双因素试验方差分析
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MS B SS B df B
F值
MS A FA MS E
F 值临介值
F ( a 1 ,
SS A
df A df B df E dfT
SS B
SS E
FB
MS B MS E
a 1 b 1) F ( b 1 , a 1 b 1)
MS E
X 1. ... X a.
T. j X ij T.1
T.2
...
T.b T X ij
X . j T. j a X .1
X .2
...
X .b
1 X T ab
无交互作用的双因素试验的方差分析
基本假设（1）X ij 相互独立； （ 2） X ij ~ N ij , 2 ，（方差齐性）。
dfT , df A , df B , df E ，则
SS A df A MS A FA ~ F a 1 , a 1 b 1 SS E df E MS E SS B df B MS B FB ~ F b 1 , a 1 b 1 SS E df E MS E
b
2
可分解为：SST SS A SSB SSE
SS A b X i. X
a
SSB a X . j X
j 1 a b
i 1 b
2
称为因素A的离差平方和， 反映因素 A 对试验指标的影响。 称为因素B的离差平方和， 反映因素 B 对试验指标的影响。
2
SSE X ij X i. X . j X
拒绝H01，即A 因素的影响有统计意义。 当 FB F b 1 , a 1b 1 时， 拒绝H02，即B 因素的影响有统计意义。
F 右侧检验
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
方差来源 平方和 自由度 因素A 因素B 误差 总和 均方和
SS A MS A df A
SSE R DA DB p, SST R p
无交互作用的双因素试验的方差分析
数学模型
假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素A 有a个水平，记作A1，A2，…，Aa；因素B有b个水平， 记作B1，B2，….Bb；则A与B的不同水平组合AiBj（i=1， 2，…，a；j=1，2，…，b）共有ab个，每个水平组合 称为一个处理，每个处理只作一次试验，得ab个观测 值Xij，得双因素无重复实验表
双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 B 因素 A
B1
X 11 ... X a1
B2
X 12 ... X a2
... Bb
... ... ... X 1b ... X ab
Ti. X ij X i. T b i.
j 1
b
A1 ... Hale Waihona Puke Baidua
a i 1
T1. ... Ta.
a b i 1 j 1
i 1 j 1
2
称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。
若假设 H 01 , H 02 成立，则： X ij ~ N , 2 SST SS A 2 2 可推得： 2 ~ ab 1 ~ a 1 2 SS B SS E 2 2 ~ b 1 ~ a 1 b 1 2 2 SST SS A SS B SS E , 2 , 2 , 2 的自由度分别记作 将 2
SS A df A MS A FA ~ F a 1 , a 1 b 1 SS E df E MS E SS B df B MS B FB ~ F b 1 , a 1 b 1 SS E df E MS E
对给定的检验水平 ， 当 FA F a 1 , a 1b 1 时，
线性统计模型 X ij i j ij
1 a b 所有期望值的总平均 其中 ij ab i 1 j 1 1 b i ij i 水平Ai对试验结果的效应 a j 1 1 a j ij j 水平Bj对试验结果的效应 b i 1 试验误差 ij X ij ij
1 b i ij i 水平Ai对试验结果的效应 a j 1 1 a j ij j 水平Bj对试验结果的效应 b i 1 试验误差 ij X ij ij
特性：
i 1
a
i
0;
j 1
b
j
0; ij ~ N 0,
SS E df E
SST
注意
df E dfT df A f B , SSE SST SSA SSB
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方 和的自由度为试验总次数减一。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
简便计算式：
SS A DA p, SSB DB p
2
要分析因素A，B的差异对试验结果是否有显著 影响，即为检验如下假设是否成立：
H01 : 1 2 H02 : 1 2
a 0 b 0
总离差平方和的分解定理 仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
SST X ij X
i 1 j 1
a
双因素试验的方差分析
在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往 受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果， 而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。 例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性 能的变化就特别显著。 统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的 影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析 中，把它当成一个新因素来处理。 我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的 问题，用正交试验法比较方便。
F值
MS A FA MS E
F 值临介值
F ( a 1 ,
SS A
df A df B df E dfT
SS B
SS E
FB
MS B MS E
a 1 b 1) F ( b 1 , a 1 b 1)
MS E
X 1. ... X a.
