直方图均衡化原理、选取累积概率分布(CDF)

以数形结合的方式，灰度图像为例，直观简单的介绍了常规直方图均衡化算法的下列问题：

1.灰度级是如何扩展的

2.为何映射函数选择累积概率分布（CDF），选取CDF有何好处

3.原始图像某一灰度级x，对应CDF为F(k)，均衡化后对应的灰度级y,为何y=255*F(k)

4.为何均衡化后P y(y)=1/255

第一个问题：

图（1）

图（1）中（a）为均衡化前直方图（b）为对应的累积概率分布函数（c）为均衡化后直方图1．将图（a）（b）的定义域补充完整，既灰度范围为0~255。注意（b）中F(x)函数（同CDF 函数）定义域为0~255，x<=x1时F(x)=0，x>=x2时F(x)=1，对于定义域0~255，F(x)都是存在的。

2．为了和CDF函数比较，做y=x，如（b）图中红线所示，值域为0~255。y表示新灰度级，x表示旧灰度级，按此函数映射，则映射后灰度级不发生改变，如图中绿线所示。

3．观察使用累积概率分布函数映射，如图中黑线所示，不难看到映射后灰度级为0~255，灰度级得到了扩展。CDF函数可以将灰度值重新分配，分配过程见问题2。

第二个问题：

图2

1．映射函数应该满足：（1）单调递增，一一映射，这样灰度级0~255映射后大小顺序不会发生改变，既灰度较小的映射后还是小灰度，灰度较大的映射后还是大灰度。（2）灰度0~255映射后灰度还应该在0~255这个范围内。CDF函数满足这两个先决条件。

2．选择CDF的优势在哪？

（1）可以将一个区间的灰度x1~x2映射至全灰度范围0~255上。

（2）CDF函数是根据原始图像的直方图自适应的，观察图（2）左侧实心黄球（y=x映射，灰度级不变映射）与左侧空心矩形（CDF映射），（a）中高概率密度区间会使（b）中CDF 函数（F(x)）快速增加，这样CDF函数在此段的斜率会很大，那么（a）中高概率密度区间对应的灰度区间会被映射到一个宽的灰度范围内（将集中的灰度分配给其他灰度，以达到均衡）。再观察右侧实心黄球（y=x映射）与右侧空心矩形（CDF映射），（a）中低概率密度区间会使（b）中CDF函数（F(x)）缓慢增加，这样CDF函数在此段的斜率会很小，那么（a）中低概率密度区间对应的灰度区间会被映射到一个窄的灰度范围内（将低概率的灰度级合并，以达到均衡）。旧灰度值对应的新灰度值见问题3。

（左侧实心黄球的高度小于左侧空心矩形的高度；右侧实心黄球的高度大于右侧实心黄球的高度）。

第三个问题：

图（3）

如图（3）黄线所示（a）中灰度值为k在（b）中经行CDF映射，值为F（k）。F(x)的值域为0~1，P y（y）函数的定义域为0~255，所以新灰度值y=255*F(k)。（观察黄线穿过的两个纵轴，类似单位“1”的转换问题）。新灰度值的概率见问题4。

第四个问题：

图（4）

均衡化后的概率密度Py （y ）应为常数，这样信息熵最大，也是直方图均衡化的目的。任意选取灰度区间[x3,x4]。x3对应的CDF 值为F(x3)，新灰度级y3；x4对应的CDF 值为F(x4)，新灰度级y4。

4

4

33()()x y y x y P x dx P y dy =⎰⎰ F(x4)-F(x3)=(y4-y3)*Py(y)

F(x4)-F(x3)= 255*[F(x4)-F(x3)] *Py(y)

Py(y)=1/255

附言：

1.以上把灰度值做为连续值来说明均衡化的原理，来帮助初学者了解此种方法中一些不好理解的问题。

2.实际中灰度为离散量，此时y=取整（255*F(k)），会出现量化误差，故均衡化后的直方图只是近似平均，而不是绝对平均。