山东省枣庄八中南校区2015-2016学年高二(下)3月段测数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年山东省枣庄八中南校区高二（下）3月段测数学试卷（文科）一、选择题：1．若集合M={x∈R|﹣3＜x＜1}，N={x∈Z|﹣1≤x≤2}，则M∩N=（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．下列命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归直线=x+a及回归系数，可以估计和预测变量的取值和变化趋势．其中正确的命题是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元） 4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 54根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元5．因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提x+≥2，…小前提所以x+≥2，…结论以上推理过程中的错误为（）A．小前提B．大前提C．结论D．无错误6．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d全都大于等于0 D．a，b，c，d中至多有一个负数7．命题p：若不等式x2+x+m＞0恒成立，则，命题q：在△ABC中，A＞B是sinA ＞sinB的充要条件，则（）A．p真q假B．“p∧q”为真C．“p∨q”为假D．“¬p∨¬q”为真8．当时，z100+z50+1的值等于（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i9．阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜610．数列﹛a n﹜的前n项和S n=n2a n（n≥2）．而a1=1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n=（）A．B．C．D．二、填空题：11．调查了某地若干户家庭的年收x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，井由调查数据得到y对x的回归直线方程．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元．12．观察下列式子：，则可以猜想的结论为：当n∈N且n≥2时，恒有．13．已知不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则m的取值范围是．14．定义运算=ad﹣bc，则对复数z=x+yi（x，y∈R）符合条件=3+2i的复数z等于．15．已知点A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函数f（x）=lgx的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，因此有结论＜lg（）成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，），B（x2，）是函数g（x）=2x的图象上的不同两点，则类似地有成立．三、解答题：16．已知复数z1满足（z1﹣2）i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求复数z2的模．17．某班一次期中考试之后，从全班同学中随机抽出5位，这5位同学的数学、物理分数见下表：先完成下面（1）～（2）的统计分析，将结果直接写在题中横线上，然后解答第（3）小题．学生编号 1 2 3 4 5数学分数x 70 75 80 85 90物理分数y 73 77 80 88 86（1）研究变量y与x的相关关系时，计算得r≈0.94，这说明y与x的相关程度是．（2）求得y与x的线性回归方程之后，该方程所表示的直线一定过点．（3）求y与x的线性回归方程，并估计该班本次考试数学成绩为60分的学生的物理成绩．18．某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18 7 25学习积极性一般 6 19 25合计24 26 50（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（2）试运用独立性检验的思想方法点拨：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由．0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.0100.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.78910.82819．已知a、b、c为正实数，且a+b+c=1，求证（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8．20．已知p：﹣2≤1﹣≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），且￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．21．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°；②sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°；③sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；④sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°；⑤sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°．（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．2015-2016学年山东省枣庄八中南校区高二（下）3月段测数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：1．若集合M={x∈R|﹣3＜x＜1}，N={x∈Z|﹣1≤x≤2}，则M∩N=（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】由集合N中的x的取值范围中的整数解确定出集合N，然后求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合N={x∈Z|﹣1≤x≤2}，得到集合N={﹣1，0，1，2}，又集合M={x∈R|﹣3＜x＜1}，则M∩N={﹣1，0}．故选B【点评】此题属于以不等式的整数解为平台，考查了交集的运算，是一道基础题．2．下列命题：①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归直线=x+a及回归系数，可以估计和预测变量的取值和变化趋势．其中正确的命题是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法，找拟合效果最好的直线，利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示通过回归直线=x+a及回归系数，预测变量的取值和变化趋势【解答】解：线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法，找拟合效果最好的直线，故①正确，利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示，②正确，通过回归直线=x+a及回归系数，可以估计和预测变量的取值和变化趋势，③正确，综上可知①②③正确，故选D．【点评】本题考查两个变量的相关关系，本题解题的关键是正确理解相关关系和求线性回归方程的方法，本题是一个基础题．3．