第十章_平面图

此研究图的平面性时，不考虑重边和环。
14
定义： 设G 是一个平面图，G 将所嵌入的
平面划分为若干个区域，每个区域的内部连同边
界称为 G 的面，无界的区域称为外部面或无限面。 每个平面图有且仅有一个外部面。设 f 是 G 的一 个面，构成 f 的边界的边数（割边计算两次）称 为 f 的次数，记为 deg(f )。
问题的解答
4
五宫修路问题
相传古代有一位独裁者，临死时留有遗嘱，把 土地分给他的五个儿子，这五个儿子在自己的领地
上各修筑了一座宫殿，他们还企图修一些道路，使
得每两座宫殿之间有一条道路直接相通，又要求道 路不能交叉。结果，这五个愚蠢的王子煞费苦心， 终告失败。 1930年，波兰数学家Kuratowski给出平面图
f1
（2）
29
欧拉公式(续)
欧拉公式的推广 设G是有 k (k2) 个连通分支的平面图, 则 pq+f=k+1 证明：设第 i 个连通分支有 pi个顶点, qi 条边和 fi 个 面. 对各连通分支用欧拉公式, pi qi + fi = 2, i = 1, 2, … , k 求和并注意 f = f1+…+fp- (k1), 即得 p q + f +(k1) = 2k p q + f =k+1
有p个顶点,q-1条边和f-1个面. 由归纳假设,
p- （q-1）+（f-1）=2, 即p-q+f=2,得证. 证毕.
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去掉的这条边需要考虑是两个内部面的边界还是 一个内部面和一个外部面的边界，无论哪种情况， 面的个数和边的个数都各减少1，顶点个数不变， 假设仍成立。 f3 f1 f3 f2
（1）
39
定理9 设G是简单平面图，有p(p≥3)个顶点，q条边，则 q≤3p-6 证明:设G有k (k≥1)个连通分支。 若G为树或森林，根据定理， q=p-k≤p=p+6-6=p+3+3-6≤p+p+p-6=3p–6。
若 G 不是树，也不是森林，则 G 中必含有圈。又因为 G
是简单平面图，所以其中的圈的长度均大于等于3，因 而各面次数l≥3，又
2q 2q pm 2q, cf 2q p ,f , m 3, c 3 m c
34
2mc 2q 2q p ,f , q 2c mc 2m m c
6c 6c m 3, q , c 3, 4,5 2c 3c 6 6 c 6c 2q 2q m 3, c 3, q 6, p 4, f 4 正四面体 6c m c 6c 2q 2q m 3, c 4, q 12, p 8, f 6 正六面体 6c m c 6c 2q 2q m 3, c 5, q 30, p 20, f 12 正十二面体 6c m c
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凸多面体 平面图的理论与多面体的研究密切相关:事实上,由
于每个凸多面体P可以与一个连通可平面图G对应,G的
顶点和边是P的顶点和棱,那么G的每个顶点的度至少
为3.由于G是一个平面图,则P的面就是G的面,并且G的
每一条边落在两个不同面的边界上. 一个多面体P的顶点,棱和面的数目分别用V,E和F来 表示,而且,这些分别是连通图G的顶点,边和面的数目. 故欧拉公式可写成V-E+F=2,这就是著名的Euler凸多
证明： 设G有f个面。由于极大平面图是连通
l 2 1 l 2 l 2
l q ( p - 2k ) l-2
当 l=3 时，达到最大值3，由定理有：
l l q ( p - 2k ) ( p k 1) l-2 l 2 3 p k 1 3 p 1 1 3 p 40 6
定理 9 设 G 是极大平面图，有 p(p≥3) 个顶点， q 条 边，则q=3p–6, f=2p-4
l q p - 2 l-2
K5 和K3,3 称为基本的不可平面图，或 Kuratowski 图。
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K5
K3,3
与欧拉公式有关的定理(续)
