2020年初中数学竞赛讲义：二次根式恒等变形
八年级数学竞赛辅导讲义之第07讲 根式及其运算
第七讲根式及其运算二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．二次根式的性质：二次根式的运算法则：设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例1 化简：法是配方去掉根号，所以因为x-2＜0，1-x＜0，所以原式=2-x+x-1=1．＝a-b-a+b-a+b=b-a．说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成解设两边平方得②×③×④得(xyz)2=5×7×35=352．因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以xyz=35．⑤⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以解设原式=x，则解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．将方程左端因式分解有(x-4)(x2＋4x＋10)＝0．因为x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．解法2说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．例8 化简：解(1)本小题也可用换元法来化简．解用换元法．解直接代入较繁，观察x，y的特征有所以3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy＝3(x＋y)2-11xy＝3×102-11×1＝289．例11 求分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．解设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2，所以A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1＝…＝(2256-1)(2256＋1)＋1＝22×256-1＋1＝22×256，的值．分析与解先计算几层，看一看有无规律可循．解用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有两边平方得两边再平方得x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0．观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(x ＋1)(x-2)，将方程左端因式分解，有(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．解因为练习七1．化简：2．计算：3．计算：。
初一数学竞赛系列讲座整式的恒等变形.doc
初一数学竞赛系列讲座 (6)整式的恒等变形一、知识要点1、 整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形 2、 整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。
3、 乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条：① (a+b) (a-b)=a 2-b 2② (a ±b)2=a 2±2ab+b 2 ③ (a+b) (a 2 -ab+b 2)=a 3+b 3 ④ (a-b) (a 2+ab+b 2 )=a 3-b 3⑤ (a+b+c)2= a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca⑥ (a+b+c) (a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)= a 3 +b 3 +c 3-3abc⑦ (a ±b)3= a 3±3a 2b+3a b 2±b 34、 整式的整除如果一个 整式除以另一个整式的余式为零， 就说这个整式能被另一个整式整除， 也可说除式能整除被除式。
5、余数定理多项式 f x 除以(x-a) 所得的余数等于f a 。
特别地 f a =0 时，多项式 f x 能被 (x-a) 整除二、例题精讲例 1 在数 1， 2， 3， ， 1998 前添符号“ +”和“ -”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少分析 要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“ 0”解 因 1+2+3+ +1998=1998 1 1998999 1999 是一个奇数，2又在 1， 2，3， ， 1998 前添符号“ +”和“ -”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。
先考虑四个连续的自然数n 、 n+1、 n+2 、n+3 之间如何添符号，使其代数和最小。
很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0所以我们将 1， 2， 3， ， 1998 中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号， 即 (- 1+2)+(3-4-5 +6)+ (7 -8-9 +10)+ + ( 7+1998)= - 1+2=1 故所求最小的非负数是1。
2020年湘教版八年级上册数学《5.1二次根式》 课件
1.二次根式的除法法则：注意字母的取值条件了吗？
b b a＞0，b≥ 0 .
aa
计算：
( 1 ) 15 ； 3
( 2 ) 3 42； 56
( 3 ) 14. 6
解 ( 1 ) 15 3
( 2 ) 3 42 （3） 14 14 6 84 21
56
6 6 6 6 3
=
15 3
=
5.
=
3 5
42 6
5.2 二次根式的乘法和除法
二次根式的除法
旧知回顾
1.二次根式的乘法法则：
a b ab(a 0,b 0)
积的算术平方根性质：
b a
=
b a
(a>0 ,b≥0).
