2015考研数学线性代数零基础入门讲义
线性代数专业知识讲座
例设 计算
1 0 2
A
0
1
1
0 1 0
g(A) 2A8 3A5 A4 A2 4E
25
§5.3 特征值与特征向量
解:
1 0 2
f () E A 0 1 1
0 1
3 2 1
令
g() 28 35 4 2 4
g() f ()(25 43 52 9 14)
将特征值 3 5 代入特征方程组 (E A)X 0
得特征向量
1 X 3 1
1
13
§5.3 特征值与特征向量
T 旳属于特征值 1 2 1 旳线性无关旳特征向量
1
1
(1,2 ,3 ) X1
(1
,
2
,
3
)
0
1
3
1
0
2
(1, 2 ,3 ) X 2
(1
,
2
,
3
)
1
2
3
1
T 旳属于特征值 1 2 1 旳全部特征向量
7
§5.3 特征值与特征向量
求矩阵旳特征值与特征向量旳环节： (1) 计算矩阵 A 旳特征多项式
En A (1 )(2 )
(2) 由
En A 0
(n )
得全部根 1 , 2 ,, n 即为矩阵A旳特征值
(3) 对 A 旳不同特征值 i , 分别求解方程组
(i E A) X 0
得基础解系 1, 2 , , r
20
§5.3 特征值与特征向量
(1) 特征多项式 f () 是有关 项旳 n 次多项式 (2) n 次项( n 项)旳系数为 1 (3) n-1 次项(n-1 项)旳系数为 – (a11+ a22+…+ ann)
2015考研数学强化-线性代数(章飞)讲义
2015考研数学强化班线性代数讲义第一讲 行列式一、理论强化1．行列式的定义 2n 个数),,2,1,(n j i a j i =排成n 行n 列的方形表)(det )1(212121,,212222111211ij j n j j j j j nnn n n n a D A A a a a a a a a a a a a a nn∆====-=∑τ称为一个n 阶行列式，n 阶行列式是一个数，它等于所有来自不同行，不同列的n 个元素的乘积1211,,,n j j n j a a a ⋅⋅的代数和．其中12,,n j j j 是1,2,n 的一个排列．1=n 时，1111a a =为一阶行列式．2．行列式的性质（1）行列式转置后，其值不变，TD D =（表示行列地位平等）；（2）行列式某行（列）的元素的公因子k ，可以提到行列式符号外；（3）行列式具有分行（列）相加性；例：fe dbf e c af e d c b a +=++； （4）行列式中有两行（列）元素成比例时，其值为0； （5）互换行列式两行（列），行列式变号；（6）把某行（列）的k 倍加到另一行（列）后，行列式值不变． 3．行列式的余子式、代数余子式把j i a 所在的i 行，j 列划去余下来的1-n 阶行列式称为D 的元素j i a 的余子式记为j i M ； 称(1)i j i j i j A M +=-为D 的元素j i a 的代数余子式．*4．行列式展开定理定理1．行列式等于它的任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式的乘积之和：),,2,1(),,2,1(11n j A a n i A a D j i ni j i j i n j j i ====∑∑==．定理2．1,,0,,nk j i j j D k i a A k i ==⎧=⎨≠⎩∑ 10,,,.ni k ij i k j a A D k j =≠⎧=⎨=⎩∑5．方阵的行列式 设A 、B 为n 阶方阵，则①11--=AA ； ②Ak kA n =； ③1-*=n AA ；④B A BA AB ==； ⑤ ||||||A B A B +≠+．二、常用结论1．上（下）三角形行列式n n a a a 0*2211＝n n a a a 2211 ，nn a a a *2211＝n n a a a 2211．2． 副对角行列式11(1)2(1)2(1)212(1)3(2)111*(1)0*nnn n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----==-．3．范德蒙行列式)(1111111312112232221321j i j i n n nn n n nnn x x x x x x x x x x x x x x D -∏==≥>≥----． 4．分块行列式①B A BCA B C A ==00 ；② 0(1)0m m m mm n n n n nA CA AB BC B ⨯⨯⨯⨯==-； ③ A BAD BC C D≠-．三、题型强化1．具体行列式的计算 方法一：三角形法（基础题）求4124120233200112D =．（答案：50）． 1234123412341234a x a a a a a x a a D a a a x a a a a a x--=--例：求 a b b b ba b b D bb a b bbba=例：求011211111(0)1n i na a D a a a +=≠．例：求1243411112222(0)33334444i a a D a a a ++=≠++．方法二：展开法-3-2-4-2-2=0-4-2-3λλλ求方程的根方法三：递推法：例：求2100012100200012n D =．方法四：利用范德蒙行列式例：222ab cD a b c b c c a a b=+++222323111122223333n n n nD nn n n =方法五：拆项法例： 已知232311111111124812480. 104150351211x x x x x x x ----+==则 ．方法六：分块法例：设212322212223() 333245354435743x x x x x x x x f x x x x x x x x x --------=-------，则()f x 的根的个数为（ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 :题型2．抽象行列式（方阵行列式）的计算 （基础题）设A 是三阶方阵，21=A ，求*--A A 2)3(1． （答案：16/27)- ()()123123122313,,=,,1,=+++A B B αααααααααααα==例：设是三维列向量，记A 且若，，，则例：设,A B 是n 阶方阵，2,A =3,B =1,A B -= 求11A B ---．例：（04-1，2）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100021012A ，矩阵B 满足E A B A B A +=**2 ，则_____B =．3．有关余子式的计算方法：利用行列式展开定理3132331234511122=321462221143150D A A A ++，求30402222=07005322D --，求第四行个元素代数余子式之和第二讲 矩阵§1、矩阵及其运算一、理论强化1 矩阵的概念 ()m n ij m n A a ⨯⨯= （是一个数表）．2 矩阵的运算（1）线性运算 (+),();ij ij m n ij m n A B a b A ka ⨯⨯+=⎧⎪⎨=⎪⎩加法数乘 k（2）乘法运算 m n m s s n C A B ⨯⨯⨯= (条件：左矩阵列数=右矩阵行数)； 运算性质：（i ）BA AB ≠ 00=⇒/=A AB 或0=B ；（ii ）AC AB C B A +=+)(，CA BA A C B +=+)(；（3）方阵的幂 mA AA A = 满足 ()m n mn A A =，但()m m m AB A B ≠；（4） 转置 设 (),ij m n A a ⨯= 则()T ji n m A a ⨯=．运算性质：（i ）()T T A A =； （ⅱ）()T T kA kA = ；（ⅲ）()T T T A B A B +=+；（ⅳ）()T T T AB B A =．*⑸ 伴随阵 *A(ⅰ)定义 设(),ij n n A a ⨯= 则1121112222*12()n n ji n nnnnn n nA A A A A A A A A A A ⨯⨯⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭为A 的伴随阵． （ⅱ）基本公式 **||A A AA A E ==． *⑹ 可逆阵（非奇异阵）(ⅰ)定义 对于n 阶方阵A ,若存在n 阶方阵B ,使AB BA E ==,则称A 可逆，B 为A 的逆阵，记1A B -=．注 1A -唯一，且11AA A A E --==． (ⅱ) A 可逆的充要条件n 阶方阵A 可逆⇔||0A ≠⇔存在n 阶方阵B 使得AB E =或BA E =⇔()R A n =⇔A 的行（列）向量组线性无关⇔方程组Ax =0只有零解⇔12s A PP P =（其中i P 为初等方阵）； （ⅲ）逆阵公式 1*1||AA A -=； （ⅳ）性质 ① 11()A A --=； ② 111() (0)kA A k k--=≠； ③11()()T T A A --=； ④ 111()AB B A ---= ； ⑤111()A B A B ---+≠+．3. 分块矩阵（1）概念 将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵，每个小矩阵称为A 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．如123422440002100001000010A A A A A ⨯⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭例： 100001000010001000121000131110100214010010121A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪==-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则AB= （2）运算性质分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似，但要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与的子块也能运算，即内外都能运算．（3）常用的分块（ⅰ）列分块 ()121,,,m n n n A ⨯⨯=ααα，i α——1⨯n ．（ⅱ）行分块 121m nm m A ⨯⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭βββ，i β——1n ⨯． （ⅲ）A =0x 的分块12121122()n n n n x xA x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪=⇔⇔++= ⎪ ⎪⎝⎭000ααααααx ．（ⅳ）O AB =的分块1212(,,)(0,0,0)(,,)(0,0,0)n n AB A A A A =⇔=⇔=0ββββββ0 (1,2,)i A i n ⇔==β．结论：若O AB =，则B 的列向量i β是方程组A =0x 的解．（V ）分块对角阵 1s A A ⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭．二、常用结论1. 设,αβ为n 维列向量，T A =αβ,则1()n T n A A -=βα．2．① *1||A A A -=； ② ()kA *=1n k-*A ； ③ 1*()A -=*1()A - ；④ ***()AB B A =． 3. 1110000A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1110000A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 4．1122n n n A A A A ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．三、题型强化1．求nA ．方法：数学归纳法、拆项法、分块法、利用常用结论1、相似对角化法1013101-120100302-24001002-11-2A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例：()222,,,0n A B B A B A B AB BA ==-=+==阶矩阵满足A 证明：2. 逆阵的计算或证明（具体矩阵、抽象矩阵） 方法一：公式法例：123045002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1()A *-=__________方法二：初等变换法求具体矩阵的逆例：223110121A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求1A -例：()1240A A E A E -+-=-若，求例：设T A E =+αβ，其中,αβ是n 维列向量，且2T =αβ，证明：A 是可逆阵，并求1A -．例：设,A B 是n 阶矩阵，E AB -可逆，证明E BA -可逆．例：设0,i a ≠1,2,...i n =，12100000000000n na a A a a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求 1A -．*题型3. 