T. j X ij T.1
T.2
...
T.b T X ij
X . j T. j a X .1
X .2
...
X .b
1 X T ab
无交互作用的双因素试验的方差分析
基本假设（1）X ij 相互独立； （ 2） X ij ~ N ij , 2 ，（方差齐性）。
dfT , df A , df B , df E ，则
SS A df A MS A FA ~ F a 1 , a 1 b 1 SS E df E MS E SS B df B MS B FB ~ F b 1 , a 1 b 1 SS E df E MS E
b
2
可分解为：SST SS A SSB SSE
SS A b X i. X
a
SSB a X . j X
j 1 a b
i 1 b
2
称为因素A的离差平方和， 反映因素 A 对试验指标的影响。 称为因素B的离差平方和， 反映因素 B 对试验指标的影响。
2
SSE X ij X i. X . j X
拒绝H01，即A 因素的影响有统计意义。 当 FB F b 1 , a 1b 1 时， 拒绝H02，即B 因素的影响有统计意义。
F 右侧检验
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
方差来源 平方和 自由度 因素A 因素B 误差 总和 均方和
SS A MS A df A
SSE R DA DB p, SST R p
无交互作用的双因素试验的方差分析
数学模型
假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素A 有a个水平，记作A1，A2，…，Aa；因素B有b个水平， 记作B1，B2，….Bb；则A与B的不同水平组合AiBj（i=1， 2，…，a；j=1，2，…，b）共有ab个，每个水平组合 称为一个处理，每个处理只作一次试验，得ab个观测 值Xij，得双因素无重复实验表
双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 B 因素 A
B1
X 11 ... X a1
B2
X 12 ... X a2
... Bb
... ... ... X 1b ... X ab
Ti. X ij X i. T b i.
j 1
b
A1 ... Hale Waihona Puke Baidua
a i 1
T1. ... Ta.
a b i 1 j 1
i 1 j 1
2
称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。
若假设 H 01 , H 02 成立，则： X ij ~ N , 2 SST SS A 2 2 可推得： 2 ~ ab 1 ~ a 1 2 SS B SS E 2 2 ~ b 1 ~ a 1 b 1 2 2 SST SS A SS B SS E , 2 , 2 , 2 的自由度分别记作 将 2
SS A df A MS A FA ~ F a 1 , a 1 b 1 SS E df E MS E SS B df B MS B FB ~ F b 1 , a 1 b 1 SS E df E MS E
对给定的检验水平 ， 当 FA F a 1 , a 1b 1 时，
线性统计模型 X ij i j ij
1 a b 所有期望值的总平均 其中 ij ab i 1 j 1 1 b i ij i 水平Ai对试验结果的效应 a j 1 1 a j ij j 水平Bj对试验结果的效应 b i 1 试验误差 ij X ij ij
1 b i ij i 水平Ai对试验结果的效应 a j 1 1 a j ij j 水平Bj对试验结果的效应 b i 1 试验误差 ij X ij ij
特性：
i 1
a
i
0;
j 1
b
j
0; ij ~ N 0,
SS E df E
SST
注意
df E dfT df A f B , SSE SST SSA SSB
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方 和的自由度为试验总次数减一。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
简便计算式：
SS A DA p, SSB DB p
2
要分析因素A，B的差异对试验结果是否有显著 影响，即为检验如下假设是否成立：
H01 : 1 2 H02 : 1 2
a 0 b 0
总离差平方和的分解定理 仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
SST X ij X
i 1 j 1
a
双因素试验的方差分析
在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往 受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果， 而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。 例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性 能的变化就特别显著。 统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的 影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析 中，把它当成一个新因素来处理。 我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的 问题，用正交试验法比较方便。