定理: 设G为有 k (k2) 个连通分支的平面图, 且每个面的次数不小于l (l 3), 则
l q ( p - 2k ) l-2
l q p - 2 l-2
12c 12c m 6, q 2c 6c 12 12 4c
无解
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与欧拉公式有关的定理
定理 设G为p阶连通平面图, 有q条边, 且每个面的次数不
小于l (l 3), 则
l q p - 2 l-2
证明：由于在计算面数之和时，每个边被计算了两
次，因此各面次数之和等于边数的 2倍，再由欧拉公式得：
相加为22，正好是 边数11的2倍
图不连通，其外部面的次数为5
[例 ] v2 v1 v5 v4 v6 R2 R0
R1
v3
v7
R3
各域的边界： R0: v1 v2 v4 v5 v7 v7 v4 v3 v1 R1: v1 v2 v4 v3 v1 R2: v4 v5 v7 v4 v6 v4 R3: v7 v7
22
极大平面图
定义 若G是简单平面图, 并且在任意两个不相邻的顶点之 间加一条新边所得图为非平面图, 则称G为极大平面图. 性质
• • • • •
若简单平面图中已无不相邻顶点，则是极大平面图. 如 K1, K2, K3, K4都是极大平面图. 极大平面图必连通. 阶数大于等于3的极大平面图中不可能有割点和割边.
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pq+f=k+1
p=6， q =7， f = 4
f1
a e
f0
f
f3
b c
f2
g
d
31
定理 (欧拉公式) 设G为p阶q条边f个面的连通平面图，
则 pq+f=2.
握手定理
deg v 2q
i 1 i
p
Baidu Nhomakorabea
deg( f ) 2q
i 1 i
f
定理 只存在以下几种正多面体：正四面体、正六面 体、正八面体、正十二面体、正二十面体
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欧拉公式
1750年瑞士的数学家列昂哈德·欧拉(Leophafd Euler)
发现任何一个凸多面体，若有p个顶点，q条棱和f个面， 总有p-q+f=2成立。我们将这个结论推广到平面图中，总 结成如下的定理：
p-q+f=2 V-E+F=2
26
定理 (欧拉公式) 设G为p阶q条边f个面的连通平面图，
例2 下边2个图是同一个平面图的平面嵌入.
其实, 在平面嵌入中可把任何面作为外部面.
f3 f3 f1 f2
（1）
f1
（2）
16
例2
f f
1
f
5
deg(f1) =1 deg(f2) =2
2
f
3
f
4
deg(f3) = 3 deg(f4) = 6 deg(f5)= 10
有5个面：f1，f2，f3，f4，f5 （ f5 为外部面）
应用举例：印刷电路版、集成电路设计。
定理1 图G可嵌入球面图G可嵌入平面。
例1 Q3是否可平面性？
7
例1
=
平面图
可平面图
例：
9
=
不可平面图 可平面图
不可平面图
=
可平面图
=
可平面图
12
平面图和平面嵌入(续)
• • •
今后称一个图是平面图, 可以是指定义中的平面图, 又可以 是指平面嵌入, 视当时的情况而定. 当讨论的问题与图的画 法有关时, 是指平面嵌入. K5和K3,3是非平面图 K5
（1）若G中无圈, 则G为无圈连通图，是一颗树，必有一个
度数为1的顶点v, 删除v及与它关联的边, 记作G . G 连
通无圈, 有p-1个顶点, q-1条边和f个面. 由归纳假设, (p-1)- （q-1）+f=2, 即p-q+f=2, 得证q=k+1时结论成立. (2) 若G中有圈,则删去一个圈上的一条边,记作G . G 连通,
第十章 平面图
平面图与平面嵌入 平面图的面、有限面、无限面 面的次数 极大平面图 极小非平面图 欧拉公式 平面图的对偶图
1
10.1 平面图的概念 Planar Graphs
2
例：
有六个顶点的图如上， 试问：能否转变成与其等价的，但没有任何相 交线的平面上的图？ 结论：不能
面体公式.
