关于矩阵的可逆性探讨(1)(可编辑修改word版)

上海大学2011～2012 学年冬季学期课程论文

课程名称：线性代数与几何课程编号：01014108 论文题目:关于矩阵的可逆性探讨

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关于矩阵的可逆性探讨

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摘要：本文首先给出矩阵可逆的定义、性质，其次探讨矩阵可逆的判定方法、逆矩阵的求法以及矩阵可逆的应用，特别是在编码、解码方面的应用。最后，本文对可逆矩阵进行了相应的推广。

关键词：矩阵矩阵的逆秩广义逆

正文：

引言

在这篇文章中涉及到一些线性代数中的专有符号，在此做些说明。r（A）

是矩阵 A 的秩、A

是矩阵 A 的行列式。写这篇文章主要是对矩阵的可逆性由来及

定义、性质、应用等等进行探讨。这篇文章的其余部分是这么编排的，章节一是矩阵的定义，章节二主要是逆阵的性质，章节三是逆矩阵的判定方法，接下来的章节四是逆矩阵的求法，章节五就是逆矩阵的应用，最后一个章节是对矩阵逆的推广。

章节一：矩阵逆的定义

首先，迎面而来的问题是逆矩阵是什么呢，我们为何要映入逆矩阵的概念。从以前学到的知识中我们知道，矩阵和复数相仿，有加、减、乘三种运算，为了要完善矩阵的运算，我们因此引入了矩阵的逆这个概念。

对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B，使得 AB=BA=I，则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵，A 的逆矩阵记为A-1 。

章节二：可逆矩阵的性质

1、若矩阵 A、B 均可逆，则矩阵 AB 可逆，其逆阵为 B -1 A -1 ，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。

2、若 A 可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1

=A；

3、若A 可逆，数≠ 0 ，则A可逆，且(A)-1=1A-1

；

4、若 A 可逆，则A T 也可逆，且（A T ）-1

5、( A ')-1= ( A-1 )'.

=（A -1）T 。

6、逆矩阵还有一个性质，就是矩阵的逆是唯一的，下面给出相应证明：

这里运用反证法，如果 A 是可逆矩阵，假设 B,C 都是A 的逆，则有

AB=BA=E=AC=CA B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C（与B ≠C 矛盾）所以是唯一的。

章节三：矩阵可逆的判定方法

矩阵可逆有如下若干充要条件：（A 为n 阶方阵）

1、存在 B 为n 阶方阵，使得 AB=I；

2、对于 PAQ=

3、A ≠ 0 ；

I

r

，其中 r（A）=n；

4、A 的行向量组线性无关；

5、A 的列向量组线性无关；

6、A 可表示成一系列初等矩阵的乘积；

7、A 可经过一系列初等行变换化成单位矩阵 I；

8、A 可经过一系列初等列变换化成单位矩阵 I；

9、对于齐次线性方程组 AX=0 只有零解；

10、 A 是非奇异矩阵。

章节四：矩阵的逆的求法

1、从初等变换角度( A I) −行−初−等变−换→(I A-1)

具体方法是：欲求 A 的逆矩阵时，首先由 A 作出一个n ⨯ 2n 矩阵，即( A E) ，其次对这个矩阵施以行初等变换( 且只能用行初等变换) ，将它的左半部的矩阵 A 化为单位矩阵，那么原来右半部的单位矩阵就同时化为

A

A

A ⎪

⎨ ⎛ A ⎫ ⎛ E ⎫ 行初等变换

-1

⎪ ⎪

A -1 ：

( A I) −−−−→(I A ) 或者 ⎪ −列−初−等变−换→ ⎪ E ⎪ A -1 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭

注：在事先不知道 n 阶矩阵是可逆的情况下，也可直接用此方法。如果在初

等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为 0，则意味着 A 不可逆。

2、从矩阵 A 的伴随阵

（伴随矩阵）定义：

设 A = (a ij ) 是 n 级方阵，用 A ij 表示 A 的(i , j ) 元的

⎛ A 11 代数余子式(i , j = 1 n ) ，矩阵 A 12

⎝ 1n A 21 A 22

A 2n A n 1 ⎫ A n 2 ⎪ 称为 A 的伴随矩阵，记作 A*。

⎪ nn ⎭

定理

矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A ≠ 0 ，并且当 A 可逆时,有

A -1 =

1

A *。则根据本定理，也可计算出 A 的逆阵。

这个定理不仅可以求一个矩阵的逆，并且还可以判断矩阵是否可逆，但

是这种方法主要用在理论上以及 2 级或 3 级矩阵的情形，如果阶数较大，那么使用此方法计算量太大。

对伴随矩阵的小拓展：

伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律；

伴随矩阵常用的性质

对于任意的方阵 A 均有此伴随矩阵 A *

使得AA * = A * A = A E 。

当 A ≠ 0时，A -1 = 1

A *,当 A = 0时：AA * = A * A = 0

对于一般地方阵 A ，其伴随矩阵 A * 的秩为：

⎧ n r ( A *) = ⎪

1 ⎪ ⎩ 若 r ( A ) = n 若r ( A ) = n -1

若r ( A ) ≤ n - 2

A 0

当A≠0时，A*= A n-1,当A = 0时A*= 0 。

由定理逆矩阵判定的方法还有：

推论1 n 级矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 的秩为n。

推论2 矩阵A 可逆的充要条件是它的特征值都不为0。

推论3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是它的行( 或列) 向量组线性无关。

3、初等变换法（初等行变换初等列变换初等行列变换）

定义对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换：

(1)交换矩阵的两行( 列) ；

(2)以一个非零的数k 乘矩阵的某一行( 列) ；

(3)把矩阵的某一行（列) 的k 倍加到另一行( 列) 。

定理方阵A 可逆的充分必要条件是A 可表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。

4、待定系数法

具体说来，待定系数法也就是定义法的具体应用，假设出矩阵 A 的逆阵 B，根据 AB=I，展开相乘再根据矩阵的相等就可解出逆阵 B 的各元。

章节五：矩阵逆的应用（主要在编码、解码方面）

矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种是基于利用可逆短阵的方法．先在26 个英文字母与数字间建立起一一对应，例如可以是

A B ……Y Z

………………

1 2 …… 25 26

若要发出信息“SEND MONEY”，使用上述代码，则此信息的编码是19，5， 14，4，13，l 5，14，5，25，其中5 表示字母E．不幸的是，这种编码很容易被别人破译．在一个较长的信息编码中，人们会根据那个出现频率最高的数值而猜出它代表的是哪个字母，比如上述编码中出现次数最多的数值是5，人们自然会想到它代表的是字母E，因为统计规律告诉我们，字母E 是英文单词中出现频率最高的．

我们可以利用矩阵乘法来对“明文”SEND MONEY 进行加密，让其变成“密