解矩阵方程（基础题）设矩阵301110014A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且2AX A X =+，求矩阵X ．（答案：522432223--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭）例：设矩阵111111111A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且*11(2)()84A X A X -=+，求矩阵X ．§2、初等变换与矩阵的秩一、理论强化1．初等变换 初等行变换 (i j r r ↔ ， i r k ⨯ (0),k ≠ )i j r ki + 初等列变换 (i j c c ↔ ， i c k ⨯ (0),k ≠ )i j c kc +*2．初等方阵 （1）．定义： 由单位阵经过一次初等变换而得到的矩阵．如： 13312(2)11021010(1,3(2))1001r r c c E E ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2)．共三种①11(,) 101E i j ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ （对应 i j r r ↔或i j c c ↔）； ②1(())1E i k k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（对应 i r k ⨯或 (0)i c k k ⨯≠）； ③11(,())11k E i j k ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（对应 i j r kr +或（)j ic kc +）． (3)．性质① 1(,)(,)E i j E i j -=； 11(())(()k E i k E i -=； 1(,())(,())E i j k E i j k -=- 如11102102(1,3(2))010010(1,3(2))001001E E ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②初等方阵与初等变换的关系1A B PA B −−−−→⇔=一次行变换，其中1P为相应的初等方阵， A B −−−−→一次列变换A ⇔1Q =B ， 其中1Q 为相应的初等方阵， 如 12110201201110(1,2)123123r r A B E A B ↔⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−→=⇔= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． *3．矩阵等价⑴ 概念：若A B −−−−−→有限次初等变换，称A 与B 等价，记A B ． ⑵性质 ①,m n m n A B A B ⨯⨯⇔同型且()()R A R B =⇔∃可逆阵,m n P Q 使m n P AQ B =．②000rE A ⎛⎫⎪⎝⎭，其中()r R A =． *4．矩阵的秩(1)．概念()R A r =⇔至少有一个r 阶子式 0r D ≠ (())R A r ≥，所有1r + 阶子式 1=0r D +(())R A r ≤．如 123401252468A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 110D ∃=≠,()1R A ≥,212=001D ∃≠（()2R A ≥），所有30D =（()2R A ≤）， ()2R A ∴=．(2)．性质 若B A ~，则()()R A R B =．二、常用结论1．00,()10;A R A A =⇔=⎧=⎨≥⇔≠⎩2．设()ij m n A a ⨯=，则()()()min{,}(0)T R A R A R kA m n k ==≤≠； 3．设A 为n 阶矩阵，则||0,()||0;n A R A n A =⇔≠⎧=⎨<⇔=⎩4．()min{(),()}R AB R A R B ≤； 5．()()()R A B R A R B +≤+；6．设0m n n s A B ⨯⨯=，则()()R A R B n +≤；7．(),()1()1,0()1;n R A n R A R A n R A n *⇔=⎧⎪=⇔=-⎨⎪⇔<-⎩8．设,P Q 为可逆阵，则()()()()R A R PA R AQ R PAQ ===．三、题型强化4．初等变换与初等矩阵的关系与应用 例：（2011-1,2,3）设A 是3阶方阵，将A 的第2行加到第1行得矩阵B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得到C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则（）. （A ）1C P AP -= （B ）1C PAP -= （C ）T C P AP = （D ）TC PAP =．5．求矩阵的秩方法：基本方法：初等变换法对矩阵作初等行变换，化为阶梯形，阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。
《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
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特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
线性代数讲义(基础版)
1 2 3 1
2 0 2 1 a2
4 2 0 2 a3 a3 a3 − x a3 a4 a4 a4 a4 − x
a1 − x
例2 求 D=
a2 − x a2 a2
a0 1
例3 求 Dn +1 = 1
1 a1
1 a2
1 (ai ≠ 0) an
1
a1 + x a2 a3 a4 0 0 x −x 例 3 求 D4 = 0 −x x 0 0 0 −x x a1
n
6
线性代数基础班 09
合肥工业大学考研辅导中心（共创考研）
7
例1． 设
⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
， 求A
n
例2． 设
⎛3 1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 3 0⎟ ， ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠
求 A
n
例3． 设
α = (1 2 3)T β = αT β
，
线性代数基础班 09
合肥工业大学考研辅导中心（共创考研）
1
第四篇：线性代数
第一章 行列式
考试要求 1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 2． 会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
一、内容提要
1．行列式的定义
n 2 个数 ai j (i, j = 1,2,
a11 a 21 a n1 a12 a 22 an2
练习 求 Dn =
b1 a2
b2 an −1 bn −1
bn
an
1
练习
−1 −1 x −1 −1
1 x +1 1 1
x −1 −1 −1 −1
3
1 1 x +1
简明线性代数讲义(郭志军,2015,8)
a11 a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
N i1i2 in N j1 j2 jn
aij
nn
j1 j2
1
jn
N j1 j2
jn
a1 j1 a2 j2
anjn
i1i2
1
in
N i1i2
1
增加未知量的个数（二元、三元方程组） ；②增加未知量的 幂次（一元二次方程） 。韦达曾经这样地描述过“算术”与 “代数” ：所谓“算术” ，即仅研究关于具体数的计算方法； 所谓“代数” ，即是研究关于事物的类或形式的运算方法— 字母表示数的思想方法是代数学发展史上的一个重大转折。 代数学的深化阶段即是高等代数阶段。十七世纪下半叶，从 研究线性方程组的解出发， 在莱布尼茨、 凯莱等人的努力下， 建立了以行列式、矩阵和线性方程组为主要内容的线性代 数，标志着高等代数理论体系的建立。由于计算机的飞速发 展与广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算加 以解决；作为处理离散问题的线性代数，已成为科研与设计 等的必备数学基础。代数学的抽象化阶段—近世代数（抽象 代数）产生于十九世纪，其研究各种抽象的合理化的代数系 统，包括群论、环论、线性代数等许多分支。一般认为，其 形成的时间为 1926 年；从此代数学的研究对象由代数方程 根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代 数运算规律和各种代数结构。
in
ai1 ,1ai2 ,2
ain ,n
1, 2,
i1i2 in j1 j2 jn
1
ai1 ai2 j2
这里， j1 j2 ain jn ，
jn 表示求和取遍
《线性代数第1讲》课件
03
线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于 科学、工程和经济学等领域。
线性代数的基本性质
线性代数的运算具有结合律和交换律，例如矩阵乘法满足结合律和交换律 。
线性代数中的向量和矩阵具有加法、数乘和矩阵乘法的封闭性，即这些运 算的结果仍属于向量空间或矩阵集合。
线性代数中的一些基本概念，如向量空间的基底、向量的维数、矩阵的秩 等，具有明确的数学定义和性质。
04
线性变换在几何、物理和工程等领域有广泛应性方程组的解法
1 2
3
高斯-约当消元法
通过行变换将系数矩阵化为行最简形式，从而求解线性方程 组。
克拉默法则
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过求解方程 组得到未知数的值。
矩阵分解法
将系数矩阵分解为几个简单的矩阵，简化计算过程，如LU分 解、QR分解等。
THANKS
特征值与特征向量的应用
判断矩阵的稳定性
通过计算矩阵的特征值，可以判 断矩阵的稳定性，从而了解系统 的动态行为。
信号处理
在信号处理中，可以通过特征值 和特征向量的方法进行信号的滤 波、降噪等处理。
数据压缩
在数据压缩中，可以使用特征值 和特征向量的方法进行数据的压 缩和重构，提高数据的存储和传 输效率。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01
基础定义
03
向量具有加法、数乘和向量的模等基本性质。
02
向量是有大小和方向的量，通常用实数和字母 表示。
04
向量的模是衡量其大小的标准，计算公式为 $sqrt{a^2 + b^2}$。
向量空间的概念
01
抽象空间
02
向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、
2015线性代数辅导讲义 答疑整理【日期更新至5.26】
学生问：2015线性代数辅导讲义，P2，评注2，第6页括号五，特征多项式公式，这两个地方没看明白，主要是不清楚行列式是怎么拆分的，以及怎么合并成特征多项式公式的，谢谢老师解答! 老师答：111213212223313233000000a a a a a a a a a λλλ--------- 行列式的性质将第1列拆开， 121322233233000000a a a a a a λλλ--=--+--1112132122233132330000a a a a a a a a a λλ--------- 这两个矩阵分别再对第2列拆开，得四个行列式，再分别对四个行列式的第3列拆开， 得8个行列式，就是第二页的所给结果，这8个三阶行列式前7个都很好计算，（主对角线性，一列只有一个非零元素展开）。
按行也可以得出一样的结果，要点就是一行（列）元素拆成两元素之和，其他行（列）元素保持不变。
学生问：老师你好，我想问一下，2015线性代数辅导讲义，P6，（3），1.10的推倒过程中前两个式子为什么相等～～～ 老师答：这三个式子是相等的， 前两式子分别等于第3个，传递性知前两个式子相等。
学生问：2015线性代数辅导讲义，P6，关于副对角线的行列式从第一不到第二步看不懂，是怎样化的能详细点吗？副对角线跟主对角线有什么区别呢？谢谢老师。
老师答：这儿的两式子没有推导关系，只是结果相等的关系。
根据行列式的定义或展开计算得出1.8的结果。
副对角线行列式的结果不只是对角线上元素乘积，还有与阶数有关的符号。
学生问：2015线性代数辅导讲义，（1）P8，图片画线处前后两个等号不理解，不知道怎么来的，以及后面那个行列式怎么的出来（2）P4，为什么D1=4老师答：这个行列式用常数12,,,n b b b ， 换掉前面系数行列式中第j 列的元素得到的行列式，记为j D ，行列式按第j 列展开的计算式就是画线的式子。
4页，这就是第一行第一列一个元素的行列式。
考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)
