2020年高考理科数学一轮复习：定积分与微积分基本定理

wk.baidu.com
的面积的相反数
f(x)在[a，b]上 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x
有正有负
轴下方的曲边梯形的面积
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
大一轮复习·数学·RJ（理）
思考：定积分 b f(x)dx一定等于由x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x) a
所围成的曲边梯形的面积吗？为什么？ 提示：不一定．因为当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为



0
0
0
＝(－cos x)π0 －(sin x)π0 ＝－(－1)＋1＝2.
答案：2
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
大一轮复习·数学·RJ（理）
2．(2018·江西九江调研)1 (x2＋ 1－x2 )dx＝________． －1
a
a
(2)若 b f(x)dx＜0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图 a
形一定在x轴下方．( × )
(3)若f(x)是偶函数，则a f(x)dx＝2af(x)dx.( √ )

－a
0
(4)若f(x)是奇函数，则a f(x)dx＝0.( √ ) －a
a
[a，b]叫做积分区间， _____f(_x_)_____叫做被积函数， ______x______叫 做积分变量， _____f(_x_)_d_x___叫做被积式．
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
(2)定积分的几何意义
大一轮复习·数学·RJ（理）
f(x) f(x)≥0
大一轮复习·数学·RJ（理）
第五节 定积分与微积分基本定理
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
大一轮复习·数学·RJ（理）
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
大一轮复习·数学·RJ（理）
教材细梳理 知识点1 定积分的有关概念，几何意义及性质 (1)定积分的相关概念 在bf(x)dx中， ____a_，__b_____分别叫做积分下限与积分上限，区间
a
a
如果F′(x)＝f(x)，那么称F(x)是f(x)的一个___原__函__数_____．
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
大一轮复习·数学·RJ（理）
四基精演练
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则bf(x)dx＝bf(t)dt.( √ )
知识点2 微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那 么 b f(x)dx＝_F__(b_)_－__F_(_a_)__，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛
a
顿－莱布尼茨公式．
b
通常记作bf(x)dx＝F(x) ＝F(b)－F(a)．
解析：原式＝
1

x2dx＋
1



－1
－1
1－x2
dx＝
1 3
x3
1 －1
＋
1

－1
1－x2
dx＝
2 3
＋
1

1－x2
dx，
1


1－x2
dx等于半径为1的圆面积的
1 2
，即
1

1－x2 dx
－1
－1
－1
＝π2 ，故原式＝π2 ＋23.
正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的 曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
大一轮复习·数学·RJ（理）
(3)定积分的三个性质
①abkf(x)dx＝___k_ab_f_(x_)b_df_1x(_x_)_d(xk±为常bf2数(x))d；x
bf(x)dx的几何意义
a
表示由直线___x_＝__a______， ___x_＝__b______， ____y_＝__0_____及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形
的面积
f(x)＜0
表示由直线____x_＝__a_____， ____x_＝__b_____， ____y_＝__0_____及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形

－1

－1
0
0
0
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
大一轮复习·数学·RJ（理）
3．(知识点2)e＋1x－1 1dx＝________． ⇐ 源自选修2－2P66A组T14 3
解析：3e＋1x－1 1dx＝ln(x－1)e3＋1＝ln e－ln 2＝1－ln 2. 答案：1－ln 2
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
大一轮复习·数学·RJ（理）
4．(知识点1)0 1－x2dx＝________． ⇐ 源自选修2－2P55A组T1 －1
解析：
0

1－x2 dx表示由直线x＝0，x＝－1，y＝0以及曲线y＝

－1
1－x2所围成的图形的面积，
π
∴0

1－x2dx＝ 4 .
－1
答案：π4
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
大一轮复习·数学·RJ（理）
考点一 定积分的计算[基础练通]
1．(2018·德州二模)π (sin x－cos x)dx＝________． 0
解析：π(sin x－cos x)dx＝πsin xdx－πcos xdx
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
大一轮复习·数学·RJ（理）
2．(知识点2)定积分1 |x|dx＝( A ) ⇐ 源自选修2－2P50A组T5 －1
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选A.1 |x|dx＝0 (－x)dx＋1xdx＝21xdx＝x21＝1.
②b[f1(x)±f2(x)]dx＝__a _________a_；
a
cf(x)dx＋bf(x)dx
③bf(x)dx＝_a_________c __(其中a＜c＜b)．
a
教材·知识·四基 考点·考法·探究 创新·应用·提能 限时规范训练
大一轮复习·数学·RJ（理）