2020北京市高考数学试题逐题解析

绝密★本科目考试启用前

2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学

本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（2020北京高考1）☆☆☆☆☆

已知集合A={−1,0,1,2},B={x|0

（A）{−1,0,1}（B）{0,1}（C）{−1,1,2}（D）{1,2}

解：选D.

（2020北京高考2）★☆☆☆☆

在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i⋅z=

（A）1+2i（B）−2+i（C）1−2i（D）−2−i

解：z=1+2i，∴iz=i−2=−2+i，选B.

（2020北京高考3）★★☆☆☆

在(√x−2)5的展开式中，x2的系数为

（A）−5（B）5（C）−10（D）10

解：T r+1=C5r(√x)5−r(−2)r=(−2)r C5r x5−r2，令5−r2=2，得r=1，

则x2的系数为(−2)1C51=(−2)×5=−10，选C.

（2020北京高考4）★★☆☆☆

某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，

该三棱柱的表面积为

（A）6+√3

（B）6+2√3

（C）12+√3

（D）12+2√3

解：三棱柱上下底面是边长为2的等边三角形，

侧面为三个边长为2的正方形，

×2×2×sin60°)=12+2√3，选D.

S=3×(2×2)+2×(1

2

（2020北京高考5）★★★☆☆

已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

解：设圆心为M，A(3,4)，则|MA|=1，M在以A(3,4)为圆心，半径为1的圆上，

|MO|min=|AO|−r=5−1=4，选A.

1

y

x

（2020北京高考6）★★★☆☆

已知函数f(x)=2x −x −1则不等式f(x)>0的解集是 （A ）(−1,1) （B ）(−∞,−1)∪(1,+∞) （C ）(0,1) （D ）(−∞,0)∪(1,+∞) 解：f(0)=20−0−1，f (1)=21−1−1=0， 令f (x )=2x −x −1>0，得2x >x +1， 作图知，x <0或x >1，选D . （2020北京高考7）★★☆☆☆

设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ；P 是抛物线异己O 的一点，过P 做PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的垂直平分线

（A ）经过点O （B ）经过点P （C ）平行于直线OP

（D ）垂直于直线OP

解：根据定义|PQ |=|PF |，∴线段FQ 的垂直平分线经过点P ，选B . （2020北京高考8）★★★☆☆

在等差数列{a n }中，a 1=−9，a 5=−1，记T n =a 1a 2…a n (n =1,2,…)，则数列{T n } （A ）有最大项，有最小项 （B ）有最大项，无最小项 （C ）无最大项，有最小项 （D ）无最大项，无最小项

解：∵a 5=a 1+4d ，∴−1=−9+4d ，∴d =2，∴a 2=−7，a 3=−5，a 4=−3，a 5=−1； 当n <6时，T 1=−9，T 2=63，T 3=−315，T 4=945，T 5=−945； 当n ≥6时，a n 恒正且单增，∴T n 恒负且单减； 综上，(T n )max =T 4=945，T n 无最小值，选B . （2020北京高考9）★★★★☆

已知α,β∈R ，则“存在k ∈Z ，使得α=kπ+(−1)k β”是“sin α=sin β”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

解：条件：α={(2n −1)π−β

2nπ+β

，n ∈Z ，∴α+β=(2n −1)π或α=2nπ+β，n ∈Z ；

结论：sin α=sin β⟺α+β=(2n −1)π或α=2nπ+β，n ∈Z ； 综上，充分必要，选C . （2020北京高考10）★★★★★

2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay)。历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值。按照阿尔卡西的方法，π的近似值的表达方式是

（A ）3n(sin 30°n +tan 30°n ) （B ）6n(sin 30°n +tan 30°

n )

α F

O

B A

C E

D

D P

C B

A

（C ）3n(sin 60°n +tan 60°n ) （D ）6n(sin 60°n +tan 60°

n )

解：如图作辅助线，圆心角α=360°

6n =60°

n ，

在Rt △ACO 中，AC =1⋅sin 30°

n =sin 30°

n ，∴AB =2sin 30°

n ， ∴内接正6n 边形周长=6n ⋅AB =12nsin

30°

n ； 在Rt △DFO 中，DF =1⋅tan 30°

n =tan 30°

n ，∴DE =2tan 30°

n ， ∴外接正6n 边形周长=6n ⋅DE =12ntan 30°

n ；

∵

12nsin 30°n +12ntan 30°n 2

=2π，∴π=3n(sin 30°n

+tan 30°n

)，选A .

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题 5小题，每小题5分，共25分． （2020北京高考11）★☆☆☆☆

函数f(x)=1

x+1+ln x 的定义域是________． 解：由题意{x >0

x +1≠0

，∴x >0，定义域是(0,+∞).

（2020北京高考12）★★☆☆☆

已知双曲线C:x 2

6−y 2

3=1，则C 的右焦点的坐标为______；C 的焦点到其渐近线的距离是______． 解：a =√6，b =√3，c =√6+3=3，右焦点(3,0)，b

a =

√3√6

=√2，渐进线：y =12，即x −√2y =0，

d =

|3−√2∙0|1+2

=√3.

（2020北京高考13）★★★☆☆

已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12

(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=_______⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ _______． 解：作图如下，

|PD

⃗⃗⃗⃗⃗ |=√CD 2+PC 2=√22+12=√5； PB

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=1∙(−1)=−1.

（2020北京高考14）★★★☆☆

若函数f(x)=sin(x +φ)+cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 解：取φ=π

2，得f(x)=sin(x +π

2)+cos x =cos x +cos x =2cos x ，符合题意. （2020北京高考15）★★★★☆

为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =f(t)，用−

f(b)−f(a)

b−a

的大小评价在[a,b ]这段时间内企业污水治理能力的强弱． 已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．