2020年高考理科数学一轮复习：定积分与微积分基本定理
高考数学第一轮复习 第二篇 第13讲 定积分与微积分基本定理课件 理 新人教A版
面积的代数和，即bf(x)dx＝ A1＋A3－A2
.
a
2.定积分的性质
((12))abbk[ff1((xx))d±x＝f2(x)]dkx＝abf(x)abdfx1(x)dx±(k为baf常2(数x)d)．x . a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(其中 a<c<b)．
在每个小区间上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和式i＝n1f(ξi)Δx＝i＝n1b－n af(ξi)，
当 n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区
间[a，b]上的定积分，记作 abf(x)dx ，即abf(x)dx＝nl→im∞i＝n1b－n af(ξi)．
定积分的计算
【例 1】 (1)若π2 (sinx＋acosx)dx＝2，则实数 a 等于(
)．
0
A．－1 B．1 D． 3 D．－ 3
(2)定积分3 9－x2dx 的值为________． 0
(3)已知函数 f(x)＝sin5x＋1，则-π2π2f(x)dx 的值为________．
n→＋∞
时
，和式
n
f(ξi)·Δx
i＝1
＝
n
i＝1
b－a
n f(ξi)
无
限趋近
于
某一
确
定的
常
数.( )
(3)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则abf(x)dx＝abf(t)dt.( )
2.定积分的几何意义与物理意义
(4)在区间[a，b]上的连续的曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 所围
成的曲边梯形的面积 S＝ab|f(x)|dx.( ) (5)若abf(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形一定
高中数学高考高三理科一轮复习资料第2章 2.4 定积分与微积分基本定理
方)； (2)如果在[a，b] 上，f(x)≤0，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝ b b b(a ＜ b) 和 x 轴围成的曲边梯形的面积为 S ＝ |f(x)|dx ＝－
a a
f(x)dx(这时曲线全部在 x 轴下方)；
(3)如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在 x 轴上方和下 方都有图象，例如：在(a，c)上位于 x 轴上方，在(c，b)上位于 x 轴下方，则曲线 y＝f(x)，x＝a，x＝b(a＜b)和 x 轴围成的曲 c b 边梯形的面积为 S＝ f(x)dx＋ |f(x)|dx＝
b b b 4. f(x)dx， |f(x)|dx， | f(x)dx|三者在几何意义上的不同． 当
i 0 n－1
果和式极限存在，则称和式 In 的极限为函数 f(x)在区间[a，b] b fxdx 上的定积分，记作①______，即 ＝②________.
a
b (2)在 f(x)dx 中， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限， 区
a
间③________叫做积分区间，函数④________叫做被积函数， ⑤________叫做积分变量，⑥________叫做被积式．
a
曲线 f(x)以及直线 x＝a、 x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图 ②中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分 值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的⑦__________.
3．定积分的基本性质： b (1) kf(x)dx＝⑧____________________________.
c a
b f(x)dx－ f(x)dx.
c
a
c
2．由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)＞g(x))与直线 x＝a，x＝ b b(a＜b)围成的图形的面积为 S＝ [f(x)－g(x)]dx.
2020届高三数学一轮复习人教版通用教师讲义：第16讲定积分与微积分基本定理 含详细答案
第16讲定积分与微积分基本定理1.定积分的概念如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<x1<…<x i-1<x i<…<x n=b将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[x i-1,x i]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式f(ξi)Δx=-f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近某个,这个常数叫作函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作f(x)d x,即f(x)d x=.其中f(x)称为函数,a称为积分限,b称为积分限.2.定积分的几何意义如果在区间[a,b]上的函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分f(x)d x表示由直线x=,x=,y=和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.3.定积分的性质性质1:常数因子可提到积分号前,即kf(x)d x=(k为常数).性质2:代数和的定积分等于定积分的代数和,即[f(x)±g(x)]d x=.性质3:(定积分的可加性)如果积分区间[a,b]被点c分成两个小区间[a,c]与[c,b],则f(x)d x=.4.微积分基本定理如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且有F'(x)=f(x),则f(x)d x=.常用结论如果f(x)是区间[-a,a](a>0)上的连续的偶函数,则f(x)d x=2f(x)d x;如果f(x)是区间[-a,a](a>0)上的连续的奇函-数,则f(x)d x=0.-题组一常识题1.[教材改编]-d x=.2.[教材改编]sin x d x=.3.[教材改编]已知f(x)d x=8,则f(x)d x+f(x)d x=.4.[教材改编]直线y=x-4、曲线y=及x轴所围成的封闭图形的面积是.题组二常错题◆索引:误解积分变量致错;定积分的值不一定是曲边梯形的面积;弄错原函数的定义域;f(x),g(x)的图像与直线x=a,x=b所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错.5.定积分-(t2+1)d x=.6.曲线y=-x2(x∈[-1,1])与x轴所围成的封闭图形的面积为.7.计算--d x=.8.直线x=0,x=与曲线y=sin x,y=cos x所围成的封闭图形的面积S的定积分表达式是.探究点一定积分的计算例1 (1)已知函数f(x)=∈--∈则-f(x)d x=()A.2+πB.C.-2+D.-2(2)[2018·湖北咸宁重点高中联考]若(e x-2ax)d x=e,则a=.[总结反思](1)计算定积分的常用方法有三种:定义法、几何意义法、微积分基本定理法.(2)使用微积分基本定理的关键是找到一个函数,使该函数的导数等于被积函数.变式题(1)[2018·曲靖一中月考]已知sin(x-φ)d x=,则sin 2φ=()A.B.C.-D.-(2)[2018·莱芜模拟]d x的值为.探究点二利用定积分求曲边梯形的面积例2 (1)[2018·贵阳模拟]若函数f(x)=A sinωx-(A>0,ω>0)的部分图像如图2-16-1所示,则图中阴影部分的面积为()图2-16-1A.B.C.-D.-(2)[2018·江西临川一中月考]已知曲线y=,y=2-x与x轴所围成的封闭图形的面积为S,则S=.[总结反思](1)利用定积分求曲边梯形的面积的基本步骤:画草图,解方程得积分上、下限,把面积表示为已知函数的定积分.(2)注意:两曲线的上、下位置关系,分段表示的面积之间的关系.变式题(1)如图2-16-2所示的阴影部分的面积为()图2-16-2A.4B.2C.D.(2)[2018·安徽江南十校联考]直线l过抛物线E:y2=8x的焦点且与x轴垂直,则直线l与E所围成的封闭图形的面积为()A.13B.C.D.