4第四章质点组动量定理与守恒定律
高校大学物理质点的角动量定理和角动量守恒定律课件
L
r
P
Lx
ˆx
Ly
ˆy
Lz
ˆz
M
r
F
M x ˆx
M y ˆy
M z ˆz
Lx ：质点对x轴的角动量
M
：质点对
x
x轴的力矩
某一方向的分量怎么求呢？由定义出发：
L (xxˆ yyˆ zzˆ) (Px xˆ Py yˆ Pz zˆ) M (xxˆ yyˆ zzˆ) (Fx xˆ Fy yˆ Fz zˆ)
v v oro 1 rr
星球所需向心力： 可近似认为引力：
v2 1
F向 m r r 3
F引
1 r2
引力使r到一定程度
F引 F向 ，r 就不变了，
引力不能再使 r 减小 。
但在z 轴方向却无此限制，
可以在引力作用下不断收缩。
比较 动量定理
dP
F
t2
dt
Fdt ΔP
[C]
2.质量为 m 的小球，以水平速度 v 与固
定的竖直壁作弹性碰撞，设指向壁内的方 向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量 变化为
（A）mv
（B）0
（C）2mv （D）2mv
[D]
3.(本题3分)0063 P17-1
质量为m的质点,以同一速率V沿图中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动,质点越过A角时,轨道作用于质 点的冲量的大小为
ds dt
const
行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。
▲ 星云具有盘形结构：
质点系的动量定理和动量守恒定律
质点系的动量定理和动量守恒定律
动量定理和动量守恒定律是力学学科中最重要的定律，其定义了显式或隐式的实体响应，有助于我们对物体性质，如形状及运动特性的深入理解。
在物理学中，力学在研究质点系统中被广泛应用，而动量定理与动量守恒定律可以被认为是这一课程的基本元素。
动量定理是从第一定律出发，它引申出了物体的动量保持不变的现象，是物体的运动规律的基本思想。
物体的动量（动量）是指物体的质量和其在空间的运动量的乘积。
具体而言，动量定理指的是物体的外力（外力）与其总变化率的乘积（变化数）之和等于0。
此外，动量守恒定律要求一个物体动量的变化率等于该物体所受的外力之和。
物体运动过程中，动量守恒定律比动量定理更容易证明。
动量定理和动量守恒定律在物理学研究中起着重要作用，并且在研究质点系统中被广泛应用。
它们不仅有助于研究物体的运动特性，而且能够为有关力学问题提供有用的信息，使得我们能够更深入地理解物体的性质。
它们的应用可以追溯到古代物理学家如亚里士多德，而今天也是物理学中研究质点系统不可或缺的重要元素。
质点运动定律及力学中守恒定律.pptx
一、质点系的动量定理
（theorem of mometum of a system of particles
）tt11tt22 ((FF21
F12 )dt F21 )dt
m1v1 m2v2
m1v10 m2 v 20
F1
因为内力 F F 0 ，故：
12
21
F2
F12
m1
F21
m2
牛顿是英国伟大的物理学家、数学家、天文 学家。
恩格斯说： “ 牛顿由于发现了万有引力定律而创立了天文学，由于进行 光的分解而创立了科学的光学，由于创立了二项式定理和无限理论而创立了科 学的数学，由于认识了力学的本性而创立了科学的力学。”
1
第2页/共58页
牛顿在自然科学领域里作了奠基的贡献，堪称科学巨匠。 牛顿出生于英国北部林肯郡的一个农民家庭。 1661年考上剑桥大学特里尼蒂学校， 1665年毕业。 这年正赶上鼠疫，牛顿回家避疫两年。在这期间他几乎考虑了一生中所研 究的各个方面，特别是他一生中的几个重要贡献： 万有引力定律、经典力学、微积分和光学。
（物体间相互作用规律）
明确： 力的作用是相互的 (同时存在，同时消失)
T＇ T
m P P＇
m
第9页/共58页
地球
8
二、牛顿运动定律的应用
1、牛顿运动定律的适用范围
1）牛顿运动定律仅适用于惯性系；
2）牛顿运动定律仅适用于速度比光速低得 多的物体；
3）牛顿运动定律一般仅适用于宏观物体。
4）牛顿第二定律只适用于质点或可看作质 点的物体；
质点系总动量的增量等于作用于该 系统合外力的冲量
强调：只有外力才能引起质点系总动量的改变。
质点系内力的矢量合为0，对系统总动量的改
基础物理学 第四章(2)
一、质点的动量定理 dv 牛顿第二定律表述为： ma m F
dt
式中F为质点所受合力，由于质量m为常量，所以有
d (mv ) F dt
d义质点的动量：
p mv
动量是矢量，方向与质点的速度同向。 定义Fdt为dt时间内力F对质点的元冲量，用dI表示，即
