第三章 基本波函数

第三章基本波函数
3.1 标量波函数
1. 直角坐标系中的标量函数 定义：标量波函数是齐次标量亥姆霍兹方程的基本解，也就是标量亥姆霍兹方程对应算子的本征函数。

标量亥姆兹方程的解可表示为
()()()x y z ψh k x h k y h k z =（3-5）
解谐函数类型：
2. 圆柱坐标系中的标量波函数
第一类柱贝塞尔函数通常称为贝塞尔函数，以表示()n ρJ k ρ，称为第n 阶贝塞尔函数。

当n 为整数时，可由下列级数表示
20
1
J ()(1)()
!()!2ρk
n k n ρk k ρk ρk n k ¥
+==-+å（3-19） 第二类贝塞尔函数又称为诺依曼函数，以()n ρN k ρ表示。

它与第一类贝塞尔函数的关系为
20
1
J ()(1)()!()!2
ρk
n k n ρk k ρk ρk n k ¥
+==
-+å
（3-20）
当时0ρ®时()n ρN k ρ 。

当n 为整数时，()n ρN k ρ。

当n 为整数时，为贝塞
尔方程的另一个线性无关的解。

3. 圆球坐标系中的标量波函数
2
1()(1)2!n n n n n
d P x x n dx
=-（3-37） 11
111
Q ()P ()(ln )P ()P ()21n
n n k n k k x
x x x x x
k
--=+=--å
（3-38） 式（3-37）和式（3-38）分别称为第一类勒让德函数()n P x 和第二类勒让德函数Q ()n x 。

3.2平面波、柱面波和球面波用标量基本波函数展开及应用
1. 平面波用圆柱面基本波函数展开
向x 方向传播得平面波用柱面波基本波函数展开为
()jkx
n jn φn n e
j J k ρe ¥
--=-?
=
å
（3-47）
2. 柱面波用基本波函数展开
利用贝塞尔函数的叠加定理，以'ρ为中心轴的柱面波可转变为以Z 轴中心轴的柱面波，即
''(2)'()'(2)'
0'(2)()'()();Ψ()44()();jn φφn n n jn φφn n n J k ρH k ρe ρρj j H k J k ρH k ρe ρρ ¥-=-?¥
-=-?ìïï<ïïï=-=íïï>ïïïî
ååρρ（3-50） 3. 平面波用球面波基本波函数展开
cos 0
(21)()(cos )jkr θ
n n n n e
j n j kr P θ¥
--==
+å
（3-56）
4. 球面波用基本波函数展开
'(2)''0
(2)'0''(2)'0
(21)()()(cos );4()44(21)()()(cos );4jk r r n n n
n n n n n jk n h kr j kr P θr r πe jk h k πjk πn j kr h kr P θr r π ¥--=¥=ì?ï+<ïï-ï=-=íï--ï+>ïïïîåår r r r 5. 点源场的平面波展开
'''()()2
Ψ8x y z y x
j k x x k y y k z z x y z
k k j
e
dk dk πk 轾--+-+-犏臌
=
蝌
（3-69）
3.3 理想导电圆柱对平面波的散射
(2)
()()
s jn n z
n J ka E e H ka ϕ
∞=-∞=∑（3-79） 上述散射场式（3-79）中级数的收敛快慢与理想导电圆柱半径的相对大小有关。

3.4 理想导电圆柱对柱面波的散射
'(2)
(')0(2)
()()()s jk n jn n z
n n J ka E j H k e H ka ρϕϕρ∞--=-∞
=
∑（3-88） 3.5
理想导电劈对柱面波的散射
'/2
0/21
222()sin sin
m z m m E E j
J k m m
ϕϕ
ρ∞
==∑（3-98） 3.6 理想导电圆筒上的孔隙辐射
3
2
2
cos(
cos )
2(sin )
1(cos )2
jkr
n jn n n kL
VLe j e E kL ar H ka ϕ
ϕθπθθ-∞
=-∞=-∑ 3.7
理想导体圆球对球面波的散射
(2)'
(2)0(21)()()(cos );'
4(21)(')()(cos );
'
4n
n n n i z n n n n jk l n h kr j kr P r r A jk l n j kr h kr P r r μθπμθπ∞
=∞
=⎧-+<⎪⎪=⎨-⎪+>⎪⎩∑∑
I I (3-134)
3.8
分层媒质上的电偶极子
反射波及透射波均可看成垂直电偶极子产生的场：
'
(1)
1()()8z i z R k H k e ju l A dk ρρρπ-+∞=-⎰ I （3-139）
'
(1)
1()()8z i z T k H k e ju l A dk ρρρπ--∞=-⎰ I （3-140）
反射系数和透射系数：
2211
2211R ετετετετ-=+（3-144）
21()21
(1)
j d
T R e τ
τττ-=+（3-145）
式中1τ=3-146）
2τ=3-147）
3.9 矢量波函数
电磁场满足矢量亥姆霍兹方程，为了直接求解矢量亥姆霍兹方程，需要引入矢量波函数，
矢量波函数是3个独立的矢量函数，分别用 L 、 M 及
N 表示，其定义为
l =∇ψ
L （3-148a ） ()M =∇⨯ψ
M a （3-148b ）
1()N k
=∇⨯∇⨯ψ
N a （3-148c ）
三个矢量波函数具有以下性质：
（1）
L 为无旋场； （2） M 及
N 均为无散场； （3） L 、 M 及
N 之间两两正交。

可以看出性质（1）和（2）是显然的，性质（3）也容易证明。

于是 L 、 M 及
N 构成正交函数系，且可证明是完备的。

这样 L 、 M 及
N 的线性组合可构成矢量亥姆霍兹方程的完
备解。