探究点三定积分在物理中的应用例3 两点之间相距112 m,一质点从一点出发,沿直线向另一点做变速直线运动,其速度方程是v=t+1(v 的单位:m/s,t的单位:s).(1)计算该质点在前10 s所走的路程;(2)计算该质点在第5 s到第10 s所经过的路程;(3)计算该质点到达另一点所需要的时间,以及该质点在整个运动过程中的平均速度.[总结反思](1)做变速直线运动的物体在时间段[a,b]内所经过的路程S等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即S=v(t)d t.(2)一物体在变力F=F(x)的作用下,在位移区间[a,b]内所做的功W是函数F=F(x)在区间[a,b]上的定积分,即W=F(x)d x.变式题一物体在变力F(x)=(单位:N)的作用下沿力的正方向运动,求物体从x=8 m处运动到x=18 m处这一过程中,变力对物体所做的功.第16讲定积分与微积分基本定理考试说明 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.【课前双基巩固】知识聚焦1.常数→∞-f(ξi)被积下上2.a b03.k f(x)d x f(x)d x±g(x)d x f(x)d x+f(x)d x4.F(b)-F(a)对点演练1.e2-2ln 2-e[解析]-d x=(e x-2ln x)=e2-2ln 2-e.2.2[解析]sin x d x=-cos x=2.3.8[解析]f(x)d x+f(x)d x=f(x)d x=8.4.[解析]画出图形(图略)可知,所求的面积S=d x+d x-(x-4)d x=+-(x-4)2=.5.3t2+3[解析]-(t2+1)d x=(t2+1)x-=2(t2+1)+(t2+1)=3t2+3.6.[解析]所求面积S=--(-x2)d x=2x2d x=.7.-ln 2[解析]根据--d x的几何意义,可得--d x=-d x=-ln x=-ln 2.本题若做成--d x=ln x--则是错误的.8.S=|sin x-cos x|d x【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)根据定积分的几何意义、定积分的性质、微积分基本定理求解;(2)a是常量,确定原函数,建立关于a的方程求解.(1)D(2)-1[解析](1)-f(x)d x=-sin x d x+-d x,又-sin x d x=-cos x-=-2,-d x的几何意义是以原点为圆心,1为半径的圆的面积的,故-d x=π,∴-f(x)d x=-2,故选D. (2)∵(e x-2ax)d x=(e x-ax2)=e-a-1=e,∴-a-1=0,∴a=-1.变式题(1)B(2)3+ln 2[解析](1)根据微积分基本定理,得sin(x-φ)d x=-cos(x-φ),即-cos-+cos(-φ)=cos φ-sin φ=,两边平方,得1-sin 2φ=,所以sin 2φ=1-=,故选B. (2)d x=(x2+ln x)=4+ln 2-1-0=3+ln 2.例2[思路点拨](1)由图像求出函数解析式,然后利用定积分求得图中阴影部分的面积;(2)先作出草图(可略),确定被积函数与积分区间,再利用定积分求面积.(1)C(2)[解析](1)由图像可知,A=1,=--=,即T=π,所以ω=2,所以f(x)=sin-.所以图中阴影部分的面积S=-sin-d x=cos-=cos--cos-=-=-,故选C.(2)由题意得,曲线y=,y=2-x与x轴所围成的封闭图形的面积S=d x+(2-x)d x=+-=+2-=.变式题(1)B(2)C[解析](1)根据定积分的几何意义可得,阴影部分的面积S=(sin x-cosx)d x=(-cos x-sin x)=2,故选B.(2)由题意得,直线l的方程为x=2,将y2=8x化为y=±2.由定积分的几何意义得,所求面积S=2(2)d x=4d x=4×=4××2=.例3[思路点拨]第(1)(2)问只要根据定积分的物理意义求解即可,第(3)问先求函数v=t+1在[0,x]上的定积分,再求使得这个定积分等于112时的x值,x的值即为质点的运动时间.解:(1)该质点在前10 s所走的路程S1=(t+1)d t=t2+t=60(m).(2)该质点在第5 s到第10 s所经过的路程S2=(t+1)d t=t2+t=42.5(m).(3)设质点到达另一点所需要的时间为x,显然x>0,则根据题意有(t+1)d t=112,即=112,即x2+x=112,即x2+2x=224,得x=14,则该质点到达另一点所需要的时间是14 s,整个运动过程中的平均速度是=8(m/s).变式题解:由题意得,变力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在[8,18]上的定积分,即F(x)d x=-36x-1=(-36×18-1)-(-36×8-1)=(-2)--=.从而可得变力F(x)在这一过程中所做的功为 J.【备选理由】例1考查定积分的计算,特别是需要结合函数的奇偶性与定积分的几何意义进行分析,有一定的综合性;例2考查根据图像求解函数解析式的能力以及分段计算定积分的方法;例3在知识点的交汇处命题,将利用定积分求面积与几何概型结合起来考查.例1[配合例1使用][2019·深圳外国语学校月考]给出下列函数:①f(x)=x sinx;②f(x)=e x+x;③f(x)=ln(-x).存在a>0,使得f(x)d x=0的函数是()-A.①②B.①③C.②③D.①②③[解析]B对于①,f(x)=x sin x是偶函数,当x∈(0,π)时,f(x)>0,当x∈(π,2π)时,f(x)<0,作出f(x)=x sin x 在[0,2π]上的图像,如图所示,设曲线y=x sin x(x∈[0,π])与x轴围成的图形的面积为S1,曲线y=x sin x(x ∈[π,2π])与x轴围成的图形的面积为S2,由图可知S1<S2,则由定积分的几何意义知,存在a∈[π,2π],使得-x sin x d x=2x sin x d x=0;对于②,f(x)=e x+x,则-f(x)d x=-(e x+x)d x=-=e a-e-a>0(a>0),即不存在满足题意的a;对于③,f(x)=ln(-x)是奇函数,所以对于任意a>0,-f(x)d x=0都成立.综上可知,①③中的函数满足题意.故选B.例2[配合例1使用]已知函数y=f(x)的图像为如图所示的折线ABC,则-[(x+1)f(x)]d x=() A.2 B.-2C.1D.-1[解析] D由图易知f(x)=----所以-[(x+1)f(x)]d x=-(x+1)(-x-1)d x+(x+1)(x-1)d x=-(-x2-2x-1)d x+(x2-1)d x=----+-=--=-1,故选D.例3[配合例2使用]在直线x=0,x=1,y=0,y=e+1围成的区域内撒一粒豆子,则豆子落入曲线x=0,y=e+1,y=e x+1围成的区域内的概率为.[答案][解析]由题意,直线x=0,x=1,y=0,y=e+1所围成的区域是一个长为e+1,宽为1的矩形,所以其面积S=1×(e+1)=e+1.由解得所以由曲线x=0,y=e+1,y=e x+1所围成的区域的面积S1=(e+1-e x-1)d x=(e-e x)d x=(e x-e x)=1,故所求概率P==.。
高考数学一轮复习 第15讲定积分与微积分基本定理课件 理 新人教课标A
为_积__分__下__限_____，b 称为_积__分__上__限_____．
第15讲 │知识梳理
2．定积分的几何意义
在区间[a，b]上的连续函数 f(x)，若恒有 f(x)≥0，定积分baf(x)dx
表
示
由
_直__线__x_＝__a_，__x_＝__b_(_a_≠_b_)_，__y_＝__0_和__曲__线__y_＝__f_(x_)_所__围__成__的__曲__边__梯__形__的___ _面__积____________．
0
中 F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到．当被积函数 含有绝对值(或平方根)时，需按绝对值内的正、负号将定积分区 间分段，然后按区间的可加性逐段积分；同样，当被积函数为分 段函数时，也需按函数定义的分段情形相应的逐段积分．
第15讲 │规律总结
3．利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：(1)画出函 数的草图，确定积分变量；(2)求图象的交点，确定积分上、 下限；(3) 将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和；(4)利用 定积分求面积．
第15讲 │要点探究
(2)由a (2x－8)dx＝(x2－8x)|a0＝a2－8a≤0，显然 a≠0，故解集为 0
{a|0<a≤8}．
(3)01f(x)dx＝01(ax2＋1)dx＝
a3x3＋x10＝a3＋1＝2，解得 a＝3.
