2020年八年级下册数学培优第一讲 二次根式专题

第一讲 二次根式专题复习

一 、 知识要点

1、二次根式的概念：一般地，形如a 的式子叫做二次根式.

注意：这里被开方数a 可以是数，也可以是单项式，多项式，分式等代数式. 2、二次根式a 有意义： ，二次根式无意义： .

3、二次根式的性质：

（1）a . （2）

()2

a = .（3）

=2a .

4、乘法法则：ab b a =.（0,0≥≥b a ）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.

要点诠释：

(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).

(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

)0,0,0(21321321≥⋅⋅⋅≥≥⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅n n n a a a a a a a a a a a ;

若二次根式相乘的结果能写成2a 的形式，则应化简，如416=.

5、除法法则：

a a

b b

=（a ≥0，b ＞0）．即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，0≥a ，0>b ，因为b 在分母上，故b 不能为0.

(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.

6、最简二次根式

概念：①被开方数不含 .②被开方数中不含 的二次根式． 要点诠释：

（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）根号下不含分母，分母中不含根号. 两者必须同时满足.

分母有理化：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化.

分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式)0()(2≥=a a a 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称这两个代数式互为有理化因式。 一般常见的互为有理化因式有如下几种类型：

①a m 与 ；②b a +与 ；③b a +与 ；④b n a m +与 . 7、同类二次根式：

几个二次根式化成最简二次根式后，它们的 相同,这些二次根式就称为同类二次根式.

说明：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

8、互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式22))((b a b a b a -=-+，同时它们的积是有理数，不含有二次根式.

二 、典型类型

（1）二次根式有意义的条件

1.写出使二次根式有意义的x 的取值范围 (1)x -3 (2

(3)x x -++83

(4)x x -+-22 (5)

122+-x x (6)

x x -1 （7）1

3

+-x x （2）二次根式的性质

2. 已知y 2，则x y 的值为 ．

练1 若y x ＋y 的值为 ．

3. 若2a －4a 4，则2a －2b ＝ ．

练2 （1＝0，则x －y 的值为 ；

（2）若｜3b －80，则a b ＝ ．

练3 若2y ＋4y ＋40，则y x 的值为 ． 4 . 计算：

（1）2)15.0( （2）2)72(- （3）2)62

3

(-

（4 （5

5. 已知a ＝2的值．

6.已知a 满足|2013﹣a |＋a －2014＝a ，则a ﹣20132的值是（ ） .A 2012

.B 2013 .C 2014 .D 2015

7.若0＜a ＜1，则(a ＋1

a )2－4﹣

(a －1

a )2＋4的值为（ ）

.A 2a

.B 2a

.C ﹣2a

.D ﹣4

8．设m ＞0m 的值是 （用m 表示）

．

(3)二次根式的乘除 1．观察下列各式： （1）计算： ①4×9＝__________，4×9＝__________．②16×25＝__________，16×25＝__________．

③

1

121

×36＝__________，1

121

×36＝__________． 请你猜测一下：当a 、b 均为非负数时，a ×b 与ab 大小关系是：__________． （2）请按找到的规律计算：

①5×20

②

123

×935

．

2.

（1；；（4．

请你猜测一下：当a 、b 均为正数时，

b a

与b

a 大小关系是：__________ 3．计算3232+⋅-的结果为 ．

.4．将xy 3-根号外的因式移到根号内，正确的是（ ） .

A

xy 9

.B xy 9- .C xy 3 .D xy 3-

.5把x －1

x 根号外的因数移到根号内，结果是（ ） .A x

.B －x

.C ﹣－x

.D ﹣x

.6.将式子（a ﹣1）1

1－a

中根号外的因式移入根号内的为（ ） .A 1－a

.B

a －1

.C －1－a

.D －a －1

.7．若0>a ）

.A

.B - .C

.D 总结：二次根式的乘除：系数与系数 被开方数与被开方数 最后化成 (4)最简二次根式及分母有理化

.1下列二次根式是最简二次根式的是 ①a

1

②5.0 ③22 ④24 ⑤

3

2

⑥

a 2

⑦ab ⑧b a 2 ⑨1+a

⑩12+a

发散32a a +是最简二次根式吗？

2.分母有理化:(1)

=2

31 ; (2)

12

1= ; (3)

=5

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