.

D. 答案：B. 解析：由得，

解得，∴.

点评：在三角恒等变换中和差倍角应用以及整体求值问题是常考题型，应该引起我们足够的重视。

题型二:通过角的重新组合求三角函数值。

例题2．已知tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝5，则tan 2α＝( )．

A ．－47

B ．47

C ．－74

D ．7

4 答案．C

解析：tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝)－()＋(－)－()＋＋(βαβαβαβαtan tan 1tan tan ＝－7

4． 变式1．若0＜α＜

2π＜β＜π，且cos β＝－31，sin (α＋β)＝97，则sin α 的值是( )． A ．271 B ．275 C ．31 D ．2723 解析：由0＜α＜

2π＜β＜π，知2π＜α＋β＜23 π 且cos β＝－31，sin (α＋β)＝97， 得sin β＝322，cos (α＋β)＝－9

24．∴ sin α＝sin [(α＋β)－β]＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝3

1． 点评：角的重新组合是在三角恒等变换中解决求三角函数值常用的技巧，应该掌握这种基本

技能，从而在求三角函数值时得心用手。

题型三：切弦互化解决三角函数求值问题。

例题3：锐角三角形的内角A ，B 满足tan A －

A 2sin 1＝tan

B ，则有( )． A ．sin 2A －cos B ＝0

B ．sin 2A ＋cos B ＝0

C ．sin 2A －sin B ＝0

D ．sin 2A ＋sin B ＝0 解析：由tan A －A 2sin 1＝tan B ，得A 2sin 1＝tan A －tan B ⇒A A cos sin 21＝B

A B A cos cos －sin )( ⇒cos B ＝2sin A sin (A －B )⇒cos [(A －B )－A ]＝2sin A sin (A －B )

⇒cos (A －B )cos A －sin A sin (A －B )＝0，即cos (2A －B )＝0．

∵ △ABC 是锐角三角形，∴ －

2π＜2A －B ＜π， ∴ 2A －B ＝2

π⇒sin 2A ＝cos B ，即sin 2A －cos B ＝0．答案A 点评：切化弦是解决含有切函数和弦函数常用的技巧，也是首选的思路。

题型四：通过三角恒等变换化成一个角的一个三角函数形式或者通过二次函数解决求最值问题。

例题4：已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-

(1)求()3f π

值的； (2)求()f x 的最大值和最小值。

解析:（1）2239()2cos sin 4cos 12333344f ππππ=+-=-+-=-

(2) 22()2(2cos 1)(1cos )4cos f x x x x =-+-- 2273(cos ),,33x x R =--∈ 23cos 4cos 1x x =--

因为cos [1,1],x ∈-所以当cos 1x =-时,()f x 取最大值6;当2cos 3

x =时,()f x 取最小值7

3-

点评：在解决三角函数求周期、对称轴以及最值问题必须把三角函数式化成一个角的一个三角函数问题，或者借助二次函数求最值。

以上几方面就是三角恒等变换常考题型，当然还有比较大小，求范围问题等一些，只要不断总结，深化解题规律，就能学好三角恒等变换部分，这就是笔者从多年的教学中总结的规律。