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定理 只存在以下几种正多面体：正四面体、正六面
体、正八面体、正十二面体、正二十面体
证明：设正多面体的每个顶点的度数为 m,每个面的
次数为c,
deg v 2q deg( f ) 2q
i 1 i
i 1 i
p
f
2q 2q 2c mc 2m pq f q 2 q 2 m c mc 2mc q 2c mc 2m
deg(R0)=8, deg(R1)=4, deg(R2)=5, deg(R3)=1
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平面图的面与次数(续)
例1 右图有4个面, deg(f1)=1, deg(f2)=3, deg(f3)=2, deg(f0)=8.
f1
a e
f0
f
f3
b c
f2
g
d
19
a r1 j
i r2 h
b
e
c
d
g
f r3
设G为p(p3)阶极大平面图, 则G每个面的次数均为3.
任何p(p4)阶极大平面图G均有δ(G)3.
23
实例
3个图都是平面图, 但只有右边的图为极大平面图.
24
极小非平面图
定义 若G是非平面图, 并且任意删除一条边所得图 都是平面图, 则称G为极小非平面图. 说明: K5, K3,3都是极小非平面图 极小非平面图必为简单图 下面4个图都是极小非平面图
则 pq+f=2.
证明： 对边数q做归纳证明.
⑴设 q=0 ，由于 G 是连通图，所以 G 只能为只有
一个顶点的平凡图（否则 G 将不连通） , 这时，
p=1，q=0，f=1，p-q+f=2成立, 结论为真.
⑵设q=k (k≥1)时欧拉公式成立，下证当q=k+1
时欧拉公式也成立。分情况讨论如下:
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的充要条件，严格证明了五宫修路问题是无解的。
5
平面图和平面嵌入
定义 如果能将图G除顶点外边不相交地画在平面上, 则称G是平面图. 这个画出的无边相交的图称作 G 的平面嵌入. 例如 下图中(1)~(4)是平面图, (2)是(1)的平面嵌入， (4)是(3)的平面嵌入. (5)是非平面图.
6
树是一类重要的平面图。
设G G, 若G为平面图, 则G 也是 平面图; 若G 为非平面图, 则G也 是非平面图. Kp(p5), K3,p(p3)都是非平面图.
平行边与环不影响图的平面性.
• •
K3,3
13
定理 若G是平面图，则G中增加平行边或环后所 得的图还是平面图。
本定理说明重边与环不影响图的平面性，因
20
21
定理 设G=V,E是有限平面图，有f个面， q条边，则所 有面的次数之和等于边数的2倍。即
deg( f ) =2| q |
i 1 i
f
证明：G的任何一边，或者是两个面的公共边界，为
每一个面的次数增加1；或者在一个面中作为边界重复
计算两次，为该面的次数增加2。无论那种情况G的任
何一边为图中面的次数和增加2，故所有面的次数之和 等于边数的2倍。
3
问题：假定有三个仓库 x1，x2，x3 和三个车站 y1，y2，y3。 为了便于货物运输，准备在仓库与车站间修筑铁路，如图(a) 所示, 其中边代表铁路。问是否存在一种使铁路不交叉的路 线设计方案，以避免修建立交桥。 x1 x2 x3 x1 x2 x3
?
y1 y2 y3
y1 y2 y3
但如果在 x3 与y1 之间也要修一条铁路，则 可验证满足要求的方案不存在。
2q lf = l (2+q-p)
2q l 2 2 + q - p - 1 q 2 - p q p - 2 l l-2 l
37
推论 K5 和 K3,3不是平面图.
证明：用反证法, 假设它们是
平面图,则 K5 : p=5, q=10, l=3 K3,3 : p=6, q=9, l=4 与定理矛盾.
35
2mc 2q 2q p ,f , q 2c mc 2m m c
8c 8c m 4, q 2c 4c 8 8 2c 2q 2q c 3, q 12, p 6, f 8 正八面体 m c 10c 10c m 5, q 2c 5c 10 10 3c 2q 2q c 3, q 30, p 12, f 20 正二十面体 m c