第15讲 │要点探究
► 探究点2 利用定积分的几何意义求定积分 例 2 求定积分1[ 1－（x－1）2－x]dx 的值．
第15讲 │知识梳理
3．定积分的性质
(1)定积分的线性性质
kbf(x)dx bkf(x)dx＝____a________(k 为常数)；
a
2020年高考课标版高考理科数学 3.3 定积分与微积分基本定理
x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上
积分值的相反数.
3.定积分的性质
(1) bakf(x)dx=k ba f(x)dx; (2) ba [f1(x)±f2(x)]dx= ba f1(x)dx± ba f2(x)dx; (3) baf(x)dx= ca f(x)dx+ bc f(x)dx(其中a<c<b).
的面积是
.
解题导引
解析
由
y
x3
3x,
得交点的坐标分别为(0,0),(2,2),(-2,-2),作出草图如图.
y x
2
可知曲线y=x3-3x和直线y=x围成图形的面积S=2 0[x
(x3
2
3x)]dx=2 0 (4x-
x3)dx=2
2x2
1 4
x4
解析 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故对x积分时,积分上限是1, 下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形
的面积S= 10 (x-x2)dx 同理可知对y积分时,S= 10 ( y -y)dy .
答案 B
方法技巧
方法 利用定积分求图形面积的方法
1,∴a,b,c的大小关系是c<b<a,故选D.
答案 D
考向二 定积分的几何意义
例2 (2018安徽淮南一模,4)求曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的
面积S,正确的是 ( )
A.S= 10 (x2-x)dx C.S= 10 (y2-y)dy
2020高考数学大一轮复习指导课件：2.7 定积分与微积分基本定理
(������)d������
dx
=13x3|10 +
2
1 0
������
(������)d������
������|10
=13+2
1 0
f(x)dx,
∴
1 0
f(x)dx=-13.故选
B.
1
本题求解时应注意将 f(x)dx看作常数,再进一步处理. 0
考点 34
考点 35
考情概览
试题类编
2.(2014·湖北,理
故①为一组正交函数;
| 对于②,
1 -1
(x+1)(x-1)dx=
1 -1
(x2-1)dx=
1 3
������3-������
1 -1
= 13-1-
-
1 3
+
1
=
23-2=-43≠0,
故②不是一组正交函数;
| 对于③,
1 -1
x·x2dx=
1 -1
x3dx=
1 4
������
4
1
=0.
-1
故③为一组正交函数,故选 C.
到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+12+5������(t 的单位:s,v 的单位:m/s)行
驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( C )
A.1+25ln 5
B.8+25ln
11 3
C.4+25ln 5
D.4+50ln 2
解析由于 v(t)=7-3t+12+5������,且汽车停止时速度为 0,
= =
0, 0
或
2020届高三理数一轮讲义：3.3-定积分与微积分基本定理(含答案)
[思维升华] 1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而 与积分变量用什么字母表示无关. 2.错误!f(x)dx、错误!|f(x)|dx 与|错误!f(x)dx|在几何意义上有不同的含义，由于被积函
数 f(x)在闭区间[a，b]上可正可负，也就是它的图象可以在 x 轴上方、也可以在 x 轴下方、还可以在 x 轴的上下两侧，所以 错误!f(x)dx 表示由 x 轴、函数 f(x)的曲线
4 角度 2 利用定积分计算平面图形的面积 【例 2－2】 (一题多解)由抛物线 y2＝2x 与直线 y＝x－4 围成的平面图形的面积 为________.
y2＝2x，
解析 如图所示，解方程组
得两交点为(2，－2)，(8，4).
y＝x－4，
法一 选取横坐标 x 为积分变量，则图中阴影部分的面积 S 可看作两部分面积之 和，即 S＝2错误! 2xdx＋错误!( 2x－x＋4)dx＝18.
角度 1 利用定积分的几何意义计算定积分
【例 2－1】 (1)计算：错误!(2x＋ 1－x2)dx＝________.
(2)若错误! －x2－2x dx＝π，则 m＝________. 4
解析 (1)由定积分的几何意义知，错误! 1－x2 dx 表示以原点为圆心，以 1 为半
| 径的圆的面积的1，所以错误! 1－x2 dx＝π，又 错误!2xdx＝x2
曲边梯形的面积
2.定积分的性质
(1)错误!kf(x)dx＝k错误!f(x)dx(k 为常数).
(2)错误![f1(x)±f2(x)]dx＝错误!f1(x)dx±错误!f2(x)dx.
(3)错误!f(x)dx＝错误!f(x)dx＋错误!f(x)dx(其中 a＜c＜b).
2020年高考数学 考点15 定积分与微积分基本定理必刷题 理(含解析)
【答案】
【解析】
因为 ；
所以 的展开式的通项公式为:
，
令 ，则 ，所以常数项为 。
故答案为 ．
22．直线 与抛物线 围成的封闭图形的面积为______．
【答案】
【解析】
由题意,联立方程组 ，解得 或 ，
所以直线 与抛物线 围成的封闭图形的面积为：
。
23．设 ，则 的展开式中的常数项为_____.（用数字填写）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由题知A(1,1），阴影部分的面积为S
则S= =
故选：A．
6．如图所示，点 ， 是曲线 上一点，向矩形 内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
阴影部分面积为 ，
所以所求概率为 ，选A。
7．已知 ，则多项式 的展开式中 的系数为( )
故选：B．
14．二次函数 的图象如图所示，则定积分 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】
由图象可知，二次函数 的零点为1，2
即方程 的根为1,2坐标原点 作曲线 的切线 ,则曲线 、直线 与 轴所围成的封闭图形的面积为______
【答案】 .
【解析】
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵A（﹣1，﹣1)，B（1，﹣1),C(1，1),D（﹣1，1），
∴正方体的ABCD的面积S＝2×2＝4,
根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积:
S＝2 [1﹣ ］dx＝2（ x3） 2[(1 ）﹣0]＝2 ，
2020年高考理科数学复习课件：3.3 定积分与微积分基本定理
例 3 曲线 A.1-π4
y=sin
xB与.2-π2y=π2x
围成的封闭图形的面积为( B
C.π2
D.2+π2
)
思考怎样求曲线围成的平面图形的面积?
解析:易知 y=sin x 与 y=π2x 均为奇函数,当 x=π2时,sinπ2=1,π2 × π2=1,
故已知的两曲线在第一象限的交点坐标为
π 2
,1
代数和,其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在 x 轴下方
的面积等于该区间上积分值的相反数.
