(北师大版)数学必修三：1.4《数据的数字特征》ppt课件
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高中数学北师大版必修三《4数据的数字特征》课件
例1 某公司员工的月工资情况如表所示：
月工资/元 8 000 5 000 4 000 2 000 1 000 800 700 600 500
员工/人
1
2
4
6
12
8 20 5 2
(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数 和众数.
(2)公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工 的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？
（2）从茎叶图中我们可以看出：甲城市销售额散 布主要在茎叶图的上方且相对较散，而乙城市的销 售额散布则相对集中在茎叶图的中部.由此，我们 可以估计：甲城市销售额的平均数比乙城市的小， 而方差比乙城市的大.
平均数是将所有的数据都考虑进去得到的量，它是 反应数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测 数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个 数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据 集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是 分类变量时，众数经常被使用.
s乙 [(40 40)2 (40 40)2 (39.9 40)2] /10 0.077(mm)
由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的 产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直径 的标准差为0.161 mm，比乙机床的标准差 0.077 mm大，说明乙机床生产的零件更标准些， 即乙机床的生产过程更稳定一些.
思考3.什么叫众数？有什么意义？ 提示：一组数据中出现次数最多的数称为这组数 据的众数.一组数据中的众数可能不止一个，反应 了数据的集中趋势. 思考4.什么叫极差？有什么意义？ 提示：一组数据的最大值与最小值的差称为这组 数据的极差，表示该组数据之间的差异情况.
思考5.什么叫方差？有什么意义？ 提示：方差是样本数据到平均数的平均距离，一般用s2 表示，通常用公式 来计算.反应了数据的离散程度，方差越大，数据的离散 程度越大；方差越小，数据的离散程度越小. 思考6.什么叫标准差？有什么意义？ 提示：标准差等于方差的正的平方根，与方差的作用相 同，描述一组数据环绕平均数的波动程度的大小.
1.4数据的数字特征 课件(北师大版必修三)
BS ·数学教学教法分析教学方案设计课前自主导学必修3 易错易误辨析当堂双基达标【解析】 A，不是分层抽样，因为抽样比不同． B，不是系统抽样，因为随机询问，抽样间隔未知． 86＋94＋88＋92＋90 C，五名男生成绩的平均数是 x ＝＝ 5 90， 88＋93＋93＋88＋93 五名女生成绩的平均数是 y ＝＝ 5 91， 1 2 五名男生成绩的方差为 s1＝ (16＋16＋4＋4＋0＝8， 5 课时作业课堂互动探究教师备课资源菜单
BS ·数学教学教法分析教学方案设计课前自主导学必修3 易错易误辨析当堂双基达标五名女生成绩的方差为 1 2 s2＝ (9＋4＋4＋9＋4＝6， 5 显然，五名男生成绩的方差大于五名女生成绩的方差． D，由于五名男生和五名女生的成绩无代表性，不能确定该班男生和女生的平均成绩．【答案】 C 课时作业课堂互动探究菜单教师备课资源。
高中数学 1.4 数据的数字特征配套课件 北师大版必修3
(3)会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征． (4)形成对数据处理过程进行初步评价的意识．
2．过程与方法 通过对实例的探究，感知平均数、中位数和众数刻画了 一组数据的集中趋势，极差、方差、标准差刻画了一组数据 的离散程度，而标准差的单位与原始测量单位相同． 3．情感、态度与价值观 通过本节课的学习，感受数据的数字特征的意义和作用， 从而提高根据问题的需要而选择不同的统计量来表达数据的 信息的能力．
极差、方差、标准差
【问题导思】 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶两次，每次命中的 环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5 1．甲、乙两战士命中环数的平均数 x 甲、 x 乙各是多少？ 【提示】 x 甲＝7 环； x 乙＝7 环．
2．由 x 甲， x 乙能否判断两人的射击水平？ 【提示】 由于 x 甲＝ x 乙，故无法判断． 3．观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳 定？
●重点难点 重点：会求一组数据的平均数、方差、标准差． 难点：方差、标准差在实际问题中的应用．
●教学建议 本节内容安排在学生学习了抽样方法、统计图表等知识 之后，是在初中学习过平均数、中位数、众数、极差、方差 等统计量的基础上对数据的数字特征的进一步研究，在教学 过程中，要在教师的引导下，充分发挥学生的主体作用，让 学生分析案例，对不同的数字特征进行对比，在对比中，发 现其差异、明确其特点，体会其作用，并让学生进行交流、 总结并适时给出点拨，从而达到会用数字特征解决问题的目 的．
1．由此题可见，平均数受数据中的极端值的影响较大， 这时平均数对总体估计的可靠性反而不如众数和中位数．
2．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许 多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．
