4第四章质点组动量定理与守恒定律
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N v v rc = (å mi ri ) / m i= 1
在直角坐标系下可以表示为：
xc
m x
i
i i
m
, yc
m y
i i
i
m
, zc
m z
i
i i
m
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《力学》电子教案
例 4.1.2-1
第二篇
第四章： 质点组动量定理和守恒定律
A B D 三质点在某一时刻的位置坐标分别为： 3, 2,0 、 1,1, 4 、
i
N
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《力学》电子教案
第二篇
第四章： 质点组动量定理和守恒定律
质心的特点与求法
1. 质心特点——与参照系选取无关
rjc rj rc ( mi )rj
i
m
m r m (r
i i i
m
i
j
ri )
i
m
rjc ' rj ' rc '
2 2 2 点有， x边 y边 R 。将半圆形板分割成无数个平行于
x 轴的细条，每细条的质心
为（0， yc y边 ） ，则系统的质心为：
1 1 R Yc yc dm y边 (2 x边 dy边 ) 0 m M 1 R 4R 2 y边 (2 R 2 y边 dy边 ) m 0 3
N
N
0
t
N P m v F dt i i ，分别称为质点组所受合外力的冲量 i ， i 1 i 1
和总动量。上式表明：质点组所受合外力的冲量等于质点组动量的变化量 ---质点 组的动量定理。
在直角坐标系下，质点组动量定理的分量形式可表示为：
t t
t
t t
F dt P P
R 某半径方向挖去半径为 2 的小圆盘，求大圆盘剩余部分的质心位置。
解：由对称性可知，所求剩余部分质心在 x 轴上，设在（ xc ,0 ）处。挖去的小圆盘（设
R ( 质量为 m '' ）原来的质心位置为 2 ,0) ，与所求剩余圆盘（设质量为 m ' ）质心之和应
为原点处，即，
0
m ' xc m ''
的整体运动规律。
2、引入力的冲量和质点的动量概念，以牛顿第二定律为基础，对力进
行时间效果累计，导出质点的动量定理，进一步推广为质点组动量定 理，并在特殊条件下转化为守恒定律，以获得力对时间累计效果的运 动定理。 3、作为质点组动量定理的应用，讨论变质量物体与附体之间的相互作 用力关系式，并对火箭发射等变质量系统进行举例分析。
《力学》电子教案
第二篇
第四章： 质点组动量定理和守恒定律
第四章 质点组动量定理与守恒定律
本章知识内容提要 一、质点组质心运动 二、质点组动量定理与守恒定律 三、质点组动量定理应用
本章知识单元与知识点小结
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第二篇
第四章： 质点组动量定理和守恒定律
本章知识内容提要
1、引入质点组的质心概念，导出质心所满足的方程，用以描述质点组
解：对 m0 和 m 构成的系统应用质点组动量定理：
I外 (m0 m) g t (m0v2 mv1 ) 0
对 m 应用动量定理：
mg t mv1 0
联立得：
I
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外
(m0 2m)v1 m0v2
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第二篇
第四章： 质点组动量定理和守恒定律
同理，对 N 个质点组成的质点组进行类似推导可以得到：
I
其中， I
t t
t
t t
F dt m v (t t ) m v (t ) P P
i 1 i i 1 i i i 1 i i
质点的动量定理
由牛顿第二定律原始表达式：
对上式积分得：
d (mv ) F dt
t t
t
Fdt mv (t t ) mv (t )
t t 定义： P mv ，称为质点的动量， I t Fdt 称为力在 t 时间内
的冲量。外力的冲量等于质点动量的改变量——质点的动量定理。
3, 8,6 ， A 的质量是 B 的两倍，而 B 的质量是 D 的两倍。求此时由此三质点
组成的体系的质心的位置。
。
解：根据题中给定的坐标系，由质心定义得
rc
mA rA mB rB mD rD 4mD rA 2mD rB mD rD 4rA 2rB rD mA mB mD 4mD 2mD mD 7
4R 即质心位置为（0， 3 ） 。
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
(4) 多个规则形状物体组成系统的质心 多个规则形状物体组成系统的质心，可先找到每个物体的质心，再用 分立质点组质心的求法，求出公共质心。
例 4.1.2-3 如例 4.1.2-3 图所示，半径为 R 、质量为 m 、质量分布均匀的圆盘，沿
解：建立如例 4.2.1-1 图所示的坐标系，以球为研究对象，应用动量定理，
x 方向： Fx t m(v cos 45 ) mv0
F t mv sin 45 0 y 方向： y
2 2 F F F x y 624 N 解得：
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( mi )rj '
i
m
m r ' m (r ' r ')
i i i
m
i
j
i
i
m
由于， rj
ri rj ' ri '
'
所以， rjc rjc 。
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第二篇
第四章： 质点组动量定理和守恒定律
2. 质心的求法
(1) 分立质点组的质心
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第二篇
第四章： 质点组动量定理和守恒定律
二、质点组动量定理与守恒定律
质点的动量定理 质点组动量定理
质点组运动定理与守恒定律
质心动量定理 质点组动量守恒 质心系下质点组动量
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