已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由“a＞0且b＞0”⇒“a+b＞0且ab＞0”，“a+b＞0且ab＞0”⇒“a＞0且b＞0”，知“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充要条件．【解答】解：∵a，b是实数，∴“a＞0且b＞0”⇒“a+b＞0且ab＞0”，“a+b＞0且ab＞0”⇒“a＞0且b＞0”，∴“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的充要条件．故选C．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元） 4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 54根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．【解答】解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故选：B．【点评】本题考查线性回归方程．考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，本题是一个基础题，这个原题在2011年山东卷第八题出现．5．因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提x+≥2，…小前提所以x+≥2，…结论以上推理过程中的错误为（）A．小前提B．大前提C．结论D．无错误【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论．【解答】解：∵，这是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用条件，a，b都是正数，是小前提，没有写出x的取值范围，∴本题中的小前提有错误，故选A．【点评】本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系．6．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d全都大于等于0 D．a，b，c，d中至多有一个负数【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立．【解答】解：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全都大于等于0”，故选C．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．7．命题p：若不等式x2+x+m＞0恒成立，则，命题q：在△ABC中，A＞B是sinA ＞sinB的充要条件，则（）A．p真q假B．“p∧q”为真C．“p∨q”为假D．“¬p∨¬q”为真【分析】由恒成立的知识点得命题P：若不等式x2+x+m＞0恒成立则是真命题，并且由正弦定理得命题q：在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件是真命题；根据真值表可得答案A，C，D均是错误的．【解答】解：∵不等式x2+x+m＞0恒成立∴m＞∴命题P是真命题又∵在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件是正确的∴命题q是真命题∴“p∧q”为故选B．【点评】判断复合命题的真假分两步，第一步判断简单命题的真假第二步根据真值表判断复合命题的真假．此类题目属于中低档题．8．当时，z100+z50+1的值等于（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】由题意可得z2=﹣i，代入可得答案．【解答】解：由题意，故z2==﹣i，故z100+z50+1=（﹣i）50+（﹣i）25+1=﹣1﹣i+1=﹣i故选D【点评】本题考查复数的混合运算，属基础题．9．阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜6【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加变量i的值到S并输出S，根据流程图所示，将程序运行过程中各变量的值列表如下：【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S i循环前/2 1第一圈是 1 3第二圈是﹣2 5第三圈是﹣7 7第四圈否所以判断框内可填写“i＜6”，故选D．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．10．数列﹛a n﹜的前n项和S n=n2a n（n≥2）．而a1=1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n=（）A．B．C．D．【分析】利用数列﹛a n﹜的前n项和S n=n2a n（n≥2），a1=1，代入即可计算a2，a3，a4，从而可以猜想a n．【解答】解：∵数列﹛a n﹜的前n项和S n=n2a n（n≥2），∴S2=4a2，∵a1=1∴1+a2=4a2，∴；又S3=1++a3=9a3，∴S4=1+++a4=16a4∴a4=…∴故选B．【点评】本题以数列为载体，考查归纳推理，解题的关键是根据条件，求出前几项，并发现其规律．二、填空题：11．调查了某地若干户家庭的年收x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，井由调查数据得到y对x的回归直线方程．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．【分析】写出当自变量增加1时的预报值，用这个预报值去减去自变量x对应的值，得到家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加的数字，得到结果．【解答】解：∵对x的回归直线方程．∴=0.254（x+1）+0.321，∴﹣=0.254（x+1）+0.321﹣0.254x﹣0.321=0.254．故答案为：0.254．【点评】本题考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，用来预报当自变量取某一个数值时对应的y的值，注意本题所说的是平均增，注意叙述正确．12．观察下列式子：，则可以猜想的结论为：当n∈N且n≥2时，恒有．【分析】观察发现，右边是正整数（n）的平方的倒数和，左边是分子是正奇数，分母是正整数n，然后可以猜想的结论为：当n∈N且n≥2时的不等式子．【解答】解：根据规律，右边是正整数（n）的平方的倒数和，左边是分子是正奇数，分母是正整数n，可以猜想的结论为：当n∈N且n≥2时，恒有故答案为【点评】本题利用平方差公式考查了数字变化规律的问题，求出左边两底数是解题的关键．13．已知不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则m的取值范围是[﹣，]．【分析】先求出不等式|x﹣m|＜1的解集，再由不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜来确定m的取值范围．【解答】解：∵|x﹣m|＜1，∴﹣1＜x﹣m＜1，∴m﹣1＜x＜m+1，∵m﹣1＜x＜m+1成立的充分不必要条件是＜x＜，∴，解得﹣≤m≤．故m的取值范围是[﹣]．故答案：[﹣]．【点评】本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用．14．定义运算=ad﹣bc，则对复数z=x+yi（x，y∈R）符合条件=3+2i的复数z等于﹣i．【分析】由条件求得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则，计算求得结果．【解答】解：根据条件=3+2i 可得2iz﹣z=3+2i，∴z===﹣i，故答案为：﹣i．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．15．已知点A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函数f（x）=lgx的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，因此有结论＜lg（）成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，），B（x2，）是函数g（x）=2x的图象上的不同两点，则类似地有成立．