湖北省孝感市2019-2020学年高考数学模拟试题含解析

湖北省孝感市2019-2020学年高考数学模拟试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A ．27π
B ．28π
C ．29π
D ．30π
【答案】C 【解析】 【分析】
作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD -的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式222R PB AC =
+可计算出外接球的直径2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接
球的表面积. 【详解】
三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：
将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ， 可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =.
矩形ABCD 的外接圆直径225AC =AB +BC ，且2PB =. 所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为22229R PB AC =
+
因此，该三棱锥的外接球的表面积为()2
24229R R πππ=⨯=. 故选：C. 【点睛】
本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择
合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 2．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<
，集合|B x y ⎧==
⎨⎩，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<
D ．{|12}x x <<
【答案】A 【解析】 【分析】
0>可得集合B ,求出补集R C B ,再求出()R A C B ⋂即可.
【详解】
0>,得2x >,即(2,)B =+∞,
所以R C B (,2]=-∞, 所以()R A C B ⋂=(1,2]. 故选:A 【点睛】
本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.
3．已知向量11,,2a b m ⎛⎫== ⎪⎝⎭
r r ，若()()
a b a b +⊥-r r r r
，则实数m 的值为（ ）
A ．
12
B
．
C ．12
±
D
．±
【答案】D 【解析】 【分析】
由两向量垂直可得()()
0a b a b +⋅-=r r r r ，整理后可知22
0a b -=r r ，将已知条件代入后即可求出实数m 的
值. 【详解】
解：()()
a b a b +⊥-r r r r Q ，()()
0a b a b ∴+⋅-=r r r r ，即22
0a b -=r r ，
将1a =r 和22212b m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
r 代入，得出2
34m =
，所以m =. 故选:D. 【点睛】
本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的
数量积为0，继而结合条件进行化简、整理.
4．抛物线2
4y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则
PF
PA
的最小值为（ ）
A ．
12
B ．
22
C ．
32
D ．
22
3
【答案】B 【解析】 【分析】
通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||
||
PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求
出比值的最小值． 【详解】
解：由题意可知，抛物线2
4y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -，
过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，
由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||
||
PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大，
设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)
4y k x y x =+⎧⎨=⎩
，
解得：22
22(24)0k
x k x k -++=，
所以2
2
4
()2440k k ∆=--=，解得1k =±， 所以45NPA ∠=︒，
||2
cos ||2
PF NPA PA =∠=
． 故选：B ．
【点睛】
本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题． 5．设集合A ＝{y|y ＝2x ﹣1，x ∈R}，B ＝{x|﹣2≤x≤3，x ∈Z}，则A∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3] B ．[﹣1，3]
C ．{0，1，2，3}
D ．{﹣1，0，1，2，3}
【答案】C 【解析】 【分析】
先求集合A ，再用列举法表示出集合B ，再根据交集的定义求解即可． 【详解】
解：∵集合A ＝{y|y ＝2x ﹣1，x ∈R}＝{y|y ＞﹣1}， B ＝{x|﹣2≤x≤3，x ∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}， ∴A∩B ＝{0，1，2，3}， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，属于基础题． 6．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可. 【详解】
若32a b >， 0b >，则3log 2a b >，可得3log a b >； 若3log a b >，可得3a b >，无法得到32a b >， 所以“32a b >”是“3log a b >”的充分而不必要条件. 所以本题答案为A. 【点睛】
本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：
① 若p q ⇒为真命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ② 若p q ⇒为假命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③ 若p q ⇒为真命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④ 若p q ⇒为假命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件.
⑤ 判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系.
7．()()()()(
)*
121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ）
A ．3
n C B ．2
1n C +
C ．1
n n C -
D ．
3
112
n C + 【答案】B 【解析】 【分析】
根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论． 【详解】
由题意展开式中x 的一次项系数为2
1(1)122
n n n n C +++++==L ． 故选：B ． 【点睛】
本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式． 8．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了
100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出
大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）
A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值
B ．10年来全球新增装机容量连年攀升
C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GW
D ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过13
【答案】D 【解析】 【分析】
先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.
【详解】
中国累计装机装机容量逐年递增，A 错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B 错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为19.77GW ，选项C 错误；截止到2015年中国累计装机容量
197.7GW ，全球累计装机容量594.1158.1436GW -=，占比为45.34%，选项D 正确.
