浅谈鸡兔同笼问题解题思路

前面和大家探讨了一下盈亏问题的解题思路，很多家长给予了我很大的支持和鼓励，并且希望我再就鸡兔同笼问题继续探讨一下。既蒙各位抬爱，虽是瞽言萏议，也惟有敬陈管见了。（如孩子不明白这些成语，让孩子查查成语字典吧，算是语文作业）

鸡兔同笼问题的解法有很多，粗略搜索下就有列表法、画图法、假设法、抬腿法、方程法......等等不一而足。其中，列表法、画图法比较直观，但对稍微复杂点的题目就捉襟见肘了；抬腿法比较有趣，但适用性有些局限；方程法当然强大无比，但咱孩子学得是奥数啊……所以，还是着重探讨下假设法吧：基本典型问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

这是大约1500年前，《孙子算经》记录的问题，也是鸡兔同笼问题的基本典型例题。

鸡兔同笼的基本典型问题的解答思路并不复杂：一只鸡1个头2条腿，一只兔1个头4条腿。假设35个头全是鸡头，那么就应该有2×35=70条腿。而题目中条件为94条腿。现在用一只兔换一只鸡，头数没有变化，腿数由2条鸡腿变成了4条兔腿，也就是增加了2条腿。再重申下，用一只兔换一只鸡，头数不变，腿数增加2条。为了满足题目中94条腿的要求，需要增加94-70=24条腿，也就是要换24÷2=12只兔。由此可得，鸡为35-12=23只。

这就是鸡兔同笼的基本典型问题采用的“假设法”了。我觉得“假设法”称为“假设替换法”或“替换法”可能才更准确些，因为准确把握替换的前提要求和实质涵义才是关键。我们再来分析一下基本典型例题，在这一类问题中，通常有两类物品（鸡和兔），分别都具有两项特征值（头数和腿数），其中一项特征值单位数量相同（鸡、兔头数量相同），另一项特征值单位数量不同（鸡、兔腿数量不同）。要认识到，只有其中有一项单位特征值相同时，上述替换方法才有效。或者反过来说，仅当两类物体仅有一项单位特征值不同时，替换法才能根据假设

及替换对该不同的单位特征值的变化情况，得到相应结果。正如典型例题中，因为鸡和兔的单位头数相同（都只有一个），只有单位腿的数量不同，我们将鸡兔替换时才不用担心头的变化，而仅关注于腿的变化。另外，要让孩子清楚知道，替换法要关注的是替换所产生的单位差值。就像基本题型中的24÷2中的“2”不是鸡的腿数，而是兔腿和鸡腿的单位差值。

例题1：蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？

分析：本题中有三类物品（蜘蛛、蜻蜓和蝉），涉及有三项特征值（头、腿和翅膀）。我们前面分析说两类物体有一项特征值不同时，替换才能达到效果。因此，这种题要先考虑将其按特征值归为两“类”。仔细观察就会发现蜻蜓和蝉的腿是一样的，我们可以将它们归为同一类。这样我们先关注头和腿，也就是“8腿动物和6腿动物共18只，腿118条”，应用基本典型解答思路，容易求得8腿动物（蜘蛛）为5只，6腿动物为13只。

现在我们知道蜻蜓和蝉共有13只。再来看翅膀，“蜻蜓（2翅）和蝉（1翅）共有13只，翅膀共20对”。这当然也是个基本典型问题了。具体解法就不详述了。

例题2：传说很久之前有九头鸟和九尾鸟，九头鸟九头一尾，九尾鸟九尾一头，这两种鸟栖息树林时，猎人数了数，共有鸟头261个，鸟尾有269条。问九头鸟，九尾鸟各多少只？

分析：我们尝试就会发现，因为九头鸟和九尾鸟的头和尾都不相同，直接替换就会出现“按下葫芦浮起瓢”的情况，是无法直接用替换法解答的。记住我们上面分析的，两类物体仅有一项特征值不同时，假设替换才有效。我们就要考虑将其中的某一项转化为相同的情况。于是，我们可以考虑将九只九尾鸟捆绑在一起，这样就形成了一个“九头八十一尾”的新怪物。这时，才可以采用替换法将九头鸟和“九头八十一尾”的新怪物进行替换。

