广西大学自动控制原理习题答案(本科)第4章(DOC)

习题参考答案

4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为2

()(0.21)K

G s s s =+

试求：

⑴使系统增益裕度为10的K 值； ⑵使系统相角裕度为30︒的K 值。

解: 系统开环频率特性为2)12.0()(+=ωωωi i K

i G

(1) 求10=m g 的K 值：

令180ω为相角交越频率，有180arctan0.245ω=︒，5180=ω

由

10)

04.01(|

)(|12180180180=+=

=

K

i G g m ωωω

可解得K=1。

(2) 求30m ϕ=︒的K 值：

由定义180()180(902arctan 0.2)30m c c G i ϕωω=︒+∠=︒+-︒-=︒

︒

=302.0arctan c ω

求得系统幅值交越频率

c ω=由

1)

04.01(|)(|2=+=

c c c K

i G ωωω

85.3)04.01(2

=+=c c K ωω

注意：涉及相角的计算时，可以

（1）逐个计算基本环节的相角，然后叠加起来。

（2）将频率特性展开为实部和虚部，然后计算相角。 计算幅值一般将各个基本环节的幅值相乘。

4-2试由幅相频率计算式

()90arg tan arg tan arg tan103

(5)2

G i G i ω

ωωω

∠=-︒-+-=

确定最小相位系统的传递函数。

解:由相频计算式可得出传递函数的形式为

(/31)()(1)(101)K s G s s s s +=

++

由幅频计算式

(5)2

G i =

有

2

=

求得10/3K ω=，所求最小相位系统的传递函数为

1312(/31)()(1)(101)s G s s s s +=

++

4-3已知单位反馈系统开环传递函数

)2)(5.1)(1()(+++=

s s s K

s G

若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部，试用Nyquist 判据确定增益K 的最大值。

解：令1u s =+， 则“u 平面所有极点均处于负平面”等价于“s 平面所有闭环极点均具有小于-1的实部”，并且

)1)(5.0()(++=

u u u K

u G

可见)(u G 并无右半平面的开环极点，所以)(u G 的Nyquist 轨线不能包围)0,1(i -点。只要满足：)(u G 轨线与负实轴的交点在-1点右侧（大于-1）即可，令)(u G 的相频为180-︒，得到

()90arctan 2arctan 180c c c u u u G i ωωω∠=-︒--=-︒

arctan 2arctan 90c c u u ωω+=︒

2

2arctan

tan9012c c

c

u u ω

ωωω+=︒

- 0212

=-c

u ω

求得)(u G 的相角交越频率

c

u ω=

()1c u G ω=

=

max 34K =

即若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部，增益K 的最大值为

3/4。

注意：作变量替换时，尝试选一些点验证一下。

4-4设某系统结构图如下图所示，其中K >0。

（1）试求系统稳态误差ss e ；

（2）若ω=1时,要求稳态误差幅值A e ss 4.0≤，试选择K 值。

y

sin r A t

ω=

解：(1)求系统稳态误差ss e ，系统开环传递函数为2

)(+=s K

s G ， 闭环系统的误差传递函数为

12

Φ()1()2e s s G s s K

+=

=+++

其幅值与相位为

Φ()e i ω=

Φ()arctan0.5arctan

2e i K

ω

ωω∠=-+

因输入t A t r ωsin )(=，系统的稳态误差为

Φ()sin(Φ())

arctan 0.5arctan )2ss e e e A i t i t K

ωωωωωω=+∠=+-+

(2)因1=ω，令

1

0.4==

有

025.2642=-+K K

解得

123.57.5K K ==-，(舍去).

故满足题意要求的K 值范围为

5.3≥K

4-5已知系统

(1)()(1)

k k

v

j j

K s G s s

T s τ+=

+∏∏

型次0ν≥（含有ν个积分环节），Nyquist 曲线起始于实轴（0=ω），试问什么情况下起始于负实轴，什么情况下起始于正实轴。

答：当开环增益0>K 时，起始点位于正实轴；当开环增益0

4-6 设系统的开环传递函数为

12

234(1)

()(1)(1)(1)

K T s G s s T s T s T s +=

+++ 其中1234>0K T T T T ，，，，。

（1）已知2341T T T T ++>，试概略绘制该系统的Nyquist 图。 （2）若2341T T T T ++<，请概略绘制该系统的Nyquist 图。 解：（1）180(0)i G i e

+

-︒

=∞，而且对于小正数ε，有

2341()180()180G i T T T T εε∠≈-︒-++-<-︒ 360()0i G i e -︒∞=， 概略绘制的Nyquist 图如下

（2）180(0)i G i e

+-︒

=∞，而且对于小正数ε，有