故选：D 【点睛】
本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．已知集合2{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则 A ．{|0e}A B x x =<<I B ．{|e}A B x x =<I C ．{|0e}A B x x =<<U D ．{|1e}A B x x =-<<U
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<，{|ln 1}{|0e}B x x x x =<=<<， 所以{|01}A B x x =<<I ，{|1e}A B x x =-<<U ，故选D ．
10．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()
3
22213
f x x bx a c ac x =
+++- 1+有极值点，则B Ð的范围是（ ）
A ．0,
3π⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．0,
3π⎛⎤
⎥⎝
⎦
C ．,3ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
D ．,3π⎛⎫π
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】
试题分析：由已知可得()()
2
2
2
'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根
(
)
2222
22
222
1
440cos 22
a c
b b a
c ac a c b ac B B ac +-⇒∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭.
考点：1、余弦定理；2、函数的极值.
【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为()()
2
2
2
'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根，从而可得
(
)
2222
22
222
1
440cos 22
a c
b b a
c ac a c b ac B B ac +-∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭.
11．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为（ ）
A ．22
1155
x y -=
B ．22
1515x y -=
C ．22
1312y x -=
D ．22
1217
y x -=
【答案】C 【解析】 【分析】
判断出已知条件中双曲线C 的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项. 【详解】
两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与x 轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与x 轴的夹角为30°或60°，双曲线C 的渐近线方程为33y x =±或3y x =±.A 选项渐近线为3
3
y x =±，B 选项渐近线为3y x =±，C 选项渐近线为1
2
y x =±
，D 选项渐近线为3y x =±.所以双曲线C 的方程不可能为221312
y x -=.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题. 12．已知函数
，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{
(2)4
f f ≤-≤为事件
A ，则事件A 发生的概率为
A ．
1
4
B ．
58
C ．38
D ．
12
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由(2)12{
(2)4
f f ≤-≤得4212
424
b c b c ++≤⎧⎨
-+≤⎩，分别以,b c 为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，
()12
P A =
.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点，F 是棱11A B 上的点，且111
3
A F F
B =，则异面直线EF 与1B
C 所成角的余弦值为__________．
【答案】10 【解析】 【分析】
根据题意画出几何题，建立空间直角坐标系，写个各个点的坐标，并求得1,EF BC u u u r u u u u r
.由空间向量的夹角求
法即可求得异面直线EF 与1BC 所成角的余弦值. 【详解】
根据题意画出几何图形，以A 为原点建立空间直角坐标系：
设正方体的棱长为1，则()()1110,0,
,,0,1,1,0,0,1,1,1.24E F B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以()111,0,,0,1,1.42EF BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u u r
1EF BC ==u u u r u u u u r
所以
111
cos ,EF BC EF BC EF BC ⋅<>===⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u
u u r
所以异面直线EF 与1BC
【点睛】
本题考查了异面直线夹角的求法，利用空间向量求异面直线夹角，属于中档题. 14．若函数()sin 22f x x x =-的图像向左平移
8
π
个单位得到函数()g x 的图像.则()g x 在区间3,88
ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值为________. 【答案】【解析】 【分析】
注意平移是针对自变量x ，所以()()8
g x f x π
=+=
2sin(2)12
x π
-
，再利用整体换元法求值域（最值）即
可. 【详解】
由已知，()sin 22sin(2)3f x x x x π
=-=-
，()()8
g x f x π
=+=
2sin[2()]2sin(2)8312x x πππ+-=-，又3,88x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，故22[,]123
3x πππ-∈-，
2sin(2)[
12
x π
-
∈，所以()g
x 的最小值为故答案为：. 【点睛】
本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础
题.
15．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为
________．
【答案】3π
【解析】
【分析】
求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，再用几何概型公式求出即可．
【详解】
半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为
6
π
，腰为1的等腰三角形，
∴该正十二边形的面积为121n3
1
2
i
6
1s
S
π
=⨯⨯⨯⨯=，
根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边形的概率为
2
33
1
ππ
=
⨯
，
故答案为：
3
π
．
【点睛】
本小题主要考查面积型几何概型的计算，属于基础题.
16．如图，在平面四边形ABCD中，点A，C是椭圆
22
1
43
x y
+=短轴的两个端点，点B在椭圆上，90
BAD BCD
∠=∠=︒，记ABC
V和ADC
V的面积分别为1S，
2
S，则1
2
S
S
=______.