其中： m ' m m ''
3 m 4
m ' m '' R m 1 m '' ( ) 2 m 2 R2 4
R 6
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R 2
解得所求质心位置为：
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xc
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
质心系
如图4.1.3-1所示，坐标原点始终跟随质心，坐标轴保持平行。
第二篇
第四章： 质点组动量定理和守恒定律
质心动量定理
d 2 rc dvc d (mvc ) F m m r m i c 2 由质心运动定律： dt dt dt i
积分得：
t t
t
( Fi )dt mvc mvc 0 Pc Pc 0
i
即合外力的冲量等于质心动量的增量——质心动量定理。
t t
t
( F3 F13 F23 )dt m3v3 (t t ) m3v3 (t )
其中， f21 F 12 , F 13 F 31 , F 23 F 32 为质点之间的相互内力。 三式相加有：
t t
t
( F1 F2 F3 )dt m1v1 (t t ) m2v2 (t t ) m3v3 (t t ) m1v1 (t ) m2v2 (t ) m3v3 (t )
将已知数据代入可求得质心的坐标：
1, 2, 2
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
(2) 连续质点组的质心
rc lim
m r
i
i i
N mi 0
m
1 rdm m
在直角坐标系下可以表示为：
1 1 1 xc xdm, yc ydm, zc zdm m m m
推广多个质点组成的质点组可以得到：
质心运动定律： 质心： 质心速度： 质心加速度：
d 2 rc F Fi m 2 mac dt i
m mi ，rc ( mi ri ) / m i
i 1 N
N
vc ( mi v )i / m
i
N
ac ( mi a)i / m
ix x i
0x
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t
F dt P
iy i
y
P0 y
0z
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t t
t
F dt P P
iz z i
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
例 4.2.2-1 质量为 m0 的板静止于水平桌面上，板上放有一质量为 m 的小物体。当 板在水平外力的作用下从小物体下抽出时，物体与板的速度分别为 v1 和 v 2 。已知 各接触面之间的摩擦系数均相同，求在此过程中所加水平外力的冲量。
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第二篇
第四章： 质点组动量定理和守恒定律
例 4.2.1-1 一质量为 0.15 千克的棒球以 v0 40 米/秒的水平速度飞来，被棒打击后，
速度仍沿水平方向，但与原来方向成 135 角，大小为 v 50 米/秒。如果棒与球的接
触时间为 0.02 秒，求棒对球的平均打击力。
d r3 F3 F13 F23 m3 2 dt
上述三式相加有：
2
内力与外力动画演示
2 2 2 d r3 d r1 d r2 F1 F2 F3 m1 2 m2 m3 2 2 dt dt dt
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
(3) 规则形状、密度均匀的物体的质心
例 4.1.2-2 求半径为 R 、质量分布均匀的半圆形薄板的质心位置。设圆心在原点，薄 板位于 xoy 平面中的
y 0 的一侧。
c c
解：如例 4.1.2-2 图所示，设质心坐标为（ X ， Y ） ，平板的质量为 m ，密度为 。 因为平板质量分布均匀，且圆心在原点，由对称性知 X c 0 。对于板边缘上的每一
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
质点组动量定理
t t
t
t t
( F1 F21 F31 )dt m1v1 (t t ) m1v1 (t )
( F2 F12 F32 )dt m2v2 (t t ) m2v2 (t )
t
质心系动画演示
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例 4.1.3-1
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
质量分别为 m1 和 m2 的两个质点，用长为 l 的轻绳连接，置于光滑的
平面内，绳处于自然伸长状态。现突然使 m2 获得与绳垂直的初速度 v0 ，求此时绳 中的张力。
解： 由于两个质点是自由置于光滑的平面上， 所以 m2 获得初速度的瞬时， 并不绕 m1 作圆周运动，而是绕二者的质心作圆周运动。在质心系（惯性系）下，对 m1 ， m2 分别应用牛顿第二定律：
'2 v1'2 v2 FT m1 m2 xc1 l xc1
其中， xc1
m1 0 m2l ' ' v , v m m m m1 m2 是 1 相对质心的距离， 1 2 分别是 1 和 2 相对质心的速
' ' 0 vc , v2 v0 vc
度，分别为： v1
2 m1 0 m2v0 m1m2v0 v F 质心速度： c m1 m2 ， 联立得： T （m1 m2）l 。
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
一、质点组质心运动
质心与质心运动定律
质点组质心运动
质心的特点与求法
质心系
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
质点组质心与质心运动定律
d 2 r1 F1 F21 F31 m1 2 dt d 2 r2 F2 F12 F32 m2 2 dt