2．过程与方法 通过对实例的探究，感知平均数、中位数和众数刻画了 一组数据的集中趋势，极差、方差、标准差刻画了一组数据 的离散程度，而标准差的单位与原始测量单位相同． 3．情感、态度与价值观 通过本节课的学习，感受数据的数字特征的意义和作用， 从而提高根据问题的需要而选择不同的统计量来表达数据的 信息的能力．
极差、方差、标准差
【问题导思】 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶两次，每次命中的 环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5 1．甲、乙两战士命中环数的平均数 x 甲、 x 乙各是多少？ 【提示】 x 甲＝7 环； x 乙＝7 环．
2．由 x 甲， x 乙能否判断两人的射击水平？ 【提示】 由于 x 甲＝ x 乙，故无法判断． 3．观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳 定？
●重点难点 重点：会求一组数据的平均数、方差、标准差． 难点：方差、标准差在实际问题中的应用．
●教学建议 本节内容安排在学生学习了抽样方法、统计图表等知识 之后，是在初中学习过平均数、中位数、众数、极差、方差 等统计量的基础上对数据的数字特征的进一步研究，在教学 过程中，要在教师的引导下，充分发挥学生的主体作用，让 学生分析案例，对不同的数字特征进行对比，在对比中，发 现其差异、明确其特点，体会其作用，并让学生进行交流、 总结并适时给出点拨，从而达到会用数字特征解决问题的目 的．
1．由此题可见，平均数受数据中的极端值的影响较大， 这时平均数对总体估计的可靠性反而不如众数和中位数．
2．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许 多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．
北师大版高中数学必修三第1章统计1.4数据的数字特征课件
-6-
§4 数据的数字特征
目标导航
知识梳理 知识梳理
典型透析
随堂演练
名师点拨众数、中位数与平均数的关系 (1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均 数是最重要的量. (2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系,任何一个数据 的变动都会相应引起平均数的变动. (3)众数大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不 少数据多次重复出现时,其众数往往更能反映问题. (4)中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没 有影响.中位数可能在所给数据中,也可能不在所给数据中.当一组 数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势. (5)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位.
-12-
§4 数据的数字特征
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典型透析
随堂演练
【做一做4-2】 若样本x1+2,x2+2,…,xn+2的平均数为10,方差为3, 则样本2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的平均数为 ,方差 为 ,标准差为 . 解析:因为x1+2,x2+2,…,xn+2的平均数为10,方差为3,所以 x1,x2,…,xn的平均数为8,方差为3,所以2x1+3,2x2+3,…,2xn+3的平均 数为2×8+3=19,方差为22×3=12,标准差为 12 = 2 3. 答案:19 12 2 3
-4-
§4 数据的数字特征
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典型透析
随堂演练
【做一做1】 已知某班50名学生右眼视力的检查结果如下表所 示:
视力 0.1 0.2 人数 1 1 0 .3 3 0 .4 4 0 .5 3 0.6 4 0 .7 4 0 .8 6 1 .0 8 1 .2 10 1 .5 6
高中数学 1.4 数据的数字特征一课件 北师大必修3
众数140
分组 频率/组距频率 [122,126) 0.01 0.04 [126,130) 0.0175 0.07 [130,134) 0.02 0.08 [134,138) 0.045 0.18 [138,142) 0.07 0.28 [142,146) 0.0425 0.17 [146,150) 0.0225 0.09 [150,154) 0.0125 0.05 [154,158) 0.01 0.04
提问：1、电视里评委是怎样给选手打分的？ 2、为什么这么做？直接取中位数和众数的值不好么？
特征数 特征值
众数 9．3
中位数 9．4
平均数 9．49
去掉一个最高分和 最低分后的平均分
9．42
去掉两个最高分 和最低分后的平 均分
9．44
例2、报纸上招聘栏目内，某电脑销售公 司招聘台前售货员，进货员，售后服务员， 前台经理等多名业务人员，广告打出该公 司月平均工资本950元，小张想找到一分 这样的工作，理想的工资价位是900元应 聘，现请你参考，你怎么样看待这则广告？
应立即劝这位同学查阅一下这所大学招生的其 它信息。查看一下这所大学近几年招生的平均 数，如果平均数低于550分，说明这所大学每 年的招生中，存在只招入少数高分学生的现象， 大部分学生都是低于中位数录取的,可以报报看， 否则不能报。如果能查到该校每年录取的最低 分数线那是最好的
用一个数 a代表n个数 x1,x2,x3, ,xn的值，a怎
例3 某工厂人员及工资构成如下：
人员 周工资 人数 合计
经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计
2200 250
220
200 100
16
5
10 1 23
2200 1500 1100 2000 100 6900
