新版高考数学一轮复习：《函数及其表示》教学案(含解析)

1， x≥0， － 1，x<0
表示同一函数；
(2)函数 y＝ f(x)的图象与直线 x＝ 1 的交点最多有 1 个； (3)f(x)＝ x2－ 2x＋ 1 与 g(t )＝ t2－ 2t＋ 1 是同一函数；
1 (4)若 f (x)＝ |x－ 1|－ |x|，则 f f 2
＝ 0.
其中正确判断的序号是 ________．
∴ f( x＋ 1)＝ ( x＋ 1)2－ 1( x＋ 1≥ 1)， 即 f(x) ＝x2－ 1(x≥1)． (2)设 f (x)＝ ax2＋ bx＋c( a≠ 0)，
则 f′ (x)＝ 2ax＋ b＝2x＋ 2， ∴ a＝ 1， b＝ 2， f(x)＝ x2＋ 2x＋ c.
又∵方程 f(x)＝ 0 有两个相等实根， ∴ Δ＝ 4－4c＝ 0， c＝ 1，故 f(x) ＝ x2＋ 2x＋ 1.
以题试法 1．试判断以下各组函数是否表示同一函数． (1)y＝ 1， y＝ x0； (2)y＝ x－ 2· x＋ 2， y＝ x2－ 4；
(3)y＝ x， y＝ 3 t3；
2
(4)y＝ |x|， y＝ ( x) . 解： (1)y＝ 1 的定义域为 R，y＝ x0 的定义域为 { x|x∈ R，且 x≠ 0} ，故它们不是同一函数． (2)y＝ x－ 2· x＋ 2的定义域为 { x|x≥ 2} ． y＝ x2－ 4的定义域为 { x|x≥2，或 x≤ －2} ， 故它们不是同一函数．
(2)待定系数法： 若已知函数的类型 (如一次函数、 二次函数 )，可用待定系数法 (如例 (3)) ； (3)换元法： 已知复合函数 f(g(x))的解析式， 可用换元法， 此时要注意新元的取值范围 (如 例(2)) ；
(4)方程思想：已知关于
f(x)与
f
1 x
或
f(－ x) 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一
解析： 选 D 函数 y＝ 1 的定义域为 { x|x≠0} ，选项 A 中由 sin x≠ 0? x≠kπ，k∈Z，故 3 x
A 不对；选项 B 中 x>0 ，故 B 不对；选项 C 中 x∈ R，故 C 不对；选项 D 中由正弦函数及分 式型函数的定义域确定方法可知定义域为 { x|x≠ 0} ．
[ 小题能否全取 ]
1． (教材习题改编 )设 g(x)＝ 2x＋3， g(x＋ 2)＝ f(x)，则 f(x) 等于 ( )
A ．－ 2x＋ 1
B ． 2x－ 1
C．2x－ 3
D ．2x＋ 7
解析： 选 D f (x)＝ g(x＋ 2)＝ 2(x＋ 2)＋ 3＝ 2x＋ 7.
x2＋ 1，x≤ 1，
设 f(x) ＝ax＋ b，把 (0,0)，
3 1， 2
和
3 1， 2
， (2,0)分别代入，
解得 a＝ 32， b＝ 0，
a＝－ 32， b＝ 3.
答案： f(x)＝
3 2x， 0≤ x≤ 1，
3 3－ 2x， 1≤x≤ 2
1．下列四组函数中，表示同一函数的是 ( )
A ． y＝ x－ 1 与 y＝ x－ 1 2
分段函数
典题导入
－
2
x，
x∈
－∞， 1
，
[例 3] (20xx ·广州调研考试 )设函数 f(x)＝ x2， x∈ [1 ，＋∞ ， 若 f (x)>4，则 x 的取值
范围是 ______．
－x
[自主解答 ] 当 x<1 时，由 f(x)>4，得 2 >4，即 x<－ 2； 当 x≥ 1 时，由 f(x)>4 得 x2>4，所以 x>2 或 x<－ 2， 由于 x≥1，所以 x>2.