14
普 通 物理学
三、质点动量定理的积分形式
对动量定理表达式两边同乘 dt，积分： p2 t2 t2 p1 dp t1 Fdt t1 dI t2 p2 p1 Fdt I t1 t2 右边称合力的冲量，表示为： I Fdt t1 t 于是有： Fdt mv mv0
dI 1 dI 2 dI n
即合力对质点的元冲量等于各分力对质点元冲量的矢 量和。
13
普 通 物理学
二、质点的动量守恒定律
若在某一过程中，质点所受合力恒为零，即F=0,则在 该过程中质点的动量守恒，即P=C（常矢量）。
d pl Fl dt
ˆ 质点动量沿 el 方向的分量守恒
t0
质点动量定理：质点所受的外力冲量，等于 质点动量的增量。
15
普 通 物理学
动量定理的分量式：
I x Fx dt mvx mv0 x
t t0
I y Fy dt mvy mv0 y
t t0
t
I Z FZ dt mv Z mv 0 Z
t0
16
普 通 物理学
1
ˆ (5 N s ) ˆ (7 N s)i j
19
普 通 物理学
由动量定理
mv2 mv1 I
大学物理复习第四章知识点总结
大学物理复习第四章知识点总结大学物理复习第四章知识点总结一．静电场：1.真空中的静电场库仑定律→电场强度→电场线→电通量→真空中的高斯定理qq⑴库仑定律公式：Fk122err适用范围：真空中静止的两个点电荷F⑵电场强度定义式：Eqo⑶电场线：是引入描述电场强度分布的曲线。
曲线上任一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线疏密表示场强的大小。
静电场电场线性质:电场线起于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远，不闭合，在没有电荷的地方不中断，任意两条电场线不相交。
⑷电通量：通过任一闭合曲面S的电通量为eSdS方向为外法线方向1EdS⑸真空中的高斯定理：eSoEdSqi1int只能适用于高度对称性的问题：球对称、轴对称、面对称应用举例：球对称：0均匀带电的球面EQ4r20(rR)(rR)均匀带电的球体Qr40R3EQ240r(rR)(rR)轴对称：无限长均匀带电线E2or0(rR)无限长均匀带电圆柱面E(rR)20r面对称：无限大均匀带电平面EE⑹安培环路定理：dl0l2o★重点：电场强度、电势的计算电场强度的计算方法：①点电荷场强公式+场强叠加原理②高斯定理电势的计算方法：①电势的定义式②点电荷电势公式+电势叠加原理电势的定义式：UAAPEdl(UP0)B电势差的定义式：UABUAUBA电势能：WpqoPP0EdlEdl(WP00)2.有导体存在时的静电场导体静电平衡条件→导体静电平衡时电荷分布→空腔导体静电平衡时电荷分布⑴导体静电平衡条件:Ⅰ.导体内部处处场强为零,即为等势体。
Ⅱ.导体表面紧邻处的电场强度垂直于导体表面，即导体表面是等势面⑵导体静电平衡时电荷分布:在导体的表面⑶空腔导体静电平衡时电荷分布:Ⅰ.空腔无电荷时的分布：只分布在导体外表面上。
Ⅱ.空腔有电荷时的分布(空腔本身不带电，内部放一个带电量为q的点电荷)：静电平衡时，空腔内表面带-q电荷，空腔外表面带+q。
3.有电介质存在时的静电场⑴电场中放入相对介电常量为r电介质，电介质中的场强为：E⑵有电介质存在时的高斯定理：SDdSq0,intE0r各项同性的均匀介质D0rE⑶电容器内充满相对介电常量为r的电介质后，电容为CrC0★重点：静电场的能量计算①电容：②孤立导体的电容C4R电容器的电容公式C0QQUUU举例：平行板电容器C圆柱形电容器C4oR1R2os球形电容器CR2R1d2oLR2ln()R1Q211QUC(U)2③电容器储能公式We2C22④静电场的能量公式WewedVE2dVVV12二.静磁场：1.真空中的静磁场磁感应强度→磁感应线→磁通量→磁场的高斯定理⑴磁感应强度：大小BF方向：小磁针的N极指向的方向qvsin⑵磁感应线：是引入描述磁感应强度分布的曲线。
质点系动量守恒定律
7. 在同一个惯性系中使用．并且只适用于惯 性系。
3
动量定律的说明
8.若F ex Fiex 0，但满足 Fxex 0
i
有 px mi vix C x
i
Fxex 0 , px mivix Cx
1. 动量守恒定律是牛顿定律的必然推论。 2. 外力的矢量和为零，是动量守恒的条件。 3. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系,
且动量若在某一惯性系中守恒,则在其它一 切惯性系中均守恒。
4. 系统的总动量保持不变，即为各质点的动量 和不变，而不是指其中一个质点的动量不变。
2
