完全平方公式和平方差公式专项训练

完全平方公式与平方差公式专项训练

一、基本概念：

1．平方差公式：

()()a b a b +-=22a b -

2．完全平方公式：2()a b +=222b ab a ++

2()a b -=222a ab b -+

3．完全平方公式重要变形：

22a b +=2()2a b ab +- 22a b +=2()2a b ab -+ ()2a b +=2()4a b ab

-+

221[()()]4

ab a b a b =+-- 注：将a +b 、a -b 、ab 看做整体进行变形，巧解问题

4．配方法：

逆用完全平方公式，化为完全平方式；

关键点：寻找2a 、2ab 、2b 这三项中部分项；

增添项：增添某些项，使之凑成完全平方；中间项注意考虑多解．

二、强化练习：

1．下列多项式中可以用完全平方公式计算的是（ ）

A ．(2)(2)a b a b --

B ．(2)(2)a b b a ---

C ．(2)(2)a b b a ---+

D ．(2)(2)a b b a --

2．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）

A ．214m m -+

B ．22a b +

C ．222a ab b --

D ．225a -+

b

b b a a b b a a b a b a

3．已知224250a a b b -+-+=，求a ，b 的值．

4．用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）．

（1）10298⨯； （2）299；

（3）2100.2； （4）299199+；

（5）2(5)a -； （6）(34)(34)m n m n -+-；

（7）(()2)2a b a c b c -+-+； （8）2(23)a b c +-．

（9）(23)(46)a b a b --+-； （10）2(21)(21)(41)m m m +-+=．

5．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把最后一项染黑了，得到正确的结果变为2412a ab -+（ ），你觉得这一项应是________．

6．材料：

一般地，对于任意的a 、b ，由多项式的乘法法则可以得到

22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b +=++=+++=++

222()2a b a ab b +=++即“完全平方公式”；

又比如：222222()[()]2()2a b a b a a b b a ab b -=+-=+-+=-+

计算：

（1）小聪在进行整式乘法练习时，发现了如下的立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ ①利用乘法法则，帮小聪写出立方和公式的推演过程；

②根据因式分解与整式乘法之间的互逆关系，写出因式分解的立方和公式：____________________；

（2）请模仿材料中的“转换”方法，分解因式：38a -．

7．数形结合是一种重要的数学思想，借助这种方法我们可以将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，初中数学里的代数公式，有很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行推导和验证，例如完全平方公式．下面我们进行类似的探究：

（1）如图，是用4个全等的长方形拼出的“回”字图案，

将图形中的阴影部分的面积用两种方法表示，可以得

到一个等式，这个等式为_______________________；

（2）若2(32)5x y -=，2(32)9x y +=，利用上面的结论求xy 的值．

9．利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项2ax bx c ++式的配方法．

运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．

例如：2222211111125115115112411()()24()()()(8)(3)22242222

x x x x x x x x x ++=++-+=+-=+++-=++ 根据以上材料，解答下列问题：

（1）用配方法将多项式2310x x --化成2()x m n ++的形式；

（2）用配方法及平方差公式对多项式2310x x --进行分解因式；

（3）求证：不论x ，y 取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总为正数．

8．如果22(3)1x k x +-+是一个用完全平方公式得到的结果，则k 的值是________．

10．若三项式2421a a -+加上一个单项式后能用完全平方公式分解因式，请写出所有满足题意的单项式 ___________________________________________________________．

11．图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________．

（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．

①______________________________；

②______________________________．

（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?

2()m n +，2()m n -，mn ．

（4）运用你所得到的公式，计算若2mn =-，4m n -=，求2()m n +的值．

（5）求代数式22247x x y y ++-+的最小值．

12．请你计算：(1)(1)x x -+，2(1)(1)x x x -++，…，猜想2(1)(1 )n x x x x -++++ 的结果是_________．

13．已知3a b +=，1a b -=-，求：（1）22a b -的值；（2）ab 的值．