【答案】43
【解析】 【分析】
依题意易得A 、B 、C 、D 四点共圆且圆心在x 轴上，然后设出圆心，由圆的方程与椭圆方程联立得到B 的横坐标，进一步得到D 横坐标，再由12||||
B D S x S x =计算比值即可. 【详解】
因为90BAD BCD ∠=∠=︒，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，直径为BD ，又A 、C 关于x 轴对称，
所以圆心E 在x 轴上，设圆心E 为(,0)t ，则圆的方程为2
2
2
()3x t y t -+=+，联立椭圆方程22
143
x y +=
消y 得280x tx -=，解得8x t =，故B 的横坐标为8t ，又B 、D 中点是E ，所以D 的横坐标为6t -，
故
12||||B D S x S x =4
3
=. 故答案为：43
. 【点睛】
本题考查椭圆中的四点共圆及三角形面积之比的问题，考查学生基本计算能力及转化与化归思想，本题关键是求出B 、D 横坐标，是一道有区分度的压轴填空题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点(),n n S (
)*
n N ∈在函数1
2
2x y +=-的图像上；
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足：10b =，1n n n b b a ++=，求{}n b 的通项公式；
（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的*n N ∈，不等式1n n b b λ+<恒成立，求实数λ的取值范围；
【答案】（1）()*
2n
n a n =∈N （2）当n 为偶数时，2233n n b =+；当n 为奇数时，22
33
n n b =-.（
3）(1,)+∞ 【解析】 【分析】
（1）根据1n n n a S S -=-,讨论1n =与2n ≥两种情况,即可求得数列{}n a 的通项公式;
（2）由（1）利用递推公式及累加法,即可求得当n 为奇数或偶数时{}n b 的通项公式.也可利用数学归纳法,先猜想出通项公式,再用数学归纳法证明. （3）分类讨论,当n 为奇数或偶数时,分别求得1
n
n b b +的最大值,即可求得λ的取值范围. 【详解】
（1）由题意可知,1
22n n S +=-.
当2n ≥时,1n n n a S S -=-()1
2
222n n +=---2n =,
当1n =时,11
1122a S +==-2=也满足上式.
所以()*
2
n
n a n =∈N .
（2）解法一：由（1）可知12n n n b b ++=()
*
n ∈N , 即12k
k k b b ++=(
)
*
k ∈N . 当1k =时,1
212b b +=,①
当2k =时,2322b b +=,所以2
322b b --=-,② 当3k =时,3
432b b +=,③
当4k =时,4542b b +=,所以4
542b b --=-,④
……
当1k n =-时,n 为偶数1
12n n n b b --+= 当k n =时,n 为偶数所以1
12n n n b b ----=-
以上1n -个式子相加,得
2341
122222
n n b b -+=-+-+⋅⋅⋅+1
21(2)1(2)
n -⎡⎤--⎣⎦
=
--2233
n =+. 又10b =,所以当n 为偶数时,22
33
n n b =+.
同理,当n 为奇数时,
2341
122222
n n b b -+=-+-+⋅⋅⋅-1
21(2)1(2)
n -⎡⎤--⎣⎦
=
--223
n
-=, 所以,当n 为奇数时,22
33
n n b =-.
解法二：
猜测：当n 为奇数时,
1222222n n n b --=-+⋅⋅⋅+-11
12
12112n n --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
2233n =-.
猜测：当n 为偶数时,
1222222n n n b --=-+⋅⋅⋅-+11
12
12112n n --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
2233n =+.
以下用数学归纳法证明：
1n =,命题成立；
假设当n k =时,命题成立；
当n 为奇数时,122
2222k k k b --=-+⋅⋅⋅+-, 当1n k =+时,n 为偶数,由12k
k k b b ++=(
)
*
k ∈N 得
1221222222k k k k k k b b --+=-=-++⋅⋅⋅-+
故,1n k =+时,命题也成立.
综上可知, 当n 为奇数时22
33
n n b =-
同理,当n 为偶数时,命题仍成立.
（3）由（2）可知()()22
33
2233
n n n
n b n ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数为奇数
. ①当n 为偶数时,1122332233
n n n n b b +++
=-1
2222n n ++=-113222n +=++, 所以
1n n b b +随n 的增大而减小从而当n 为偶数时,1n n b b +的最大值是
2
3
1b b =. ②当n 为奇数时,1122
332233
n n n n b b ++-
=+1
2222n n +-=+113222n +=-+, 所以
1n n b b +随n 的增大而增大,且
11131
12222
n n n b b ++=-<<+.