1.4 数据的数字特征 (北师大版必修3)新ppt课件
甲直径 /mm
40.0
39.8
40.1
40.2
39.9
40.0
40.2
39.8
40.2
39.8
乙直径 /mm
40.0
40.0
39.9
40.0
39.9
40.1
40.1
40.1
40.0
39.9
经过简单计算可以得出:甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均数都是40mm,
但从上表中的数据不难发现, 甲生产的产品波动幅度比乙大,我们用折线统计图 可以直观地表示出这两组数据的离散情况:
6
例2.在上一节中, 从甲、乙两个城市随机抽取的16台自动售货机的销售额可以用茎叶 图表示. 如图所示:
865
88400 752 00 31 8 甲
0 1 028
（1）甲、乙两组数据中的中位数、众数、极差分 别是多少?
2 0 2 3 3 7 （2）你能从左图中分别比较甲、乙两组数据平均 3 1 2 4 4 8 数和方差的大小吗?
5.方差 样本数据x1, x2, …, xn的方差为
s2 1 n [(x 1 x )2 (x 2 x )2 (x n x )2 ]
注意: 方差描述一组数据围绕平均数波动的大小, 反映了一组数据变化的幅度和离
散程度的大小.
方差大, 数据离散程度大; 方差小, 数据的离散
程度小. 取值范围是
[0,).
样本数据x1, x2, …, xn的方差的计算步骤:
39.8
40.1
40.2
39.9
40.0
40.2
39.8
40.2
39.8
乙直径 /mm
40.0
40.0
1.1.4-数据的数字特征-课件-(北师大必修3)
差或标准差的大小得出结论．
第22页，共41页。
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[精解详析] －x 甲＝110(100＋97＋…＋100)＝100.3， －x 乙＝110(97＋97＋…＋102)＝100.3， 则 s甲 2 ＝110[(100－100.3)2＋…＋(100－100.3)2]＝5.61， s2乙＝110[(97－100.3)2＋…＋(102－100.3)2]＝9.21， 所以甲队的标准差为 s 甲＝ 5.61≈2.37，乙队的标准差为 s 乙 ＝ 9.21≈3.03. 由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此 甲队在联赛中发挥更为稳定一些．
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5．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人
的平均成绩和方差如下表所示：
甲
乙
丙
丁
平均环数－x 8.6
8.9
8.9
8.2
方差 s2
3.5
3.5
2.1
5.6
从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人
选是
()
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
第33页，共41页。
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解：由表可知，乙、丙的成绩最好，平均环数都为8.9，但 乙的方差大，说明乙的波动性大，所以丙为最佳人选．
(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极
分化现象严重，得分高的和得分低的相差较大.
第21页，共41页。
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[例2] 甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛，得分
如下：
甲队：100,97,99,96,102,103,104,101,101,100. 乙队：97,97,99,95,102,100,104,104,103,102. 请计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为 稳定？ [思路点拨] 直接利用方差、标准差的公式计算，然后通过比较方
第22页，共41页。
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[精解详析] －x 甲＝110(100＋97＋…＋100)＝100.3， －x 乙＝110(97＋97＋…＋102)＝100.3， 则 s甲 2 ＝110[(100－100.3)2＋…＋(100－100.3)2]＝5.61， s2乙＝110[(97－100.3)2＋…＋(102－100.3)2]＝9.21， 所以甲队的标准差为 s 甲＝ 5.61≈2.37，乙队的标准差为 s 乙 ＝ 9.21≈3.03. 由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此 甲队在联赛中发挥更为稳定一些．
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5．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人
的平均成绩和方差如下表所示：
甲
乙
丙
丁
平均环数－x 8.6
8.9
8.9
8.2
方差 s2
3.5
3.5
2.1
5.6
从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人
选是
()
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
第33页，共41页。
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解：由表可知，乙、丙的成绩最好，平均环数都为8.9，但 乙的方差大，说明乙的波动性大，所以丙为最佳人选．
(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极
分化现象严重，得分高的和得分低的相差较大.