学科素养·微专题
-4-
知识梳理 考点自诊
3.定积分的性质
(1) (2) (3)
������ ������ ������ ������ ������ ������
kf(x)dx=
k
������ ������
(√ )
(4)若
������ ������
f(x)dx<0,则由
y=f(x),x=a,x=b
以及
x
轴所围成的图形一
定在 x 轴下方.
(× )
(5)已知质点移动的速度 v=10t,则质点从 t=0 到 t=t0 所经过的路
程是
������0 0
10tdt=5������02.
(√ )
知识梳理 考点自诊
(=2()-cπos0(xs)i|πn0x--scinosxx|π)0d=x=2. π 0sin xdx- π 0cos xdx
12 1������ (3)
2 1
e2������
+
1 ������
dx=
2 1
e2xdx+
dx=12e2x|12+ln x|12
2020版高考数学定积分与微积分基本定理课件理北师大版
π
D.2+2
π
思考怎样求曲线围成的平面图形的面积?
-17考点1
考点2
考点3
考点4
解析:易知 y=sin x 与 y=π x 均为奇函数,当 x=2 时,sin 2 =1,π × 2 =1,故已 知的两曲线在第一象限的交点坐标为
π π 2
2
π
π
2
π
,1 ,根据对称性,已知的两
π 2
曲线在第三象限的交点坐标为 - 2 ,-1 , 故两曲线所围成的封闭图形的面积为 2 =2 -cos������π 4 ������ 2 π
1 0
1 1 2 1-������ dx=4π,∴ -π
f(x)dx=4 -2,故选 D.
π
-16考点1
考点2
考点3
考点4
利用定积分求图形面积(多考向) 考向1 求曲线围成的平面图形的面积
例 3 曲线 y=sin x 与 y= x 围成的封闭图形的面积为( B ) π A.1-4
π
2
B.2-2
π
C.2
������ ������ ������ f(x)dx; ������ ������
������ ������
;
f(x)dx
;
������ ������
f(x)dx-
������ ������
g(x)dx=
[f(x)-g(x)]dx.
-6知识梳理
考点自诊
1. 判断下列结论是否正确, 正确的画“√”, 错误的画“×”.
3.(2018河南六市联考一,4)汽车以v=(3t+2)m/s作变速运动时,在第1 s至2 s之间的1 s内经过的路程是 ( D )
专题17 定积分与微积分基本定理-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用) Word版含解析
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题17定积分与微积分基本定理最新考纲1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.基础知识融会贯通1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.重点难点突破【题型一】定积分的计算【典型例题】函数为奇函数，则（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：由于函数为奇函数，则，得a＝1，因此，．故选：D．【再练一题】计算（cos x+e x）dx为（）A．e B．e 2 C．e D．e【解答】解：（cos x+e x）dx＝（sin x+e x）（）﹣（sin0+e0）＝11．故选：A．思维升华运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．【题型二】定积分的几何意义命题点1利用定积分的几何意义计算定积分【典型例题】（π）dx＝．【解答】解：依题意，（π）dx（）dx（﹣π）dx（）dx﹣πx|（）dx﹣4π．而（）dx的几何意义为圆x2+y2＝4（y≥0）在x轴上方的面积，所以（）dx﹣4π4π＝﹣2π．故填：﹣2π．【再练一题】，则T的值为（）A．B．C．﹣1 D．1【解答】解：根据题意，M dx的几何意义为半径为1的圆的的面积，则M dx，则T sin2xdx cos2x；故选：A．命题点2求平面图形的面积【典型例题】由直线与曲线y＝sin x所围成封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：作出对应的图象，则封闭区域的面积S＝﹣∫sin xdx+∫sin xdx﹣∫sin xdx＝﹣（﹣cos x）|（﹣cos x）|（﹣cos x）|＝cos0﹣cos（）﹣cosπ+cos0+cos cosπ＝11+11＝4，故选：B．【再练一题】如图是函数y＝x与函数在第一象限的图象，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由，得两函数的交点为（0，0），（1，1）．所以阴影部分的面积S（）|．故选：A．思维升华(1)根据定积分的几何意义可计算定积分．(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．【题型三】定积分在物理中的应用【典型例题】汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m【解答】解：根据题意，汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S（3t+1）dt＝（t） 5.5；故选：C．【再练一题】一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J【解答】解：由于F（x）与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F•cos30°，W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx∫12（5﹣x2）dx（5x x3）|12故选：C ．思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .基础知识训练1．【吉林省白城市通榆县第一中学2018-2019学年高二下学期第三次月考（期中)】已知函数，则（ ）A ．16B ．8C ．2cos2D ．2cos2-【答案】A 【解析】，故选：A2．【河南省焦作市2018-2019学年高二下学期期中考试】已知图中的三条曲线所对应的函数分别为，2y x =，314y x =，则阴影部分的面积为（ ）A ．1ln2+B ．ln 2C ．1D ．2【答案】B 【解析】由1y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩得1x =；由14y xx y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2x =. 阴影部分的面积.故选：B3．【河南省豫南六市2018-2019学年高二下学期期中测试】已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数，若()f x 在xa 处取得极大值，则a 的取值范围是（ ）A ．1a <B ．10a -<<C ．1a >或0a <D ．01a <<或0a <【答案】C 【解析】，即1m =则当0a =或1a =时，()f x 不存在极值，不合题意 当0a <时或时，()0f x '<，此时()f x 单调递减时，()0f x '>，此时()f x 单调递增则()f x 在x a 处取得极大值，满足题意当01a <<时或时，()0f x '>，此时()f x 单调递增时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在x a 处取得极小值，不满足题意当1a >时或()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增 时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在xa 处取得极大值，满足题意综上所述：1a >或0a <4．【辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试】下列积分值最大的是（ ） A ．B ．C ．D ．11edx x【答案】 A 【解析】 A ：，函数y=2sin x x 为奇函数，故，，B:，C:表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的14，故，D:，通过比较可知选项A 的积分值最大， 故选：A5．【福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019学年高二下学期期中考试】由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( )A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22【答案】B 【解析】由题意，联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x =， 所以曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为 ，故选B ．6．【湖南省醴陵市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】如图所示,在边长为1的正方形OABC 内任取一点P,用M 表示事件“点P 恰好取自曲线2y x =与直线1y =及y 轴所围成的曲边梯形内”,N 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”,则P(N | M)等于( )A ．14B ．15C ．16D ．71 【答案】A 【解析】根据条件概率的公式得到()P MN 表示落在阴影部分的概率，故答案为：A.7．【福建省福州市2018-2019学年高二下学期期中联考】设1d a x x =⎰，，12d c x x =⎰，则,,a b c 的大小关系A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C 【解析】 ∵，由定积分的几何意义可知，表示单位圆在第一象限部分与x 轴、y 轴所围成的封闭曲线的面积，等于4π， ，∴b a c >>，故选C.8．【广东省佛山市第二中学2018-2019学年第二学期第三次月考高二级】已知，则22()d f x x -⎰的值为（ ）A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．不确定【答案】A 【解析】由题意，.故选A9．【云南省昭通市云天化中学2018-2019学年高二下学期5月月考】射线与曲线3y x =所围成的图形的面积为（ ） A ．