利用这个公式可以进行二次根式的化简。
1.被开方数不含分母
2.被开方数不含开得尽方的因数或因 式
66
3
学校决定定制一批长方形新黑板，它的面
409、:0敏17而.1好2.学20，20不09耻:0下17问.1。2.。2072.1020.92:021079.:1021.:2405270.1029.:200120090:091:00197:0.112:4.2500290:01:45
这醉人芬春芳去的春季又节回，，愿新你桃生换活旧像符春。天在一那样桃阳花光盛，开心的情地像方桃，在 54、海不内要存为知它已的，结天束涯而若哭比，邻应。当为Su它nd的ay开, J始u而ly 笑12。, 270.2102J.2u0ly20270.S1u2n.2d0a2y0, 0J9u:l0y11029,:200120097:0/12:4/250290:01:45 花一这样醉美人丽芬，芳感的谢季你节的，阅愿读你。生活像春天一样阳光，心情像桃 65莫、愁生前命路的无成知长已，，需天要下吃谁饭人，不还识需君要。吃苦9时，1吃分亏9时。1S分un1d2a-Jyu,lJ-2u0ly71.122,.2020July 20Sunday, July 12, 20207/12/2020
初二数学经典讲义 二次根式(基础)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则： 类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b ≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如= （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【高清课堂：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】 【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】已知0a <，化简二次根式3a b -的正确结果是（ ）.A.a ab --B. a ab -C. a abD.a ab -【答案】A.3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.1448ab44a +【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 类型二、二次根式的运算4．下列计算错误的是（ ）.A. 14772⨯=B. 60523÷=C. 9258a a a +=D. 3223-= 【答案】 D.【解析】选项A ： 14714727772⨯=⨯=⨯⨯= 故正确；选项B ：605605123423÷=÷==⨯=，故正确；选项C925358a a a a a +=+=故正确；选项D ：32222-= 故错误.【总结升华】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，属于基础性考题. 举一反三 【变式】计算：48(54453)833-+⨯ 【答案】243610-.5.化简20102011(32)(32)⋅. 【答案与解析】201020102010=(32)32)(32)(32)32)32)132)3 2.⋅⋅⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=⋅=原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6 已知2231,12x x x x=-+求.【答案与解析】2231,1=30,(1)1313331=3x x x xx x x =+∴->∴=--++==原式当时，原式【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【高清课堂:二次根式 高清ID 号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】 【变式】已知a b +=-3, ab =1,求ab b a +的值. 【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11+==-(+)=-=3--ab ab a bb a b a ab∴+原式.。
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
第4讲二次根式及其运算(讲义)(原卷版)-2024年浙江中考数学一轮复习
第一单元 数与式第4讲 二次根式及其运算1.了解二次根式和最简二次根式的概念，知道二次根式a 中被开方数a 为非负数并且a 也是非负数.2.了解二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则并掌握二次根式的性质.3.能根据二次根式的运算法则及性质进行二次根式的加、减、乘、除和综合运算.1．二次根式的有关概念：(1)二次根式：式子 叫做二次根式．(2)最简二次根式需满足两个条件：①被开方数 ．②被开方数中 的因数或因式．（3）二次根式有意义的条件：被开方数非负2．二次根式的性质：（1）(a )2＝ (a ≥0)．（2）a 2＝ ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）.（3）ab ＝ (a ≥0，b ≥0)．（4）ab＝(a≥0，b＞0)．二次根式的双重非负性是指它的被开方数与结果均为非负数．3．二次根式的运算：(1)二次根式加减法的实质是合并同类二次根式．(2)二次根式的乘法：a·b＝(a≥0，b≥0)．(3)二次根式的除法：ab＝(a≥0，b＞0)．运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式．■考点一二次根式的相关概念►◇典例1：（2023•恩阳区模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．【变式训练】1．（2023•婺城区一模）在二次根式中，字母x的取值范围是．2．（2023•慈溪市模拟）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≤2 C．x＝2 D．