高考数学圆锥曲线知识点汇总

高考数学圆锥曲线知识点汇总

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高考数学圆锥曲线知识点总结 方程的曲线：

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C 上⇔f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C 上⇔f(x0,y0)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点⇔{

),(0

),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆：

1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.

2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x2+y2=r2

(2)一般方程：①当D2+E2-4F ＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为

)2,2(E

D --

半

径是

2422F

E D -+。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+

2D )2+(y+2E )2=

44F -E D 22+

②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E

);

③当D2+E2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.

点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x0,y0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=

2

020b)-(y a)-(x +。

直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交⇔有两个公共点；直线与圆相切⇔有一个公共点；直线与圆相离⇔没有公共点。

②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离2

2

B A C

Bb Aa d +++=

与半径r 的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义：

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e ＞1时，轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线：

椭圆、双曲线、抛物线性质对比

椭圆

双曲线

抛物线

定义

1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹

2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（0

1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（e>1）

与定点和直线的距离相等的点的轨迹.

轨迹条件

点集：({M ｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a} 点集：{M ｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}. 点集{M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}. 图形

方

程

标准方程 122

22=+b y a x (b a >>0) 122

22=-b y a x (a>0,b>0)

px y 22=

参数

方程

为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩

⎨⎧==b y a x

为离心角）参数θθθ(tan sec ⎩

⎨⎧==b y a x

⎩⎨⎧==pt y pt x 222

(t 为参数)

范围 ─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b |x| ≥ a ，y ∈R x ≥0 中心

原点O （0，0）

原点O （0，0）

顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)

(a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴

x 轴，y 轴；

长轴长2a,短轴长2b x 轴，y 轴;

实轴长2a, 虚轴长2b. x 轴

焦点

F1(c,0), F2(─c,0)

F1(c,0), F2(─c,0)

)0,2(p F 准 线

x=±c a 2

准线垂直于长轴，且在椭圆外.

x=±c a 2

准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.

x=-2p

准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等. 焦距

2c （c=2

2b a -）

2c （c=22b a +）

离心率 )10(<<=

e a c

e

)1(>=

e a c

e

e=1

【备注1】双曲线：

⑶等轴双曲线：双曲线2

22a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e .

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-22

22b y a x 与

λ-=-22

22b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-b y a x .

⑸共渐近线的双曲线系方程：)

0(2

22

2

≠=-λλb y a

x 的渐近线方程为0=±b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±b y a x 时，它

的双曲线方程可设为)

0(2

22

2

≠=-

λλb y a

x .

【备注2】抛物线：

（1）抛物线2y =2px(p>0)的焦点坐标是(2p ,0)，准线方程x=-2p

，开口向右；抛物线2y =-2px(p>0)的焦点坐标是

(-2p ,0)，准线方程x=2p ，开口向左；抛物线2

x =2py(p>0)的焦点坐标是(0,2p )，准线方程y=-2p

，开口向上； 抛物线2

x =-2py （p>0）的焦点坐标是（0,-2p ），准线方程y=2p

，开口向下.

（2）抛物线2

y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离

20p

x MF +

=；抛物线2

y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)

与焦点F 的距离

02x p MF -=

（3）设抛物线的标准方程为2

y =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p ，顶点到准线的距离2p

，焦点到

准线的距离为p.

（4）已知过抛物线2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，

则弦长AB =2

1x x ++p 或

α2sin 2p

AB =(α为直线AB 的倾斜角)，221p y y -=，2,41221p x AF p x x +==(AF 叫做焦半径).

五、坐标的变换：

（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。

（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O ′y ′中

的坐标是

),(''y x .设新坐标系的原点O ′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则 k y y h x x +=+=''或 k y y h

x x -=-=''