2 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】将射线方程与曲线方程联立34y xy x=⎧⎨=⎩，解得：1100x y =⎧⎨=⎩，2228x y =⎧⎨=⎩ 即射线与曲线3y x =有两个公共点所围成的图形的面积为本题正确选项：B10．【吉林省长春市九台区师范高中、实验高中2018-2019学年高二下学期期中考试】（ ）A ．πB ．2πC ．2D ．1【答案】A 【解析】 因为定积分表示直线与曲线24y x =-围成的图像面积，又24y x =-表示圆224x y +=的一半，其中0y ≥；因此定积分表示圆224x y +=的14，其中，故.故选A11．【福建省厦门第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】已知区域，区域，在Ω内随机投掷一点M，则点M落在区域A内的概率是（）A．1112e⎛⎫-⎪⎝⎭B．1114e⎛⎫-⎪⎝⎭C．1118e⎛⎫-⎪⎝⎭D．11e-【答案】B【解析】由题意，对应区域为正方形区域，其面积为224S==；对应区域如下图阴影部分所示：其面积为，所以点M落在区域A内的概率是.故选B12．【湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，当时，由可得；所以，又，所以在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为.故选B13．【福建省晋江市南侨中学2018-2019学年高二下学期第二次月考】若是偶函数，则______．【答案】【解析】由题意，函数是偶函数，则，即，所以，又由定积分的几何意义可知，积分，表示所表示的半径为2的半圆的面积，即，所以，故答案为：．14．【广西南宁市第三中学、柳州市高级中学2018-2019学年高二下学期联考（第三次月考)】二项式的展开式中，第三项系数为2，则11adx x=⎰_______ 【答案】ln 2 【解析】展开式的通项为，第三项系数为，因为0a >，所以2a =，，故答案为ln 2.15．【新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高二下学期期中考试】__________．【答案】8π 【解析】 由题表示的几何意义为：以（0,0）为圆心，4为半径的圆在第一第二象限的面积，所以=，440xdx -=⎰所以故答案为8π16．【福建省泉州市泉港区第一中学2018-2019学年高二下学期期中考】如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为_________.【答案】14【解析】由图象可知，直线OB 方程为：y x = 则阴影部分面积为：∴所求概率本题正确结果：1417．【云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试】定积分______. 【答案】2 【解析】.18．【四川省树德中学2018-2019学年高二5月阶段性测试】定积分__________．【答案】2π+ 【解析】 因为表示圆224x y +=面积的14，所以；又，所以.故答案为2π+19．【安徽省六安市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次段考】二项式的展开式的第四项的系数为-40，则21ax dx -⎰的值为__________．【答案】3 【解析】二项式（ax ﹣1）5 的通项公式为： T r +15rC =•（ax ）5﹣r •（﹣1）r ， 故第四项为35C -•（ax ）2＝﹣10a 2x 2， 令﹣10a 2＝﹣40， 解得a ＝±2， 又a ＞0， 所以a ＝2． 则故答案为：3．20．【辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试】曲线22y x =-与曲线y x =所围成的区域的面积为__________. 【答案】92【解析】由曲线y ＝x 与y ＝2-x 2，得2-x 2=x ，解得x ＝-2或x ＝1， 则根据积分的几何意义可知所求的几何面积（2x-231123x x -）1-2| ＝=78+4+2-63= 92； 故答案为：92．能力提升训练1．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】如图，在正方形OABC 内任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分内的概率为（ ）A ．14 B ．13 C ．25D ．37【答案】B 【解析】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），由定积分的定义可得：S 阴1=⎰（1x -）dx ＝（x 3223x -）101|3=，设“点M 恰好取自阴影部分内”为事件A ， 由几何概型中的面积型可得：P （A ），故选：B ．2．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟】如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )A ．e3B ．43e- C ．33e- D ．13e - 【答案】B 【解析】由题意，阴影部分的面积为，又矩形OABC 的面积为=3OABC S 矩形，所以在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为.故选B3．【江西省新八校2019届高三第二次联考】如图，在半径为π的圆内，有一条以圆心为中心，以2π为周期的曲线，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．1πB ．21πC ．22πD ．无法确定【答案】B【解析】由题意知：圆的面积为：周期为2π可得：22ππω= 1ω∴=设圆的圆心为：(),0πϕπ⇒=∴曲线为：∴阴影部分面积∴所求概率本题正确选项：B4．【河南省开封市2019届高三第三次模拟】如图，在矩形中的曲线是的一部分，点，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】阴影部分面积为矩形的面积为则此点落在阴影部分的概率故选B。
2020年高三年级数学一轮复习(知识点归纳和总结)-定积分和微积分的基本定理
2020年高三年级数学一轮复习(知识点归纳和总结)-定积分和微积分的基本定理考 什么怎 么 考1.了解定积分的实际背景；了解定积分的基本思想；了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．如2012年江西T11等．3.考查曲边梯形面积的求解．如2012年湖北T3；山东T15；上海T13等．4.与几何概型相结合考查．如2012年福建T6等.[归纳·知识整合]1．定积分(1)定积分的相关概念；a[分别叫做积分下限与积分上限；区间b ；a 中；x )d x (f b ；a∫在叫做被积式．x )d x (f 叫做积分变量；x 叫做被积函数；)x (f 叫做积分区间；]b (2)定积分的几何意义b ；a∫上恒为正时；定积分]b ；a[)在区间x (f 当函数①f (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ；x ＝b (a ≠b )；y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．b ；a∫一般情况下；定积分②f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a ；x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)；其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值；在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质.x )d x (f b ；a ∫k ＝x )d x (kf b ；a ∫① .x )d x (2f b ；a ∫±x )d x (1f b ；a ∫＝x )]d x (2f )±x (1f [b ；a ∫② .x )d x (f b ；c ∫＋x )d x (f c ；a ∫＝x )d x (f b ；a ∫③ 是否相等？t )d t (f b ；a ∫与x )d x (f b ；a ∫；则t 1.若积分变量为 ]探究[ 提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的；反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的；而导函数的原函数则有无穷多个；这些原函数之间都相差一个常数；在利用微积分基本定理求定积分时；只要找到被积函数的一个原函数即可；并且一般使用不含常数的原函数；这样有利于计算．))的几何意义是什么？x (g )>x (f (x d )]x (g －)x (f [b ；a ∫3．定积分 提示：由直线x ＝a ；x ＝b 和曲线y ＝f (x )；y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理b ；a∫)；那么x (f )＝x (′F 上的连续函数；并且]b ；a[)是区间x (f 如果莱布尼兹公式．—；这个结论叫做微积分基本定理；又叫做牛顿)a (F )－b (F ＝x )d x (f ；即b ；a |)x (F )记成a (F )－b (F 为了方便；常把 ∫b ；a )．a (F )－b (F ＝b ；a |)x (F ＝x )d x (f [自测·牛刀小试])等于(x d 错误!4；2∫1. A ．2ln 2B ．－2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2 ＝ln 4－ln 2＝ln 2.错误!错误!x ＝ln x d 错误!4；2∫ D 选解析： 2．(教材习题改[1则此物体在时间＋2；质点作直线运动；t －2t )＝t (V 一质点运动时速度和时间的关系为)编；2]内的位移为( )错误!A. 错误!B.错误!C.错误!D. .错误!＝错误!错误!＝t ＋2)d t －2t (2；1∫＝S A 选解析： 3．(教材习题改所围成的曲边梯形的面积为________．2x ＝y ＝0与曲线y ＝2；x ＝0；x 直线)编 .错误!＝错误!错误!3x 错误!＝x d 2x 2；0∫解析： 错误!答案： ＝________.x d 1－x21；0∫)教材改编题(4．1－x21；0∫由定积分的几何意义可知；解析：＝1在第一象限内部分的面积；所以2y ＋2x 表示单位圆x d ∫1；01－x2π.错误!