考研数学之线性代数讲义（考点知识点+概念定理总结）线性代数讲义目录第一讲基本概念矩阵的初等变换与线性矩阵方程的消去完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第4讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的判别基本解系统和通解第6讲特征向量和特征值的相似性和对角化特征向量与特征值―概念,计算与应用相似对角化―判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量取代了实对称矩阵惯性指数正定二次型与正定矩阵的合同标准化与规范化附录二向量空间及其子空间附录III两个线性方程组的解集之间的关系附录四06,07年考题一第一讲基本概念1.线性方程组的基本概念。
线性方程组的一般形式是：a11x1+a12x2++a1nxn=b1，a21x1+a22x2+？+a2nxn=b2，？？？？am1x1+am2x2+？+amnxn=bm，其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量（k1，k2，k，kn）（称为解向量），它满足当每个方程中的未知数席被Ki替换时，它变成一个方程。
线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.在线性方程组的讨论中有两个主要问题：（1）判断解（2）求解，特别是当存在无穷多个连接时求通解b1=b2=?=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解。
因此，齐次线性方程组只有两种解：唯一解（即只要零解）和无限解（即非零解）把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量（1）基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.是M吗？一张表有M行和N列，以N个数字排列，两边用括号或方括号括起来，就变成了M？例如N型矩阵2-101111102254-29333-18是4吗？5矩阵对于上述线性方程组，它被称为矩阵a11a12?a1na11a12?a1nb1a=a21a22?a2n和(a|?)=a21a22?a2nb2??????? am1am2？amnam1am2？amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.矩阵中的数字称为其元素，第I行和第J列中的数字称为（I，J）位元素所有元素为0的矩阵称为零矩阵，通常记录为0两个矩阵a和b相等(记作a=b),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.N个数的有序数组称为N维向量，这些数称为其分量书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,?,an的向量可表示成二a1(a1,a2,?,an)或a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1?n矩阵,右边是n?1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个M？n的矩阵的每一行是一个n维向量，称为其行向量；每一列都是一个m维向量，称为它的列向量。
线性代数基础讲义
2015考研数学线性代数基础讲义第一章 行列式一．基本内容1．排列与逆序定义 ：由 n 个自然数1, 2,3,..., n 组成的无重复有序实数组 称为一个 n 级排列。
定义 ：在一个 n 级排列中，如果一个较大数排在一个较小数前面，我们就称这两个数构成一个逆序。
对于逆序，我们感兴趣的是一个 n 级排列中逆序的总数，称为 n 级排列的逆序数，记作。
2. 行列式的定义个数 （ ）排成的行列的方形表称为一个n 阶行列式。
它表示所有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和。
3.行列式的性质（1）转置不改变行列式的值（2）行列式某行（列）元素的公因子可以提到行列式之外（3）行列式的分行（列）可加性（4）行列式两行（列）元素成比例，则行列式值为0（5）互换行列式的某两行（列）行列式的值改变符号（6）行列式某行（列）的倍加到另外一行（列），行列式值不变4.行列式的余子式、代数余子式划去元素 所在的行、列，剩下的元素按照原来的顺序排成的n-1阶行列式称为 的余子式，记为 ，称 为 的代数余子式。
5.行列式的展开（1）展开定理（2）行列式某一行（列）每个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于0 。
二.基本结论（1）（2）12,,n i i i 12,,n i i i ()12,,n i i i τ2n ij a ,1,2,,i j n =⋅⋅⋅1212121112121222(,,,)12,,,12(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑ij a ij a ij M (1)i j ij ij A M +=-ij a 1122i i i i in in D a A a A a A =++1,2,,i n =1122j j j j nj nj a A a A a A =++1,2,,j n =11220k i k i kn in a A a A a A ++=k i≠11220k i k i nk ni a A a A a A ++=k i ≠1122nn a a a =11112222******nn nn a a a a a a ==1112(1)2(1)2(1)111******n n n n n n n n n a a a a a a a a a ---===三. 基本题型与基本方法题型1：行列式的计算：行列式基本方法：利用性质及展开具体方法：方法一 ：三角法（利用性质将行列式化为三角型行列式）例方法二：降阶法（利用展开降阶）例第二章 矩阵第一节 矩阵及其运算一. 基本内容1．矩阵概念1）定义2）特殊矩阵：（1）零矩阵：（2）阶方阵：（3）行矩阵（向量）、列矩阵（向量）：（4）对角矩阵、单位矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵：（5）对称矩阵、反对称矩阵：2．矩阵的运算1）线性运算：加法与数乘2）乘法：（1）乘法法则：（2）运算律：3）方阵的运算（1）方阵的幂及其运算律：（2）方阵的行列式4）转置：性质5）伴随矩阵性质：二、基本结论1．伴随矩阵的相关结论2．分块矩阵的逆 4124120233200112D =0111111n n a a D a +=12344000000a x a a a x x D x x x x +-=--()111212122212n n ij m n m m mn a a a a a a A a a a a ⨯⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪== ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭第二节 可逆矩阵一、基本内容1．可逆的定义：2．阶矩阵可逆的充要条件：3．性质：二、基本题型与基本方法题型1：逆矩阵的计算与证明（具体矩阵、抽象矩阵）方法一：公式法求逆方法二：初等变换求逆：方法：例方法四：利用定义，求（证明）逆矩（抽象矩阵的情形中常见）例：n 阶矩阵满足 求第三节 矩阵的初等变换与秩一、基本内容1．初等变换的定义：2．初等矩阵（1）定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵（2）三种初等矩阵：（3）性质：初等矩阵都是可逆的，其逆仍是初等矩阵3．初等变换的本质（初等变换与初等矩阵的关系）4．矩阵等价1）定义：2）性质：5．矩阵的秩（1）定义：（2）性质：初等变换不改变矩阵的秩二、基本题型与基本方法题型：求矩阵的秩基本方法：初等变换法对矩阵作初等行变换，化为阶梯形，阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。
线性代数讲义(第一章)
an1 an2 ann
解 展开式的一般项为 (-1)t( j1 j2jn ) a1 j1 a2 j2 anjn .
不为零的项只有 (-1)t(12n) a11a22 ann.
a11 0
0
a21 a22 0 1 t12na11a22 ann
1
1
a2 a a 1
1
1
b2 b b 1
1
1
c2 c c 1
1
1
d2 d d 1
a
b abcd
c
d
11
1 a2 a
a
1
1 b2
1
1 c2
1
b
b 1
13
c
c
1
1 d2
1 d
d
11 1 a2 a
1
1 b2
1 b
1
1 c2
1 c
1
1 d2
1 d
0.
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变．
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
为便于记忆，引入记号
a D 11
a21
a 12
a a11 22 a a 12 21
三阶行列式的计算: 对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
2015年考研数学线性代数第一章和第二章复习方法指导-李兰巧
2015年考研数学线性代数第一章和第二章复习方法指导在考试大纲中，数一、数二、数三对线性代数的要求基本相同，只有数一的要求多了解向量空间的相关知识。
在历年考题中，数一、数二、数三的线性代数的题目基本相同，所以同学们在复习线性代数时它的要求是相同的，复习难度也是相同的。
线性代数的题型是非常固定的，尤其是解答题。
其中一道解答题考查的是向量或者线性方程组，另外一道解答题是矩阵的特征值、特征向量或者二次型。
所以同学们在复习线性代数时，一定要花大量时间来复习这些内容。
今天我先来介绍第一章行列式和第二章矩阵的复习方法.第一章行列式是整个线性代数的基础。
复习行列式时，同学们主要掌握行列式的性质和展开定理，会熟练计算行列式。
对于行列式的定义，考试大纲要求了解，但是在考试中没有考查过它的定义，所以同学们了解定义即可。
有的同学说，我看不明白，那可以不看。
计算行列式是，主要是掌握行列式的性质和展开定理.对于行列式的性质，同学们要熟练利用，它的证明同学们不用看。
在复习展开定理时，要掌握定理本身和它的推论，同时要区分余子式和代数余子式。
关于代数余子式，在伴随矩阵中还会涉及。
考题中涉及到代数余子式，考虑展开定理或者伴随矩阵。
行列式的计算分为数值型行列式的计算和抽象型行列式的计算。
数值型行列式主要考查四种类型的行列式：行和（或者列和）相等的行列式，三对角行列式，两对角线一边的行列式，爪型行列式。
其中行和（或者列和）相等的行列式考试频率最高。
计算数值型行列式，同学们不但要会，而且要熟练掌握它们相应的方法。
数值型行列式的计算主要是结合线性方程组、矩阵的特征值来考查。
例如2012年在解答题第（I ）问中直接计算四阶行列式，第（II ）问考查线性方程组。
2014年以选择题的形式考查了四阶行列式的计算。
抽象型行列式的计算涉及的知识点较多，经常结合矩阵的性质、特征值、相似等等考查，所以需要同学们随着学习的不断深入要不断总结。
抽象型行列式的计算主要是以客观题的形式来考查，在2010年，2012年，2013年都以客观题的形式考查。
李永乐冲刺讲义
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2015 考研数学冲刺班线性代数辅导讲义——李永乐
17.设 3 阶矩阵 A 有 3 个不同的特征值 1 , 2 , 3 ,对应的特征向量分别是 α1 , α2 , α3 ,记 β α1 α2 α3 . （I）证明： β 不是矩阵 A 的特征向量. （II）若 Aβ A3 β ，求 A 的特征值并求行列式 A 2 E 的值.
（I）求矩阵 A 的特征值，特征向量. （II）求二次型 x Ax 的表达式. （III）用正交变换把二次型 x T Ax 化为标准形并写出所用坐标变换.
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2015 考研数学冲刺班线性代数辅导讲义——李永乐
21.已知 A 和 B 均是 n 阶正定矩阵，证明 AB 是正定矩阵的充分必要条件是 AB BA .
个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表出.
14. 已知 A 是 m n 矩阵，秩 r A n ， α1 , α2 , , αs 是 n 维列向量. 证明: α1 , α2 , , αs 线性无关的充分必要条件是 Aα1 , Aα2 , , Aαs 线性无关.
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Ax b 解的结构： α k1η1 k 2 η2 kn r ηn r .
4.如何求特征值、特征向量. (1)定义法 Aα α, α 0 (2) E A 0 （或 A E 0 ） ， i E A x 0 (3)若 P 1 AP B . 由 Aα α B P 1α P 1α ；由 Bα α A Pα Pα . 5. A ~ Λ A 有 n 个线性无关的特征向量 k 重特征值必有 k 个线性无关的特征向量. 6.实对称矩阵有哪些定理，如何做题？ 7.如何用正交变换化二次型为标准形?