动量定律的说明
5. 当合外力为零，或外力与内力相比小很多如 爆炸过程），这时可忽略外力，仍可应用动 量守恒。
pν
或 180o 61.9o 118.1o
7
例题
例3 一枚返回式火箭以 2.5103 m·s-1 的速
率相对惯性系S沿水平方向飞行．空气阻力不
计．现使火箭分离为两部分, 前方的仪器舱质量为
m1 =100 kg，后方的火箭容器质量为m2 = 2 00 kg， 仪器舱相对火箭容器的水平速率为v’=1.0103 m·s-
1求．仪器舱和火箭 容器相对惯性系
的速度．
y s v
y' s' v'
m2 m1
o
o'
x x'
z
z'
8
例题
已知 v 2.5103 m s1 v' 1.0 103 m s1
求 mv11,1v020 kg
质点力学4
例1、一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点
h＝19.6 m处炸裂成质量相等的两块。其中一
块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上，
设此处与发射点的距离S1＝1000 m，问另一 块落地点与发射点的距离是多少？（空气阻
力不计，g=9.8 m/s2)
y
解：知第一块方向竖直向下
v2
y
h
v1t1
1 2
gt12
1、质点角动量定理 L r p
dL d (r p) dr p r d p
dt dt
dt
dt
p mv
dr v dt
dp F dt
dL v mv r F dt
dL r F dt
令： M r F 为合外力对同一固定点的力矩
大小：M＝rFsin (为矢径与力之间的夹角)
I x mv2x mv1x I y mv2 y mv1y I z mv2z mv1z
平均力
F
t2 Fdt
t1
=
I
P
t2 t1 t t
例1、质量为2.5g的乒乓球以 10m/s的速率飞来，被板推 挡后，又以20m/s的速率飞 出。设两速度在垂直于板面 的同一平面内，且它们与板 面法线的夹角分别为45o和 30o，求：（1）乒乓球得到 的冲量；（2）若撞击时间 为0.01s，求板施于球的平均 冲力的大小和方向。
作业： 1.35、1.36、1.38
三、质心、 质心运动定律
1、质心：质点系的质量中心 质点系 N个质点 质量：m1 m2 m3 … mi … mN
位矢：r1, r2 , r3 , , ri , , rN
质心的位矢：
mi ri
(m为总质量)
rc i m
§4.4.1 质点角动量及其守恒定律
L
mv
m
(
kg· m2/s
)
o
x
大小：L rmv sin
r
y
方向：依右手定则
☻ L 不仅与质点的 v 有关, 且与原点o的选取有关 。
对圆运动，o点选在圆心。对有心力场的运动， o点
常选在力心上。
·4 ·
Chapter 4. 刚体
§4. 4 质点角动量及其守恒定律
积分形式：对同一参考点o，质点所受的冲量矩等于
·7 ·
Chapter 4. 刚体
§4. 4 质点角动量及其守恒定律
3. 质点角动量守恒定律
dL 若 M 0 ，即 M 0 ，则 L= 常矢量，质点 dt 的角动量守恒。
角动量守恒条件：
F
d 0F F 0
M r F 0
Chapter 4. 刚体
§4. 4 质点角动量及其守恒定律
§4.3 质点角动量及其守恒定律
·1 ·
Chapter 4. 刚体
§4. 4 质点角动量及其守恒定律
v
m
若 v 常数，则：
o
r
动量守恒吗？ p mv 常矢量 但 L r mv 常矢量
·2 ·
o
太阳
rB
B
rAv A rBvB rB rA vB v A
·10 ·
Chapter 4. 刚体
§4. 4 质点角动量及其守恒定律
水平台面上转动的小球角动量守恒
v
o
r F 0
F
rmv 常数
·11 ·
Chapter 4. 刚体
第四章动量
第四章 动 量
二、质点动量定理 r r dp 由 F = dt t2 r ∫ F ( t )d t =
t1
r r F dt = dp
动量定理 微分形式
∫
r p2 r p1
r r v d p = p 2 − p1
定义 dI=Fdt 为力的元冲量，则冲量 I 为力对时间的积分 为力的元冲量，
r I =
∫
t t0
r r r r r F dt = P − P0 = M v c − M v c 0
上述结论亦称为质心运动定理，其微分形式 上述结论亦称为质心运动定理，
.. r d r d r. r F = P = ( M rc ) = M rc dt dt
16
第四章 动 量