＝x d π错误!答案： __．所围成的封闭图形的面积为______错误!＋x ＝－y ；直线错误!＝y 5．由曲线 解析：作出图象如图所示．解方程组可得交点为A 错误!；B 错误!；所以阴影部分的面积；212⎰错误!错误!d x ＝错误!212＝错误!－2ln 2.答案：错误!－2ln 2利用微积分基本定理求定积分[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分： (1)∫2；1(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π；0(sin x －cos x )d x ； (3)∫2；0x (x ＋1)d x ；(4)∫2；1错误!d x ； (5)20π⎰sin 2错误!d x .[自主解答] (1)∫2；1(x 2＋2x ＋1)d x ＝∫2；1x 2d x ＋∫2；12x d x ＋∫2；11d x ＝错误!|；；；2；1＋x 2 |；；；2；1＋x |；；；2；1＝错误!.(2)∫π；0(sin x －cos x )d x ＝∫π；0sin x d x －∫π；0cos x d x＝(－cos x ) |；；；π；0－sin x |；；；π；0＝2. (3)∫2；0x (x ＋1)d x ＝∫2；0(x 2＋x )d x＝∫2；0x 2d x ＋∫2；0x d x ＝错误!x 3错误!错误!＋错误!x 2错误!错误! ＝错误!＋错误!＝错误!.(4)∫2；1错误!d x ＝错误!错误!e 2x d x ＋错误!错误!错误!d x＝错误!e 2x 错误!错误!＋ln x 错误!错误!＝错误!e 4－错误!e 2＋ln 2－ln 1 ＝错误!e 4－错误!e 2＋ln 2.(5)20π⎰ sin 2 错误!d x ＝20π⎰错误!d x ＝20π⎰错误!d x －错误!20π⎰cos x d x＝错误!x 20π－错误!sin x20π＝错误!－错误!＝错误!.———————————————————求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分；解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．1．求下列定积分： ；x －1|d x |2；0∫(1) .x d 1－sin 2x 20π⎰(2) {1－x ； x∈[0；1；x －1； x∈[1；2]＝1|－x (1)|解： x－1)d x (2；1∫＋x )d x (1－1；0∫＝x －1|d x |2；0∫故 错误!错误!错误!＋错误!错误!错误!＝ ＝1.错误!＋错误!＝ xd 1－sin 2x 20π⎰(2)x)d x cos －x (sin 24ππ⎰＋x )d x －sin x (cos 40π⎰＝x |d x －cos x |sin 20π⎰＝24ππ)x －sin x ＋(－cos 40π)x ＋cos x ＝(sin －2.2)＝22－1＋(－1＋2＝利用定积分的几何意义求定积分[例2] ∫1；0－x2＋2x d x ＝________. [自主解答]∫1；0－x2＋2xd x 表示y ＝－x2＋2x与x ＝0；x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x2＋2x 得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)； 又∵0≤x ≤1；∴y ＝－x2＋2x 与x ＝0；x ＝1及y ＝0所围成的图形为错误!个圆；其面积为错误!. ∴∫1；0－x2＋2x d x ＝错误!.在本例中；改变积分上限；求∫2；0－x2＋2x d x 的值． 解：∫2；0－x2＋2xd x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积；即半圆的面积；所以∫2；0－x2＋2x d x ＝错误!.——————————————————— 利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂；定积分很难直接求出时；可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义；可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．－sint (cosx ；0∫)＝x (f 已知函数)福建模拟(2013·2．t )d t (x >0)；则f (x )的最大值为________． td 错误!sin 2x ；0∫＝)x (f 因为解析： 错误!cos 错误!－错误!cos 错误!＝错误!错误!错误!cos 2＝ －1；错误!≤－1错误!sin 2－1＝x ＋cos x ＝sin ＝1时；等号成立．错误!当且仅当sin －12答案：利用定积分求平面图形的面积[例3] (2012·山东高考)由曲线y ＝x ；直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.错误! B ．4 C.错误!D ．6[自主解答] 由y ＝x 及y ＝x －2可得；x ＝4；即两曲线交于点(4；2)．由定积分的几何意义可知；由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫4；0(x －x ＋2)d x ＝错误!错误!错误!＝错误!.[答案] C若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”；将“y轴”改为“x轴”；如何求解？解：如图所示；由y＝x及y＝－x＋2可得x＝1.由定积分的几何意义可知；由y＝x；y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为∫2；0f(x)d x＝∫1；0x d x＋∫2；1(－x＋2)d x＝错误!x 32错误!错误!＋错误!错误!错误!＝错误!.———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形；确定被积函数；求出交点坐标；确定积分的上、下限．(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分；写出答案．3．(2013·郑州模拟)如图；曲线y＝x2和直线x＝0；x＝1；y＝错误!所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：选D由错误!⇒x＝错误!或x＝－错误!(舍)；所以阴影部分面积S＝12⎰错误!d x＋112⎰错误!d x＝错误!12＋错误!112＝错误!.定积分在物理中的应用[例4]列车以72 km/h的速度行驶；当制动时列车获得加速度a＝－0.4 m/s2；问列车应在进站前多长时间；以及离车站多远处开始制动？[自主解答]a＝－0.4 m/s2；v0＝72 km/h＝20 m/s.设t s后的速度为v；则v＝20－0.4t.令v＝0；即20－0.4 t＝0得t＝50 (s)．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s；则s＝∫50；0v d t＝∫50；0(20－0.4t)d t；；；50；0＝(20t－0.2t2)|＝20×50－0.2×502＝500(m)；即列车应在进站前50 s和进站前500 m处开始制动．———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)；那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为∫b；a v(t)d t；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)；那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－∫b；a v(t)d t.2．变力做功问题物体在变力F(x)的作用下；沿与力F(x)相同方向从x＝a到x＝b所做的功为∫b；a F(x)d x.4．一物体在力F(x)＝{10 0≤x≤2；3x＋4 x>2 (单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米；力F(x)做功为( ) A．44 J B．46 JC．48 J D．50 J解析：选B力F(x)做功为∫2；010d x＋∫4；2(3x＋4)d x；；；2；0＋错误!错误!＝10x|＝20＋26＝46.1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数；由此可知；求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数；则必须分清谁是积分变量；(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；(3)面积非负； 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ；其中A (0；0)；B轴围成的图形的面积为________．x 1)的图象与≤x ≤)(0x (xf ＝y (1；0)．函数C ；错误! [解析] 由题意可得错误!＝)x (f 错误!＝)x (xf ＝y 所以 错误!＝x )d 2x 10－x (10未找到引用源。
最新高考数学(理)一轮复习讲义 定积分与微积分基本定理
2
1
＝3×4＋4－
3＋2 2
＝10－7＝13(m)．
2
22
答案：13 2
一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则 错误!f(x)dx＝错误!f(t)dt.( )
(2)若 f(x)是偶函数，则 错误!f(x)dx＝2错误!f(x)dx.( )
解析：错误!(t2＋1)dx＝(t2＋1)x|2－1
＝2(t2＋1)＋(t2＋1)＝3t2＋3. 答案：3t2＋3 2.错误!错误! 2－x2dx 表示以原点为圆心， 2为半径的1圆的面积，故 错误! 2－x2dx＝1π
4
4
×( 2)2＝π. 2
答案：π 2
3．如图，函数 y＝－x2＋2x＋1 与 y＝1 相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该
a
a
常用结论
1．定积分应用的常用结论 当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的 值为负；当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为 零．
2．若函数 f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 (1)若 f(x)为偶函数，则 错误!f(x)dx＝2错误!f(x)dx.
