高考数学二轮复习第3部分策略1活用4大数学思想3分类与整合思想教案文

分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略，对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.

高考数学二轮复习第3部分策略1活用4大数学思想3分类与整

合思想教案文

应用1 由概念、法则、公式引起的分类讨论

【典例1】 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为( )

A ．－3

B ．1

C ．－3或1

D ．1或3

C [设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1，由S n ＋2＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n,3a 1n ＝2a 1－3恒成立，则a 1

＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1，所以S n ＝a 11－q n 1－q ，S n ＋2＝a 11－q n ＋2

1－q

，

代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2

)q n

＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成立，

则有⎩

⎪⎨

⎪⎧

4－q 2

＝0，

3＋3a 1－3q ＝0，解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＝1，

q ＝2或⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＝－3，

q ＝－2，

故a 1＝1或－3.]

本题易忽略对q ＝1的情况进行讨论，而直接利用S n ＝a 11－q n

1－q

，很容易造成漏解或增

解，若本题是解答题，这种解答是不完备的.本题根据等比数列前n 项和公式的使用就要分q

＝1，S n ＝na 1和q ≠1，S n ＝a 11－q n

1－q

进行讨论.

【对点训练1】 (2019·武汉模拟)已知集合A ＝{x |x ＜－3或x ＞7}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．

(－∞，2)∪(6，＋∞) [当B ＝∅时，有m ＋1＞2m －1，则m ＜2.

当B ≠∅时，有⎩

⎪⎨

⎪⎧

m ＋1≤2m －1，

2m －1＜－3或⎩

⎪⎨

⎪⎧

m ＋1≤2m －1，

m ＋1＞7，解得m ＞6.

综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，2)∪(6，＋∞)．]

【对点训练2】 一条直线过点(5,2)，且在x 轴，y 轴上截距相等，则这条直线的方程为( )

A ．x ＋y －7＝0

B ．2x －5y ＝0

C ．x ＋y －7＝0或2x －5y ＝0

D ．x ＋y ＋7＝0或2y －5x ＝0

C [设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a ，当a ＝0时，直线过原点，此时直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当a ≠0时，设直线方程为x a ＋y

a ＝1，则求得a ＝7，直线方程为x ＋y －7＝0.]

应用2 由运算、性质引起的分类讨论

【典例2】 已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0

D ．(b －1)(b －a )＞0

D [∵a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1， ∴当a ＞1，即a －1＞0时，

不等式log a b ＞1可化为a log a b ＞a 1

，即b ＞a ＞1，

∴(a －1)(a －b )＜0，(a －1)(b －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0. 当0＜a ＜1时，即a －1＜0时，

不等式log a b ＞1可化为a log a b ＜a 1，即0＜b ＜a ＜1， ∴(a －1)(a －b )＜0，(a －1)(b －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0. 综上可知，选D.]

应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的.在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一.

【对点训练3】 已知函数f (x )＝a x

＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a

＋b ＝________.

－32 [当a ＞1时，函数f (x )＝a x

＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

a －1

＋b ＝－1，a 0

＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x

＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪

⎧

a －1＋

b ＝0，a 0

＋b ＝－1，

解

得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝12，

b ＝－2，

所以a ＋b ＝－3

2

.]

【对点训练4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－1

4.

(1)求sin C 的值；

(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． [解] (1)由cos 2C ＝1－2sin 2

C ，得sin C ＝10

4

. (2)由2sin A ＝sin C ，得2a ＝c ，所以c ＝4. 由sin C ＝

104，得cos C ＝±64

. 下面分两种情况： ①当cos C ＝

64

时，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2

－2ab cos C 得 b 2－6b －12＝0，解得b ＝2 6.

②当cos C ＝－

6

4

时，同理可得b ＝ 6. 综上c ＝4，b ＝26或b ＝ 6.

应用3 由图形位置或形状分类讨论

【典例3】 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 2

4＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是

一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求|PF 1|

|PF 2|

的值．

[解] ①若∠PF 2F 1＝90°. 则|PF 1|2

＝|PF 2|2

＋|F 1F 2|2

，

又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝7

2.

②若∠F 1PF 2＝90°，