拉氏变换
拉氏变换
6
63 s3
et 7e2t 6e3t
(2). 包含有共轭极点的情况 1,2
例2 求
F(s)
s1 s(s2 s 1)
的拉氏反变换。
13
s1 0,
s2,3
2
j
2
s1
s1
F(s)
s(s2
s 1)
s s
1 2
LLL111sss111aaaeeeaaatt t,,, LLL111sss111aaaeeeaaatt t,,,
LLL111sss222222sssiiinnnttt,,, LLL111sss222sss222cccooosssttt
1
1
s 1 s2 1
sa 1
s a2
s2 2
序号
f(t)
7
cos(t)
8
t n (n 1，2，3， )
9
t neat (n 1，2，3， )
10
1 eat ebt
ba
11
1 bebt aeat
ba
12
1 ab
1
a
1
j
3 2
1
由此得：
1 1
2 0
s1
A
s(s2
s
1)
s s0
1
s1
s
1
F(s)
s(s2
s 1)
s
1 2
j
3 2
s
常用的拉氏变换表
常用的拉氏变换表在工程技术和科学研究中，拉氏变换是一种非常重要的数学工具。
它能够将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使得许多问题的分析和求解变得更加简便。
而要熟练运用拉氏变换，掌握常用的拉氏变换表是必不可少的。
拉氏变换的定义为：对于一个定义在0, ＋∞）上的实值函数 f(t)，其拉氏变换 F(s)定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt\其中，s ＝σ ＋jω 是一个复变量。
下面我们来介绍一些常用的函数的拉氏变换：1、单位阶跃函数 u(t)单位阶跃函数在 t ＜ 0 时，函数值为 0；在t ≥ 0 时，函数值为 1。
其拉氏变换为：＼Lu(t) ＝＼frac{1}｛s}＼2、单位脉冲函数δ(t)单位脉冲函数在 t ＝ 0 时，函数值为无穷大，且在整个时间轴上的积分值为 1。
其拉氏变换为：＼Lδ(t) ＝ 1\3、指数函数 e^（at) （a 为常数）其拉氏变换为：＼Le^｛at} ＝＼frac{1}｛s ＋ a}＼4、正弦函数sin(ωt)其拉氏变换为：＼Lsin(ωt) ＝＼frac{＼omega}｛s^2 ＋＼omega^2}＼5、余弦函数cos(ωt)其拉氏变换为：＼Lcos(ωt) ＝＼frac{s}｛s^2 ＋＼omega^2}＼6、 t 的幂函数 t^n （n 为正整数）其拉氏变换为：＼Lt^n ＝＼frac{n!｝｛s^｛n ＋ 1}｝＼7、斜坡函数 t其拉氏变换为：＼Lt ＝＼frac{1}｛s^2}＼8、二次斜坡函数 t^2其拉氏变换为：＼Lt^2 ＝＼frac{2!｝｛s^3} ＝＼frac{2}｛s^3}＼掌握这些常用函数的拉氏变换，可以帮助我们在解决各种问题时快速进行变换和求解。
例如，在电路分析中，通过拉氏变换可以将时域中的电路方程转换为复频域中的方程，从而更方便地求解电路的响应。
在控制系统中，拉氏变换也有着广泛的应用。
通过对系统的输入和输出进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，从而对系统的性能进行分析和设计。
拉氏变换
A01 r 1 A02 r 2 p0 t f (t ) [ t t A0 r ]e (r 1)! (r 2)! Ar 1e pr1t An e pnt t0
13
例： 解：
s3 求反变换。 ( s 2) 2 ( s 1) A01 A02 A3 F ( s) 2 s 2 s 1 ( s 2) s3 A01 [ ( s 2) 2 ] s 2 1 ( s 2) 2 ( s 1) F (s)
定义：
1 c j f (t ) F ( s)e st ds 2j c j
根据上式求反变换显然很复杂，一般采用下 面的方法求反变换。 设F(s)为：
b0 s m b1s m1 bm1s bm F ( s) a0 s n a1s n1 an1s an
F (s)
f (t ) te2t 2e2t 2et (t 2)e2t 2et
t 0
14
习题 一、求拉氏变换
(1) f (t ) 0.5(1 cos3t ) (3) f (t ) e at sin t (2) f (t ) 1 e t e 4t (4) f (t ) te 2t
1
1
例：已知 解：
F ( s)
F (s)
s 1 s ( s 2 s 1)
求 f(t)
A A s A2 s 1 0 21 s( s 2 s 1) s s s 1
s0 0 s1, 2 1 j 3 0.5 j 0.866 2 2
三个极点：
( n1) (0) 0 特别，当初值 f (0) f (0) f (0) f