李林2015年线代讲义
第二篇 线性代数第一讲 行列式考纲要求1.了解行列式的定义，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式. 问题1 何谓行列式？行列式在线性代数中有哪些应用？答 行列式是方阵的元素按一定规则运算得到的一个数，它在线性代数中有广泛应用： 设A 为阶方阵，则下列命题等价： n ⑴0A ≠（A 非奇异）； ⑵A 可逆；⑶存在方阵B ，使得AB E =； ⑷（()r A n =A 满秩）；⑸A 的特征值全不为零；⑹A 的行（列）向量组线性无关； ⑺只有零解； 0Ax =⑻有惟一解. Ax b =问题2 何谓余子式、代数余子式？答 余子式、代数余子式的定义见教材，由定义知，代数余子式ij A 与第i 行、第j 列的元素的取值无关.例设4521011130112101−−=D ，求41424344A A A A +++；41424344.M M M M +++【】 1;5−−问题3 行列式有哪些性质？ 答 行列式的性质有⑴行列互换，行列式不变； ⑵两行互换，行列式反号； ⑶一行的公因子可以提出来； ⑷两行成比例，行列式为零；⑸行列式可以按一行拆分为两个行列式之和；⑹一行的倍数加到另一行，行列式不变. 注 行列式对行成立的性质，对列也成立. 问题4 写出行列式按行（列）展开公式.答 1122i i i i in in A a A a A a A =+++L （按第i 行展开）1122j j j j nj nj A a A a A a A =+++L （按第j 列展开）▲一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零，即11220()i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠L问题5 如何计算数字、字母型行列式？ 答 数字、字母型行列式的计算方法有 ⑴化三角形法； ⑵展开降阶法； ⑶展开递推法； ⑷归纳法；⑸公式法.常用公式有公式1 上（下）三角形行列式112212************n n na a a a a a a a a ==L OO . 公式2 关于副对角线的上（下）三角形行列式11(1)22212******(1)******n n n n na a a a a a a a a −==−L N N . 公式3 范德蒙德行列式12111112111()ni j j i nn n n nx x x x x x x x ≤<≤−−−=−ΠL LM MM L . 计算行列式时，根据行列式的特点（例如行和相等、爪形、可化为爪形、三对角等），采用适当的变形方法，可以简化运算.常用变形方法⑴把某一行（列）的倍数加到其余各行（列）； ⑵把每行（列）的倍数加到某一行（列）；⑶逐行（列）相加. 例1.设方阵，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=3241223k kA 0A E λ−=，求λ的值.【1231,1λλλ==−=】 2.求方程0347534453542333322212223212=−−−−−−−−−−−−−−−x x x x x x x x x x x x x x x x 的根.【0,1x x ==】3.设63121024221421)(++−−=x x xx xxx f ，证明0)(=′x f 有小于1的正根.【用罗尔定理】4.计算1111111111111111−−+−−−+−−−=x x x x D 【】 4x 解 【行和相等，首先将第2、3、4列加到第1列】12341111111111111111111111111c c c c 111x xx x x x D x x x x x +++−−−−−+−−+−==−−−−+−−−−213141411111*********111110011111000c c c cc c x x x x x xx x x +−+−−−+−==−−−−=.5.计算432101001001111a a a a D =，其中0432≠a a a .【)111(4321432a a a a a a a −−−】 【爪形行列式，将第2、3、4列的适当倍数加到第1列，化为上三角】6.计算43214321432143214321++++=a a a a a a a a a a a a a a a a D 【32414!(1)234a a aa ++++】【特点：除对角元素外，各列元素相同，只要将第2、3、4行减去第1行，就化为爪形】7.计算a a a a a a a a a D −−−−−−−−−=110001100011000110001【三对角行列式，展开、递推，】 23451a a a a a −+−+−8.计算22221111000000c d a b d c b a D =【特点：多零，按第一行展开， 】12121212()(a a b b c c d d −−)9. 计算12564271625169454321111=D【利用行列式性质和范德蒙德行列式，】4−10.计算ab b b a bb b a D n L M M M L L =【特点：各行元素之和相等，各列加到第一列，1[(1)]()n a n b a b −+−−】问题6 如何计算抽象行列式？答 计算抽象行列式，除了掌握行列式的性质，还必须熟记关于矩阵行列式的结论： ⑴若A 为n 阶矩阵，则nkA kA =.⑵若A 为n 阶矩阵，则TAA =，1*n A A−=.⑶若A 为n 阶可逆矩阵，则11A A −−=.⑷若A ，B 为阶矩阵，则n AB A B =⋅.⑸若A 为n 阶矩阵，(1,2,,i i )n A 的特征值，则12n A λλλ=L .=λL 是⑹设A ，B 分别为阶，阶矩阵，则m n A C A O A B O B C B ==⋅，(1)mn C A O AA B B O B C==−⋅.例1.设γβααα,,,,321都是4维列向量，且a =βααα,,,321，b =+123,,,αααγβ，=321,,,2αααγ .【2()a b −】2.设123,,2ααα=，则112123,2,23αααααα+++= .【12】3.设A 为3阶方阵，且2=A ，则=−−*1)2(A A . 【2716−】 4.设，矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100021012A B 满足E BA ABA +=**2，则B = .【19B =】5.设A 为3阶方阵，且E A E A E A +−−2,2,均不可逆，则=A .【】 1−6.设A ,B ,C 都是行列式为2的3阶方阵，求CB A O1)32(−−.【278】第二讲 矩阵及其运算考纲要求1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质.2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.5.了解分块矩阵及其运算. 问题1 关于矩阵的运算. 答 相关内容有：1.矩阵的概念（零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、三角矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵）2.矩阵的运算（加法、数乘、乘法、方阵的幂、转置）3.矩阵的运算律矩阵的加法和数乘满足下列运算律：设A ，B ，C 是同型矩阵，λ，μ是数，则 ⑴A B B A +=+；⑵()()A B C A B C ++=++； ⑶()()A A λμλμ=； ⑷()A A A λμλμ+=+； ⑸()A B A B λλλ+=+. 矩阵的乘法满足如下运算律：设A ，B ，C 都是矩阵，λ是数，且下列运算都是可行的，则 ⑴()()AB C A BC =；（结合律） ⑵()A B C AB AC +=+；（左分配律） ⑶()B C A BA CA +=+；（右分配律） ⑷()()()A B A B AB λλλ==；（结合律） ⑸AE EA A ==.（单位矩阵的性质） 方阵的幂满足klk lA A A+=，()，但不满足.k l kl A A =()k k AB A B =k矩阵的转置满足下列运算律：假设下面的矩阵运算是可行的，则 ⑴；TT()A A =⑵；TT ()A B A B +=+T T ⑶； TT ()A A λλ=⑷.TT ()AB B A =▲关于矩阵的运算，一是可行性，二是运算律. 特别，矩阵的乘法不满足交换律，消去律和零因子律，即一般情形下，AB BA ≠；,AB AC A O =≠不能推出B C =；AB O =不能推出A O =或者B O =.例1.设维向量n ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=21,0,,0,21L α，T A E αα=−，T 2B E αα=+，则=AB .【E 】2.下列关于矩阵的命题中哪些是错误的（假设运算都是可行的）： ⑴BA AB =；⑵若，则O AB =O A =或O B =； ⑶若，则AC AB =C B =； ⑷；TT ()AB A B =T ⎞⎟⎠⑸； kkkB A AB =)(⑹；111)(−−−=B A AB ⑺；))((22B A B A B A −+=−⑻，其中TA B A C C D B D ⎛⎞⎛=⎜⎟⎜⎝⎠⎝A ，均为方阵；D ⑼B A AB =； ⑽B A B A +=+； ⑾A k kA =；⑿若为同阶对称阵，则B A ,AB 为对称阵.▲只有⑼对；若可交换，⑴⑷⑸⑹⑺⑿也是对的，且所有乘法公式（平方差、立方差、立方和、二项式定理等 ）对矩阵成立.B A ,问题2 如何求方阵的幂？ 答 求方阵A 的幂的方法有⑴归纳法 依次求出A ，等，找出规律，写出； 2A nA ⑵对角化法 若1P AP Λ−=，则1A P P Λ−=，1nnA P P Λ−=； ⑶将矩阵分解为列向量与行向量的乘积，再用结合律；⑷将矩阵分解为数量矩阵与幂零矩阵的和，再用二项式定理； ⑸利用分块矩阵求幂.▲求方阵的幂时，常常运用矩阵乘法的结合律. 例1.设，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=321α⎟⎠⎞⎜⎝⎛=31211β，αβ=A ，求.【nA 111123232133312n −⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠】2.设矩阵，求.111121A −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠T ()nA A 【】 11111111111111111136326363263463263632636n n n n n n n n n n n n n n n n n n −−−−−−−−−−−−−−−−−−⎛⎞+−+⋅+⎜⎟−+⋅+⋅−+⋅⎜⎟⎜⎟+−+⋅+⎝⎠3.设,求.【⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=λλλ001001A nA 121(1)2n n n nn nn n n n λλλλλλ−−−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠】4.设，，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=100000001B ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=112012001P PB AP =，求A 及.5A 【5A 100200611A ⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠】5.设，求.【 】 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=10001000010001λλA n A10010********n n λλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠问题3 关于可逆矩阵. 答 相关内容有 1.概念定义1 设A 为阶方阵. 若存在阶方阵n n B ，使得AB BA E ==，则称方阵A 是可逆矩阵，或者说A 可逆，并称B 是A 的逆阵，记作，即1AB −=.定义2 设()ij A a =为阶方阵，由元n (,1,2,,)ij a i j n =L 的代数余子式ij A 组成的方阵1121112222*12n n nn nn A A A A A A A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L M M M L称为A 的伴随矩阵.A 的伴随矩阵具有如下重要性质：**AA A A A E ==.2.矩阵可逆的充要条件定理 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是：0A ≠，且当A 可逆时，1*1AA A−=. ▲设A ，B 都是n 阶方阵，若AB E =，则A ，B 都可逆，且A ，B 互为逆阵. 3.可逆矩阵的性质⑴若方阵A 可逆，则1A −可逆，且11()A A −−=；⑵若方阵A 可逆，则(0A )λλ≠可逆，且111()A A λλ−−=；⑶若方阵A 可逆，则可逆，且；TA T 11T ()()A A −−=⑷若阶方阵n A ，B 都可逆，则AB 可逆，且11()AB B A 1−−−=.问题4 如何求逆矩阵？ 答 求逆矩阵的方法⑴用定义：找方阵B ，使得AB E =. ⑵用伴随矩阵：1*1AA A−=. ⑶用初等行变换：.1()~(A E E A −)⑷用分块矩阵：111A O A O O B OB −−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，111O A O B B O AO −−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠. ▲求逆阵的运算容易出错，建议读者求出1A −后验证1AA E −=.例1.设，求.