(2)若 f(x)为奇函数，则 错误!f(x)dx＝0.
二、习题改编
x2，x≥0，
1．(选修 22P66T14 改编)设 f(x)＝
则 错误!f(x)dx 的值是( )
2x，x<0，
A.错误!x2dx
B．错误!2xdx
C.错误!x2dx＋错误!2xdx
D．错误!2xdx＋错误!x2dx
解析：选 D.由分段函数的定义及定积分运算性质， 得 错误!f(x)dx＝错误!2xdx＋错误!x2dx.故选 D.
2020届理科数学3.3定积分与微积分基本定理(复习设计)
3.3定积分与微积分基本定理（复习设计）【知识梳理】 1．定积分的概念在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．概念方法微思考ʃb a f (x )d x 是否总等于曲线f (x )和直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的曲边梯形的面积？提示 不是．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≥0时，定积分ʃb a f (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则ʃb a f (x )d x ＝ʃb a f (t )d t .( √ )(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0.( √ )(3)若ʃb a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( × )(4)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )题组二 教材改编 2．[P66A 组T14]ʃe ＋121x －1d x ＝________. 答案 1 解析 ʃe ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1. 3．[P55A 组T1]ʃ0－11－x 2d x ＝________. 答案 π4解析 ʃ0－11－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝－1，y ＝0以及曲线y ＝1－x 2所围成的图形的面积， ∴ʃ0－11－x 2d x ＝π4.4．[P60A 组T6]汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是______ m. 答案132解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t 21＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 题组三 易错自纠5.如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43 C. 3 D ．2答案 B解析 所求面积＝ʃ20(－x 2＋2x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 220＝－83＋4＝43. 6.一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为____ m.答案494解析 由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得 s ＝611122()d 2d t t t t ⎰⎰＝＋v ʃ312d t ＋ʃ63⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝⎪⎪⎪t 2|112＋2t |31＋⎝⎛⎭⎫16t 2＋t 63＝494(m)． 所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494 m.7．sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝________. 答案 2解析 由题意得⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝π2⎰(sin x ＋cos x )d x ＝(sin x －cos x )π20|＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2. 题型一 定积分的计算利用微积分基本定理求下列定积分：(1)ʃ21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)ʃπ0(sin x －cos x )d x ； (3)ʃ20|1－x |d x ；(4)ʃ21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (5)ʃ1－1e |x |d x ；(6)若ʃ10(x 2＋mx )d x ＝0，求m .解 (1)ʃ21(x 2＋2x ＋1)d x ＝ʃ21x 2d x ＋ʃ212x d x ＋ʃ211d x＝⎪⎪x 3321＋x 2|21＋x |21＝193. (2)ʃπ0(sin x －cos x )d x ＝ʃπ0sin x d x －ʃπ0cos x d x ＝ | |(－cos x )π0－sin x π0＝2.(3)ʃ20|1－x |d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －12x 210＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－12－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－2－⎝⎛⎭⎫12×12－1＝1. (4)ʃ21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝ʃ21e 2x d x ＋ʃ211xd x ＝⎪⎪⎪⎪12e 2x 21＋ln x 21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (5)ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －x d x ＋ʃ10e x d x＝ | |－e－x0－1＋e x 1＝－1＋e ＋e －1＝2e －2.(6)∵ʃ10(x 2＋mx )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33＋m 2x 21＝13＋m 2＝0，∴m ＝－23.思维升华 计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分变形为求被积分函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例1 设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1)，x 2－1，x ∈[1，2]，则ʃ2－1f (x )d x 的值为________．答案 π2＋43解析 根据定积分性质可得ʃ2－1f (x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ，根据定积分的几何意义可知，ʃ1－11－x 2d x 是以原点为圆心，以1为半径的圆面积的12，∴ʃ1－11－x 2d x ＝π2， ∴ʃ2－1f (x )d x ＝π2＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 21＝π2＋43. 命题点2 求平面图形的面积例2 (1)曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1，x ＝1所围成的封闭图形的面积为________．答案 2ln 2－12解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，则曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1，x ＝1所围成的封闭图形如图所示，所求的面积S ＝ʃ21⎝⎛⎭⎫2x －x ＋1d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫2ln x －12x 2＋x 21 ＝(2ln 2－2＋2)－⎝⎛⎭⎫0－12＋1＝2ln 2－12.(2)曲线y ＝14x 2和曲线在点(2,1)处的切线以及x 轴围成的封闭图形的面积为________．答案 16解析 设曲线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线为l ，∵y ′＝12x ，∴直线l 的斜率k ＝y ′|x ＝2＝1，∴直线l 的方程为y －1＝x －2，即y ＝x －1. 当y ＝0时，x －1＝0，即x ＝1， 所围成的封闭图形如图所示，∴所求面积S ＝ʃ2014x 2d x －12×1×1 ＝⎪⎪112x 320－12＝16.思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分． (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．跟踪训练1 (1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为________．答案9π4解析 由定积分的几何意义知，ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积．故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝9π4.(2)(2018·郑州模拟)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________． 答案 23－2π3解析 令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝5π6π6⎰(2sin x －1)d x＝(－2cos x －x)5π6π62π|.3=-题型三 定积分在物理中的应用例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离是________ m. 答案 4＋25ln 5解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t)d t ＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m)． 思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃbaF (x )d x .跟踪训练2 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 J C.433 J D ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫5x －13x 3×3221＝433， 所以F (x )做的功为43 3 J.【课时作业】1．ʃ10(1－x )d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C.12 D ．－12答案 C解析 ʃ10(1－x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －12x 210＝12. 2．ʃ2π0|sin x |d x 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 D解析 ʃ2π0|sin x |d x ＝2ʃπ0sin x d x ＝2(－cos x )|π0＝2×(1＋1)＝4. 3．(2018·东莞质检)ʃ1－1(1－x 2＋x )d x 等于( )A ．π B.π2 C ．π＋1 D ．π－1答案 B解析 ʃ1－1(1－x 2＋x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1x d x ＝⎪⎪π2＋12x 21－1＝π2. 故选B.4．(2018·大连双基测试)π2⎰sin 2x2d x 等于( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14 D.π2－1 答案 B 解析π2⎰sin 2x2d x ＝π2⎰1－cos x2d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x π20|＝π4－12. 5．(2018·大连调研)若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6答案 A解析 由题意知ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1 ＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2(舍负)．