先假设全是九头鸟，那么就有261÷9=29只。这种情况下，尾有29条，可实际有269条。一只九尾鸟换一“捆”“九头八十一尾”的新怪物，头不变，尾会增加80条。我们需要增加269-29=240条尾，于是需要换240÷80=3捆。别忘了再将捆绑的新怪物还原为九尾鸟。3捆九尾鸟也就是3×9=27只九尾鸟。29-3=26只九头鸟。

例题3：传说很久之前有九头鸟和九尾鸟，九头鸟九头一尾，九尾鸟九尾一头，这两种鸟栖息树林时，猎人数了数，共有鸟头268个，鸟尾有332条。问九头鸟，九尾鸟各多少只？

分析：乍一看，一定以为我肯定是又复制、粘贴了一下。不就和上题一样吗？

好吧，我们还是来做做看。同样的，我们将九只九尾鸟捆绑在一起，这样就形成了一个“九头八十一尾”的新怪物。

假设全是九头鸟，就会有268÷9=29...7 居然有余数！这可怎么办？

别着急，先仔细想想这余数是怎么来的。这说明九尾鸟的数量不是9的倍数，也就是说，有7只九尾鸟凑不足9个捆在一起。那好，我们还是先将这7只九尾鸟先拿走，这样头剩下268-7=261，尾剩下332-7×9=269。于是题目变成了“除了7只九尾鸟以外，还有261头，269尾”。

这题就熟悉了。别忘了加上开始拿走的7只九尾鸟。于是得到一共有34只九尾鸟，29-3=26只九头鸟。

个人觉得，真正利用鸡兔同笼基本典型问题解决方法无非以上几种，一种是多类多特征值，我们要善于抓住其中相同的特征值，将其分别归为“两类”再“两类”的来解决；另一种是两个特征值都不相同，要善于采用“捆绑法”或“拆分法”将其中的一个特征值转化为相同的情况再进行假设替换。

还需要引导孩子不断分析并简化题目，遇到复杂的点，采用简单的假设方法消除。抽丝剥茧，层层递进，最后成为我们熟悉的典型例题模式，然后当然别忘了逐步还原，最终总能达成正果。

例4 四年前，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。现在，父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.问今年各位的年龄？

分析：由题给的条件，可知今年年父母年龄和是78+8=86岁，兄弟年龄和是17+8=25岁。结合条件中给出今年父的年龄是弟的4倍，母的年龄是兄的3倍，你能想到啥？

如果还没明白，我们换个题目吧：“A物1头4足，B物1头3足，已知A、B共有头25，足86，问A、B各几何？”你明白了吗？

如果你明白了，我们很容易算出今年兄14岁，弟11岁，父44岁，母42。

有些题目看上去跟鸡兔同笼搭不上边，我们却可以利用基本类型的鸡兔同笼解题思路来解，如例题4。还有一些变形的鸡兔同笼问题，虽然形似，其实已神离了，也就不是利用典型问题的解题办法了。当然，抽丝剥茧，层层递进，将其转化为我们熟悉的类型，然后再逐步还原，还是一个主要的解题思路。

例题5：已知共有鸡、兔109只，如果鸡腿比兔腿的3倍少6只，那么有鸡、兔各多少只？

分析: 鸡腿比兔腿的3倍少6只，说实话，少6只这个显然是个“犯嫌”的条件。既然这样，我们能否把这少6只销去呢？显然，我们可以再借3只鸡来，就可以将条件转化为“共有鸡、兔112只，鸡腿是兔腿的3倍”。鸡腿是兔腿的3倍，这可以转化为简单的倍数问题，就是鸡是兔的6倍。问题转换为“共有鸡兔共109+3=112只，鸡腿是兔腿的3倍”。这下应该比较明了了，根据“鸡腿是兔腿的3倍”可得出鸡兔比例是6:1，这下应该是简单的倍数问题了，能直接解答出兔的数量为112÷7=16只。鸡的数量为16×6=96只。最后别忘了还掉借来的3只鸡，于是，得出最终答案，鸡为93只，兔为16只。

例题6：鸡兔共118只,兔腿比鸡腿的3倍多282,问鸡、各兔多少只

分析：沿用上面的方法，首先想把兔腿多的282只先去掉当然是一个思路。但是282÷4=70.5，也就是要先拿走70.5只兔才会变成兔腿是鸡腿的3倍。这里