【210121111A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1A −111110222113A −−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠】 2.设，则＝ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0004300002000010A 1−A .【100041000100210003⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠0 】3.设B A AB 2−=，，则＝ ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=102010201B 1)2(−+E A .【】 001010100−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠4.设，，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=3211A E A A B 232+−=1−B ＝ .【10211⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠】 5.已知矩阵A 满足E A 23=，则＝ 1−A .【212A 】 6.已知矩阵A 满足，则 O A =3=++−12)(A A E .【E A −】问题5 如何证明矩阵可逆？ 答 证明矩阵A 可逆的方法有⑴定义法：找方阵B ，使得AB E =； ⑵行列式法：证明0A ≠. 例1.已知矩阵A 满足，证明O E A A =−−322E A 4+可逆，并求其逆阵.【1(621)A E −−】2.已知矩阵A ,B 满足B A AB +=，证明E A −可逆，并求其逆阵.【B E −】3.设A ,B ，B A +都是可逆矩阵，证明11−−+B A 可逆，并求其逆阵.【1()B A B A −+】4.设E B A ==22，且0=+B A ，证明B A +不可逆. 5.已知α,β是相互正交的维列向量，证明可逆. n TE αβ+问题6 如何解矩阵方程？答 先将矩阵方程化简为三种基本类型：AX B =，XA B =，AXB C =，然后用逆矩阵求解.例1.设3阶方阵A ,B 满足，且BA A BA A +=−61⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=710004100031A ，则=B .2.设矩阵A ,B 满足，且，求E BA BA A 82*−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=121A B . 3.设，，且，求⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=1000110001100011B ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2000120031204312C 11)(−−=−A C B C E T T A . 4.已知，且，求⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A E BA ABA 311+=−−B . 5.设矩阵满足B A ,E B B A 421−=−， ⑴证明E A 2−可逆；⑵若，求⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=200021021B A . 6.设，且，则 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=7600054000320001A )()(1A E A EB −+=−=+−1)(B E . 答案 1. 2.3. 300020001⎛⎞⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎟⎟200040002⎛⎞⎜⎟−⎜⎜⎟⎝⎠100021*********1⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠4. 5. 6. 6000060060600301⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠020110002⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠1000120002300034⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠问题7 关于伴随矩阵.答 关于伴随矩阵，除了它的定义，还要掌握：1.基本关系式：**AA A A A E ==. 2.求伴随矩阵的方法⑴用定义：1121112222*12n n nn nn A A A A A A A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L M M M L，特别地，若，则； a b A c d ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠*d b A c a −⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠⑵用逆矩阵：1**11AA A A A A−−=⇒=. 3.伴随矩阵的性质（行列式、秩、特征值） 设A 为阶方阵， n ⑴1*n A A−=.⑵若，则()r A n =*()r A n =；若，则()1r A n =−*()1r A =；若()1r A n <−，则. *()0r A =⑶若A 可逆，λ是A 的特征值，则Aλ是的特征值.*A 例1.设，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=4321A =*A ，1A −= .【4231−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ ；】213/21/2−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠2.设A 为阶方阵，证明.n *1()n kA k A −=*证 先求代数余子式.22232323331111123()n nn n n nnka ka ka ka ka ka kA k A ka ka ka −==L L M M M L ，类似求得， 1()(,1,2,,)n ij ij kA k A i j n −==L 故.*1()n kA kA −=*3.设A 为阶可逆方阵，证明n A AA n 2**)(−=.4.设A 为可逆方阵，证明，.T **T()()A A =1**1)()(−−=A A 5.设A 是3阶非零矩阵，且)3,2,1,(==j i A a ij ij ，证明A 可逆，并求A .6.设3阶方阵A 的特征值为1，2，3，则112233A A A ++= .【11】 解A 的特征值为1，2，3，6A =，的特征值为6，3，2，*A 由特征值的性质知，的对角元之和*A 11223363211A A A ++=++=.问题8 关于分块矩阵.答 分块矩阵的内容包括：分块矩阵的概念、运算和分块对角阵1.概念 用一组横线和竖线将矩阵A 分割成若干个小矩阵，每个小矩阵成为A 的子块，这种以子块为元的形式上的矩阵称为分块矩阵.矩阵分块的作用是：⑴降低矩阵的阶数，简化矩阵的运算；⑵利用矩阵分块（尤其是按行分块和按列分块），进行理论推导，许多重要的定理和结论都是用这种方法推导出来的.2.运算分块矩阵的运算类似普通的数字矩阵.设11122122A A A A A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，11122122B B B B B ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠. 在运算可行的条件下，1111121221212222A B A B A B A B A B ++⎛⎞+=⎜⎟++⎝⎠；11122122A A A A A λλλλλ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠；11111221111212222111222121122222A B A BA B A B AB A B A B A B A B ++⎛⎞=⎜⎟++⎝⎠；TTT1121TT 1222A A A A A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠. 分块矩阵的运算含有两级运算：分块矩阵间的运算和子块间的运算，分块方法必须使得这两级运算都有意义.对于分块矩阵的加法，要求两个矩阵的分块方法相同；对于分块矩阵的乘法，要求左矩阵列的分组方法和右矩阵行的分组方法一致.3.分块对角阵设均为方阵，则称矩阵12,,,r A A A L 12r A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O为分块对角阵. 分块对角阵具有如下性质：⑴12n n nn r A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O； ⑵12r A A A A =L ；⑶若都可逆，则12,,,r A A A L A 可逆，且111121r A A A A −−−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O. 例1.设为可逆方阵，，证明B A ,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B O O A C ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=***B A OO A B C .2.设A 为阶非奇异方阵,n α为维列向量，n T *EO P A A α⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，T A Q b αα⎛⎞=⎜⎟⎝⎠⑴计算并化简；【PQ T 10()APQ A b A ααα−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠】⑵证明：Q 可逆的充要条件是T 1A b αα−≠.3.设方阵，可逆，证明分块矩阵11A 22A 111222A A A O A ⎛⎞=⎜⎝⎠⎟可逆，并求1A −. .问题9 关于矩阵的初等变换和初等方阵 答 相关内容有：1.初等变换的概念 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换： ⑴互换两行的位置；⑵用一个非零数乘某一行； ⑶把一行的倍数加到另一行上. 将定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义. 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.如果矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记作~A B .2.初等方阵 单位矩阵经一次初等变换得到的方阵称为初等方阵.三种初等变换对应三种初等方阵，三种初等方阵都可逆，且它们的逆矩阵仍为初等方阵：1(,)(,)E i j E i j −=，11(())(())E i k E i k−=，1(,())(,())E i j k E i j k −=−.3.初等变换与初等方阵的关系定理 对矩阵m n ×A 进行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的阶初等方阵；对矩阵m A 进行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等方阵.推论⑴任何可逆方阵都可以表示为有限个初等方阵的乘积.⑵m 矩阵n ×~A B 的充要条件是：存在阶可逆方阵和阶可逆方阵Q ，使得m P n PAQ B =，特别，m n ×矩阵A 经初等行变换化为B 的充要条件是：存在阶可逆方阵，使得.m P PA B =⑶若A 为可逆方阵，则经有限次初等行变换，. 1()~(A E E A −))证 .11()(A A E E A −−=⑷若A 为可逆方阵，则经有限次初等行变换，. 1()~(A B E A B −)))证 .11()(A A B E A B −−=4.初等变换的应用⑴求矩阵的秩【用初等变换将矩阵化为阶梯阵】⑵求矩阵的逆矩阵【用初等行变换：】1()~(A E E A −⑶求矩阵方程AX B =的解1X A B −=【用初等行变换：】 1()~(A B E A B −)⑷解线性方程组Ax b =【用初等行变换将方程组的增广矩阵()A b 化为行最简形】 ⑸求向量组12,,,s ααL α的一个最大无关组【用初等行变换将12(,,,)s αααL 化为阶梯阵】 例1.设A 是阶可逆方阵，将n A 的第行和第i j 行对换后得到的矩阵记为B , ⑴证明B 可逆； ⑵求.【1−AB (,)E i j 】2.设，，，则必有（）.【C 】⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010101P ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1010100012P （A ） (B) B P AP =21B P AP =12 (C) B A P P =21 (D) B A P P =123.设A 为三阶矩阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再将B 的第2列加到第3列得，则满足C AQ C =的可逆矩阵Q 为（）.