第21页，共41页。
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[例2] 甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛，得分
如下：
甲队：100,97,99,96,102,103,104,101,101,100. 乙队：97,97,99,95,102,100,104,104,103,102. 请计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为 稳定？ [思路点拨] 直接利用方差、标准差的公式计算，然后通过比较方
高中数学第1章统计§44142数据的数字特征课件北师大版必修3
可以是中位数、平均数或众数，若是平均数，则需进一步了解企业各
类岗位收入的离散情况．
28
2．极差与方差是怎样刻画数据离散程度的？ 提示：方差与极差越大，数据的离散程度就越大，也越不稳定， 数值越小，离散程度就越小，越稳定．
29
【例 3】 在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
分数
50
60 70 80 90
数是5，那么该组数据的众数是________，平均数是________．
20
(1)C (2)6 5 [判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前 8 位，所以只要知道其他 15 位同学的成绩中是不是有 8 位高于他，也 就是把其他 15 位同学的成绩排列后看第 8 位的成绩即可，小刘的成 绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个 第 8 位的成绩就是这 15 位同学成绩的中位数．
3．平均数的定义
6
如果有 n 个数 x1，x2，…，xn，那么 x ＝
x1＋x2＋x3＋…＋xn n
，叫作这
n 个数的平均数．
二、极差、方差、标准差
1．标准差、方差 (1)标准差的求法： 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s 表示．
s＝ 1n[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2] .
(2) x 甲＝2＋5＋10＋113＋14＋6(50×2＋60×5＋70×10＋80×13 ＋90×14＋100×6)
＝510×4 000＝80(分)，
x
乙
＝
1 4＋4＋16＋2＋12＋12
(50×4
＋
60×4
＋
70×16
＋
80×2
＋
90×12
＋
北师大版必修3高中数学1.4数据的数字特征课件
[解析] 中位数为 2 ＝5，∴x＝6.极差为 9－1＝8.
4．如图所示的是甲、乙两名篮球运动员每场 比赛的得分情况的茎叶图，则甲运动员的得分 的中位数是________. 甲 乙 5 0 8 5 2 1 3 4 6 5 4 2 3 6 8 9 7 6 6 2 1 3 3 8 9 9 4 4 0 5 1 [答案] 34
1．下列各数字特征中，能反映一组数据离散 程度的是( ) A．众数 B．平均数 C．标准差 D．中位数 [答案] C [解析] 反应一组数据离散程度的量有极差、 方差、标准差，故选C.
2．在某次考试中，10名同学得分如下： 84,77,84,83,68, 78,70,85,79,95.则这一 组数据的众数和中位数分别为( ) A．84,68 B．84,78 C．84,81 D．78,81 [答案] C
3．关于统计的计算 1 (1) 求方差的公式：①定义法： s ＝ n [(x1 － － x ) 2 ＋ ( x2 － － x )2
2
＋„＋(xn－－ x )2]； 1 2 2 2 ②简化法：s ＝n[(x1＋x2＋„＋x2 ) － n x ]； n
2
③如果在 n 个数中，x1 出现 f1 次，x2 出现 f2 次，xk 出现 fk 1 2 2 2 次，则加权方差公式 s ＝n[(f1x2 1＋f2x2＋„＋fkxk )－n x ]．
2
1 如果 xk＝xk′＋a，k＝1,2，„，n，则 s ＝n[(x1′2＋x2′2
2
1 ＋„＋xn′ )－n x′ ]， 其中 x′ ＝n(x′1＋x′2＋„＋x′n)＝ x
2 2
－a.
(2)关于统计的有关性质及规律 ①若 x1， x2 ， „， xn 的平均数为－ x， 那么 mx1＋a， mx2＋a， „， mxn＋a 的平均数是 m－ x ＋a. ②数据 x1，x2，„，xn 与数据 x1＋a，x2＋a，„，xn＋a 的 方差相等. ③若 x1，x2，„，xn 的方差为 s2，那么 ax1，ax2，„，axn 的方差为 a2s2.