x≠2■考点二二次根式的性质►◇典例2：（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3 B．＝2×3 C．＝32D．＝0.7【变式训练】1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3 C．2D．22．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a■考点三二次根式的运算►◇典例3：（2021•西宁）计算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．【变式训练】1．（2023•娄星区校级一模）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．2．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）深度讲练A ．B．1 C ．D．33．（2022•甘肃）计算：×﹣．4．（2023•兰州模拟）计算：．■考点四二次根式的化简求值及应用►◇典例4：（2020•金华二模）先化简，再求值：（a +）（a ﹣）﹣a（a﹣2），其中a ＝+1．【变式训练】1．（2022•瑞安市校级三模）当时，代数式（a﹣1）2﹣2a+2的值为．真题演练1．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．22．（2021•杭州）下列计算正确的是（）A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2 3．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．4．（2021•金华模拟）代数式在实数范围内有意义时，x的取值范围为（）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≠05．（2023•萧山区一模）已知，则实数a的值为（）A．9 B．3 C．D．±36．（2023•南湖区一模）下列各式中，正确的是（）A．（﹣3）2＝9 B．（﹣2）3＝﹣6 C．D．7．（2021•丽水模拟）若方程组，设x+y＝a2，x﹣y＝b2，则代数式的值为（）A．B．C．D．8．（2022•杭州）计算：＝；（﹣2）2＝．9．（2022•萧山区一模）计算：＝．10.（2023•青山区模拟）计算：﹣3＝．11．（2023•杭州）计算：＝．12．（2023•浙江模拟）若最简根式与是同类二次根式，则m＝．13．（2023•龙游县一模）已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），则＝．14．（2023•临汾模拟）计算：＝．15．（2023•萧山区一模）婷婷对“化简：”的解答过程如下：解：原式＝2×3＝（2×3）×（）2＝6×2＝12．试问婷婷的解答过程是否正确？若正确，请再写出一种解答过程；若有错误，请写出正确的解答过程．16．（2021•永嘉县校级模拟）计算：﹣+3+．17．（2023•舟山二模）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+＝（+）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．18．（2023•张家界）阅读下面材料：将边长分别为a，a+，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则S2﹣S1＝（a+）2﹣a2＝[（a+）+a]•[（a+）﹣a]＝（2a+）•＝b+2a例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2根据以上材料解答下列问题：（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝，S4﹣S3＝；（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作S n+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出S n+1﹣S n等于多少吗？并证明你的猜想；（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，t n＝S n+1﹣S n，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．。
2020年中考数学考点总动员第05讲二次根式含解析
第05讲 二次根式1．二次根式的概念一般地，我们把形如a (a≥0)的式子叫做二次根式．二次根式a 有意义的条件：_a≥0 ．2．二次根式的性质⎩⎪⎨⎪⎧（1）（a ）2＝a （a≥0）.（2）a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a （a>0）0（a ＝0）－a （a<0）；（3）ab ＝a ·b （a≥0，b≥0）；（4）a b ＝a b （a≥0，b>0）3．最简二次根式必须满足两个条件⎩⎪⎨⎪⎧（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式4．同类二次根式几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 5．二次根式的运算(1)加减法：先将二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式进行加减运算．(2)乘法：a ·b ＝ab ；(3)除法：ab ＝_a b_． 6．二次根式的估值二次根式的估算，一般是对根式平方，找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，对其进行开方，就可以确定这个根式在哪两个整数之间.【高频考点】考点1：二次根式的概念【例题1】（广东省广州市，12，3分）代数式x -9有意义时，实数x 的取值范围是 ．【答案】x ≤9 【提示】要使二次根式有意义，只需满足被开方数是非负数即可．通过解不等式，即得实数x 的取值范围． 【解答】解：∵代数式x 9有意义，∴9－x ≥0，解得x ≤9．故答案为x ≤9．归纳：式子a (a ≥0)叫做二次根式．