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式
拉氏变换是一种常用的数学方法，它可以用来求解方程的根。
它最初由拉氏在1877年提出，用于解决线性方程组。
它的基本思想是：将方程分解为两个简单的子问题，然后用递归方法进行求解。
拉氏变换的基本公式是：
Xn+1=f(Xn)
其中，Xn为当前迭代的值，f(Xn)为函数，是一个由Xn生成新值的函数。
拉氏变换最常用于解决非线性方程，其原理是：通过迭代不断更新Xn,使得当前迭代的值Xn+1接近满足方程的解，从而解决方程。
拉氏变换的基本步骤是：
(1)选择一个初始值XO;
(2)计算新值Xn+1=f(Xn);
(3)以Xn+1替换Xn,重复上述步骤，直至满足要求的精度；
(4)最后得到的Xn+1即为方程的解。
拉氏变换具有优越的收敛性，但是它运算较慢，而且容易陷入局部
最小值，因此经常需要多次迭代。
拉氏变换虽然有一定的局限性，但是它仍然是一种重要的数学方法,在计算机科学、工程学等领域有着广泛的应用，如求解非线性方程、求解最优化问题等。
总之，拉氏变换是一种优越的数学方法，在计算机科学和工程学等领域有着重要的应用。
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，常被用于信号处理、系统分析、电路设计等领域。
在进行拉氏变换时，我们常用到一些常用的公式，这些公式是解决问题的关键。
本文将介绍一些常用的拉氏变换公式，以及其在实际应用中的意义和用法。
1. 基本定义拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的方法。
它定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞)e^(-st) f(t) dt其中，F(s)表示拉氏变换结果，L表示拉氏变换算子，f(t)表示时域函数，s表示复频域变量。
2. 常见公式以下是一些常用的拉氏变换公式：2.1 常数函数L{1} = 1/s2.2 单位阶跃函数L{u(t)} = 1/s2.3 指数函数L{e^(at)} = 1/(s-a)，其中a为常数2.4 正弦函数L{sin(at)} = a/(s^2 + a^2)2.5 余弦函数L{cos(at)} = s/(s^2 + a^2)2.6 钟形函数L{rect(t)} = 1/sinc(s/2)，其中sinc(x) = sin(x)/x2.7 基本运算拉氏变换具有一些基本运算规则，如时移、倍乘和微分等。
这些运算可以用于求解更复杂的函数对应的拉氏变换。
详细的运算规则可以参考相应的数学教材。
3. 实际应用拉氏变换在信号处理、系统分析和电路设计等领域有着广泛的实际应用。
3.1 信号处理在信号处理中，常常需要对信号进行滤波、频域分析等操作。
通过将信号进行拉氏变换，可以将复杂的时域信号转换为频域函数，便于对信号特性的分析和处理。
3.2 系统分析拉氏变换在系统分析中有着重要的作用。
通过将系统的输入和输出进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，进而分析系统的频率响应、稳定性等性质。
3.3 电路设计在电路设计中，拉氏变换可以用于求解电路的导纳、阻抗等参数。
通过将电路的输入和输出进行拉氏变换，可以得到电路的传输函数，进而进行电路的设计和优化。
综上所述，拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、系统分析、电路设计等领域。
拉氏变换
9、卷积定理：若f1(t), f2(t)可拉氏变换，且 有L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s),则
F1 ( s) F2 ( s ) L[ f1 ( ) f 2 (t )d ]
0
t
t
0
f1 ( ) f 2 (t )d为f1 (t）、f 2 (t）的卷积
2、时域平移定理：若f(t)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)，则
L[ f (t a)] e F ( s)
as
3、时域微分定理：若f(t)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)，则
df (t ) L[ ] sF ( s ) f (0 ) dt d n f (t ) L[ ] s n F ( s ) s n 1 f (0 ) s n 2 f (1) (0 ) ...... f ( n 1) (0 ) dt n df (t ) (1) f (0 ) |t 0 dt d n 1 f (t ) f ( n 1) (0 ) |t 0 n 1 dt
f (t ) R(t ) t 1(t )......... t 0 .......