4．如图所示的是甲、乙两名篮球运动员每场 比赛的得分情况的茎叶图，则甲运动员的得分 的中位数是________. 甲 乙 5 0 8 5 2 1 3 4 6 5 4 2 3 6 8 9 7 6 6 2 1 3 3 8 9 9 4 4 0 5 1 [答案] 34
1．下列各数字特征中，能反映一组数据离散 程度的是( ) A．众数 B．平均数 C．标准差 D．中位数 [答案] C [解析] 反应一组数据离散程度的量有极差、 方差、标准差，故选C.
2．在某次考试中，10名同学得分如下： 84,77,84,83,68, 78,70,85,79,95.则这一 组数据的众数和中位数分别为( ) A．84,68 B．84,78 C．84,81 D．78,81 [答案] C
3．关于统计的计算 1 (1) 求方差的公式：①定义法： s ＝ n [(x1 － － x ) 2 ＋ ( x2 － － x )2
2
＋„＋(xn－－ x )2]； 1 2 2 2 ②简化法：s ＝n[(x1＋x2＋„＋x2 ) － n x ]； n
2
③如果在 n 个数中，x1 出现 f1 次，x2 出现 f2 次，xk 出现 fk 1 2 2 2 次，则加权方差公式 s ＝n[(f1x2 1＋f2x2＋„＋fkxk )－n x ]．
2
1 如果 xk＝xk′＋a，k＝1,2，„，n，则 s ＝n[(x1′2＋x2′2
2
1 ＋„＋xn′ )－n x′ ]， 其中 x′ ＝n(x′1＋x′2＋„＋x′n)＝ x
2 2
－a.
(2)关于统计的有关性质及规律 ①若 x1， x2 ， „， xn 的平均数为－ x， 那么 mx1＋a， mx2＋a， „， mxn＋a 的平均数是 m－ x ＋a. ②数据 x1，x2，„，xn 与数据 x1＋a，x2＋a，„，xn＋a 的 方差相等. ③若 x1，x2，„，xn 的方差为 s2，那么 ax1，ax2，„，axn 的方差为 a2s2.
1.4 数据的数字特征 课件2(北师大版必修3)
研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征
现在我们学习用样本的数字特征估计总体的数 字特征
一 、复习众数、中位数、平均数的概念
1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫 做这组数据的众数． 2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处 在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均 数）叫做这组数据的中位数．
所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：
假设样本数据是 x1 , x2 ,...xn , x 表示这组数据的平均数 。x i到 x 的距离是：
xi x (i 1 , x2 , xn到 x的“平均距离”是：
S
x1 x x2 x xn x n .
如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价? 如果看两人本次射击的平均成绩,由于
x甲 7，x乙 7
两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人的 水平就没有什么差异吗?
频率
0.3 0.2 0.1 频率 4 5 6 7 8 9 10
环数
(甲) 0.4 0.3 0.2
0.1
4 5 6 7 8 (乙) 9 10 环数
500
1
2
4
6
12
8
20
5
2
1、计算工资的平均数、中位数、众数 2、公司经理会选上面哪个数代表该公司员工的 月工资情况？税务官呢？工会领导呢？
三种数字特征的优缺点
1、众数体现了样本数据的最大集中点，但它 对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体 特征。
2、中位数是样本数据所占频率的等分线， 它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况 下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成 为缺点。 3、平均数与每一个样本的数据有关，与众数、 中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于 样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端 值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低。
数据的数字特征ppt 北师大版
思考3.什么叫标准差？有什么意义？ 提示：标准差等于方差的正的平方根，与方差的作 用相同，描述一组数据围绕平均数的波动程度的大 小.
例1
甲、乙两台机床同时生产直径是40 mm的零件.为
了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件 进行测量，结果如表所示.
甲
/mm
40.0 39.8 40.1 40.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
产品编号
解：从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这10件
产品直径的平均值:
x甲 40(mm) x乙 40(mm).
(39.8 40) 2 ] /10 0.161(mm)
(39.9 40) 2 ] /10 0.077(mm)
我们分别计算它们直径的标准差：
5.已知数据x1,x2, …，xn的方差为s2，则数 据b+x1,b+x2, …，b+xn的方差为 .
数字特征中的三数三差 （众数、中位数、平均数；极差、方差、标准差.） 三数三差的意义及作用
即使一次次地跌倒，我们依然成长.跌 倒只是我们成长道路上的一个小小的插曲.