上式表明: 上式表明: (1)质心运动定理实际上是矢量方程， (1)质心运动定理实际上是矢量方程，可以写成三个分 质心运动定理实际上是矢量方程 量方程，运动的独立性同样成立； 量方程，运动的独立性同样成立； (2)质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质， (2)质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质，即 质心运动定理表明牛顿定律具有一种独特的性质 如果它在某一小尺度范围内是正确的， 如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内 也将是正确的； 也将是正确的； (3)不论体系如何复杂，体系质心的行为与一个质点相同。 (3)不论体系如何复杂，体系质心的行为与一个质点相同。 不论体系如何复杂 从这个意义上说， 从这个意义上说，牛顿定律所描绘的不是体系中任一质点的 运动，而是质心的运动。而质心的存在， 运动，而是质心的运动。而质心的存在，正是任意物体在一 定条件下可以看成质点的物理基础； 定条件下可以看成质点的物理基础； (4)质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同。 (4)质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同。 质心运动定理和牛顿三定律的适用范围相同
质点系的动量定理 动量守恒定律
m(vx V ) MV = 0
解得
பைடு நூலகம்
vx =
m+M V m
设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R， 故有 t M+m t R = ∫ vx dt = Vdt 0 m ∫0 于是滑槽在水平面上移动的距离
S = ∫ Vdt =
0 t
m R M+m
§3.动量守恒定律 / 二、注意几点及举例 动量守恒定律
若x方向 ∑ Fx = 0 , 则∑ mivi 0 x = ∑ mivix 方向 若y方向 ∑ Fy = 0 ,则∑ mivi 0 y = ∑ miviy 方向 4.自然界中不受外力的物体是没有的，但 自然界中不受外力的物体是没有的， 自然界中不受外力的物体是没有的 如果系统的内力 外力， 内力>>外力 如果系统的内力 外力，可近似认为动量 守恒。 守恒。 如打夯、 如打夯、火箭发 射过程可认为内力 内力>> 射过程可认为内力 外力， 外力，系统的动量守 恒。
Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm0)＝vdm＝kdt v
则
F = kv = 200 × 4 = 8 ×102 N
一、动量守恒 由质点系的动量定理： 由质点系的动量定理：
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
动量守恒条件： 动量守恒条件：
P P0 = 0
当 ∑ Fi外 = 0 时
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
0
第四章角动量守恒定律
的子弹， 例6、质量为 、质量为20g的子弹，以400m/s的速度沿 的子弹 的速度沿 图示方向射入一原来静止的质量为980g的摆球 图示方向射入一原来静止的质量为 的摆球 设摆线长度不可伸缩， 中，设摆线长度不可伸缩，则子弹入射后与摆 球一起运动的速度为多少？ 球一起运动的速度为多少？ 碰撞的瞬间， 碰撞的瞬间，对子弹和摆球组成的系统 所收的外力矩为零，角动量守恒。 所收的外力矩为零，角动量守恒。
2、合力矩： 、合力矩：
单位： 单位：N·m
v v v 矢量和 F = F1 + F2 + L v v v v v v v v M = r × F = r × ( F1 + F2 + L) = M 1 + M 2 + L
注意：所有力矩相对于同一参考点。 同一参考点 注意：所有力矩相对于同一参考点。 3、力矩的计算： 、力矩的计算：
初
初
则
p =c
r r r 则 r×p=L=c
例:跳水运动
跳水运动员为了使身体快速旋转双手抱 膝尽量蜷缩，当入水时必须把手脚舒展 膝尽量蜷缩， 开使转速变慢入水。 开使转速变慢入水。
例:花样滑冰
花样滑冰运动员把手脚伸展开时旋 转速度较小， 转速度较小，当把手脚收回时转速 变快。 变快。
t 用下运动， 质点位于坐标原点，且静止； 用下运动， = 0 时，质点位于坐标原点，且静止； 求：此质点在2秒时相对于坐标原点的角动量。 此质点在 秒时相对于坐标原点的角动量。 秒时相对于坐标原点的角动量