F ( s) L[ R(t )] te dt
st 0 令u t dv e
t
e
st
st
s
0
e dt s
st
e 1 2 |0 2 s s
n Ai pi t 1 1 f (t ) L [ F ( s )] L [ ] Ai e i 1 ( s pi ) i 1 n
(2)当F(s)中的极点pl为l重极点时，F(s)可以表示为
拉氏变换
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )
1
2
j
(e j t
e j t
)
1 2j
S
1
j
S
1
j
S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)
R
t
u(t)
Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R
时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)
0.5R
t
2
u(t
)
0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt
sF (s)
拉氏变换
1 1 1 2 = − + 2 2 s ⎛ 3⎛ ⎞ 1⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ ⎜s+ ⎟ +⎜ ⎜s+ ⎟ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎝ s+
3 2 ⎞ 1⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ ⎟ +⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 2 ⎠
2
2
续
⎡ s+1 ⎤ 所以f (t ) = L ⎢ 2 ⎥ s s + s + 1 ⎣ ⎦
−1
(
)
－ 1 式中，L 是表示进行拉氏反变换 的符号
常用函数拉氏变换对照表
s s 2 + w2
拉 氏 变 换 续 表
典型函数的拉氏变换
单位阶跃函数1 （ t） ⎧0( t < 0) 1( t ) = ⎨ ⎩1( t ≥ 0)
F ( s ) = L[1( t )] = ∫
∞
0
1 − st ∞ 1( t )e dt = − e s 0
A3 A1 s + A2 + = (s + p1 )(s + p2 ) s + p3
1
系数求法：
An + ... + s + pn
s=− p [F ( s )(s + p1 )(s + p2 )]或 s=− p
2
⎡ A1 s + A2 A3 An ⎤ =⎢ + + ... + ⎥ (s + p1 )(s + p2 ) s = − p1 ( )( ) s + pn ⎦ s + p3 ⎣ s + p1 s + p2 或s = − p2
s −s+2 F (s ) = s s2 − s − 6
Laplace变换
1 1 ST F(S) = e S S
f(t) T T
f ( t ) = t[ε ( t ) ε ( t T )]
1 e ST F(S) = 2 2 S S
2、频域平移性质 、
设：L[ f ( t )] = F ( S )
则：L[e
∞
αt
f ( t )] = F ( S + α )
证： e ∫0
Laplaceຫໍສະໝຸດ 变换1 Laplace变换的定义 变换的定义 2 3 4 Laplace变换的性质 变换的性质 Laplace反变换 反变换 Laplace变换的应用 变换的应用
1 Laplace变换的定义 变换的定义
拉氏变换定义：一个定义在 ， ） 拉氏变换定义：一个定义在[0，∞）区间的函 数 f(t)，它的拉氏变换定义为： ，它的拉氏变换定义为：
dF ( S ) 则：L[ tf ( t )] = dS d ∞ ∞ st st 证： ∫0 f ( t )e dt = ∫0 f ( t )( t )e dt ds
= L[ tf ( t )]
d F (S) 推广： 推广： L[t f ( t )] = ( 1) n dS
n n n
dF ( S ) L[ tf ( t )] = dS
则：L[ ∫0
d 证： f ( t ) = dt
t
1 f ( t )dt ] = F ( S ) S
∫0
t
f ( t )dt
d t L[ f ( t )] = L[ ∫0 f ( t )dt ] dt t t F (S ) = sL[ ∫0 f ( t )dt ] ∫0 f ( t )dt
t =0
∞
st
∞
拉氏变换的基本性质
频移性质表明信号在时域中乘以指数函数对应于频域中的平移。
微分性质
微分定理
若$f(t)$的拉氏变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉氏变换为$sF(s)-f(0^-)$。
微分性质的意义
微分性质建立了信号时域微分与频域之间的关系，便于通过拉氏变换求解微分方 程的初值问题。
积分性质
积分定理
拉氏变换的基本性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的基本性质 • 拉氏变换的收敛域 • 拉氏反变换 • 拉氏变换在电路分析中的应用 • 拉氏变换在信号处理中的应用
01 引言
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种线性积分 变换
它将一个有实数变量t（t≥0）的函数转换为 一个复数变量s的函数。
转换公式
对于实数变量t的函数f(t)，其拉氏变换F(s)定 义为F(s)=∫[0,∞)f(t)e^(-st)dt，其中s为复数
电路分析
在电路分析中，拉氏反变换常用 于将电路的频率响应转换回时域 响应，以便分析电路的动态行为。
控制系统
在控制系统中，拉氏反变换可用于 将控制系统的传递函数转换回时域， 以便分析系统的稳定性和性能。
信号处理
在信号处理中，拉氏反变换可用于 将信号的频谱转换回时域信号，以 便进行信号的重构和分析。
05 拉氏变换在电路分析中的 应用
确定收敛域。
收敛域与函数性质的关系
函数增长性与收敛域
函数增长越快，其拉氏变换的收敛域越小；反之，函数增长越慢， 其收敛域越大。
函数奇偶性与收敛域
对于偶函数，其拉氏变换的收敛域关于实轴对称；对于奇函数，其 收敛域关于原点对称。
函数周期性与收敛域
周期性函数的拉氏变换在相应的周期内收敛，而在其他区域可能发 散。
拉氏变换_精品文档
拉氏变换什么是拉氏变换拉氏变换（Laplace Transform）是一种将函数从时间域转换到复频域的数学工具。
它在工程学科和物理学中有广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理领域。
拉氏变换通过积分运算将一个函数从时间域（t-domain）变换到频域（s-domain），其中s是一个复变量。
拉氏变换的定义给定一个函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt这里，s是复变量，e是自然对数的底数，t表示时间。
拉氏变换的性质拉氏变换具有许多有用的性质，以下是一些常见的性质：1.线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中a和b是常数。
2.移位性质：L{f(t - a)} = e^(-as)F(s)，其中a是常数。
3.初值定理：lim_[s→∞] sF(s) = f(0)，其中f(0)是函数f(t)在t=0时的初值。
4.终值定理：lim_[s→0] sF(s) = lim_[t→∞] f(t)，即函数f(t)在t→∞时的极限等于F(s)在s=0时的极限。
这些性质使得拉氏变换成为了解决微分方程问题以及计算复杂电路的有效工具。
拉氏变换的应用1. 信号处理在信号处理领域，拉氏变换用于分析和处理连续时间信号。
通过将信号从时间域转换到频域，可以更好地理解信号的频谱特性，并进行滤波、降噪、调制等处理。
2. 控制系统在控制系统分析中，拉氏变换被广泛用于研究和设计控制系统的性能和稳定性。
通过将控制系统表示为拉氏域的传输函数，可以方便地进行频率响应、稳定性分析和控制器设计。
3. 电路分析在电路分析中，拉氏变换用于求解电路的幅频特性、相频特性和传输函数。
通过将电路中的电压和电流转换到拉氏域，可以更方便地进行复杂电路的分析和计算。
4. 信号传输拉氏变换在信号传输中的应用非常广泛。
信号的拉氏变换可以帮助我们理解信号在传输过程中的衰减、失真和干扰等问题，从而优化信号传输的方案。
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统分析和电路设计等领域。
本文将介绍拉氏变换常用的公式，包括重要的拉氏变换和反变换公式，以及一些常见的拉氏变换性质。
1. 拉氏变换公式拉氏变换公式是将一个时间域函数变换成复频域的函数。
以下是一些常用的拉氏变换公式：（1）常数信号的拉氏变换：如果输入信号为常数，即f(t)=A，其拉氏变换为F(s) = A/s，其中A 为常数。
（2）指数信号的拉氏变换：指数信号的拉氏变换公式为：f(t) = e^(at) -> F(s) = 1/(s-a)，其中a为常数。
（3）单位冲激信号的拉氏变换：单位冲激信号的拉氏变换公式为：f(t) = δ(t) -> F(s) = 1，其中δ(t)表示单位冲激函数。
（4）正弦信号的拉氏变换：正弦信号的拉氏变换公式为：f(t) = sin(ωt) -> F(s) = ω/(s^2 + ω^2)。
其中ω为正弦信号的频率。
2. 拉氏反变换公式拉氏反变换是将复频域函数转换回时间域函数的过程，以下是一些常用的拉氏反变换公式：（1）常数信号的拉氏反变换：对于F(s) = A/s，其拉氏反变换为f(t) = A。
（2）指数信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1/(s - a)，其拉氏反变换为f(t) = e^(at)，其中a为常数。
（3）单位冲激信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1，其拉氏反变换为f(t) = δ(t)。
（4）正弦信号的拉氏反变换：对于F(s) = ω/(s^2 + ω^2)，其拉氏反变换为f(t) = sin(ωt)。
3. 拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，其中包括线性性质、时间平移性质、频率平移性质、频率缩放性质、卷积定理等，这些性质对于信号处理和系统分析非常有用。
（1）线性性质：拉氏变换具有线性性质，即对于输入信号f1(t)和f2(t)，以及相应的拉氏变换F1(s)和F2(s)，有以下性质成立：a1*f1(t) + a2*f2(t) -> a1*F1(s) + a2*F2(s)。
拉氏变换
3
象函数F(s) 存在的条件：
0
f ( t )e
st
dt
e st 为收敛因子
3.信号典型函数 拉氏变换的计算
指数函数
三角函数 单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位速度函数
单位加速度函数
幂函数
阶跃信号（Step Function）
R t 0 r (t ) R u (t ) 0 t 0
s t 0
f ( ) lim f ( t ) lim SF ( S )
t s 0
证：利用导数性质
lim 0 s 0
d f ( t )e st dt lim[ SF ( S ) f (0 )] s 0 dt
0
d st f ( t ) lim e dt f ( t ) s0 dt 0 f ( ) f ( 0 ) lim SF ( S ) f ( 0 )
反变换
0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 0 + 开始，称为0+ 拉氏变换 。 积分下限从 0 0
今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及t=0时f(t) 包含的冲击。
F (S ) 简写 f (t )
注
1
f (t ) 1 F (S )
例2 解
求 : f (t ) δ( t )的象函数
du (t ) (t ) dt
1 [u (t )] s
δ(t )
推广：
1 d [ u (t )] S 1 dt S
d 2 f (t ) ' [ ] s[sF (s) f (0 )] f (0 ) 2 dt
拉氏变换
1 ：广义阻抗；运算阻抗； SC
uC (0) Useg (S)＝US (S) + LiL (S) ：等值电压源象函数。 S
Z(S)I(S)=Useg(S)
5应用拉普拉斯变换法分析线性电路 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
应用拉氏变换分析线性电路的步骤： 把电路变换成频域电路； 电路可用结点电压法、网孔法、叠加法等来求解； 利用拉氏反变换得到时域的值。
uC (0 ) 1 U C (S ) = + IC (S ) S SC
U C ( 0 ) 1 : 运算容抗; : 附加电压源； SC S
4 运算电路
duC L [iC ] = L C dt
IC(S)=SCUC(S)CuC(0)
SC : 运算容纳;CU C ( 0 ) : 附加电流源；
K13 = ( S S1 )3 N (S ) D( S )
S = S1
Q
K2 d [ K13 + K12 ( S S1 ) + K11 ( S S1 ) 2 + ( S S1 )3 ] dS S S2 ∴ K12 d 3 N (S ) = [( S S1 ) ] dS D( S ) S = S 1
1 d2 3 N (S ) K11 = 2 [( S S1 ) ] 2! dS D ( S ) S = S
K1( p j )
1
1 dj N (S ) = j [( S S1 ) p ] , j ! dS D ( S ) S = S
1
j = 0,1, 2L ( p 1) , 0! = 1,
5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
例：RC 并联电路，换路前为零状态，t=0 时接通单位阶跃电流源， 求 uC(t)和 iC(t)。
拉氏变换
t<0 0≤t<a a ≤ t < 3a t ≥ 3a
试用单位阶梯函数将f(t)合写为一个式子。
例5
已知
sin t , 0 ≤ t < π f (t ) = t ≥π t,
试将f(t)合写为一个式子。
（2）狄拉克函数 δ (t ) (Dirac) 定义 设 t<0 0, 1 δ τ (t ) = 0 ≤ t ≤τ τ t >τ 0, 则称 δ ( t ) = lim δ τ ( t ) 为狄拉克函数，
说明：
1）为方便计，总假定：当t<0时，f(t) 0。 2）p本来是复数，为方便，假定p为实数。 ≡ 不影响讨论。 3）拉氏变换是一种积分变换（另一种为： 傅里叶变换）。
例题
例1 求f(t)=eat（t ≥ a是常数）的拉氏变 0, 换。 例2 求f(t)=at（t ≥0, a为常数）的拉氏变换。 例3 求f(t)=sin t(t 0)的拉氏变换。 ≥ ω 同理可求L[cos t].
拉氏变换及其性质
一 拉氏变换的基本概念
定义
设函数f(t)的定义域为[0， + ∞ ),若广义积分 +∞ 对于p的某一范围内的值收敛于F(p)，即 f ( t ) e − pt dt ∫0 +∞ F(p)= − pt
∫
0
f (t )e
dt
则称F(p)为f(t)的拉普拉斯变换（或象函数， 拉氏变换），记作L[f(t)]=F(p).也称f(t)为F(p) −1 L 的拉氏逆变换（或象原函数），记作 [F(p)]=f(t).
g (t )δ (t )dt = g (0)
例6
求u(t)的拉氏变换。
例7
求
δ (t ) 的拉氏变换。
拉氏变换定义,性质
拉氏变换的未来发展
理论完善
随着数学和工程领域的发展，拉普拉斯变换的理论体系将不断完 善，为解决更复杂的问题提供更有效的工具。
应用拓展
随着科技的不断进步，拉普拉斯变换的应用领域将不断拓展，例如 在人工智能、机器学习等领域的应用。
数值计算
随着计算机技术的发展，拉普拉斯变换的数值计算方法将更加精确 和高效，为实际应用提供更好的支持。
拉氏变换的定义
定义
拉普拉斯变换是一种将时域函数（通常是无限或有限时间内 的信号或系统响应）转换为复频域函数的方法。通过将时域 函数乘以相应的权函数，然后对结果进行积分，可以得到该 时域函数的拉普拉斯变换。
符号表示
通常使用符号 (L) 表示拉普拉斯变换，例如，如果 (f(t)) 是时 域函数，那么 (F(s)) 就是 (f(t)) 的拉普拉斯变换，其中 (s) 是 复频域变量。
时移性质
时移性质
若 $f(t)$ 是输入信号，$F(s)$ 是它的 拉氏变换，则 $f(t-a)$ 的拉氏变换为 $e^{-sa}F(s)$，其中 $a$ 是时移量。
应用
在系统分析中，时移性质可用于分析 系统的稳定性和动态响应。
频移性质
Hale Waihona Puke 频移性质若 $f(t)$ 是输入信号，$F(s)$ 是它的 拉氏变换，则 $f(at)$ 的拉氏变换为 $frac{1}{|a|}F(frac{s}{a})$，其中 $a$ 是频移量。
拉氏变换定义、性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的性质 • 拉氏变换的应用 • 结论
01 引言
拉氏变换的背景和重要性
背景
拉普拉斯变换是18世纪末由法国科学家拉普拉斯提出的一种数学工具，主要用 于解决初值问题，即求解微分方程时，需要给出初始条件的问题。
(完整版)最全拉氏变换计算公式
最全拉氏变换计算公式1233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；4其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
拉氏变换定义
拉氏变换定义拉氏变换是数学中的一种重要工具，广泛应用于信号与系统、控制理论、电路分析等领域。
它是将时域信号转换为复频域信号的一种方法，可以用于分析信号的频谱特性、系统的稳定性以及系统的传递函数等问题。
拉氏变换的定义如下：设函数f(t)在区间[0,∞)上绝对可积，即∫|f(t)|dt<∞，则称函数F(s) = L{f(t)}=∫f(t)e^(-st)dt为f(t)的拉氏变换，其中s为复变量。
通过拉氏变换，我们可以将一个复杂的时域信号转换为在复频域中的表示，从而更方便地进行分析。
通过对拉氏变换的运算和性质的研究，我们可以得到许多有用的结论和定理，进而解决各种与信号与系统相关的问题。
拉氏变换的一个重要性质是线性性质。
即对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)。
这个性质使得我们可以将复杂的信号分解为更简单的部分进行处理，从而简化问题的求解过程。
拉氏变换还有平移性质和尺度变换性质。
平移性质表明，如果f(t)的拉氏变换为F(s)，则e^(-at)f(t)的拉氏变换为F(s+a)。
尺度变换性质表明，如果f(at)的拉氏变换为F(s)，则f(t)的拉氏变换为(1/a)F(s/a)。
这两个性质使得我们可以通过对信号进行平移和尺度变换，来获得不同频率和幅度的信号的拉氏变换。
拉氏变换还有微分和积分性质。
微分性质表明，如果f(t)的导数为f'(t)，则f'(t)的拉氏变换为sF(s) - f(0)。
积分性质表明，如果f(t)的积分为∫f(t)dt，则∫f(t)dt的拉氏变换为F(s)/s。
这两个性质使得我们可以通过对信号进行微分和积分操作，来得到信号的导数和积分的拉氏变换。
拉氏变换的应用非常广泛。
在信号与系统中，我们可以利用拉氏变换来分析信号的频谱特性，如频率响应、带宽等。
在控制理论中，拉氏变换可以用于分析系统的稳定性和动态响应。
第三章拉氏变化
控 制 工 程 基 础
式中， 式中，
∫
t 0
f ( t − λ )g ( λ )d λ = f ( t ) ∗ g ( t )
称为f(t)与g(t)的卷积。 称为f(t)与g(t)的卷积。 f(t) 的卷积
式中，p1,p2 ,pn称为F(s)的极点， ,pn称为F(s)的极点 式中，p1,p2…,pn称为F(s)的极点， p1,p2…,pn称为F(s)的零点。 ,pn称为F(s)的零点 p1,p2 ,pn称为F(s)的零点。
第三章
拉氏变换
1)F(s)无重极点的情况 1)F(s)无重极点的情况
控 制 工 程 基 础
第三章
拉氏变换
拉氏变换存在的条件
控 制 工 程 基 础
1.f(t)分段连续； f(t)分段连续； 分段连续 满足： 2.时间t充分大时，f(t)满足： 时间t充分大时，f(t)满足
f (t ) ≤ Me
at
第三章
拉氏变换
二、典型时间函数的拉氏变换
控 制 工 程 基 础
1、单位阶跃函数
0 1(t ) = 1
s = p1
k11 = F(s)(s − p1 )r
d k12 = [F(s)(s − p1 ) r ] ds
1 d2 k13 = [F(s)(s − p1 )r ] 2 2! ds ⋮
s = p1
s = p1
1 d r −1 k1r = [F(s)(s − p1 ) r ] (r − 1)! ds r −1
L[e f ( t )] = F(s + a )
− at
第三章 实 微 分 定 理
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用拉氏变换法解线性微分方程
一 基本定义
若函数f(t)，t 为实变量，线积分
∫ f(t)e -st dt (s 为复变量)存在，
则称其为f(t)的拉氏变换，记为F(s)或£[f(t)]，即F(s)=£[f(t)]=∫ f(t)e -st dt
常称：F(s)→f(t)的象函数；
f(t) →F(s)的原函数。
二 基本思路
用拉氏变换解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化成代数运算
三 典型函数的拉氏变换 1、单位阶跃函数
f(t)=1(t)= 1 t ≧0
t <0
F(s)=£[f(t)]= ∫ f(t)e -st dt =∫ 1 e -st dt =1/s
2、单位斜坡函数 f(t)= t 1(t) = t t ≥0
0 t <0
F(s)=£[f(t)]= ∫ t e -st dt =1/s ²
3、等加速度函数
∞
0 ∞
∞
∞ 0
∞
f(t) = 1/2 t ² t ≥0 0
t <0
F(s) = ∫ 1/2 t ² e -st dt = 1/s ³
4、指数函数
t ≥0 t <0
F(s)= ∫ 1/2 t ² e -st
dt =1 / (s-α)
5、正弦函数
f(t)= sinwt t ≥0 0 t <0
F(s) =∫sinwt e -st dt = w/(s ²+w ²) 四 拉氏变换的几个法则
对于一些简单原函数，可根据拉氏变换定义求象，但对于较复杂的原函数，必须用到下面几个定理求取其象函数：
1、线性定理
若：£[f 1(t)]=F 1(s) ， £[f 2(t)]=F 2(s) (a 、b 为常数) 则 £[a f 1(t) + b f 2(t)] = aF 1(s) + bF 2(s)
2、微分定理
若：£[f(t)]=F(s)
则 £[d ⁿf(t)/dt ⁿ]=s ⁿF(s) - ∑s n-i-1 f (i) (0)
式中f (i) (0)为f(t)及其各阶导数在t=0时的值
∞
∞
∞
n-1
i=0
若 f (i) (0) = 0 （a=1，2，…n ）
则 £[d ⁿf(t)/dt ⁿ] =s ⁿF(s)
3、积分定理
若：£[f(t)]=F(s) ， 在零初始条件下： 则 £[∫…∫f(t)dt ⁿ]=1/s ⁿ F(s)
4、位移定理（延时定理） 若：£[f(t)]=F(s)
则 时域：£[f(t-t 0)1(t-t 0)] = F(s)e
S 域：£[f(t)e ] = F(s+α)
5、初值与终值定理
若：£[f(t)] = F(s) ，且f(t)的拉氏变换存在， 则 f(0)=limf(t) = lim s F(s)
f(∞)=limf(t)=lim sF(s)
例：求阶跃函数 f(t)=A 1(t) 的象函数 解：
F(s)= £[A 1(t)]= A £[1(t)]=A 1/s
例：求脉冲函数δ(t) 的象函数 解： ∵δ(t) = d1(t)/dt
∴应用微分定理（初零）得： F （s ）= £[d1(t)/dt] = sF(s) =s 1/s = 1
-αt
-st o
-αt
t →0
t →∞
s →∞
s →0
例：求f(t) = e sinwt 的拉氏变换 解：应用位移定理，
F （s ）= £ [e sinwt] = w/[(s+α)²+w ²] 五 拉普拉斯反变换
定义：若£-¹
[F(s)] = f(t) = 1/（2πj ）∫ F(s)e dt ，
则称上式为F(s)的拉氏反变换。
由于上式中复变函数积分一般很难计算，∴由F(s)求f(t)常用部分分式法。
1、 求拉氏反变换的思路与步骤
①将F(s)分解成简单的有理分式函数之和 ②确定待定系数
若F(s)分母无重根,则系数C i = lim (s-s i ) F(s)
若F(s)分母有重根,则系数C m =lim (s-s i )m F(s)
C m-1= lim( d/ds)[(s-s i )m F(s)]
C m-j = lim 1/j! d j /ds j [(s-s i )m F(s)]
………
C 1 = 1/(m-1)! lim d m-1/ds m-1 [(s-s i )m F(s)]
③化简F(s)
④由变换表求F(s)→f(t)
2、 应用举例
例： F(s)=
解：(1) F(s)= = +
(2) C 1 = lim (s+1) = 1/2
C 2 = lim (s+3) = 1/2
(3)简化F(s)=1/2 +1/2
-s t
-αt
σ+∞
σ-∞
s →s i
s →s i
s →s i
s →s i
s →s i
s+2 s 2+4s+3
s+2 (s+1)(s+3)
C 1 s+1
C 2 s+3
s+2
(s+1)(s+3)
s →-1 s →-3
s+2
(s+1)(s+3) 1 s+1
3 s+1
(4)查表：f(t) = 1/2e -t +1/2e -3t =1/2(e -t +e -3t )
例： F(s) = ，求拉氏反变换。
解：(1) F(s)= + + +
(2) C 1 = lim (s+1)² =-1/2
C 2 = limd/ds[(s+1)2 ] =-3/4
C 3 = lim (s-0) F(s) = 2/3
C 4 = lim (s+3) F(s) =1/12
(3) F(s)= -1/2 -3/4 +2/3 +1/12 (4) 查表得：f(t) = -1/2te -t - 3/4e -t + 2/3 + 1/12e -3t
六 用拉氏变换解线性微分方程 1、建立微分方程 2、取拉氏变换 3、取拉氏反变换 4、整理
例： RC 电路如图
(1) RC dUc/dt + Uc = Ur 1(t)
(2) RC SUc(s)-RC Uc(0) + Uc(s) = 1/s Ur
(3) U c(s) = + Uc(0)
(4) U c(s) =1/S Ur - Ur + Uc(0)
=1/S Ur - Ur + Uc(0)
(5) Uc(t)=Ur – Ur e + Uc(0) e -1/RC
t -1/RC t
s+2
s(s+1)2(s+3)
C 1 （s+1）2 C 2 s+1 C 3
s
C 4 s+3 s+2
s(s+1)2(s+3)
s+2 s(s+1)2(s+3)
s →-1
s →-1
s →0
s →-3
1 （s+1）2
1 s+1 1 s 1 s+3
Ur S(RCS+1) RC
(RCS+1)
RC (RCS+1) RC
(RCS+1)
1 1+1/RC
1
1+1/RC
Uc(t)
小结：
1、拉氏变换基本概念；
2、拉氏变换的基本法则及应用；
3、拉氏变换解微分方程的基本思路；（*）
4、以拉氏反变换获取响应函数。
（*）。