有关的数学名言
◇数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。 ——普林舍姆 ◇历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。——培根 ◇数学是最宝贵的研究精神之一。——华罗庚 ◇没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。——卡罗斯 ◇数学是规律和理论的裁判和主宰者。——本杰明
请参照这个表解答下列问题： （1）用含x，y的式子表示该班参加“环保知识竞赛” 的班平均分f.（2）若该班这次竞赛的平均分为2.5分， 求x，y的值.
3x 5y 59 解： (1)f . 40 3x 5y 41, x 7, (2)依题意，有 解得 x y 11, y 4.
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数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据
集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是
分类变量时，众数经常被使用.
例3
甲、乙两台机床同时生产直径是40 mm的零件.为
了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件 进行测量，结果如表所示.
/mm
甲 乙 /mm 40.0 40.0 39.8 40.0 40.1 39.9 40.2 40.0 39.9 39.9 40.0 40.1 40.2 40.1 39.8 40.1 40.2 40.0 39.8 39.9
员工/人
1
2
4
6
12
8
20
5
2
(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数
和众数.
(2)公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工
的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？
解：（1）该公ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ员工的月工资平均数为
8 000 1 5 000 2 4 000 4 2 000 6 1 000 12 800 8 700 20 600 5 500 2 1 2 4 6 12 8 20 5 2 1373，
s乙 [(40 40) 2 (40 40) 2 (39.9 40) 2 ] /10 0.077(mm)
由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产
的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直
径的标准差为0.161 mm，比乙机床的标准差 0.077 mm大，说明乙机床生产的零件更标准些，即 乙机床的生产过程更稳定一些.
1 2 2 ( x x ) ( x x ) ( xn 1 2 n x )2
思考6.什么叫标准差？有什么意义？
提示：标准差等于方差的正的平方根，与方差的作
用相同，描述一组数据围绕平均数的波动程度的大
小.
例1 某公司员工的月工资情况如表所示：
月工资/元 8 000 5 000 4 000 2 000 1 000 800 700 600 500
§4 数据的数字特征
小王去某公司应聘.公司经理说，我们这里报酬 不错, 月平均工资是3000元,技术员A说，我的工资 是1500元,在公司算中等收入，小王感觉待遇不错， 第二天就去上班了.一周后，小王发现了问题，去找 经理，“经理，你说的不对，我已问过其他技术员， 没有一个技术员的工资超过3000元.经理说：“没错，
例2 在上一节中，从甲、乙两个城 市随机抽取的16台自动售货机的销 售额可以用茎叶图表示，如图所示： （1）甲、乙两组数据的中位数、众 数、极差分别是多少？ （2）你能从图中分别比较甲、乙两组数据的平均 数和方差的大小吗？ 解：(1) 观察茎叶图，我们不难看出：甲城市销售 额的中位数为20,众数为10,18,30,极差为53;乙城市 销售额的中位数为29,众数为23,34，极差为38.
（2）从茎叶图中我们可以看出：甲城市销售额分 布主要在茎叶图的上方且相对较散，而乙城市的销 售额分布则相对集中在茎叶图的中部.由此，我们
可以估计：甲城市销售额的平均数比乙城市的小，
而方差比乙城市的大.
平均数是将所有的数据都考虑进去得到的量，它是
反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测
数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个
即该公司员工月工资的平均数为1 373元. 中位数为800元，众数为700元. (2)公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平 均数1 373元作为月工资的代表；而税务官希望取月 工资中位数800元，以便知道目前的所得税率对该公
司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数700
元作为代表，因为每月拿700元的员工数最多.
【提升总结】
总结求一组数据的方差的一般步骤：
（1）求数据的平均数；
（2）依据公式求方差.
1.（2014·陕西高考）某公司10位员工的月工资（单 位:元）为
x1x 2„x10 ，其均值和方差分别为 x 和s2，
若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位 员工下月工资的均值和方差分别为（ D ） A. x ，s2+1002 C. x ,s2 B. x +100, s2+1002 D.x +100, s2
数字特征中的三数三差 （众数、中位数、平均数；极差、方差、标准差.） 三数三差的意义及作用
即使一次次地跌倒，我们依然成长.跌 倒只是我们成长道路上的一个小小的插曲.
2.（2013·安徽高考）某班级有50名学生，其中有30
名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名
女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别
为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ C ) A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样
分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直 径的标准差. 解：从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这10件 产品直径的平均值: x甲 40(mm)
x乙 40(mm).