因此，质点组的总动量即可以表示为：
N P mi vi
i 1
也可以表示为：
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P mvc
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在直角坐标系下可以表示为：
xc
m x
i
i i
m
, yc
m y
i i
i
m
, zc
m z
i
i i
m
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例 4.1.2-1
第二篇
第四章： 质点组动量定理和守恒定律
A B D 三质点在某一时刻的位置坐标分别为： 3, 2,0 、 1,1, 4 、
i
N
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
质心的特点与求法
1. 质心特点——与参照系选取无关
rjc rj rc ( mi )rj
i
m
m r m (r
i i i
m
i
j
ri )
i
m
rjc ' rj ' rc '
2 2 2 点有， x边 y边 R 。将半圆形板分割成无数个平行于
x 轴的细条，每细条的质心
为（0， yc y边 ） ，则系统的质心为：
1 1 R Yc yc dm y边 (2 x边 dy边 ) 0 m M 1 R 4R 2 y边 (2 R 2 y边 dy边 ) m 0 3
N
N
0
t
N P m v F dt i i ，分别称为质点组所受合外力的冲量 i ， i 1 i 1
和总动量。上式表明：质点组所受合外力的冲量等于质点组动量的变化量 ---质点 组的动量定理。
在直角坐标系下，质点组动量定理的分量形式可表示为：
t t
t
t t
F dt P P
R 某半径方向挖去半径为 2 的小圆盘，求大圆盘剩余部分的质心位置。
解：由对称性可知，所求剩余部分质心在 x 轴上，设在（ xc ,0 ）处。挖去的小圆盘（设
R ( 质量为 m '' ）原来的质心位置为 2 ,0) ，与所求剩余圆盘（设质量为 m ' ）质心之和应
为原点处，即，
0
m ' xc m ''
的整体运动规律。
2、引入力的冲量和质点的动量概念，以牛顿第二定律为基础，对力进
行时间效果累计，导出质点的动量定理，进一步推广为质点组动量定 理，并在特殊条件下转化为守恒定律，以获得力对时间累计效果的运 动定理。 3、作为质点组动量定理的应用，讨论变质量物体与附体之间的相互作 用力关系式，并对火箭发射等变质量系统进行举例分析。
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第四章 质点组动量定理与守恒定律
本章知识内容提要 一、质点组质心运动 二、质点组动量定理与守恒定律 三、质点组动量定理应用
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第四章： 质点组动量定理和守恒定律
本章知识内容提要
1、引入质点组的质心概念，导出质心所满足的方程，用以描述质点组
解：对 m0 和 m 构成的系统应用质点组动量定理：
I外 (m0 m) g t (m0v2 mv1 ) 0
对 m 应用动量定理：
mg t mv1 0
联立得：
I
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同理，对 N 个质点组成的质点组进行类似推导可以得到：
I
其中， I
t t
t
t t
F dt m v (t t ) m v (t ) P P
i 1 i i 1 i i i 1 i i
质点的动量定理
由牛顿第二定律原始表达式：
对上式积分得：
d (mv ) F dt
t t
t
Fdt mv (t t ) mv (t )
t t 定义： P mv ，称为质点的动量， I t Fdt 称为力在 t 时间内
的冲量。外力的冲量等于质点动量的改变量——质点的动量定理。
3, 8,6 ， A 的质量是 B 的两倍，而 B 的质量是 D 的两倍。求此时由此三质点
组成的体系的质心的位置。
。
解：根据题中给定的坐标系，由质心定义得
rc
mA rA mB rB mD rD 4mD rA 2mD rB mD rD 4rA 2rB rD mA mB mD 4mD 2mD mD 7
4R 即质心位置为（0， 3 ） 。
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(4) 多个规则形状物体组成系统的质心 多个规则形状物体组成系统的质心，可先找到每个物体的质心，再用 分立质点组质心的求法，求出公共质心。
例 4.1.2-3 如例 4.1.2-3 图所示，半径为 R 、质量为 m 、质量分布均匀的圆盘，沿
解：建立如例 4.2.1-1 图所示的坐标系，以球为研究对象，应用动量定理，
x 方向： Fx t m(v cos 45 ) mv0
F t mv sin 45 0 y 方向： y
2 2 F F F x y 624 N 解得：
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( mi )rj '
i
m
m r ' m (r ' r ')
i i i
m
i
j
i
i
m
由于， rj
ri rj ' ri '
'
所以， rjc rjc 。
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2. 质心的求法
(1) 分立质点组的质心
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二、质点组动量定理与守恒定律
质点的动量定理 质点组动量定理
质点组运动定理与守恒定律
质心动量定理 质点组动量守恒 质心系下质点组动量
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其中： m ' m m ''
3 m 4
m ' m '' R m 1 m '' ( ) 2 m 2 R2 4
R 6