【分析】在对数函数中，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，而在指数函数中，线段AB两点总是位于A，B两点之间函数图象的上方，类比对数函数中的结论可得指数函数g（x）=2x中，有成立．【解答】解：A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函数f（x）=lgx的图象上任意不同两点，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，有结论＜lg（）成立．类比上式可得：若点A（x1，），B（x2，）是y=g（x）上两点，而线段AB两点总是位于A，B两点之间函数图象的上方，有结论：．故答案为：．【点评】本题借助类别推理，通过函数图象的形状考查了函数的不等关系，属于中档题．三、解答题：16．已知复数z1满足（z1﹣2）i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求复数z2的模．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z1，设出z2=a+2i，根据z1z2是实数，求得a的值，即可求复数z2的模．【解答】解：由（z1﹣2）i=1+i，可得z1=+2=3﹣i．由于复数z2的虚部为2，可设z2=a+2i，再根据z1z2=（3﹣i）（a+2i）=（3a+2）+（6﹣a）i 为实数，可得6﹣a=0，故a=6，∴|z2|==2．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．17．某班一次期中考试之后，从全班同学中随机抽出5位，这5位同学的数学、物理分数见下表：先完成下面（1）～（2）的统计分析，将结果直接写在题中横线上，然后解答第（3）小题．学生编号 1 2 3 4 5数学分数x 70 75 80 85 90物理分数y 73 77 80 88 86（1）研究变量y与x的相关关系时，计算得r≈0.94，这说明y与x的相关程度是强．（2）求得y与x的线性回归方程之后，该方程所表示的直线一定过点（80，80.8）．（3）求y与x的线性回归方程，并估计该班本次考试数学成绩为60分的学生的物理成绩．【分析】（1）把所求的相关系数0.94同0.75进行比较，是大于关系，这样两个变量之间的相关关系是强．（2）根据所给的表格中的数据，分别求出横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，线性回归方程一定过样本中心点．（3）根据上一问做出的横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，把x的值代入求出对应的y的值．【解答】解：（1）∵计算得r≈0.94＞0.75，∴y与x的相关程度很强，故答案为：强．（2）∵=80，=80.8∴这组数据的样本中心点是（80，80.8）∴线性回归方程所表示的直线一定过点（80，80.8）故答案为：（80，80.8）（3）∵b==，a=80.8﹣0.74×80=21.6，∴线性回归方程是y=0.74x+21.6，当x=60时，y=0.74×60+21.6=66即估计该班本次考试数学成绩为60分的学生的物理成绩为66分．【点评】本题考查两个变量之间的相关关系，考查线性回归方程的求法和作用，解题的关键是出现的运算，注意求解中不要出现数字运算的错误，保证题目得分．18．某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18 7 25学习积极性一般 6 19 25合计24 26 50（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（2）试运用独立性检验的思想方法点拨：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由．0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.0100.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.78910.828【分析】（1）是一古典概型问题，把基本事件的总数与满足要求的个数找出来，代入古典概率的计算公式即可．（2）是独立性检验的应用，由题中的数据，计算出k2与临界值比较即可得出结论【解答】解：（1）积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人，概率为；不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，概率为．（2）k2==≈11.5，∵K2＞6.635，∴有99%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系．【点评】本题把独立性检验，概率的求法，列联表等知识联系在一起，是道综合性题，难度不大，符合新课标对于本部分的要求，希望通过本题把相关知识掌握好．19．已知a、b、c为正实数，且a+b+c=1，求证（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8．【分析】将a+b+c=1代入，再利用基本不等式，即可证明结论．【解答】证明：∵a、b、c为正实数，且a+b+c=1，∴（﹣1）（﹣1）（﹣1）==≥=8，当且仅当a=b=c时，等号成立．【点评】本题考查不等式的证明，考查用综合法证明不等式，属于中档题．20．已知p：﹣2≤1﹣≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），且￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】由，可得¬p：B={x|x＞10或x＜﹣2}，对于q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），|x﹣1|≤m．￢q：A={x|x＜1﹣m，或x＞m+1}．由于¬p是¬q的必要不充分条件，可得A⊊B⇔．【解答】解：由，解得﹣2≤x≤10．∴¬p：B={x|x＞10或x＜﹣2}，对于q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），∴|x﹣1|≤m．∴1﹣m≤x≤m+1．∴￢q：A={x|x＜1﹣m，或x＞m+1}．∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴A⊊B⇔，解得m≥9．∴实数m的取值范围是m≥9．【点评】本题考查了充要条件与集合之间的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°；②sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°；③sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；④sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°；⑤sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°．（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【分析】（1）选择②，由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，可得这个常数的值．（2）推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．【解答】解：（1）选择②计算如下：sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，故这个常数为．（2）根据①的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=sin2α+（cosα+sinα）2﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα。