拉氏变换

用拉氏变换法解线性微分方程

一 基本定义

若函数f(t)，t 为实变量，线积分

∫ f(t)e -st dt (s 为复变量)存在，

则称其为f(t)的拉氏变换，记为F(s)或£[f(t)]，即F(s)=£[f(t)]=∫ f(t)e -st dt

常称：F(s)→f(t)的象函数；

f(t) →F(s)的原函数。 二 基本思路

用拉氏变换解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化成代数运算

三 典型函数的拉氏变换 1、单位阶跃函数

f(t)=1(t)= 1 t ≧0

t <0

F(s)=£[f(t)]= ∫ f(t)e -st dt =∫ 1 e -st dt =1/s

2、单位斜坡函数 f(t)= t 1(t) = t t ≥0

0 t <0

F(s)=£[f(t)]= ∫ t e -st dt =1/s ²

3、等加速度函数

∞

0 ∞

∞

∞ 0

∞

f(t) = 1/2 t ² t ≥0 0

t <0

F(s) = ∫ 1/2 t ² e -st dt = 1/s ³

4、指数函数

t ≥0 t <0

F(s)= ∫ 1/2 t ² e -st

dt =1 / (s-α)

5、正弦函数

f(t)= sinwt t ≥0 0 t <0

F(s) =∫sinwt e -st dt = w/(s ²+w ²) 四 拉氏变换的几个法则

对于一些简单原函数，可根据拉氏变换定义求象，但对于较复杂的原函数，必须用到下面几个定理求取其象函数：

1、线性定理

若：£[f 1(t)]=F 1(s) ， £[f 2(t)]=F 2(s) (a 、b 为常数) 则 £[a f 1(t) + b f 2(t)] = aF 1(s) + bF 2(s)

2、微分定理

若：£[f(t)]=F(s)

则 £[d ⁿf(t)/dt ⁿ]=s ⁿF(s) - ∑s n-i-1 f (i) (0)

式中f (i) (0)为f(t)及其各阶导数在t=0时的值

∞

∞

∞

n-1

i=0

若 f (i) (0) = 0 （a=1，2，…n ）

则 £[d ⁿf(t)/dt ⁿ] =s ⁿF(s)

3、积分定理

若：£[f(t)]=F(s) ， 在零初始条件下： 则 £[∫…∫f(t)dt ⁿ]=1/s ⁿ F(s)

4、位移定理（延时定理） 若：£[f(t)]=F(s)

则 时域：£[f(t-t 0)1(t-t 0)] = F(s)e

S 域：£[f(t)e ] = F(s+α)

5、初值与终值定理

若：£[f(t)] = F(s) ，且f(t)的拉氏变换存在， 则 f(0)=limf(t) = lim s F(s)

f(∞)=limf(t)=lim sF(s)

例：求阶跃函数 f(t)=A 1(t) 的象函数 解：

F(s)= £[A 1(t)]= A £[1(t)]=A 1/s

例：求脉冲函数δ(t) 的象函数 解： ∵δ(t) = d1(t)/dt

∴应用微分定理（初零）得： F （s ）= £[d1(t)/dt] = sF(s) =s 1/s = 1

-αt

-st o

-αt

t →0

t →∞

s →∞

s →0

例：求f(t) = e sinwt 的拉氏变换 解：应用位移定理，

F （s ）= £ [e sinwt] = w/[(s+α)²+w ²] 五 拉普拉斯反变换

定义：若£-¹

[F(s)] = f(t) = 1/（2πj ）∫ F(s)e dt ，

则称上式为F(s)的拉氏反变换。

由于上式中复变函数积分一般很难计算，∴由F(s)求f(t)常用部分分式法。

1、 求拉氏反变换的思路与步骤

①将F(s)分解成简单的有理分式函数之和 ②确定待定系数

若F(s)分母无重根,则系数C i = lim (s-s i ) F(s)

若F(s)分母有重根,则系数C m =lim (s-s i )m F(s)

C m-1= lim( d/ds)[(s-s i )m F(s)]

C m-j = lim 1/j! d j /ds j [(s-s i )m F(s)]

………

C 1 = 1/(m-1)! lim d m-1/ds m-1 [(s-s i )m F(s)]

③化简F(s)

④由变换表求F(s)→f(t)

2、 应用举例

例： F(s)=

解：(1) F(s)= = +

(2) C 1 = lim (s+1) = 1/2

C 2 = lim (s+3) = 1/2

(3)简化F(s)=1/2 +1/2

-s t

-αt

σ+∞

σ-∞

s →s i

s →s i

s →s i

s →s i

s →s i

s+2 s 2+4s+3

s+2 (s+1)(s+3)

C 1 s+1

C 2 s+3

s+2

(s+1)(s+3)

s →-1 s →-3

s+2

(s+1)(s+3) 1 s+1

3 s+1