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解得所求质心位置为：
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xc
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质心系
如图4.1.3-1所示，坐标原点始终跟随质心，坐标轴保持平行。
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质心动量定理
d 2 rc dvc d (mvc ) F m m r m i c 2 由质心运动定律： dt dt dt i
积分得：
t t
t
( Fi )dt mvc mvc 0 Pc Pc 0
i
即合外力的冲量等于质心动量的增量——质心动量定理。
t t
t
( F3 F13 F23 )dt m3v3 (t t ) m3v3 (t )
其中， f21 F 12 , F 13 F 31 , F 23 F 32 为质点之间的相互内力。 三式相加有：
t t
t
( F1 F2 F3 )dt m1v1 (t t ) m2v2 (t t ) m3v3 (t t ) m1v1 (t ) m2v2 (t ) m3v3 (t )
将已知数据代入可求得质心的坐标：
1, 2, 2
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(2) 连续质点组的质心
rc lim
m r
i
i i
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m
1 rdm m
在直角坐标系下可以表示为：
1 1 1 xc xdm, yc ydm, zc zdm m m m
推广多个质点组成的质点组可以得到：
质心运动定律： 质心： 质心速度： 质心加速度：
d 2 rc F Fi m 2 mac dt i
m mi ，rc ( mi ri ) / m i
i 1 N
N
vc ( mi v )i / m
i
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ac ( mi a)i / m
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t
F dt P
iy i
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P0 y
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t t
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例 4.2.2-1 质量为 m0 的板静止于水平桌面上，板上放有一质量为 m 的小物体。当 板在水平外力的作用下从小物体下抽出时，物体与板的速度分别为 v1 和 v 2 。已知 各接触面之间的摩擦系数均相同，求在此过程中所加水平外力的冲量。
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例 4.2.1-1 一质量为 0.15 千克的棒球以 v0 40 米/秒的水平速度飞来，被棒打击后，
速度仍沿水平方向，但与原来方向成 135 角，大小为 v 50 米/秒。如果棒与球的接
触时间为 0.02 秒，求棒对球的平均打击力。
d r3 F3 F13 F23 m3 2 dt
上述三式相加有：
2
内力与外力动画演示
2 2 2 d r3 d r1 d r2 F1 F2 F3 m1 2 m2 m3 2 2 dt dt dt
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(3) 规则形状、密度均匀的物体的质心
例 4.1.2-2 求半径为 R 、质量分布均匀的半圆形薄板的质心位置。设圆心在原点，薄 板位于 xoy 平面中的
y 0 的一侧。
c c
解：如例 4.1.2-2 图所示，设质心坐标为（ X ， Y ） ，平板的质量为 m ，密度为 。 因为平板质量分布均匀，且圆心在原点，由对称性知 X c 0 。对于板边缘上的每一
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质点组动量定理
t t
t
t t
( F1 F21 F31 )dt m1v1 (t t ) m1v1 (t )
( F2 F12 F32 )dt m2v2 (t t ) m2v2 (t )
t
质心系动画演示
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质量分别为 m1 和 m2 的两个质点，用长为 l 的轻绳连接，置于光滑的
平面内，绳处于自然伸长状态。现突然使 m2 获得与绳垂直的初速度 v0 ，求此时绳 中的张力。
解： 由于两个质点是自由置于光滑的平面上， 所以 m2 获得初速度的瞬时， 并不绕 m1 作圆周运动，而是绕二者的质心作圆周运动。在质心系（惯性系）下，对 m1 ， m2 分别应用牛顿第二定律：
'2 v1'2 v2 FT m1 m2 xc1 l xc1
其中， xc1
m1 0 m2l ' ' v , v m m m m1 m2 是 1 相对质心的距离， 1 2 分别是 1 和 2 相对质心的速
' ' 0 vc , v2 v0 vc
度，分别为： v1
2 m1 0 m2v0 m1m2v0 v F 质心速度： c m1 m2 ， 联立得： T （m1 m2）l 。
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质点组质心与质心运动定律
d 2 r1 F1 F21 F31 m1 2 dt d 2 r2 F2 F12 F32 m2 2 dt
因此，质点组的总动量即可以表示为：
N P mi vi
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也可以表示为：
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