清华大学数学系硕士生入学考试试题

清华大学数学系硕士生入学考试试题清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别考试日期 2003.01 专业考试科目数学分析试题内容:
2{(x,y)}，,一、(15分)设(20分)设在R\上定义，=A ,且>0使得
limf(x,y)f(x,y)00x,x0y,y0
limf(x,y),,当0,,y-y,, 时，Ф(y)存在。

0x,x0
求证: lim[limf(x,y)],Ay,y,x,x00
2222二、(20分)设半径为r的球面?的球心在一固定球面?ˊ:x+y+z=a(a>0) 上，问当r
取何值时，球面?含在球面?ˊ内部的部分面积最大,
x三、(20分)设(x)[,a,a](a>0), (x)=(t)dt,(n=1,2,…). fff0,Cnn-1,0
求证:{(x) }在[,a,a]上一致收敛于0. fn
22四、(20分)设(x,y)在R上二阶连续可微，(x,2x)=x, (x,2x)=x, 且(x,y)= fff'f''xxx
2(x,y),. ,(x,y),Rf''yy
求:(x,2x), (x,2x) 及(x,2x). f'f''f''yyxyy
n2f(k/n)五、(25分)设(0)存在，(0)=0,x=. f'fn,k,1
,limxlimx求证:存在，且,f(0)/2. nnn,,n,,
六、(25分)设(x),C[0,1]且在(0,1)上可导，且 f
1/2(1)=. f2xf(x)dx,0
求证:存在，使得()= -()/ ,,(0,1)f',f,,
g七、(25分)设f，在R上连续，fοɡ(x)= ɡοf(x);, 并且
f(x)?ɡ,x,R(x) ,. ,x,R
求证:fοf(x)? ɡοɡ(x) ,x,R
清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别数学科学系考试日期2003.01 专业考试科目高等代数
试题内容:
43一、(20分)设(X)=(X+1)(X-1)为复方阵A的特征多项式，那么A的Jordan 标准型Jf
有几种可能,(不计Jordan块的次序)
二、(20分)设方阵
31,1,,,,,6,23A, ,,
,,,2,10,,
-1A在实数域R上是否相似域对角形(即有实方阵P使PAP为对角形),在复数域C上呢,给出证明。

三、(20分)判断以下论断是否成立，证明自己的判断:对任意n阶可逆方阵A，存在方阵P,L,T使得
PA=LT,其中P为对换方阵(即对换单位方阵I的某两行所得方阵)之积，L为下三角形方阵且对角线元素均为1， T为上三角形方阵。

四、(20分)任给互异复数a,b和a，a，a，b，b，b是否存在多项式使得
f(x)012012
ii()()f(a),a,f(b),b (i=0,1,2),证明之。

ii
(i)f(a)(其中表示(X)的次微商在a的取值) f
五、(20分)设方阵
0c,,0,,1？c,,1C,， ,,？0？,,,,1cn,1,,
试求:(1)C的特征多项式(X); (2)C的极小多项式m(X); (3)与方阵C(乘法)可f
交换的方阵全体C。

,六、(30分)1、设V是域F上n维线性空间，以V表示定义域V上的线性函数全体，试证
,, 明V对适当定义的运算是F上线性空间(称为对偶空间)，求其维数dim V ,*2设V,V为F上m,n维线性空间，:VV为线性映射，则有线性映
射:VV， ,,,,121212
,,!f。

,(称为的伴随映射)。

若对于V,V的某基的方阵表示为A，试在V,V的f,,1212
,,适当基下求,的方阵表示A.
3、当V,V,V为欧几里得空间时，上述化为何种形式,当V,V,V为酉空间时又如何, 1212
七、(20分)设,,,是n维欧几里得空间V上两个对称双线性型，h非退化，由下式定义V
,,g(,,,),h(,,,(,)),,,,V)的线性变换:(对任意。

如果由n个线性无关的特征向量，能否断定,,,可同时对角化(即存在V的基使,,,的方阵均为对角形),反之呢,
均证明之。

清华大学硕士生入学考试试题专用纸
准考证号系别考试日期 2001.1
专业考试科目微分方程
试题内容:
一、(共40分)求下列方程的通解
y,x，1y',1( y，x，5
222(1，x)y',xy，xy2.
2)2(1，xy"，(y')，1,03.
3,11，，dx,,,201X 4.,,dt,,1,12，，
二、(20分)
1证明方程
2x,u,x,u，，222(1)(1),,a, 2,,h,xh,x,t，，
(h>0,a>0为常数)的通解可以表示成
F(x,at)，G(x，at)u(x,t), h,x
其中F,G为任意的二次连续可微函数。