a (a ≥0)；|a |；a 2；是初中阶段常见的非负数形式，若几个非负数的和为0，则这几个数均为0，据此可求某些字母的值．考点2:二次根式的运算【例题2】（江苏盐城，19（2），4分）计算： (3－7)(3＋7)＋2(2－2)．【提示】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和乘法公式，先根据平方差公式、单项式乘多项式的法则分别进行运算，再化简．【解答】解：原式＝2+22－2＝22．点拨：二次根式的运算，若是加减运算时，先将每一项化为最简二次根式，然后再将被开方数相同的二次根式合并；若是乘除运算时，先将被开方数相乘或相除，再将所得的数开方并化为最简二次根式；若是混合运算时，按照先乘除，后加减，有括号的先算括号里面的顺序进行计算，同时注意运算的结果必须是最简二次根式．考点3：二次根式与其它知识的综合应用【例题:3】（2018•枣庄）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC 的三边长分别为1，2，，则△ABC 的面积为 ．【答案】1【解析】：∵S=， ∴△ABC 的三边长分别为1，2，，则△ABC 的面积为：S==1， 故答案为：1．【自我检测】一、选择题：1. （2018•扬州）使有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x≥3D ．x≠3【答案】C解：由题意，得x ﹣3≥0，解得x≥3， 故选：C ．2. （2018•绵阳）等式=成立的x 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解答】由题意可知：解得：x≥3故选：B ．3. (2019•湖南益阳•4分)下列运算正确的是( )A ．2)2(2-=-B ．6)32(2=C ．532=+D ．632=⨯【答案】D【解答】解：选项A 2-2（）2，故本选项错误；选项B 、2(23)12=，故本选项错误；选项C 23不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；选项D 、根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确．故选D ．4. （2019•湖南湘西州•4分）下面是一个简单的数值运算程序，当输入x 的值为16时，输出的数值为3 ．（用科学计算器计算或笔算）．【答案】3 【解答】解：解：由题图可得代数式为21x ÷+．当x ＝16时，原式＝16÷2+1＝4÷2+1＝2+1＝3．故答案为：35. (2019•湖北宜昌•3分)古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记p ＝3a b c ++，那么三角形的面积为S ＝()()()p p a p b p c ---．如图，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别记为a ，b ，c ，若a ＝5，b ＝6，c ＝7，则△ABC 的面积为( )A ．66B ．63C ．18D ．192【答案】A【解答】解：∵a ＝7，b ＝5，c ＝6．∴p ＝＝9，∴△ABC 的面积S ＝＝66； 故选：A ．二、填空题：6. 化简= x ．（x≥0）【答案】x解析：原式==x ． 故答案为：x7. （2018•广州）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a+= ．【答案】2【解答】由数轴可得：0＜a＜2，则a+=a+=a+（2﹣a）=2．故答案为：2．8. （2018·广东广州·3分）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：=________【答案】2【解析】解：由数轴可知：0<a<2，∴a-2<0，∴原式=a+ =a+2-a=2.故答案为：2.9. （2019，山东枣庄，4分）观察下列各式：＝1+＝1+（1﹣），＝1+＝1+（﹣），＝1+＝1+（﹣），…请利用你发现的规律，计算：+++…+，其结果为 ． 【答案】2018． 【解答】解：+++…+＝1+（1﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣） ＝2018+1﹣+﹣+﹣+…+﹣ ＝2018，故答案为：2018． 三、解答题：10. (2018·徐州)已知x ＝3＋1，求x 2－2x －3的值．解：原式＝(x －3)(x ＋1)，将x ＝3＋1代入到上式，则可得，原式＝(3＋1－3)×(3＋1＋1)＝(3－2)×(3＋2)＝－1.11. 2018•陕西）计算：（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0 解：原式=+﹣1+1 =3+﹣1+1 =4． 12. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索：设a ＋b 2＝(m ＋n 2)2(其中a ，b ，m ，n 均为整数)，则有a ＋b 2＝m 2＋2n 2＋2mn 2，所以a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn ，这样小明就找到了一种把部分a ＋b 2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若a ＋b 3＝(m ＋n 3)2，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a ＝ ，b ＝ ；(2)若a ＋43＝(m ＋n 3)2，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝m 2＋3n 2，4＝2mn.∵4＝2mn，且m，n为正整数，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.∴a＝22＋3×12＝7或a＝12＋3×22＝13.。
数学竞赛讲座 二次根式的运算