(2)令
2＋ x
1＝
t
得
x＝ 2 ，代入得 t－1
f(t)＝ lg 2 ， t－ 1
又 x>0，所以 t>1，
故 f(x) 的解析式是
f(x)＝
lg
2 x－
1(x>1)
．
(3)设 f (x)＝ ax2＋ bx＋c( a≠ 0)，
由 f(0) ＝0，知 c＝0， f(x)＝ ax2＋ bx，
又由 f(x＋ 1)＝ f(x)＋ x＋ 1， 得 a(x＋ 1)2＋ b(x＋ 1)＝ ax2＋ bx＋ x＋ 1， 即 ax2＋ (2a＋ b)x＋a＋ b＝ ax2＋(b＋1) x＋ 1，
3． (20xx ·安徽高考 )下列函数中，不满足 f(2x)＝2f( x)的是 ( )
同，关键是看定义域和对应关系是否相同．
3． 求分段函数应注意的问题 在求分段函数的值 f(x0)时，一定要首先判断
x0 属于定义域的哪个子集，然后再代
入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．
函数的基本概念
[例 1] 有以下判断：
典题导入
(1)f(x)＝ |xx|与 g(x)＝
个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)( 如 A 级 T6) ．
以题试法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2． (1) 已知 f( x＋1) ＝ x＋ 2 x，求 f(x)的解析式；
(2)设 y＝ f(x)是二次函数，方程 f( x)＝ 0 有两个相等实根，且 析式．
f′ (x)＝ 2x＋ 2，求 f(x)的解
解： (1)法一： 设 t＝ x＋ 1，则 x＝(t－ 1)2(t ≥1) ； 代入原式有 f(t )＝ (t－ 1)2＋2(t －1) ＝t2－ 2t＋ 1＋ 2t －2＝ t2－1. 故 f(x) ＝x2－ 1(x≥1)． 法二： ∵ x＋ 2 x＝ ( x)2＋ 2 x＋ 1－1＝ ( x＋1) 2－ 1，
f
f
1 2
＝f(0) ＝ 1.
综上可知，正确的判断是 (2)(3) ．
[答案 ] (2)(3)
由题悟法
两个函数是否是同一个函数， 取决于它们的定义域和对应关系是否相同， 只有当两个函
数的定义域和对应关系完全
相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用
x 表示，但也可用其他字母表
示，如： f(x)＝ 2x－ 1， g( t)＝ 2t－ 1， h(m)＝ 2m－1 均表示同一函数．
义可知， 直线 x＝ 1 与 y＝ f(x)的图象只有一个交点， 即 y＝ f(x)的图象与直线 x＝ 1 最多有一个
交点； 对于 (3) ，f (x)与 g(t )的定义域、 值域和对应关系均相同， 所以 f(x)和 g( t)表示同一函数；
对于 (4) ，由于
f
1 2
＝
12－ 1
－
1 2
＝ 0，所以
(3)已知 f(x)是二次函数，且 f(0) ＝0， f( x＋1) ＝f (x)＋ x＋ 1，求 f( x)．
[自主解答 ]
(1) 由于
f
1 x＋ x
＝
x2＋
1 x2＝
1 x＋x
2－ 2，
所以 f(x)＝ x2－ 2， x≥ 2 或 x≤ － 2，
故 f(x) 的解析式是 f(x)＝ x2－ 2(x≥ 2 或 x≤ － 2)．
1
第一节
函数及其表示
1． 函数的概念
[ 知识能否忆起 ]
(1)函数的定义：
一般地，设 A， B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系
f，使对于集合 A
中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应；那么就称 f： A→ B 为从集
合 A 到集合 B 的一个函数．记作 y＝ f(x)， x∈ A.
综上可得 x<－ 2 或 x>2.
[答案 ] (－∞，－ 2)∪ (2，＋∞ )
若本例条件不变，试求 f(f(－ 2))的值． 解： ∵ f(－ 2)＝ 22＝ 4， ∴ f(f (－ 2)) ＝ f(4) ＝ 16.