【D 】（A ）（B ）（C ）（D ）010100101⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠010101001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠010100011⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠011100001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠4.设A 为三阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1−倍加到第2列得C ，记，则（）.【B 】110010001P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟（A ）（B ）（C ）（D ）1C P AP −=1C PAP −=T C P AP =T C PAP =5.设A 为阶可逆矩阵，交换(2n n ≥)A 的第1行与第2行得矩阵B ，则（）.【C 】（A ）交换的第1列与第2列得*A *B（B ）交换的第1行与第2行得*A *B（C ）交换的第1列与第2列得*A *B −（D ）交换的第1行与第2行得*A *B −问题10 关于矩阵的秩. 答 相关内容有：1.概念 矩阵的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩；2.性质⑴设A 是m 矩阵，则n ×()r A m ≤，()r A n ≤； ⑵；T()(r A r A =)⑶若A 为阶矩阵，则当n n A R =)(时，；当n A R =)(*1)(−=n A R 时，；当时，；1)(*=A R 1)(−<n A R 0)(*=A R ⑷； ()()()r A B r A r B +≤+⑸，；()(r AB r A ≤))()(r AB r B ≤⑹若A 可逆，则()(r AB r B )=，若B 可逆，则()(r AB r A )=； ⑺设A 是m 矩阵，n ×B 是矩阵，且n s ×AB O =，则()()r A r B n +≤. 3.定理定理1 初等变换不改变矩阵的秩. 定理2 阶梯阵的秩等于它的非零行数. 4.求法⑴初等变换法：用初等变换化为阶梯阵；⑵夹逼法：利用关于秩的不等式，证明()r A r ≤，，则. ()r A r ≥()r A r =例1.设，，则＝ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=4321032100210001A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1100111011010011B )(AB r .【3】 2.设阶矩阵，且)3(≥n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111LM M M L L a a a aa a A 1)(−=n A r ，则=a .【11a n=−】3.设，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=54232121a A B 是43×的非零矩阵，且AB O =，=)(B r .【1】第三讲 向量考纲要求1.理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.n 2.理解向量线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组和秩.4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系.5.了解维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念. n6.了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵.7.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt ）方法. 8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质. 问题1 关于向量的线性组合与线性表示. 答 相关内容有： 1.概念定义 如果存在一组数12,,,s k k k L ，使得1122s s k k k βααα=+++L ，则称向量β 是向量组12,,,s ααL α的一个线性组合，或者称向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示，其中12,,,s k k k L 称为表示系数.2.关于线性表示的定理 定理1 下列命题等价⑴向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示； ⑵线性方程组1122s s x x x αααβ+++=L 有解；⑶1212(,,,,)(,,,)s s r r αααβααα=L L . 定理2⑴向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示且表示法唯一线性方程组⇔1122s s x x x ααα+++=L β有唯一解；⑵向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示且表示法不唯一线性方程组⇔1122s s x x x ααα+++=L β有无穷多解；⑶向量β不可由向量组12,,,s ααL α线性表示⇔线性方程组1122s s x x x αααβ+++=L 无解.定理3 若向量组12,,,s ααL α线性无关，12,,,s αααL ，β线性相关，则向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示，且表示法惟一.问题2 如何判别向量β能否由向量组12,,,s ααL α线性表示？ 答 判别向量β能否由向量组12,,,s ααL αT−线性表示的方法有： ⑴定义法 ⑵秩法⑶利用已知结论 例1.若可由线性表示，则t＝ ()T1,2,t β=()()()T T 1232,1,1,1,2,7,1,1,4ααα==−=−.【.】5t =2.设，()()()TT1231,1,,1,1,,1,,1,2t t ααα=−=−=T()T24,,4t β=−,若β可由321,,ααα线性表示且表示法不唯一，求t 及β的表达式.【124,3(4)t k k 3k βαα==−+−+k α(为任意常数)】 3.若向量组321,,ααα线性无关，432,,ααα线性相关，问 ⑴4α能否由321,,ααα线性表示？ ⑵1α能否由432,,ααα线性表示？ 证明你的结论.答 ⑴4α能由321,,ααα线性表示.因为321,,ααα线性无关，故23,αα线性无关，又432,,ααα线性相关，所以4α能由23,αα线性表示，从而4α能由321,,ααα线性表示.⑵1α不能由432,,ααα线性表示.若1α能由432,,ααα线性表示，由⑴知4α能由23,αα线性表示，则1α能由23,αα线性表示，从而321,,ααα线性相关，与题设相矛盾.所以，1α不能由432,,ααα线性表示.问题3 关于向量组的线性相关性. 答 相关内容有： 1.概念定义 如果存在一组不全为的数012,,,s k k k L ，使得11220s s k k k ααα+++=L ，则 称向量组12,,,s ααL α线性相关，否则称12,,,s ααL α线性无关.2.关于线性相关性的定理 定理1 下列命题等价：⑴向量组s ααα,,,21L 线性相关（线性无关）；⑵齐次方程组11220s s x x x ααα+++=L 有非零解（只有零解）； ⑶12(,,,)()s r s s ααα<=L ；推论 个维向量组s s s ααα,,,21L 线性相关（线性无关）的充要条件是行列式12,,,0(0)s ααα=≠L .定理2 向量组s ααα,,,21L 线性相关（线性无关）的充要条件是其中至少有一个向量可（其中任何一个向量都不可）由其余向量线性表示. 问题4 如何判断向量组的线性相关性？答s ααα,,,21L 线性相关（线性无关）等价于齐次方程组11220s s x x x ααα+++=L 有非零解（只有零解），因此可以利用齐次方程组来判断线性相关性，方法有：⑴定义法 ⑵秩法 ⑶行列式法除用上述方法外，还常用下列结论：⑴线性无关向量组的任何一个部分组线性无关； ⑵线性无关向量组的任何一个延伸组线性无关；⑶个维向量必线性相关，一般地，若，则个维向量必线性相关； 1n +n r n >r n ⑷两个向量线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例.例1（具体向量组）1.设, ()()()TT1231,1,1,1,2,3,1,3,t ααα===T⑴t 为何值时，321,,ααα线性相关？【5t =】 ⑵t 为何值时，321,,ααα线性无关？【5t ≠】⑶线性相关时，将3α表为21,αα的线性组合.【3122ααα=−+】2.设，，(线性相关，则＝ ()T1,1,2,1()T1,0,0,2)T1,4,8,t −−−t .【】 2t =3.判断()，()，，(的线性相关性. T1,0,2,3T1,1,3,5()T1,1,2,1a −+)T1,2,4,9a +【当且1a ≠−2a ≠−时，线性无关；当1a =−或者2a =−时，线性相关.】 例2（抽象向量组）1.设向量组321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.2.设向量组s ααα,,,21L 线性无关，讨论13221,,,αααααα+++s L 的线性相关性.3.设r ααα,,,21L 是齐次方程组的一个基础解系，向量0=Ax β不是的解，证明0=Ax β，r αβαβαβ+++,,,21L 线性无关.证 【用定义法】设1211()()r r k k k 0ββαβα++++++=L ，整理得121211()r r k k k k k 0r βαα++++++++=L L ，⑴ 左乘A ，得121211()r r k k k A k A k A 0r βαα++++++++=L L ，121()0(0,1,2,)r i k k k A A i r βα+⇒+++===L Q L ， 1210(0)r k k k A β+⇒+++=≠L Q ，⑵代入⑴，得2110r r k k αα+++=L ，又r ααα,,,21L 线性无关，故，代入⑵，得20,,0r k k +=L 1=10k =， 所以β，1βα+，2βα+，L ，r βα+线性无关.4.设A 是阶矩阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量n k 0=x A k α，且，证明线性无关.01≠−αk A ααα1,,,−k AA L 5.设A 为阶矩阵，n 321,,ααα是维列向量，且n 01≠α，11A k αα=，21A l k 2ααα=+，323A l k αα=+0，≠l ，证明321,,ααα线性无关.α6.设A 是矩阵，n m ×B 是矩阵，且m n ×E AB =，，证明n m >B 的列向量组线性无关. 证 【用秩法，只要证明()r B m =】()r B m ≤，又，故()()()r B r AB r E m ≥==()r B m =，所以B 的列向量组线性无关. 例31.设向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（）.【用排除法，C 】 （A ）14433221,,,αααααααα++++线性无关 （B ）14433221,,,αααααααα−−−−线性无关 （C ）14433221,,,αααααααα−+++线性无关 （D ）14433221,,,αααααααα−−++线性无关2.设向量组Ⅰ：r ααα,,,21L 可由向量组Ⅱ：s βββ,,,21L 线性表示，则（）. （A ）当s r <时,向量组Ⅱ必线性相关 （B ）当s r >时,向量组Ⅱ必线性相关 （C ）当s r <时,向量组Ⅰ必线性相关 （D ）当s r >时,向量组Ⅰ必线性相关【D ，因为1212(,,,)(,,,)r s r r s r αααβββ≤≤L L <TT】3.设有4个向量组① TTT(,,),(,,),(,,),(,,)a b c b c d d e f f g h ②TT(,1,,0,0),(,0,,2,0),(,0,,0,3)a b c d e f③ T T T (,1,2,3),(,1,2,3),(,1,2,3),(,0,0,0)a b c d TTT ④ TTT(1,0,3,1),(1,3,0,2),(2,1,7,2),(4,2,14,5)−−则下列结论正确的是（）.【D 】（A ）线性相关的向量组为①④，线性无关的向量组为②③ （B ）线性相关的向量组为③④，线性无关的向量组为①② （C ）线性相关的向量组为①②④，线性无关的向量组为③ （D ）线性相关的向量组为①③④，线性无关的向量组为②4.设,则（）.【A 】 T T 123(1,4,3,1),(2,,1,1),(2,3,1,1)t t ααα=−=−−=−+（A ）,R t ∈∀321,,ααα 线性无关 （B ）仅当3−=t 时,321,,ααα线性无关 （C ）当时,0=t 321,,ααα线性相关 （D ）仅0≠t 且3−≠t ,321,,ααα线性无关5.设A 是矩阵，则（ ）.【A 】 43×（A ）A 的列向量组线性相关 （B ）A 的列向量组线性无关 （C ）A 的行向量组线性相关 （D ）A 的行向量组线性无关6.设非零矩阵满足，则（ ）.【A 】 B A ,O AB =（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 （D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关7.设A 是矩阵，n m ×B 是矩阵，且满足m n ×E AB =，则（）.