第一讲 二次根式的运算式子a (a ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础． (1)c b a c b c a )(±=± (c ≥0)； (2)ab b a =⋅ (0,0≥≥b a )； (3)baba =(0,0>≥b a )； (4)22)(a a =(≥a 0)．同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等． 例题求解 【例1】 已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．注： 二次根式有如下重要性质： (1)0≥a ，说明了a 与a 、na2一样都是非负数；(2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化； (3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．提示：22222205420,262045x x x y x y x x⎧-≥⎪⎪-→-==→+=⎨-⎪≥⎪-⎩【例2】 化简22)1(111+++n n ，所得的结果为（ ）(武汉市选拔赛试题)A ．1111+++n nB ．1111++-n nC ．1111+-+n nD ．1111+--n n思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．提示：原式111n n n +-+ （C ）【例3】计算：（1）)23)(36(23346++++； （2；（3）4947474917557153351331++++++++ ；（4．思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．（1）原式)3)(===+（2）原式(55==--=（3==12== 原式11113()22177=+-++=-=（4===【例4】 (1)化简324324-++； (北京市竞赛题) (2)计算223810++ (“希望杯”邀请赛试题)(3) 计算1212--+-+a a a a ． (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)思路点拨 （1）把4+23万与4—23分别化成一个平方数化简，原式33 ==-此外，由于4+23与4—23是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；原式====(2)原式==4 ==(3)通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．原式==2112aa⎧≤≤⎪=+=⎨>⎪⎩ 1，即12时，即时 【例5】已知521332412---=----+ccbaba，求cba++的值．(山东省竞赛题) 思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：2222211]22]29]2-+-=--即22211)2)]3)02++=，因此有10=，得2a=；20=，得6b=30=，得12c=。
二次根式的讲义
专题一 二次根式【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根式。
二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。
【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。
例1 下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2 使x ＋1x-2有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠2 C ．x>2 D ．x ≥0且x ≠2． 例3 若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 练习1使代数式有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠4练习2若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．3例4 若230a b -+-=，则 2a b -= 。
例5 在实数的范围内分解因式：X 4- 4X 2+ 4= ________ 例6 若a 、b 为正实数，下列等式中一定成立的是（ ）： A 、a 2 +b 2 =a 2+b 2 ； B 、（a 2+b 2）2 =a 2+b 2； C 、（ a + b ）2= a 2+b 2； D 、（a —b ）2 =a —b ；【知识点2】二次根式的性质：（1）二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0；也就是说（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
数学奥赛讲座：《二次根式》
二次根式的性质
1. 根式的乘法性质
$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0, b geq 0$）。
2. 根式的除法性质
$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 有根式的式子， 可以通过有理化分母的方 法，将分母化为有理数。
合并同类项
对于形如$sqrt{a+b}$和 $sqrt{a-b}$的二次根式， 可以合并为$sqrt{2a}$。
运算规则
乘法运算
对于两个二次根式相乘， 可以直接将它们的系数相 乘，根号部分不变。
除法运算
对于两个二次根式相除， 可以直接将它们的系数相 除，根号部分不变。
二次根式的历史与发展
历史背景
二次根式起源于古希腊数学家对 几何图形的研究，特别是对直角
三角形和圆的性质的研究。
文艺复兴时期，数学家开始系统 研究二次根式的性质和运算规则，
为后续的发展奠定了基础。
17世纪，微积分学的发展推动 了二次根式理论的进一步深化。
现代发展
计算机科学的发展为二次根式计算提供了更高效的算法和软件工具，如符号计算和 数值计算。
总结词
二次根式具有一些基本的数学性 质，如根式的乘法、除法、加法、 减法等运算性质。
3. 根式的加法性质
$sqrt{a} + sqrt{b} = sqrt{(sqrt{a} + sqrt{b})^2}$ （$a geq 0, b geq 0$）。
4. 根式的减法性质
$sqrt{a} - sqrt{b} = sqrt{(sqrt{a} - sqrt{b})^2}$（$a geq 0, b geq 0$）。
