第五章 实际(粘性)流体动力学基础

hw----能量损失
能量损失包括：沿程损失和局部损失。
物理意义：总流各过流断面上单位重力流体所具有的平均势
能和平均动能之和，机总机械能平均值沿程减少，部分机械 能转化为热能而损失；同时，各项机械能之间可以相互转化。
2、几何意义 z——位置水头 hw----水头损失
p

——压强水头
v 2
2g
——流速水头
p
p
(5.12)
上式表示总流重力流量（γQ）所具有的势能。
u2 （2）第二类积分 Q dQ A u3dA ，表示总流重力流量 2g 2g
所具有的动能。 总流在同一过流断面上的流速分布一般是不均匀的，即
3 3 u dA v A A
引入修正系数α，即令
3 3 u dA u dA A A 3 v A Qv 2
下降，平均测压管水头线可以上升，
可以下降。
总水头线的坡度叫做水力坡度， 表示单位重力流体在单位长度的 流程上所损失的平均水头。以H 表示总流的平均总水头，则水力
坡度为
dH dhw J ds ds
(5.21)
5.3.3
恒定总流伯努利方程的应用
总流伯努利方程适用条件：
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流； （3）作用于流体上的质量力不可压缩流体； （4）所取过流断面1-1，2-2都在渐变流区域，但两断面之
式中，
(5.5)

g
( 2 ux dx 2 u y dy 2 uz dz ) 为单位质量流体粘性
，代入（5.5）式 力所作的微功，记为 dhw
u2 0 d ( gz ) dhw 2g p
对上式沿流线（或元流）由点1到点2积分，得
2 u12 p2 u2 z1 z2 hw 2g 2g
代入上式得
1 p 0 y 1 p g cos 0 z
(1)
( 2)
(1) dy ( 2) dz ，得
g cosdz (
或 积分，得
p p dz dy) 0 z y
cosdz dp 0
cosz p c
u 1 p 2u 2u X ( 2 2 ) x y z t 1 p u y Y t y 1 p uz Z z t
（5.7）
1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
（5.8）
设质量力只限于重力，则 X g sin , Y 0, Z g cos
§5.2
恒定元流的伯努利方程
实际流体在流动中的能量方程可以对运动方程（N-S方 程）积分得出。 N-S方程中 2 ux、 2 uy、 2 uz 各项，是
作用在单位质量流体上的切应力在x、y、z方向上的分力，
它们对流程的积分就是这些切应力所作的功，写成微分形式 为
u2 d (U ) ( 2 ux dx 2 u y dy 2 uz dz ) 0 2 p u2 d ( U ) ( 2 ux dx 2 u y dy 2 uz dz ) 2 p
(5.14)
α称为动能修正系数，由此可得
u2 3 v 2 Q Q dQ v A 2g 2g 2g
一般，α=1.05~1.10，常取α=1.0。
(5.16)
dQ （3）第三类积分 Q hw
这项积分是沿流程的积分，直接积分很困难。令hw为单 位重力流体由过流断面1-1移动到断面2-2 使能量损失的平均 值，则可得
dQ hw Q hw
(5.17)
最后的总流单位重力的能量方程（伯努利方程）：
z1
p1


1v12
2g
z2
p2


2 2v2
2g
hw
(5.18)
实际总流的能量方程意义 1、物理意义 z——位能
p

——压能
v 2
2g
——动能
z
p

——势能
p v 2 ——机械能 z 2g
或
(5.4)
假定质量力为有势力，即
U U U X ，Y ，Z x y z
流动是恒定的，并且是沿流线积分。 （5.4）式表明，实际流体在同一流线（或元流）上的机
械能是不断变化的。这是由于当粘性流体向前流动时，需不
断克服因粘滞性作用产生的内摩擦力，因而一部分机械能将 转化为热能而消耗与流体中。 因此可以推断， ( 2 ux dx 2 uy dy 2uz dz) 项就是单位质 量流体作微小位移时，粘性变形切应力所作的功。流体在做
2 gh
(5.22)
【例5.2】设路堤左侧渠道的水流需经过虹吸管到右侧渠道。 已知管径d=0.2m，管段 l1 8m , l2 4m , l3 12m; 各管段沿
2 2 2 v v v 程水头损失分别为 h f 1 0.8 、h f 2 0.4 、h f 3 1.2 、 2g 2g 2g
u12i z1i 2g p1i
2 u2 z2 i i hwi 2g
p2 i
设元流i的流量为dQi，将上式两边乘以γdQi，分别在总流两个
过水断面上积分，得
u12i Q ( z1i )dQi Q dQi 2g 2 p2 i u2 dQi Q ( z2 i )dQi Q i dQi Q hwi 2g p1i
p1
2 v12 v2 ( z1 ) ( z2 ) hw 2g 2g p1 p2 已测得： ( z1 ) ( z2 ) h
p1
p2