点由静止释放， 例2、一质量为 的小球在 ( x1 ,0,0) 点由静止释放， 、一质量为m的小球在 设重力加速度沿Z轴负向 轴负向； 设重力加速度沿 轴负向；求：小球所受重力相对 于坐标原点O的角动量 的角动量。 于坐标原点 的角动量。 例3、求做匀速圆周运动的物体对圆心的角动量。 、求做匀速圆周运动的物体对圆心的角动量。
4-1 动量定理与动量守恒定律
（ 1 ） 为 -2mv ， 因为速度方向 变了； （2）为零，因 为速度、质量 均没变。
不变，则小球的动
量变化
（请点击你要选择的项目）
4-1 动量定理与动量守恒定律
例 m=10 kg木箱，在水平拉力作用下由静止开始运 动，拉力随时间变化如图。已知木箱与地面摩擦系 数为 =0.2，求：
(1) t=4 秒时刻木箱速度；
3 质点系的动量定理 第 i 个质点的动力学方程
Fi
j i
dpi f ij dt
Fi
· · · ·
i fi j
Pi
共有N个方程 对所有质点求和
N N
· ·
fj i
j ·
·
Pj
N dpi d N Fi i fij dt dt pi i 1 i 1 j i1 i 1
p p1 p2 p N 质点系总动量： dr mi vi mi i dt i i
mN
y
i
pi
2 质点系的内力和外力
内力：质点系内各质点之间的相互作用， fi j 外力：质点系外质点对内各质点的作用， Fi
第4章 动量和角动量
4-1 动量定理与动量守恒定律
例 炮车的质量为M，炮弹的质量为m。若炮车与地面
有摩擦，摩擦系数为μ , 炮弹相对炮身的速度为u， 求 炮身相对地面的反冲速度 v 。
θ
u
第4章 动量和角动量
4-1 动量定理与动量守恒定律
解：选取炮车和炮弹组成系统 内、外力分析。 水平的动量守恒吗？ 运用质点系的动量定理：
N
f
Mg
动量定理,动量守恒定律
3
0
Fx dt m vx m v3
1 2 3 4
对不对？
y
N
f
m
o
F
x
1 :
N 10 0.672 ？ t
t , F 1.12t
物体可能飞离桌面，
何时飞离？
mg
令 10 0.672 0 得： t 14.9 s
N 10 - 0.672 t N 0
§4.3 动量定理
一、质点的动量定理 1. 微分形式 2. 积分形式
dp F dt Fdt dp 令 dI Fdt
t1
— 力的元冲量
t2 I Fdt — 力的冲量
t2 p2 得： I Fdt dp p2 p1 p t1 p1
三、动量定理
t2 I内 F内dt 0
t1
t1
四、动量守恒定律——空间平移对称性 孤立系统：
F外 0 p总 恒矢量 vc 恒矢量
m
M
h
当 m 自由下落 h 距离，绳被拉紧 m 的瞬间， 和 M 获得相同的运动速率 M v ，此后 m 向下减速运动， 向上 减速运动。M 上升的最大高度为：
v H 2a
2
分两个阶段求解
第一阶段：绳拉紧，求共同速率 v
解1：
解2：
M m m不能提起M , 共同速率 v 0
绳拉紧时冲力很大，忽略重力， M
*质点所受合力的冲量等于质点动量的增量
分量式：
Ix Iy Iz
t1
t2
t1 t2
Fx dt p x Fy dt p y Fz dt p z
力学习题-第4章质点组动量定理(含答案)
已知 B 的质量是 A 的两倍，而 C 的质量是 A 的三倍，此时由此三质点组成的体
系的质心的位置为
1 28 A. ( 3 , - 3 , 3) ; B. (1, -1, 2) ; C. (1, - 2, 8) ; D. (1, 2, 3)
答案：B
解：根据题中给定的坐标系，由质心计算公式可知：
rc
M月l 81M 月 M 月
l 82
4.68 106
m.
2. 已知质点质量 m = 5kg，运动方程 r = 2ti + t2j . 则质点在 0~2 秒内受的冲量大 小为 N·s. 答案：20 解：F = ma = 10j ;
I = FΔt = 20j; 所以冲量大小为 20Ns.
3. 沿 x 方向的力 F = 12t (SI)作用在质量 m = 2kg 的物体上，使物体从静止开始 运动，则它在 3 秒末的动量大小为 kg·m/s. 答案：54 解：力 F 的冲量大小为
2. 无论质心系是否是惯性系，质心系下质点组的总动量始终为零. 答案：对 解释：对质心系下的观测者而言，质点组所受的合外力与总的惯性力相等，即， 质点组所受合外力为零，动量守恒. 其守恒值为质点组的总质量与质心速度的 乘积。而对质心系下的观测者而言，观测的质点组的质心速度始终为零. 因此， 出现质心系下质点组总动量为零的结果. 这也是质心系的特点之一.
第四章 质点组动量定理与守恒定律 单元测验题
一、选择题
1. 作用在质点上的力对时间的累积称为力的 ，其效果等于质点
的
改变.