二次根式拓展提高之恒等变形(实数)
根式拓展提高之恒等变形讲义： 板块一：根式的意义（a 中存在两个非负概念，即a ≥0，a ≥0） 教材1题：化简：()2241121711______.a a a a +--+----= 教材3题：若222ab a b --有意义，则a -b =______.教材4题：已知234690x y y ++-+=，若axy -3x =y ，则a =______. 教材5题：若224412x x y x -+-+=-，则3x +4y =________. 板块二： 恒等变形()22,a a a a ==注意两个等式的不同，第一个等式常常配合绝对值法则使用 教材9题：若x <0，则2x =______,33x =______.教材10题：已知0b a <<，化简：2a b a --教材11题：化简：()2244123x x x -+--教材12题：如果式子()212x x -+-化简的结果为23x -，求x 的取值范围.教材13题：已知25,3,a b ==且0ab >，求a b +的值.板块三：完全平方和根式的综合应用教材14题：当1<x <4时，化简：2212816x x x x -++-+教材15题：已知a <0,b<0,求4a 2+12ab +9b 2的算术平方根.教材16题：已知11a a -=，求1a a +的值.教材17题： (南通2011)设m >n >0，m²+n²=4mn ，则22m n mn- 的值等于___.板块四：拓展拔高教材18题：一个数的平方根是22a b +和4a -6b +13，求这个数.教材20题：设a 是一个无理数，且a ，b 满足1ab a b +-=，求b.教材21题：数轴上，表示1，2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为点C ，求点C 所表示的数.教材22题：若20102x =-，则245x x +-=__________； 若20121x =-，则221x x +-=___________.作业：1.化简：()21105415_______.x x x x -+++-++-=2.若1112y x x =-+-+，化简212___________.y y -+=3.若223y x x =-+--，则_____.y x =4. 若23x =+，则267____________.x x -+=。
6 2020年中考数学复习第六讲：二次根式
2020年中考数学复习第六讲：二次根式【基础知识回顾】一、 二次根式: 式子a （ ）叫做二次根式 【①次根式a 必须注意a___o 这一条件，其结果也是一个非数即：a ___o ②二次根式a （a ≥o ）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式】二、二次根式的性质： ①（a ）2= （a ≥0）= （a ≥0 ,b≥0）= (a ≥0, b≥0) 【二次根式的性质注意其逆用：如比较23和a ）2=a(a ≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小】三、最简二次根式：1、被开方数的因数是 ，因式是整式2、被开方数不含 的因数或因式四、二次根式的运算：1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同2、二次根式的乘除：= （a ≥0 ,b≥0）=（a ≥0，b ＞0） 3、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算【1、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去这一方法进= = 2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用3、二次根式运算的结果一定要化成 】【重点考点例析】（a ≥o ） （a ＜o ）考点一：二次根式有意义的条件A ．x ≠3B ．x ＜3C ．x ＞3D ．x ≥3对应训练A ．x≥0B ．x≠12C ．x≥0且x≠12D ．一切实数 考点二：二次根式的性质 例2 （2019•张家界）实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简2||a a b -+的结果为（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a-b点评：本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．对应训练考点三：二次根式的混合运算点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，熟练利用这些性质将各式进行化简是解题关键．对应训练考点四：与二次根式有关的求值问题对应训练A ．0B ．25C ．50D ．80点评：本题考查了平方差公式，因式分解，二次根式的运算等知识点的应用．1．（2019•泰安）下列运算正确的是（ ）A 5=-B ．21()164--=C ．x 6÷x 3=x 2D ．（x 3）2=x 52.（2019•临沂）计算：= ． 0(3)-= ．。
2020年初中数学竞赛讲义：二次根式的化简与求值
据算术根性质，由右端知 ，
又由左端知 且 ，故 。
由此得 ，代入所求式算值为 。
故选B．
5.
【难度】★★
【解析】
分别看 和 ， 和 之间的关系：
因为 ， ，
所以两式消去 有： ，
两式消去 有： ，
由于 均大于 ，因此： ，
则： ．
6.
【难度】★★★★
【解析】7．
设 ， 为正数；则 为有理数．
令 ，其中 为正整数且互质，则 ，故 ．
所以， ，同理 ， 为正整数
因此， ，即 ．
当 时有易求 或 或 ．
同理可求得： 时， ； 时， 或 ；
时， ．
因此这样的有序数对 共7对： ．
二、
7.
A． B． C． D．
【难度】★★
【解析】D
根据题目所给条件可得：
所以，原式 ，
故选D
8.
A． B． C． D．
．
所以： ．
则 ， ， ． ．
故选B
18.
A． B． C．5D．1
【难度】★
【解析】D
本题应该利用配方法：
原式 ．
故选择D．
19.
A． B．1C． D．2
【难度】★★
【解析】B
原式 ，选B．
20.
