2018考研数学冲刺模拟卷(数学二)

考研数学冲刺模拟卷（数学二）

一、选择题：～小题，每小题分，共分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上.

（）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩

在0x =处连续，则（ ） ()14

ab =

()12

ab =-

()0ab =

()2ab =

（）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-=-=且''

()0f x <，则（ ）

()

1

1

()0f x dx ->⎰

（）11

()0f x dx -<⎰ （）011

()()f x dx f x dx ->⎰⎰ （）01

1

()()f x dx f x dx -<⎰⎰

（）设数列{}n x 收敛，则（ ）

（）当lim tan 0n n x →∞

=时，lim 0n n x →∞

=

（）当lim(0n n x →∞

=时，lim 0n n x →∞=

（）当2lim()0n n n x x →∞

-=时，lim 0n n x →∞= （）当lim(sin )0n n n x x →∞

+=时，lim 0n n x →∞

=

（）微分方程244(1sin 2)x

y y y e x '''-+=+的特解可设为*

y =（ ） （）22(cos 2sin 2)x

x Ae

e B x C x ++ （）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （）222(cos 2sin 2)x

x Ax e

e B x C x ++ （）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++

（）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)

0,0f x y f x y x y

∂∂<>∂∂，则（ ）

（）(0,0)(1,1)f f > （）(0,0)(1,1)f f < （）(0,1)(1,0)f f > （）(0,1)(1,0)f f < （）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方（单位：）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为，计时开始后乙超过上甲的时刻记为0t （单位：），则（ ）

（）010t =

（）01520t <<

（）025t = （）025t >

（）设A 为m n ´阶矩阵，且()

r A m n =<，则下列结论正确的是（ ） （）A 的任意m 阶子式都不等于零 （）A 的任意m 个列向量线性无关

（）方程组AX b =一定有无穷多解 （）矩阵A 经过初等行变换可化为()

m E O （）设()111,

0,2,T c a =，()220,2,1,T c a =，()

331,2,3,T

c a =，

()41,0,1,0T

a =，

其中()

1,2,3i c i =为任意实数，则（ ）

（）1234,,,a a a a 必线性相关 （）1234,,,a a a a 必线性无关 （）123,,a a a 必线性相关 （）234,,a a a 必线性无关

二、填空题：-小题，每小题分，共分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. () 曲线21

ln(1)x y x e x

=+

+的斜渐近线方程为 () 设函数()y y x =由参数方程()0sin t

t

u

x t e y u e du ⎧=+⎪

⎨=+⎪⎩

⎰确定，则220t d y dx == ()

21

ln x

dx x

+∞

=⎰

() 设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且,(1)y y f f

ye x y e x y

∂∂==+∂∂，(0,0)0f =， 则(,)_______f x y =. （）已知1

tan ()x t

f x dt t

=

⎰，则10()______f x dx =⎰.

（）设,a b 为四维非零的正交向量，且T

A ab =，则A 的所有特征值为 .

三、解答题：—小题，共分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（）

（本题满分分）求极限

lim x t x dt du

+

→⎰⎰

（）（本题满分分）设函数()f u 在()0,

+∞内具有二阶导数，且z f

=

满足等式

22222212z z z z x y z x y x y x y ⎛⎫⎛⎫

∂∂∂∂ +=++ ⎪ ∂∂+∂∂⎝⎭⎝，若()()00,01,f f '==求函数()f u 的表达式.

（）求()()

2

1

ln ln lim

n

n k k n k n n →∞

=+-∑

（）（本题满分分）设函数()f x 连续，且

()2

13arccot 2

x

tf x t dt x -=⎰.已知()21f =，求()3

2

f x dx ⎰的值.

（）（本题满分分）设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数，()f x 在区间(0,1)内可导,且2()

(),f x f x x

'>-

试证明在(0,1)内，1()()0x xf x f t dt -=⎰存在唯一实根.

（）（本题满分分）已知平面区域(){}2

2

,|2,D x y x

y x =

+≤计算二重积分()2

1D

y dxdy +⎰⎰。

（）（本题满分分）设()y x 是区间30,2⎛

⎫

⎪⎝

⎭

内的可导函数，且(1)1y =，点P 是曲线: ()y y x =上任意一点，在点处的切线与轴相交于点()

,0p X ，法线与轴相交于点()

0,p Y ，若p p X Y =，求上点的坐标(),x y 满足的方程。

（）（本题满分分）设1234,,,,a a a a b 均为四维列向量，()

1234,,,A a a a a =，非齐次线性方程组AX b =的通解为()()1,

2,0,32,3,1,5T T

k -+-

(Ⅰ)求方程组()

234,,X a a a b =的通解；