我们分别计算它们直径的标准差：
s甲 [(40 40) 2 (39.8 40) 2 (39.8 40) 2 ] /10 0.161(mm)
请参照这个表解答下列问题： （1）用含x，y的式子表示该班参加“环保知识竞赛” 的班平均分f.（2）若该班这次竞赛的平均分为2.5分， 求x，y的值.
3x 5y 59 解： (1)f . 40 3x 5y 41, x 7, (2)依题意，有 解得 x y 11, y 4.
平均工资确实是每月3000元.不信可看看公司的工资
报表.”小王糊涂了，这是怎么回事呢？
下表是该公司月工资报表:
员工 总工 程师 工程 师 技术 员A 技术 员B 技术 员C 技术 员D 技术 员E 技术 员F 见习 技术 员G
工资
9000
7000
2800
2700
1500
1200
1200
1200
400
C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均
数
3. 某同学使用计算器求30个数据的平均数时，
错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出
的平均数与实际平均数的差是______. -3
4.下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得
分统计表：
分数 人数 0 4 1 7 2 10 3 x 4 8 5 y
思考2.什么叫中位数？有什么意义？
提示：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于 中间位置的数（或中间两个数的平均数）称为这组 数据的中位数.一组数据的中位数是唯一的，反映了 数据的集中趋势.
思考3.什么叫众数？有什么意义？ 提示：一组数据中出现次数最多的数称为这组数 据的众数.一组数据中的众数可能不止一个，也可 能没有，反映了数据的集中趋势.
思考4.什么叫极差？有什么意义？
提示：一组数据的最大值与最小值的差称为这组
数据的极差，表示该组数据之间的差异情况.
思考5.什么叫方差？有什么意义？
提示：方差是样本数据到平均数的平均距离，一般 用s2表示，通常用公式 s2 来计算.反应了数据的离散程度，方差越大，数据的 离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.
经理是否忽悠了小王？为什么呢？
1.根据实际问题的需求，能够从数据中提取基本的
数字特征，如平均数、中位数、众数、极差、方差、 标准差等.（重点） 2.通过实例理解数据标准差的意义和作用.（重点） 3.学会根据不同要求选择不同的统计量来表达数据 的信息.（难点）
思考1.什么叫平均数？有什么意义？ 提示：一组数据的和与这组数据的个数的商称为 这组数据的平均数. 平均数对数据有“取齐”的 作用，代表该组数据的平均水平.
集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是
分类变量时，众数经常被使用.
例3
甲、乙两台机床同时生产直径是40 mm的零件.为
了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件 进行测量，结果如表所示.
/mm
甲 乙 /mm 40.0 40.0 39.8 40.0 40.1 39.9 40.2 40.0 39.9 39.9 40.0 40.1 40.2 40.1 39.8 40.1 40.2 40.0 39.8 39.9
员工/人
1
2
4
6
12
8
20
5
2
(1)分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数
和众数.
(2)公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工
的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？
解：（1）该公ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ员工的月工资平均数为
8 000 1 5 000 2 4 000 4 2 000 6 1 000 12 800 8 700 20 600 5 500 2 1 2 4 6 12 8 20 5 2 1373，
s乙 [(40 40) 2 (40 40) 2 (39.9 40) 2 ] /10 0.077(mm)
由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产
的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直
径的标准差为0.161 mm，比乙机床的标准差 0.077 mm大，说明乙机床生产的零件更标准些，即 乙机床的生产过程更稳定一些.
1 2 2 ( x x ) ( x x ) ( xn 1 2 n x )2
思考6.什么叫标准差？有什么意义？
提示：标准差等于方差的正的平方根，与方差的作
用相同，描述一组数据围绕平均数的波动程度的大
小.
例1 某公司员工的月工资情况如表所示：
月工资/元 8 000 5 000 4 000 2 000 1 000 800 700 600 500
§4 数据的数字特征
小王去某公司应聘.公司经理说，我们这里报酬 不错, 月平均工资是3000元,技术员A说，我的工资 是1500元,在公司算中等收入，小王感觉待遇不错， 第二天就去上班了.一周后，小王发现了问题，去找 经理，“经理，你说的不对，我已问过其他技术员， 没有一个技术员的工资超过3000元.经理说：“没错，
例2 在上一节中，从甲、乙两个城 市随机抽取的16台自动售货机的销 售额可以用茎叶图表示，如图所示： （1）甲、乙两组数据的中位数、众 数、极差分别是多少？ （2）你能从图中分别比较甲、乙两组数据的平均 数和方差的大小吗？ 解：(1) 观察茎叶图，我们不难看出：甲城市销售 额的中位数为20,众数为10,18,30,极差为53;乙城市 销售额的中位数为29,众数为23,34，极差为38.