A．无理数B．真分数C．奇数D．偶数
【难度】★★
【解析】D
所以选D
21.
A．2B．4C．6D．8
【难度】★★
通分得
原式 ．
故选择D．
13.
A． B． C． D．
【难度】★
【解析】B
进行分子有理化，比较分母的大小．
，
，
二次根式讲义
二次根式复习讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例1】 12）解题思路：式子a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =，y=2009，则x+y=2014举一反三：12()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值【例4】已知a b 是 的小数部分，求12a b ++的值。
举一反三：1、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
知识点二：二次根式的性质 【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． （．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
二次根式的性质2 （公式)0()(2≥=a a a 的运用）【例6】 化简：21a -+的结果为（ ）A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、4举一反三：1、在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=二次根式的性质3 （公式⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2的应用） 【例7】已知2x <,）A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x - 举一反三：【例 A. -a B. --a C. -aD. a知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式： 最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】 下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）A B C ． 21 D【例11】 举一反三：1、下列根式不是最简二次根式的是( ) 是 。
八年级数学竞赛例题二次根式的概念与性质专题讲解【DOC范文整理】
八年级数学竞赛例题二次根式的概念与性质专题讲解专题09二次根式的概念与性质阅读与思考式子叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：．．说明了与、2一样都是非负数．．＝．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．．揭示了与绝对值的内在一致性．．．．．给出了二次根式乘除法运算的法则．．若＞＞0，则＞＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．运用二次根式性质解题应注意：每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．例题与求解【例1】设，都是有理数，且满足方程，那么的值是____________．解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．【例2】当1≤≤2，经化简，＝___________．解题思路：从化简被开方数入手，注意中≥0的隐含制约．【例3】若＞0，＞0，且，求的值．解题思路：对已知条件变形，求，的值或探求，的关系．【例4】若实数，，满足关系式：试确定的值．解题思路：观察发现与互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口．【例5】已知，求＋＋的值．解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.【例6】在△ABc中，AB，Bc，Ac三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格，再在网格中画出格点△ABc，如图1所示．这样不需求△ABc的高，而借用网格就能计算出它的面积．请你将△ABc的面积直接填写在横线上：_________．我们把上述求△ABc面积的方法叫作构图法．若△ABc三边的长分别为，2，，请利用图2中的正方形网格画出相应的△ABc，并求出它的面积．若△ABc三边的长分别为，，2试运用构图法求出这个三角形的面积．解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．能力训练A级．要使代数式有意义．则的取值范围是_____________．．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答．已知为实数，化简．解：原式＝．．已知正数，，有下列命题：若＝1，＝1，则1；若＝，＝，则；若＝2，＝3，则；若＝1，＝5，则3．根据以上命题所提供的信息，请猜想：若＝6，＝7，则________．．已知实数，，满足，则的值为_______．．代数式的最小值是．A．0B．1＋c．1D．不存在．下列四组根式中是同类二次根式的一组是．A．和2B．3和3c．和D．和．化简的结果是．A．6－6B．－6＋6c．－4D．4．设是一个无理数，且，满足－－＋l＝0，则是一个．A．小于0的有理数B．大于0的有理数c．小于0的无理数D．大于0的无理数．