【D 】 （A ）A 的列向量组线性无关,B 的行向量组线性无关 （B ）A 的列向量组线性无关,B 的列向量组线性无关 （C ）A 的行向量组线性无关,B 的行向量组线性无关 （D ）A 的行向量组线性无关,B 的列向量组线性无关8.设向量组321,,ααα线性相关，向量组432,,ααα线性无关，则（）.【A 】 （A ）1α必能由432,,ααα线性表示 （B ）2α必能由431,,ααα线性表示（C ）3α必能由421,,ααα线性表示 （D ）4α必能由321,,ααα线性表示问题5 关于向量组的秩与最大无关组. 答 相关内容有： 1.概念最大无关组：向量组的一个部分组满足⑴线性无关，⑵任意添加一个向量所得部分组线性相关（向量组12,,,s ααL α中任一向量可由其最大无关组线性表示）.向量组的秩：最大无关组所含向量的个数. 2.定理定理1 矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩. 定理2 若向量组A 可由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤. 定理3 若向量组A 与向量组B 等价，则()()r A r B =. 3.求最大无关组的步骤⑴以向量m ααα,,,21L 为列向量构成矩阵A ；⑵用初等行变换将矩阵A 化为阶梯阵U ，则U 的首非零元对应的A 的列向量为向量组的一个最大无关组.【若继续将U 化为行最简形，则可求出其余向量由该最大无关组线性表示的表示系数】 例1.向量组的秩为 ()()()(TTTT12342,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,5,6,7,8αααα====).【2】2.求向量组()()()()(T T T T 123451,2,1,2,1,0,3,1,2,1,0,1,2,1,2,2,2,2,4,3ααααα===−=−=)T的一个最大无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表示.解 利用初等行变换将()12345,,,,A ααααα=化为阶梯阵：()12345112220211,,,,301232112A ααααα⎛⎞⎜⎟−⎜⎟==⎜⎟−⎜⎟⎝⎠241122205322~022*******⎠1122200770~008800312⎛⎞⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟−⎝−−−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟−⎝−−−11⎠112220312~0001100000⎛⎞⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠， 最大无关组为123,,ααα（或者124,,ααα，或者135,,ααα，或者145,,ααα）. 再利用初等行变换将A 化为行最简形：A 00001121110000111111~~00000011110000000000⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎟⎟⎟⎠3， 故412αααα=−+，512ααα=+.3.设A 是矩阵，n m ×B 是矩阵，证明s n ×()(r AB r A )≤，()(r AB r B )≤. 证 将A 按列分块为()12,,,n A a a a =L ，则()11121212221212,,,s s n n n ns b b b b b b AB a a a b b b ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L L M M M L (1,2,,)j s L 的第个列向量 1122j j j nj c b a b a b a =+++L n ，即AB 的列向量可由A 的列向量线性表示，故 ()(r AB r A ≤)T ).由，得.TT ()AB B A =T T T T ()(())()()(r AB r AB r B A r B r B ==≤=4.设A 是矩阵，n m ×B 是矩阵，且s n ×O AB =，证明n B R A R ≤+)()(证 ，故1212(,,,)(,,,)s s AB A b b b Ab Ab Ab O ===L L 0(1,2,,)j Ab j s ==L ，即B 的个列向量都是的解，这个解的秩s 0Ax =s ()()R B n R A ≤−（解集的秩），即.0Ax =n B R A R ≤+)()( 5.证明：若A 为阶矩阵，则当时，；当n n A R =)(n A R =)(*1)(−=n A R 时，；1)(*=A R当时，.1)(−<n A R 0)(*=A R 证 ⑴当时，n A R =)(1*0,0n A A A−≠=≠，故；n A R =)(*⑵当时，1)(−=n A R *0,A AA A E O ===，故*()()R A R A n +≤，*()()1R A n R A ≤−=，又**()10()1ij R A n A A O R A =−⇒∃≠⇒≠⇒≥，故；1)(*=A R ⑶当时，则1)(−<n A R *,1,2,,,0ij i j n A A O ∀==⇒=⇒0)(*=A R L . 问题6 关于向量空间.（数一） 答 相关内容有：1.基础知识（向量空间、基、维数、坐标、基变换公式与过渡矩阵、坐标变换公式） 设V 为维向量的非空集合n V 为向量空间⇔对向量的加法和数乘运算封闭； V V 的基的最大无关组；V 的维数的秩；⇔V ⇔V 若1122s s x x x βαα=+++L α，称12(,,,)s x x x L 为在基12,,,s ααL αs 下的坐标（表示系数）； 若1212(,,,)(,,,)s P βββααα=L L ，称矩阵为基P 12,,,s ααL α到基12,,,s ββL β的过渡矩阵（表示系数矩阵） 2.求过渡矩阵的方法设1212(,,,)(,,,)s s P βββααα=L L ，记作B AP =，则1P A B −=，求法如下：因为，所以，可利用初等行变换，.1(,)(,)A A B E A B −=1−1231,1,1,1,0,1,1,0,1ααα==−=31(,)~(,)A B E A B −例1.已知是()()()TTTR的一组基，证明也是()()()TTT1231,2,1,2,3,4,3,4,3βββ===3R 的一组基，并求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵.解 【因为任意3个线性无关的向量是3R 的一组基，只要证明321,,βββ线性无关】123123,,23440143βββ==≠，故321,,βββ线性无关，故321,,βββ是3R 的一组基.经初等行变换，()123123111123,,,,,100234111143αααβββ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠111123101133~011111~001101020020010010⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝⎞⎟⎟⎟⎠⎞⎟⎟⎟−⎠ 100234100234~001101~01001001001001101⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝， 故由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵234010101P ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠.2.已知3R 的两个基()()(T T 1231,0,1,2,1,1,1,1,1ααα=−==)TT和.()()()TT1230,1,1,1,1,0,1,2,1βββ==−=⑴求由321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵P ；⑵求在这两组基下的坐标.【⑴()T 9,6,5γ=011132244P ⎛⎞⎜⎟=−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠T (1,2,4)⑵；】T(0,4,5)−。
2015年考研数学基础班讲义
2015年考研数学基础班讲义武忠祥第一章 函数 极限 连续第一节 函 数一、内容概要（一）函数的定义定义1 设x 和y 是两个变量，D 是一个给定的数集.如果对于每个数D x ∈，变量y 按照一定的法则总有一个确定的数值y 和它对应，则称y 是x 的函数，记为)(x f y =.常称x 为自变量，y 为因变量,D 为函数的定义域.注：函数概念有两个基本要素：定义域、对应规则（或称依赖关系）.当两个函数的定义域与对应规则完全相同时，它们就是同一函数.（二）函数的性质1. 单调性定义2 设函数)(x f y =在某区间I 上有定义，如果对于区间I 上的任意两点21x x <恒有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称)(x f y =在该区间内单调增加（或单调减少）.注：函数的单调性主要是利用单调性的定义和一阶导数的正负进行判定。
2. 奇偶性定义3 设函数)(x f y =的定义域D 关于原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-），如果对于任一D x ∈，恒有)()(x f x f =-，则称)(x f 为D 上的偶函数；如果恒有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为D 上的奇函数.注:1）奇函数)(x f y =的图形关于原点对称，且若)(x f 在0=x 处有定义，则 0)0(=f ；偶函数的图形关于y 轴对称.2）两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积必为偶函数；奇函数与偶函数之积必为奇函数.3. 周期性定义4 若存在实数0>T ，对于任意x ，恒有)()(x f T x f =+，则称)(x f y =为周期函数.使得上述关系式成立的最小正数T 称为)(x f 的最小正周期，简称为函数)(x f 的周期.注:x sin 和x cos 以π2为周期，x 2sin 和x sin 以π为周期.4. 有界性定义5 设)(x f y =在集合X 上有定义.若存在0>M ，使得对任意的I x ∈，恒有M x f ≤|)(|，则称)(x f 在X 上为有界函数.注：1）如果没有指明x 的范围，而说“)(x f 为有界函数”，是指)(x f 在其定义域上为有界函数.2）如果对任意的0>M ，至少存在一个X x ∈0，使得M x f >)(0，则)(x f 为X 上的无界函数.（三）常见函数1. 反函数定义6 设函数)(x f y =的定义域为D ，值域为y R .若对任意y R y ∈，有唯一确定的D x ∈，使得)(x f y =，则记为)(1y f x -=，称其为函数)(x f y =的反函数.注：有时也将)(x f y =的反函数)(1y f x -=写成)(1x f y -=.在同一直角坐标系中，)(x f y =和)(1y f x -=的图形重和，)(x f y =和)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.2. 复合函数定义7设函数)(u f y =的定义域为f D ，函数)(x g u =的定义域为g D ，值域为g R , 若φ≠⋂g f R D ,则称函数)]([x g f y =为函数)(u f y =与)(x g u =的复合函数.它的定义域为{}f g D x g D x x ∈∈)(,.。
线性代数考研讲义完整版
线性代数考研讲义完整版前言线性代数是数学中的重要分支，也是计算机科学和物理学等领域中不可或缺的基础知识。
在考研数学中，线性代数是必考内容，因此对线性代数的掌握程度也是考生考研数学成绩的重要指标之一。
在本篇文章中，我们将介绍线性代数考研讲义的完整版，包括向量、矩阵、行列式、线性方程组、特征值、特征向量等知识点，帮助考生全面掌握线性代数的基本原理和应用。
第一章向量1.1 向量的基本概念•向量是有大小和方向的量，在平面和空间中表示为有向线段。
•向量的大小称为模长，方向由箭头所指示。
•向量之间可以进行加、减、数乘等运算。
1.2 向量的几何意义•向量可以表示平移和旋转等变换。
•向量运算可以表示点与直线、点与面的关系。
1.3 向量的坐标表示•向量的坐标表示可以转化为矩阵的形式。
•两个向量的数量积可以表示为它们坐标的点积。
1.4 向量的线性运算•向量加、减、数乘的线性运算满足交换律、结合律、分配律等基本性质。
•向量组的线性运算可以表示为矩阵的形式。
第二章矩阵2.1 矩阵的基本概念•矩阵是一个由数个数排成的矩形数表。
•矩阵可以表示为行向量和列向量的组合形式。
•矩阵的大小也称为维数，行数和列数分别表示为矩阵的行数和列数。
2.2 矩阵的运算•矩阵加法、减法、数乘等运算满足基本性质。
•矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律。
•矩阵的转置、伴随矩阵等运算也具有重要的应用意义。
2.3 矩阵的初等变换•矩阵的初等变换包括交换矩阵的两行（列）、某行（列）乘以一个非零数、某行（列）乘以非零数加到另一行（列）上等三种操作。
•矩阵的初等变换可以通过矩阵乘法表示为简单矩阵的乘积，也称为初等矩阵。
第三章行列式3.1 行列式的定义•行列式是一个数值函数，是一个方阵中各行各列对应元素的代数和。
•若行列式的值为零，则该矩阵为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
3.2 行列式的性质•行列式可以表示为对角线元素的乘积形式。
•行列式的任意两行（列）互换改变行列式的符号，相同的两行（列）使行列式为零。
零基础线性代数基础班讲义1