（2）从茎叶图中我们可以看出：甲城市销售额分 布主要在茎叶图的上方且相对较散，而乙城市的销 售额分布则相对集中在茎叶图的中部.由此，我们
可以估计：甲城市销售额的平均数比乙城市的小，
而方差比乙城市的大.
平均数是将所有的数据都考虑进去得到的量，它是
反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测
数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个
即该公司员工月工资的平均数为1 373元. 中位数为800元，众数为700元. (2)公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平 均数1 373元作为月工资的代表；而税务官希望取月 工资中位数800元，以便知道目前的所得税率对该公
司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数700
元作为代表，因为每月拿700元的员工数最多.
【提升总结】
总结求一组数据的方差的一般步骤：
（1）求数据的平均数；
（2）依据公式求方差.
1.（2014·陕西高考）某公司10位员工的月工资（单 位:元）为
x1x 2„x10 ，其均值和方差分别为 x 和s2，
若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位 员工下月工资的均值和方差分别为（ D ） A. x ，s2+1002 C. x ,s2 B. x +100, s2+1002 D.x +100, s2
数字特征中的三数三差 （众数、中位数、平均数；极差、方差、标准差.） 三数三差的意义及作用
即使一次次地跌倒，我们依然成长.跌 倒只是我们成长道路上的一个小小的插曲.
2.（2013·安徽高考）某班级有50名学生，其中有30
名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名
女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别
为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ C ) A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样
分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直 径的标准差. 解：从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这10件 产品直径的平均值: x甲 40(mm)
x乙 40(mm).
我们分别计算它们直径的标准差：
s甲 [(40 40) 2 (39.8 40) 2 (39.8 40) 2 ] /10 0.161(mm)
请参照这个表解答下列问题： （1）用含x，y的式子表示该班参加“环保知识竞赛” 的班平均分f.（2）若该班这次竞赛的平均分为2.5分， 求x，y的值.
3x 5y 59 解： (1)f . 40 3x 5y 41, x 7, (2)依题意，有 解得 x y 11, y 4.
平均工资确实是每月3000元.不信可看看公司的工资
报表.”小王糊涂了，这是怎么回事呢？
下表是该公司月工资报表:
员工 总工 程师 工程 师 技术 员A 技术 员B 技术 员C 技术 员D 技术 员E 技术 员F 见习 技术 员G
工资
9000
7000
2800
2700
1500
1200
1200
1200
400
C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均
数
3. 某同学使用计算器求30个数据的平均数时，
错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出
的平均数与实际平均数的差是______. -3
4.下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得
分统计表：
分数 人数 0 4 1 7 2 10 3 x 4 8 5 y
思考2.什么叫中位数？有什么意义？
提示：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于 中间位置的数（或中间两个数的平均数）称为这组 数据的中位数.一组数据的中位数是唯一的，反映了 数据的集中趋势.
思考3.什么叫众数？有什么意义？ 提示：一组数据中出现次数最多的数称为这组数 据的众数.一组数据中的众数可能不止一个，也可 能没有，反映了数据的集中趋势.
思考4.什么叫极差？有什么意义？
提示：一组数据的最大值与最小值的差称为这组
数据的极差，表示该组数据之间的差异情况.
思考5.什么叫方差？有什么意义？
提示：方差是样本数据到平均数的平均距离，一般 用s2表示，通常用公式 s2 来计算.反应了数据的离散程度，方差越大，数据的 离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.
经理是否忽悠了小王？为什么呢？
1.根据实际问题的需求，能够从数据中提取基本的
数字特征，如平均数、中位数、众数、极差、方差、 标准差等.（重点） 2.通过实例理解数据标准差的意义和作用.（重点） 3.学会根据不同要求选择不同的统计量来表达数据 的信息.（难点）
思考1.什么叫平均数？有什么意义？ 提示：一组数据的和与这组数据的个数的商称为 这组数据的平均数. 平均数对数据有“取齐”的 作用，代表该组数据的平均水平.