6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65 D.76答案 A解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃe 1f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝⎪⎪13x 310＋ln x |e1＝13＋1＝43.故选A. 7．设a ＝ʃ10cos x d x ，b ＝ʃ10sin x d x ，则下列关系式成立的是( )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝1答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴a ＝ʃ10cos x d x ＝sin x |10＝sin 1.∵(－cos x )′＝sin x ，∴b ＝ʃ10sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos 1.∵sin 1＋cos 1>1，∴sin 1>1－cos 1，即a >b .故选A.8.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC ，则ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x 等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案 D解析 由题图易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ≤0，x －1，0<x ≤1，所以ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x ＝ʃ0－1(x ＋1)(－x －1)d x ＋ʃ10(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ0－1(－x 2－2x －1)d x ＋ʃ10(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3－x 2－x 0－1＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 10＝－13－23 ＝－1，故选D.9．ʃ21⎝⎛⎭⎫1x ＋2x d x ＝________. 答案 ln 2＋2ln 2 解析 ʃ21⎝⎛⎭⎫1x ＋2x d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫ln x ＋2x ln 221＝ln 2＋4ln 2－2ln 2＝ln 2＋2ln 2.10．(2018·太原调研)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________．答案3 解析 所求面积S ＝π3π3-⎰cos x d x ＝sin x π3π3|-＝sin π3－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝ 3. 11．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 答案 49解析 封闭图形如图所示，则ʃa 0x d x=2332x |a 0＝2332a －0＝a 2，解得a ＝49. 12．(2018·郑州模拟)设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若ʃ30f (x )d x ＝3f (x 0)，x 0>0，则x 0＝________.答案 3解析 ∵f (x )＝ax 2＋b ，ʃ30f (x )d x ＝3f (x 0)，∴ʃ30(ax 2＋b )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋bx 30＝9a ＋3b ，则9a ＋3b ＝3ax 20＋3b ，∴x 20＝3，x 0>0，∴x 0＝ 3.。
2020届高三数学一轮复习基础导航 4.3定积分及微积分基本原理
4.3定积分及微积分基本原理【考纲要求】1、了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2、了解微积分基本定理的含义. 【基础知识】1、曲边梯形的定义我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形。
2、曲边梯形的面积的求法分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限 3、定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式： 11()()nnn i i i i b aS f x x f nξ==-=∆=∑∑如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰，其中⎰是积分号，b 是积分上限，a 是积分下限，()f x 是被积函数，x 是积分变量，[,]a b 是积分区间，()f x dx 是被积式。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 4．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1()()()bbaakf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数（定积分的线性性质）；性质21212[()()]()()bb ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）；性质3()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）5．定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积。
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[a，b]叫做积分区间， _____f(_x_)_____叫做被积函数， ______x______叫Байду номын сангаас做积分变量， _____f(_x_)_d_x___叫做被积式．
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(2)定积分的几何意义
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f(x) f(x)≥0
解析：原式＝
1
x2dx＋
1
－1
－1
1－x2
dx＝
1 3
x3
1 －1
＋
1
－1
1－x2
dx＝
2 3
＋
1
1－x2
dx，
1
1－x2
dx等于半径为1的圆面积的
1 2
，即
1
1－x2 dx
－1
－1
－1
＝π2 ，故原式＝π2 ＋23.
正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的 曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．
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(3)定积分的三个性质
①abkf(x)dx＝___k_ab_f_(x_)b_df_1x(_x_)_d(xk±为常bf2数(x))d；x
－1
－1
0
0
0
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3．(知识点2)e＋1x－1 1dx＝________． ⇐ 源自选修2－2P66A组T14 3
解析：3e＋1x－1 1dx＝ln(x－1)e3＋1＝ln e－ln 2＝1－ln 2. 答案：1－ln 2
bf(x)dx的几何意义
a
表示由直线___x_＝__a______， ___x_＝__b______， ____y_＝__0_____及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形
的面积
f(x)＜0
表示由直线____x_＝__a_____， ____x_＝__b_____， ____y_＝__0_____及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形
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2．(知识点2)定积分1 |x|dx＝( A ) ⇐ 源自选修2－2P50A组T5 －1
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选A.1 |x|dx＝0 (－x)dx＋1xdx＝21xdx＝x21＝1.
知识点2 微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那 么 b f(x)dx＝_F__(b_)_－__F_(_a_)__，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛
a
顿－莱布尼茨公式．
b
通常记作bf(x)dx＝F(x) ＝F(b)－F(a)．
a
a
(2)若 b f(x)dx＜0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图 a
形一定在x轴下方．( × )
(3)若f(x)是偶函数，则a f(x)dx＝2af(x)dx.( √ )
－a
0
(4)若f(x)是奇函数，则a f(x)dx＝0.( √ ) －a
的面积的相反数
f(x)在[a，b]上 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x
有正有负
轴下方的曲边梯形的面积
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思考：定积分 b f(x)dx一定等于由x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x) a
所围成的曲边梯形的面积吗？为什么？ 提示：不一定．因为当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为
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第五节 定积分与微积分基本定理
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教材细梳理 知识点1 定积分的有关概念，几何意义及性质 (1)定积分的相关概念 在bf(x)dx中， ____a_，__b_____分别叫做积分下限与积分上限，区间
②b[f1(x)±f2(x)]dx＝__a _________a_；
a
cf(x)dx＋bf(x)dx
③bf(x)dx＝_a_________c __(其中a＜c＜b)．
a
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π
∴0
1－x2dx＝ 4 .
－1
答案：π4
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考点一 定积分的计算[基础练通]
1．(2018·德州二模)π (sin x－cos x)dx＝________． 0
解析：π(sin x－cos x)dx＝πsin xdx－πcos xdx
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4．(知识点1)0 1－x2dx＝________． ⇐ 源自选修2－2P55A组T1 －1
解析：
0
1－x2 dx表示由直线x＝0，x＝－1，y＝0以及曲线y＝
－1
1－x2所围成的图形的面积，
0
0
0
＝(－cos x)π0 －(sin x)π0 ＝－(－1)＋1＝2.
答案：2
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2．(2018·江西九江调研)1 (x2＋ 1－x2 )dx＝________． －1
a
a
如果F′(x)＝f(x)，那么称F(x)是f(x)的一个___原__函__数_____．
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四基精演练
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则bf(x)dx＝bf(t)dt.( √ )