已知，其中≠0，求的值．0．已知与的小数部分分别是，，求的值．1．设，，为两两不等的有理数．求证：为有理数．．设，都是正整数，且使，求的最大值．B级．已知，为实数，y＝，则5＋6＝_________．．已知实数满足，则－19992＝___________．．正数，满足＋4－2－4＋4＝3，那么的值为_______．．若，满足3＝7，则=的取值范围是________．．已知整数，满足＋2＝50，那么整数对的个数是A．0B．1c．2D．3．已知＝1，那么代数式的值为A．B．－c．－D．．设等式在实数范围内成立，其中，，是两两不同的实数．则代数式的值为．A．3B．c．2D．．已知，则的值为．A．3B．4c．5D．6．设，，是实数，若＋＋＝2＋4＋6－14，求的值．0．已知3＝3＝cz3，＋＋＝1，求证：＋＋．1．已知在等式中，，，，都是有理数，是无理数．求：当，，，满足什么条件时，是有理数，当，，，满足什么条件时，是无理数．．设＝，求不超过的最大整数[s]．3．如图，c为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB ⊥BD，ED⊥BD，连结Ac，Ec，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设cD＝．用含的代数式表示Ac＋cE的长；请问点c满足什么条件是Ac＋cE的值最小？根据中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．。
初中数学二次根式PPT课件图文
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
初中数学竞赛讲座《二次根式》
a a b ab 分母有理化： b b b b
分母有理化一巧用因式分解法
分母有理化
分母有理化一巧用因式分解法
二、乘方法
点评：在化简计算中出现二次根式的被开方数互为共轭 根式时，则可采用对整体先平方再开方的方法，这种方 法叫做乘方法．须注意的是，平方再开方时应保证符号 与原式相同．
数学方法是数学的灵魂，只有掌握了数学思 想方法，才能真正地学好数学知识，将知识转 化为能力。初中数学竞赛中渗透了不少数学思 想方法，下面本章的有关赛题为例，说明数学 竞赛中常用的数学方法。
二次根式中的数学方法一换元法
换元法是一种重要的数学方法，它在解题中有着广泛的应用． 对于一些复杂的根式运算，通过换元，将其转化为有理式的运算， 可以使得运算简便． 例1．
赛点归纳
赛点归纳
典题精讲二次根式的意义 C
点评：非负数的有关知识与性质虽然浅显易懂，但用它所能
解决的问题却非常广泛，近几年的各种竞赛中经常出现．有此赛 题从题目所给条件中不易看出与非负数有关，比较隐藏，但通过 配方，构造方程等方法或对实际问题的分析，却发现可利用非负 数的知识求解．
典题精讲二次根式的意义
九年级竞赛辅导
第一讲
二次根式
√a （a≥0）
泰和中 周光明
第一讲
二次根式
我们将数的范围扩大到实数的同时，代数 式中也就随之引进了根式．根式的研究使我们 初步了解了无理数的性质，数与式相辅相成， 相互促进，体现了代数知识紧密的联系性，因 此，根式问题不但是初中阶段常规试题和竞赛 试题的重点和难点之一，同时，对高中乃至更 深层的数学学习都有深远的意义．
构造方程与方程组
复合二次根式的化简
【点评】复合二次根式的化简，一般是将二次根式中的被开方数 配成完全平方式，然后再求解的方法，这也叫用配方法．配方时 有时需要通过几次拼凑方可达到目的． 配方法主要用来解竞赛中经常出现的复合二次根式的化简 问题和需要用完全平方公式解决的问题．
八年级数学竞赛讲座二次根式的运算附答案
八年级数学竞赛讲座二次根式的运算附答案第七讲：二次根式的运算二次根式是指形如a(a≥0)的式子，其运算基于以下几个法则：1) ac±bc=(a±b)c(c≥0)；2) ab=a×b(a≥0，b≥0)；3) a/b=a÷b(a≥0，b>0)；4) (a)²=a²(a≥0)。
同类二次根式的合并是二次根式加减的实质，而二次根式除法和混合运算则常常用到有理化概念。
因此，有理化是二次根式中重要的概念。
二次根式的运算是在有理式（整式、分式）运算的基础上发展起来的，因此，解决二次根式问题时，常常需要用到有理式运算的方法和技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等。
例题求解：例1】已知y=(x²-2)/(x²-2-5x+4+5x/(4-5x))，求x²+y²=4-5x。
解析：由于等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，因此，我们从二次根式的定义入手。
通过二次根式的性质，我们可以通过平方去掉根号有理化，揭示与绝对值的内在一致性。
这样，我们就可以充分运用概念解题。
例2】化简1+1/n²+1/(n+1)²，所得的结果为（）A.1+1/n+1/(n+1)B.1-1/n+1/(n+1)C.1+1/n-1/(n+1)D.1-1/n-1/(n+1)解析：待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式。
特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律。
例3】计算：1）(6+4)/(3+2)；2）10+14-15-21/10+14/15+21；3）75+57+…+5+23+1/(315-10-26+33-2+18)。
解析：若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化。
因此，我们需要观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口。