又由连续方程，有
v1 A2 d2 2 ( ) v 2 A1 d1
因此，
2 v2 d2 4 h hw [1 ( ) ] 2g d1
u y u y u y 0; x y z
uz uz uz 0; x y z ux 根据连续方程， 0 。对这种情况，N-S方程可写为 x
u y uz 若流体非恒定性不强，可以当作恒定流，则有 0 t t 上式写为： 1 p X 2 u 0 x
粘性项 2 u，因此是更为复杂的偏微分方程。理论上，N-S 方程加上连续方程共四个方程，完全可以解除四个未知数 u x、
u y、uz、p ，但实际流动中，大多边界条件复杂，很难求解。
N-S方程的推导中，应用了牛顿内摩擦定律。对于二元 平行直线流动有
du dy
(5.2)
所以N-S方程仅适用于牛顿流体。
水头损失包括：沿程水头损失和局部水头损失
hw h f hj
v2 v2 hw 2g 2g
(5.19)
(5.19)
λ 为沿程水头损失系数，ζ 局部水头损失系数。 几何意义：总流各过流断面上的总
水头沿程下降，所下降的高度即为
平均水头损失；同时，各水头之间 可以相互转化，平均总水头线沿程
p1
(5.6)
式中， hw dhw
1
2
实际流体恒定元流的伯努利方程或能量方程，式中 z：位置水头；
p

: 动水压强水头；
u2 : 流速水头； 2g
: 损失水头。 hw
即单位重力流体在运动中为了克服1~2元流段中水流阻力 hw
所消耗的机械能，称为水头损失。
§5.3
5.3.1
恒定总流的伯努利方程
管路进水阀、两折管、出口的局部水头损失分别为
v2 v2 v2 hj 1 5.2 、hj 2 hj 3 0.3 、hj 4 1.0 ; 管路顶端水 2g 2g 2g
平段的管轴处高出左渠道水面h=1.7m，进水阀后管内D点处 低于左侧渠道水面h1=3m，左、右两侧渠道水面高差H=4m，
管路出口处E点低于右侧渠道水面h2=2m；渠道中流速水头可
变流中的过流断面可以看作平面，其最重要的特点是：渐变
流过流断面上的动压强分布近似静压强分布规律。
证明如下：设有一渐变流动，沿流体流动方向取为x轴，建立
正交坐标系，三个坐标轴为 x , y , z，取基准面O-O，量取位置 高度方向为Oz，重力g方向与Oz相反。 根据渐变流特性，应有
ux u, uy 0, uz 0;
此外N-S方程中的动水压强p的推导，应用了不可压缩流体的
连续性方程，因此得出在不可压缩实际流体中，任意一点的 任何三个相互垂直面上的法向应力的平均值为一常数，并定 义此常数为该点的动水压强
1 ( pxx p yy pzz ) p 3
(5.3)
所以，N-S方程也仅仅是用于不可压缩流体运动。
间不必都是渐变流动；
（5）所取两断面之间没有流量汇入或流量分出，也没有 能量输入或能量输出。
【例5.1】文丘里管是测量管
道流量的装置，其结构如图所 示。通过测量得比压计液面高 差（即断面1-1和2-2的测管水 头差）为h，求管道的流量Q。 解：设 1 2 1.0
2 v12 p2 v2 z1 z2 hw 2g 2g
这些功时所消耗的机械能，就是能量的损失。
对于质量力只有重力，势函数U=-gz，（5.4式）可写为
u2 d ( gz ) ( 2 ux dx 2 u y dy 2 uz dz ) 0 2 p
或
u2 2 d ( gz ) ( ux dx 2 u y dy 2 uz dz ) 0 2g g p
（1）第一类积分 Q ( z
(5.11)
p

)dQ
设过流断面为渐变流，过流断面上 z
p
Q ( z )dQ A ( z )udA
( z )A udA ( z )Q p p
p
p

c


Q ( z )dQ ( z )Q
渐变流及其过流断面上动压强的分布
工程中的实际流体流动，有两种不同情况。一种是流线
图形变化剧烈，流线曲率较大，流线间的夹角较大等，这种
流动叫突变流动。如管道的大转弯处的流动等等。突变流动 的动水压强分布比较复杂，难以推导总流能量方程。另一种 情况是流线图形变化极其缓慢，流线曲率很小，几乎成直线， 流线间的夹角很小，几乎平行，这种流动叫做渐变流动。渐
第五章
实际（粘性）流体的运动学基础
§5.1
粘性流体的运动学方程：N-S方程
实际（粘性）流体的运动微分方程----纳维埃.斯托克斯方程 （N-S）方程如下：
u x u x u x u x 1 p 2 ux uy uz X u x t x y z x
因为 z z cos ，所以zp Nhomakorabea
c
(5.9)
上式表明，恒定渐变流在同一过流断面上动压强的分布 近似地符合静压强分布规律。但尽管每个过流断面上各点的
z
p

值等于一个常数，但不同的过流断面有不同的常数。
5.3.2
恒定总流的伯努利方程
假定总流为恒定流，通过的流量为Q，其中两个过流断 面1-1和2-2的面积各为A1和A2如图所示。对于总流中的任一 元流i，其不可压缩实际流体恒定元流的伯努利方程为
u y u y u y u y 1 p 2 Y u y ux uy uz y t x y z
1 p uz uz uz uz 2 Z uz ux uy uz z t x y z
（5.1）
与理想流体的欧拉运动微分方程相比较，N-S方程增加了
忽略不计。 试求：①通过虹吸管流速v和流量Q；②管路顶端水平段过流 断面c-c管轴处的真空度hcv；③按比例绘制总水头线和测压 管水头线，并指出管路中出现负压的管段。
v2
1 d2 4 1 ( ) d1
hw 2 gh 2 gh(1 ) d2 4 h 1 ( ) d1
式中， 1 hw / h 称为文丘里管流量系数，通过实验确 定，一般μ=0.97~0.99。文丘里管通过的流量为
Q A2v 2
d 22
4


d2 4 1 ( ) d1