A. 冲量、动量；B. 功、动量；C. 功、动能；D. 冲量、动能
答案：A
2. 某一时刻 A、B、C 三质点的位置坐标分别为：(-3, 4, 3)、(3, -8, 6)、(1, 2, -1)，
第四章 质点组动力学
第四章 质点组动力学以彼之道，还施彼身。
单身独影自是无风不起浪,无论是亲朋相会,还是冤家聚头,定有故事流传.代数方程在此将笑傲江湖.【要点分析与总结】 1 质点组（1）质心： 1Ni i i c m r r m==∑对于连续体: c rdm r m=⎰（2）内力与外力: ()1Ne i i i iji m r F F ==+∑且内力满足: ij ji F F =-2 质点组运动的动量、角动量、动能（1） 动量 cc p mr p ==（2）角动量 1Ni i i c c c ci L r m r r m r L L =''=⨯+⨯=+∑（3） 动能 2211122Nci i ci Tm r m r T ='=+=+∑1Nii T ='∑3 质点组运动的基本定理（1） 动量定理：()1Ne i i i dP m r F dt===∑质心定理：()e c m r P F ==（2） 角动量定理：dL Mdt =()e c dL Mdt=c c dL M dt''=（3） 动能定理：111NN Ni i ij ii i j dT F dr F dr ====+∑∑∑对质心：,1;Ni i ij i j i jdT F dr F dr =≠'''=+∑∑4 开放的质点组： ()d dmm u F dt dtυυ--=或()d m dmu Fdtdtυ-=<析>此章中许多等式的推导多用到分部积分与等量代换.在本章的习题解答中多用到动量定理,角动量定理与机械能守恒定理的联立方程组,有时质心定理的横空出世会救你于水深火热之中.【解题演示】1在一半径为r 的圆圈上截取一段长为s 的圆弧，求出这段圆弧的质心位置。
解：如右图所示建立坐标系 。
则：02srθ=设c c c r x i y j=+有：2222222222220022sin cos cos 0cos sin 22sin sin sin2ss c ss ss c s s r dsr d r x ssdsr dsr d rr r s y ssssrdsθθθθηθθθθθηηθθθθθθη--------====-=====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰则质心位置为22(0,sin)2r s sr，距顶点o '的位置为2(1sin)2c r s r y r sr -=-2．求出半径为r 的匀质半球的质心位置。
简述质点系的动量定理及动量守恒定律
动量是物体运动状态的一种量度，它与物体的质量和速度成正比。
质点系的动量定理和动量守恒定律是描述物体运动规律的重要定律，对于理解和研究物体的运动具有重要意义。
本文将从简述质点系的动量定理开始，逐步深入探讨动量守恒定律，希望能够为读者提供一份深入浅出的参考。
1. 质点系的动量定理质点系的动量定理是描述质点系受力情况下动量的变化规律的定理。
根据牛顿第二定律，质点系的动量定理可以表述为：当一个质点系受到合外力时，它的动量随时间的变化率等于合外力的作用，即\[ \frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F} \]其中，\[ \vec{p} \]代表质点系的动量，\[ \vec{F} \]代表合外力的矢量。
这个定理表明了力对物体动量的影响，是经典力学中非常重要的基本定律之一。
2. 动量守恒定律当质点系受到合内力作用时，它的动量不会发生改变，这就是动量守恒定律的基本内容。
对于一个封闭系统来说，合内力为零，因此动量守恒定律可以表述为：在一个封闭系统内，当没有合外力作用时，质点系的动量保持不变，即\[ \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \cdots + \vec{p}_n = \vec{p}_1' +\vec{p}_2' + \cdots + \vec{p}_n' \]其中，\[ \vec{p}_i \]代表质点i的初始动量，\[ \vec{p}_i' \]代表质点i的最终动量。
动量守恒定律是一个非常重要的物理定律，它对于理解和分析自然界中的各种物理现象具有重要作用。
3. 个人观点和理解动量定理和动量守恒定律的提出和应用，使我们能够更深入地理解物体运动规律，并且在工程技术和自然科学研究中得到了广泛的应用。
在实际生活中，通过对动量定理和动量守恒定律的应用，我们可以更好地理解交通事故、火箭发射和碰撞实验等现象。
这些定律的深入理解和应用，有助于我们更加科学地分析和解决相关问题。
质点的动量定理
同理，对 N 个质点组成的质点组进行类似推导可以得到：
I
t t
t
F dt m v (t t ) m v (t ) p p
i 1 i i 1 i i i 1 i i
t t t
N
N
0
定义： I
F dt
i 1 i
外力的冲量和
i
2
ac
F
i i
m r
m
N i
N
i i
应用：
i i
质心速度:
drC vC dt
2
m v
m
N i
运动员、炮弹等的轨迹 筛选法（大小土豆）
F 0 ，自然界如没摩擦力
质心加速度: aC d rC dt 2
m a
m
i i
的情形设想……
4
质点系的质心运动
质心与质心运动定律
质点系质心运动
iz i
z
p0 z
23
例4.2.2-1质量为 m0 的板静止于水平桌面上，板上放有
m 的小物体。当板在水平外力的作用下从小物 体下抽出时，物体与板的速度分别为 v1 和 v2 。已知各
一质量为 接触面之间的摩擦因数均相同，求在此过程中所加水平 外力的冲量。 解：对 m0 和
m构成的系统应用质点系动量定理：
m1
xC1
c l xC1
v0 m2
联立得：
16
质点系动量定理与守恒定律
质点的动量定理 质点系动量定理
质点系运动定理
与守恒定律 质心动量定理 质点系动量守恒 质心系下质点系动量
17
质点的动量定理
由牛顿第二定律原始表达式：
4.0 质点的角动量 角动量定理和守恒定律
定义： 质点对选取的参考点的角动量等于其 矢径 r 与其动量 mv 之矢量积。用 L 表示。
LO
LO
LO r mv
o m
mv r mv r
L
LO
o m
mv r
LO r mv
注意：1)为表示是对哪 个参考点的角动量，通 常将角动量L画在参考 点上. 2）单位：
MO
注意：
1）大小
MO r F
o m
F r
M
3）单位：牛顿米
2）方向： r F 的方向
M rF sin
F
r
M
O
4）当 F 0 时
A) r 0
有两种情况,
M 0
B）力的方向沿矢径的方向（ sin 0 ） 有心力的力矩为零.
dL 0 L 恒矢量 则： dt
合外力矩
0
角动量守恒定律：当系统所受合外力矩为零 时，质点系的角动量保持不变. 注意：1、角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律，
无论在宏观上还是微观领域中都成立. 2、守恒定律 ：表明尽管自然界千变万化，变换 无穷，但决非杂乱无章，而是严格地受着某种规律的制 约，变中有不变. 这反映着自然界的和谐统一.