2(求方程(1)满足定解条件
,,u,(x),0,x,,t,0,,u,,(x),0,x,,, ,t,0,t,u0,t0,,,x,0,
三、(20分)证明边值问题
(p(x)y')'，q(x)y，(x)y,0,(0,x,l),,, ,y(0),y(l),0,,
的对应于不同特征值的特征函数带权,(x)彼此正交。

四、(20分)设u(x)是定解问题
,，,,,,uc(x)uf(x),x, ,,u0,,,
的一个解。

(1) 如果c(x)?C>0其中C为常数)，则有估计 00
,1 maxu(x),Csupf(x)0,,
(2) 如果c(x) ?0且有界，则 maxu(x),Msupf(x),,,
,其中M依赖于c(x)的界与的直径。

清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别考试日期 2001.1 专业考试科目数学分析试题内容:
一、(10分)设，其中， lima,a,limb,bb,0nn,，,,，,nn
naalim,N语言证明用ε,nbb,，,n
1_xf(x),x，2e二、(20分)作图。

222222(y，z)dx，(z，x)dy，(x，y)dz，其中L是曲面三、(15分)计算,L 22222x，y，z,4xx，y,2x与的交线的部分，曲线的方向规定为从原点进入第z,0
一挂限的方向。

2nn22i，j，，lim,,x四、(15分)计算，这里为不超过x的最大整
数。

,,2,,n,，,nn，，j,,11i
,,b,,a,b,qaa五、(20分)设R种数列满足，满足，n=1,2....., n,1nnnn 其中0<q<1,证明:
,,b,,a(1) 若有界，则有界 nn
,,b,,a(2) 若收敛，则收敛。

nn
2,,，，,f,,,12,,,,，,，,六、(20分)设其中是R中的开
XfC(,R):supf(x)(x),,,,,,x,,i,1i，，,,
2，，,(f,g)d(f,g)sup(fg)(x)(x),,，集。

对X中的定义
f,g,,,,,xx,,i,1i，，证明(X,d)是完备距离空间。

清华大学硕士生入学考试试题专用纸
准考证号系别数学科学系考试日期 2001.1 专业考试科目高等数学
试题内容:
1、(1)叙述并证明关于整数系数多项式不可约性的“艾森斯坦(Eisenstein)判别法”。

(2)此判别法有哪些推广,尽量多地叙述之。

(20分)
,,,2、设A为域F上的n阶方阵(n>2),试求(A)(用A表示，这里A表示A的古典伴随方
,阵，即A的(i,j)位元素是A的(j,i)位元素的代数余子式)。

(20分)
,,3(设V,V,V均为域F上有限维线性空间，:VV和:V V是两个线性映射，试1231213,,
,,给出对可分解的充分必要条件，并加以证明，(“对可分解“是指:存在线性映射:,
,,V V使得,0为和的复合)(20分) ,23,
24((1)设方阵A满足A=A(幂等方阵)，则存在可逆方阵P使
0I,,R,1 ,,,PAP,,00,,
2,1(2)设方阵A满足A=I(对合方阵)，则可取可逆方阵P使PAP为何种最简形式,证明之。

2,1(3)设方阵A满足A=0(幂零方阵)，则可取可逆方阵P使PAP为何种最简形式,证明之。

(20分)
5(设V是2维酉空间，是V的酉变换且其行列式det=1.证明: ,,
-1(1)+=Tr()为数乘变换. ,,,
(2)对任意V，内积<，>的实部只依赖于的长度，即,,,,,,,
2,e,,,,,,,,Tr(,)/2.
(注:的行列式det和迹Tr()分别是指其方阵表示T的行列式detT和迹
Tr(T)(共20,,,
分)
清华大学硕士生入学考试试题专用纸
准考证号系别数学科学系考试日期 2000.1 专业考试科目数学分析
试题内容:
11一、(30分)(1)用,语言证明 lim,,,x,1x1
(2)设函数在点可导，且求 f(,),0f,
n1f(a，)nlim n,,,f(a)
pppn1，2，？，lim(3)求极限,其中p>0. 1,pn,,,n
22xyxdy,ydx，,1二、(15分)计算，其中L是椭圆沿逆时针方向， 22,22x，yabl
13222x,y，ky，zx三、(15分)设，求在条件,下的最大值和最小值。

k,z,1z,03
四、(20分)设距离空间(X，d)是完备的，即(X，d)中的任何Cauchy列都收敛;,:X,X是压缩的，即，,,(0,1),，使得d(,(x),,(y)),,d(x,y). ,x,y,X 证明存在唯一,,X，使得,(,),,
,R"五(20分)设是中的有界闭集f:,,R是上半连续，即,,,0,,x,,,，,(,,x),0,当且时，有f(y),f(x)，,，证明y,,x,y,,(,,x)
,在达到最大值. f。