Ch1 行列式1. 二阶行列式（1）用消元法求解二元一次方程组，从解的形式中引入二阶行列式 （2）定义：是一个算式，形式，元素，行，列，主对角线与次（副）对角线，算法口诀。
注：可推广到更高阶的行列式。
例1 3516---（3）用二阶行列式来表示所给二元一次方程组的解，并分析规律。
该规律推广便是克莱姆（Cramer ）法则。
例2 解方程组121235214729x x x x +=⎧⎨+=⎩2. 三阶行列式（1）从三元一次方程组的解的形式中引入三阶行列式（2）定义：相关概念同二阶行列式，算法遵循对角线法则（记忆方法）。
注：特点是来自不同行不同列元素乘积的代数和。
例3 a bcb c ac a b（3）寻找项数的奥秘。
❶观察每一项行标的变化：1,2,3❷观察每一项的列标变换：1,2,32,3,13,1,23,2,11,3,22,1,3发现规律：列标构成了1,2,3的全排列，共3！种，3！正好是三阶行列式展开式的项数。
（4）寻找符号的奥秘。
为什么三阶行列式展开式中有的项是正的，而有的项是负的？这与排列的逆序数有关。
❶排列的逆序数❷求出三阶行列式中各项列标的逆序数（奇排列与偶排列）❸揭示各项符号的奥秘3. n阶行列式（1）定义：来源于行列式的项数与符号的规律（2）记忆：n阶行列式等于来自不同行不同列的n个元素乘积的代数和。
特点：每一项行标按自然数的顺序排列，列标的逆序数决定着该项的符号。
（3）结论：❶1212.nnaaa a aa=例412__.34=❷()1(1)22121.n n n nb b b b b b -=-例512___.3=❸112212*,*n n n a a a a a a a a a ==()11(1)22212*1.*n n n nnb b b b b b b b b -==-例6 297800030111310050__,____.00370137000441193154--==例7 请写出五阶行列式的展开式中含有411352a a a 且带正号的项。
线性代数第一章第一节PPT课件
01递Biblioteka 公式法02递推公式法是根据行列式的性质和结构特点，利用递推公式来
计算行列式的方法。
递推公式法可以大大简化高阶行列式的计算过程，提高计算效
03
率。
行列式的计算方法
分块法
1
2
分块法是将高阶行列式分成若干个小块，然后利 用小块来计算整个行列式的方法。
3
分块法可以简化高阶行列式的计算过程，特别是 当行列式具有特定的结构特点时，分块法可以大 大提高计算效率。
01
向量空间
02
向量空间是线性代数中的一个重要概念，而行列式在向量 空间的定义和性质中也有着重要的应用。例如，通过行列 式可以判断一个向量集合是否构成向量空间，以及向量空 间的一些基本性质。
03
行列式在向量空间中的应用可以帮助我们更好地理解线性 代数的本质和结构特点。
05
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
转置等特殊运算。
向量与矩阵的关系
关联性
04
向量可以用矩阵来表示，矩 阵中的每一行可以看作是一 个向量。
01 03
•·
02
向量和矩阵在数学中是密切 相关的概念，矩阵可以看作 是向量的扩展。
04
行列式
行列式的定义与性质
基本概念
行列式是由数字组成的方阵，按照一定的规则计 算出的一个数。
行列式具有一些基本的性质，如交换律、结合律、 分配律等。
向量可以用有向线段、坐 标系中的点或有序数对来 表示。
向量有大小和方向两个基 本属性，大小表示向量的 长度，方向表示向量的指 向。
矩阵的定义与运算
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02
基础运算
01
03
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，表示二维数组。
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第一讲
行列式
【教学目的】理解行列式运算的定义，掌握并会运用通过化三角形行列式和按行（列）展开 定理计算简单的数值型行列式。 【教学重点】行列式的性质、行列式按行（列）展开定理 【教学难点】求行列式某行（列）的余子式或代数余子式的和
一、矩阵的概念与方阵 定义 由 m n 个数 aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 排成的 m 行 n 列的数表
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain (i 1,2, , n),
或 推论
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
( j 1,2,, n).
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于
5
N (i1i2 in ) t1 t 2 t n t i .
i 1
n
定义 3 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 注：任何排列，每对换一次其中的两个元素，改变一次奇偶性。
【例】计算排列 32514 的逆序数. 【例】求排列 n(n 1)(n 1) 321 的逆序数, 并讨论其奇偶性. 2. n 阶行列式的定义 定义 4 由 n 2 个元素 aij (i, j 1,2, , n) 组成的记号
记作 | A | 或 det A. 注: 方阵与行列式是两个不同的概念, n 阶方阵是 n 2 个数按一定方式排成的数表,而 n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值（实数或复数）.
1
三、 n 阶行列式的定义 1.排列与逆序 定义 1 由自然数 1,2, , n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个 n 级排 列(简称为排列)。 例如，1234 和 4312 都是 4 级排列，而 24315 是一个 5 级排列. 若数 it i s , 则称数 it 与 i s 构成一个逆序. 定义 2 在一个 n 级排列 (i1i2 it is in ) 中， 一个 n 级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数, 记为 N (i1i2 in ). 根据上述定义,可按如下方法计算排列的逆序数: 设在一个 n 级排列 i1i2 in 中 , 比 it (t 1,2,, n) 大的且排在 it 前面的数由共有 ti 个 , 则 ti 的逆序的个数为 ti , 而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数. 即
a 0 0 0 a 0 A . 0 0 a
目
录
第一讲 行列式............................................................................................................................... 1 第二讲 矩阵................................................................................................................................... 7 第三讲 线性方程组..................................................................................................................... 18
零,即
ai1 Aj1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0, i j,
或
a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, i j.
【例 1】用行列式按行（列）展开定理计算下列行列式。
1 2 （1） 1 3
1 3 2 5
0 1 1 3
3
1 0 3 2
5 1 3
2 3 （2） 1 0
2 0 1 1
3 1 1 0 1 5 2 1 0 2 2 3
【例 2】设 D
1 1 2
5 , D 中元素 aij 的余子式和代数余子式依次记作 M ij 和 Aij , 3
4 1 3
求 A11 A12 A13 A14 及 M 11 M 21 M 31 M 41 .
b1n
.
akk
bnn
五、行列式按行（列）展开定理 定义 在 n 阶行列式 D 中,去掉元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列后,余下的 n 1 阶行列式,
称为 D 中元素 aij 的余子式, 记为 M ij , 再记
Aij (1)i j M ij
称 Aij 为元素 aij 的代数余子式.
3 x
x2 3 3 3
1 x 2 x 1 2x
，问 f ( x ) 中 x 4 的系数是多少？
四、行列式的基本性质 性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即 D DT . 性质 2 交换行列式的两行(列),行列式变号.
（1）互换奇数次，变号；互换偶数次不变。 （2）如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。 性质 3 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可外提。
【例】证明： （1）
a11 a21 an1
0 a22 an 2
0 a2 n ann
a11 A11 ，其中 A11 为 a11 的代数余子式.
（2）一个 n 阶行列式 D , 若其中第 i 行所有元素除 aij 外都为零，则该行列式等于 aij 与它 的代数余子式的乘积，即 D aij Aij 定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即
则
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
D1 D2 . an1 an 2 ann an1 an 2 ann
性质 5
将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数 k 后加到另一行(列)对应位置的元
3 1 1 0 1 5 2 1 0 2 2 3
a11
【例 2】证明： D
a1k akk c1k cnk
0 0 b11 bn1
0 0 b1n bnn
ak1 c11 cn1
，则 D D1D2 ，
a11 D1 det(aij ) ak1
a1k
， D2 det(bij )
b11 bn1
6
第二讲
矩阵
【教学目的】掌握矩阵的线性运算，会计算矩阵的乘法及方阵的行列式，理解矩阵的初等变 换，会通过矩阵的初等变换求逆矩阵。 【教学重点】矩阵的初等变换、逆矩阵 【教学难点】伴随矩阵 一、几类特殊矩阵与行（列）向量 所有元素均为零的矩阵称为零矩阵, 记为 0 . 如果两个矩阵具有相同的行数与相同的列数，则称这两个矩阵为同型矩阵. 定义 如果矩阵 A, B 同型矩阵, 且对应元素均相等 , 则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记为
2
12 n ，
n
1 2
(1)
n ( n 1) 2
12 n ，其余未写出的元素都是 0 .
n
a11 0 0 a12 a1n a22 a2 n 0 ann
【例 4】计算上三角形行列式
.
3
【例 5】 f ( x)
1 2 1 2
(1)
这 m n 个数称为矩阵 A 的元素, aij 称为矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素. 一个 m n 矩阵 A 也 可简记为
A Amn (aij )mn 或A (aij ) .
特别地，当 m n 时，这个矩阵也叫 n 阶方阵，简记为 An .
二、方阵的行列式运算 定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵 A 的行列式,
称为 n 阶对角矩阵,对角矩阵也记为
A diag (1 , 2 , , n ) .
n 阶方阵
7
1 0 0 0 1 0 0 0 1
称为 n 阶单位矩阵,
n 阶单位矩阵也记为
E En （或 I I n ）
当一个 n 阶对角矩阵 A 的对角元素全部相等且等于某一数 a 时，称 A 为 n 阶数量矩阵, 即
A B.
只有一行的矩阵
A (a1 a2 an )
称为行矩阵或行向量. 为避免元素间的混淆，行矩阵也记作
A (a1 , a2 , , an )
只有一列的矩阵
b1 b B 2 b m
称为列矩阵或列向量.
n 阶方阵
1 0 0 2 0 0 0 0 n
a11 a21 am1 a12 a22 a1n a2 n
am 2 amn
称为 m 行 n 列矩阵, 简称 m n 矩阵. 为表示它是一个整体, 总是加一个括弧, 并用大写黑 体字母表示它, 记为
a11 a A 21 a m1 a12 a22 am 2 a1n a2 n a mn
(不算元素本身所带的符号);
(3) 一阶行列式 | a | a , 不要与绝对值记号相混淆. 【例 1】计算下列行列式
a11 a21 a12 a22
a11
（2） a21
a12 a22 a32
2 3
a13 a23 a33
（1）
a31
1
【例 2】计算三阶行列式 4
0 5 1 0 6
1
【例 3】证明 n 阶行列式
a11 a12 a1n
a 21 a 22 a 2 n a n1 a n 2 a nn
称为 n 阶行列式, 其中横排称为行, 竖排称为列, 它表示所有取自不同行、不同列的 n 个元 素乘积 a1 j1 a2 j2 anjn 的代数和 , 各项的符号是: 当该项各元素的行标按自然顺序排列后 , 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号. 即