两式相加：
d M 1 M 10 M 2 M 20 ( L1 L2 ) 3 dt
d M 1 M 2 ( L1 L2 ) 4 dt 令：M M 1 M 2 质点所受的合外力矩
L L1 L2
F
三、角动量定理 1、角动量定理的微分形式 对一个质点：
大学物理质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
t1 t2
质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量.
F2 t1 ( F1 F12 )dt m1v1 m1v10 F21 F12 t2 F1 m2 ( F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20 m1 t1 因为内力 F12 F21 0 ，故 t2 ( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
注意：
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F F 0 i i 则系统的总动量守恒，即 p pi 保持不变 . ex dp i ex 力的瞬时作用规律 F , F 0, P C dt
1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统 内任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必相对于同 一惯性参考系 .
t0 i i i
可知
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F F 0 i i 则系统的总动量守恒，即 p pi 保持不变 .
ex 力的瞬时作用规律 F ex dp , F 0, P C dt
i
2– 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定 律 动量守恒定律
I E
p mv
Fdt dp d (mv)
dp d (mv) F dt dt
t2 冲量 力对时间的积分（矢量） I Fdt
t1
t2
t1
Fdt p2 p1 mv2 mv1
2– 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定 律
mv1
F
质点系的动量定理
i
Fi
d dt
i
Pi
以 F 和 P 表F示系d统P的合外力和总动量，上式可写为：
dt
由此可得F“dt质点d系P的动微量分定形理式”：
t2
Fdt
P2
dP
P
积分形式
t1
P1
内力不改变系统的总动量，但会使系统内部动量重新分配。 只有外力才能改变系统的总动量。
的速度，动量和应是同一时刻的===动量之和。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 ===中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）— ======——近似守恒条件。
4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方 ===向为零。）——部分守恒条件
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿 ===定律更普遍的最基本的定律
离S1＝100米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？ （空气阻力不计，g=9.8m/s2)
解：已知第一块方向竖直向下
h
v1t
'
1 2
gt
'2
t ' 1s 为第一块落地时间
v1 v1y 14 7m / s
y v2
h
v1 h S1
x
炮弹在最高点，vy
0, 到最高点用时为t
好触到水平桌面上，如果把绳
的上端放开，绳将落在桌面上。
试证明：在绳下落的过程中，
任意时刻作用于桌面的压力，
等于已落到桌面上的绳重力的
x
三倍。
证明：取如图坐标，设t 时刻已有x
o
长的柔绳落至桌面，随后的dt时间
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质心系动画演示
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《力学》电子教案
例 4.1.3-1
第二篇
第四章： 质点组动量定理和守恒定律
质量分别为 m1 和 m2 的两个质点，用长为 l 的轻绳连接，置于光滑的
平面内，绳处于自然伸长状态。现突然使 m2 获得与绳垂直的初速度 v0 ，求此时绳 中的张力。
解： 由于两个质点是自由置于光滑的平面上， 所以 m2 获得初速度的瞬时， 并不绕 m1 作圆周运动，而是绕二者的质心作圆周运动。在质心系（惯性系）下，对 m1 ， m2 分别应用牛顿第二定律：
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第二篇
第四章： 质点组动量定理和守恒定律
例 4.2.1-1 一质量为 0.15 千克的棒球以 v0 40 米/秒的水平速度飞来，被棒打击后，
速度仍沿水平方向，但与原来方向成 135 角，大小为 v 50 米/秒。如果棒与球的接
触时间为 0.02 秒，求棒对球的平均打击力。
i
N
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
质心的特点与求法
1. 质心特点——与参照系选取无关
rjc rj rc ( mi )rj
i
m
m r m (r
i i i
m
i
j
ri )
i
m
rjc ' rj ' rc '
3, 8,6 ， A 的质量是 B 的两倍，而 B 的质量是 D 的两倍。求此时由此三质点
组成的体系的质心的位置。
。
解：根据题中给定的坐标系，由质心定义得
rc
mA rA mB rB mD rD 4mD rA 2mD rB mD rD 4rA 2rB rD mA mB mD 4mD 2mD mD 7
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
二、质点组动量定理与守恒定律
质点的动量定理 质点组动量定理
质点组运动定理与守恒定律
质心动量定理 质点组动量守恒 质心系下质点组动量
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
质点的动量定理
由牛顿第二定律原始表达式：
对上式积分得：