由题悟法
求分段函数的函数值时， 应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，
有时每段
(2)映射不一定是函数，从 A 到 B 的一个映射， A、B 若不是数集，则这个映射便不 是函数．
2． 定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数
如函数 y＝ x 与 y＝ x＋ 1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数
y
＝sin x 与 y＝ cos x，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相
3 (3)y＝ x， y＝
t3 ＝ t ，它们的定义域和对应关系都相同，
故它们是同一函数．
(4)y＝ |x|的定义域为 R， y＝ ( x)2 的定义域为 { x|x≥ 0} ，故它们不是同一函数．
求函数的解析式
典题导入
[例 2]
(1)已知
f
1 x＋x
＝
x2＋
1 x2，求
f(x)的解析式；
(2)已知 f 2x＋ 1 ＝lg x，求 f(x)的解析式；
(2)函数的定义域、值域： 在函数 y＝ f(x)，x∈A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值
相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 { f(x)|x∈ A} 叫做函数的值域．显然，值域是集合 B
的子集．
(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(4) 相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是 判断两函数相等的依据．
解析： 令
t＝ 1x，则
x＝
1 t .所以
15 f(t) ＝ t2＋ t .
故
f(
x)
＝
5x＋ x2
1
(x≠
0)
．
答案：
5x＋ 1 x2 (x≠ 0)
5． (教材习题改编 )若 f(x)＝ x2＋ bx＋ c，且 f(1) ＝ 0， f(3) ＝ 0，则 f( －1) ＝________.
1＋ b＋ c＝ 0，
2a＋ b＝b＋ 1， 所以
a＋ b＝1，
解得
a＝
b＝
1 2.
所以
f(
x)
＝
12x2＋
1 2x(x∈
R)
．
函数解析式的求法
由题悟法
(1)配凑法：由已知条件 f(g(x)) ＝F(x) ，可将 F (x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替 代 g(x) ，便得 f(x)的解析式 (如例 (1)) ；
交替使用求值．若给出函数值
或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，
应根据每一段的解析式分别求解， 但
要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
以题试法
3.(20xx 衡·水模拟 )已知 f(x)的图象如图，则 f(x)的解析式为 ________．
解析： 由图象知每段为线段．
b＝－ 4，
解析： 由已知得
得
9＋ 3b＋ c＝ 0，
c＝ 3.
即 f(x) ＝x2－ 4x＋ 3. 所以 f(－ 1)＝ (－ 1)2－ 4× (－ 1)＋ 3＝ 8.
答案： 8
1.函数与映射的区别与联系
(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合 非空数集 A 到非空数集 B 的映射．
A 与集合 B 只能是非空数集，即函数是
[自主解答 ]
对于 (1) ，由于函数
f(
x)＝
|x|的定义域为 x
{ x|x∈R，且
x≠ 0} ，而函数
g(x)＝
1， x≥ 0， 的定义域是 R，所以二者不是同一函数；对于
－ 1， x<0
(2)，若 x＝ 1 不是 y＝ f(x)定义域
的值， 则直线 x＝ 1 与 y＝ f(x)的图象没有交点， 如果 x＝ 1 是 y＝f(x)定义域内的值， 由函数定
2． (20xx ·江西高考 )设函数 f(x)＝ 2， x>1， x
则 f(f(3)) ＝ ( )
1
A. 5
B．3
2
13
C.3
D. 9
解析： 选 D
f (3)＝ 2， f(f(3)) ＝ 3
2 3
2＋
1
＝
13 9.
3．已知集合 A＝ [0,8] ，集合 B＝[0,4] ，则下列对应关系中，不能看作从 的是 ( )
x－ 1 B．y＝ x－1与 y＝
x－1 C．y＝ 4lg x 与 y＝ 2lg x2
x D． y＝ lg x－ 2 与 y＝lg100
答案： D
2．下列函数中，与函数 y＝ 1 定义域相同的函数为 (
)
3 x
1 A ． y＝ sin x
B． y＝ ln x x
C．y＝ xex
sin x D． y＝ x
2． 函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3． 映射的概念 设 A， B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系
f，使对于集合 A 中的任
意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 到集合 B 的一个映射．
y 与之对应，那么称对应
f：A→B 为集合 A
4． 分段函数 若函数在其定义域内， 对于定义域内的不同取值区间， 有着不同的对应关系， 这样的函 数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
A 到 B 的映射
1 A ． f：x→ y＝ 8x
1 B ． f： x→y＝ 4x
1 C．f ： x→ y＝ 2x
D ．f ：x→ y＝ x
解析： 选 D 按照对应关系 f：x→ y＝ x，对 A 中某些元素 (如 x＝ 8)， B 中不存在元素与
之对应．
4．已知
f
1 x
＝ x2＋ 5x，则
f(x)＝ ____________.