d (mv ) F dt
t t
t
Fdt mv (t t ) mv (t )
t t 定义： P mv ，称为质点的动量， I t Fdt 称为力在 t 时间内
的冲量。外力的冲量等于质点动量的改变量——质点的动量定理。
N
N
0
t
N P m v F dt i i ，分别称为质点组所受合外力的冲量 i ， i 1 i 1
和总动量。上式表明：质点组所受合外力的冲量等于质点组动量的变化量 ---质点 组的动量定理。
在直角坐标系下，质点组动量定理的分量形式可表示为：
t t
t
t t
F dt P P
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
质心动量定理
d 2 rc dvc d (mvc ) F m m r m i c 2 由质心运动定律： dt dt dt i
积分得：
t t
t
( Fi )dt mvc mvc 0 Pc Pc 0
i
即合外力的冲量等于质心动量的增量——质心动量定理。
d r3 F3 F13 F23 m3 2 dt
上述三式相加有：
2
内力与外力动画演示
2 2 2 d r3 d r1 d r2 F1 F2 F3 m1 2 m2 m3 2 2 dt dt dt
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
的整体运动规律。
2、引入力的冲量和质点的动量概念，以牛顿第二定律为基础，对力进
行时间效果累计，导出质点的动量定理，进一步推广为质点组动量定 理，并在特殊条件下转化为守恒定律，以获得力对时间累计效果的运 动定理。 3、作为质点组动量定理的应用，讨论变质量物体与附体之间的相互作 用力关系式，并对火箭发射等变质量系统进行举例分析。
因此，质点组的总动量即可以表示为：
N P mi vi
i 1
也可以表示为：
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P mvc
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
一、质点组质心运动
质心与质心运动定律
质点组质心运动
质心的特点与求法
质心系
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
质点组质心与质心运动定律
d 2 r1 F1 F21 F31 m1 2 dt d 2 r2 F2 F12 F32 m2 2 dt
将已知数据代入可求得质心的坐标：
1, 2, 2
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
(2) 连续质点组的质心
rc lim
m r
i
i i
N mi 0
m
1 rdm m
在直角坐标系下可以表示为：
1 1 1 xc xdm, yc ydm, zc zdm m m m
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
同理，对 N 个质点组成的质点组进行类似推导可以得到：
I
其中， I
t t
t
t t
F dt m v (t t ) m v (t ) P P
i 1 i i 1 i i i 1 i i
推广多个质点组成的质点组可以得到：
质心运动定律： 质心： 质心速度： 质心加速度：
d 2 rc F Fi m 2 mac dt i
m mi ，rc ( mi ri ) / m i
i 1 N
N
vc ( mi v )i / m
i
N
ac ( mi a)i / m
ix x i
0x
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t
F dt P
iy i
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P0 y
0z
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t t
t
F dt P P
iz z i
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
例 4.2.2-1 质量为 m0 的板静止于水平桌面上，板上放有一质量为 m 的小物体。当 板在水平外力的作用下从小物体下抽出时，物体与板的速度分别为 v1 和 v 2 。已知 各接触面之间的摩擦系数均相同，求在此过程中所加水平外力的冲量。
4R 即质心位置为（0， 3 ） 。
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
(4) 多个规则形状物体组成系统的质心 多个规则形状物体组成系统的质心，可先找到每个物体的质心，再用 分立质点组质心的求法，求出公共质心。
例 4.1.2-3 如例 4.1.2-3 图所示，半径为 R 、质量为 m 、质量分布均匀的圆盘，沿
'2 v1'2 v2 FT m1 m2 xc1 l xc1
其中， xc1
m1 0 m2l ' ' v , v m m m m1 m2 是 1 相对质心的距离， 1 2 分别是 1 和 2 相对质心的速
' ' 0 vc , v2 v0 vc
度，分别为： v1
2 m1 0 m2v0 m1m2v0 v F 质心速度： c m1 m2 ， 联立得： T （m1 m2）l 。
N v v rc = (å mi ri ) / m i= 1
在直角坐标系下可以表示为：
xc
m x
i
i i
m
, yc
m y
i i
i
m
, zc
m z
i
i i
m
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例 4.1.2-1
第二篇
第四章： 质点组动量定理和守恒定律
A B D 三质点在某一时刻的位置坐标分别为： 3, 2,0 、 1,1, 4 、
解：建立如例 4.2.1-1 图所示的坐标系，以球为研究对象，应用动量定理，
x 方向： Fx t m(v cos 45 ) mv0
F t mv sin 45 0 y 方向： y
2 2 F F F x y 624 N 解得：
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2 2 2 点有， x边 y边 R 。将半圆形板分割成无数个平行于
x 轴的细条，每细条的质心
为（0， yc y边 ） ，则系统的质心为：
1 1 R Yc yc dm y边 (2 x边 dy边 ) 0 m M 1 R 4R 2 y边 (2 R 2 y边 dy边 ) m 0 3