综上,
1
n
n b b +的最大值是1. 因此,若对于任意的*n ∈N ,不等式1n n b b λ+<恒成立,只需1λ>, 故实数λ的取值范围是(1,)+∞. 【点睛】
本题考查了累加法求数列通项公式的应用,分类讨论奇偶项的通项公式及求和方法,数学归纳法证明数列的应用,数列的单调性及参数的取值范围,属于难题.
18．已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>
）的离心率为2
e =，且短轴的一个端点B 与两焦点A ，C
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）若点P 为椭圆E 上的一点，过点P 作椭圆E 的切线交圆O ：2
2
2
x y a +=于不同的两点M ，N （其中M 在N 的右侧），求四边形ACMN 面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）2
214
x y +=；
（Ⅱ）4. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）
结合已知可得
c a =
bc =a ，b 的值，即可得椭圆方程； （Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得
2241m k =+，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得MCO ANO S S ∆∆+，利用弦长公式及点到
直线的距离公式，求出MON S ∆，得到ACMN MON MCO ANO S S S S ∆∆∆=++，整理后利用基本不等式求最值. 【详解】 解：
（Ⅰ）可得
c a =
bc =222a b c =+， 解得2a =
，c =，1b =，得椭圆方程2
214
x y +=；
（Ⅱ）易知直线MN 的斜率k 存在，设MN ：y kx m =+，
由22
44
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()()222
418410k x kmx m +++-=， 由(
)(
)
2
2
2
2
64164110k m k m ∆=-+-=，得2241m k =+，
∵ACMN MON MCO ANO S S S S ∆∆∆=++，
设点O 到直线MN ：0kx y m -+=的距离为d ，
21m
d k =+，22
2
2
2241
m MN d k OM =-=
-+ ()2
22
2222
44312421111
MON k
m m
m m S k k k k ∆+-=⨯-⨯=
=
++++，
由22
4
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2221240k x kmx m +++-=， 12221km x x k -+=+，21224
1
m x x k -⋅=+，
∴()1212122y y kx m kx m k x x m +=+++=++
2222211km m k m k k ⎛⎫
=-+= ⎪
++⎝⎭
∴()1212133||
3(||)2MCO NAO m S S y y y y ∆∆+=
⨯+=+=， ∴()33ACMN MON NAO MCO S S S S m m
∆∆∆==
+++ 而2
2
41m k =+，22
1
4
m k -=，易知20k ≥，∴21m ≥，则1m ≥，
四边形ACMN 的面积
23838383
4
23
1
4
m m S m m =
==≤=++ 当且仅当
3
m m
=，即3m =±时取“=”. ∴四边形ACMN 面积的最大值为4.
【点睛】
本题考查了由,,a b c 求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，综合性比较强，
属于难题.
19．在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类.经过数据整理，得到下表：
假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.
（1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；
（2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；
（3）利用上述六类习惯调查的排序，用“1k ξ=”表示任选一位第k 类受访者是习惯良好者，“0k ξ=”表示任选一位第k 类受访者不是习惯良好者（1,2,3,4,5,6k =）.写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，
6D ξ的大小关系.
【答案】（1）0.104（2）0.766（3）615432D D D D D D ξξξξξξ=>>>> 【解析】 【分析】
（1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为A ，根据古典概型求出即可； （2）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为A ，B ，
C ，设事件E 为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具
备两类良好习惯“，则P （E ）()()()()P ABC P ABC P ABC P ABC =+++，求出即可； （3）根据题意，写出即可． 【详解】
（1）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为A ， 有效问卷共有3805503304104004302500+++++=（份)， 其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是4000.65260⨯=人，
故P （A ）260
0.1042500
=
=； （2）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为A ，B ，
C ，
根据题意，可知P （A ）0.6=，（B ）0.8=，P （C ）0.65=，
设事件E 为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“
则()()()()()P E P ABC P ABC P ABC P ABC =+++
()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =+++
0.60.80.350.60.20.650.40.80.650.60.80.65=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 0.1680.0780.2080.312=+++ 0.766=.
所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯至少具备2个良好习惯的概率为0.766.
（3）615432D D D D D D ξξξξξξ=>>>>． 【点睛】
本题考查了古典概型求概率，独立性事件，互斥性事件求概率等，考查运算能力和事件应用能力，中档题． 20．如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上异于A 、B 的一点，直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且//,DE BC DC BC ⊥，1
2,32
DE BC AC CD =
===.
（1）证明：//EO 平面ACD ； （2）求点E 到平面ABD 的距离. 【答案】（1）见解析；（2641
【解析】 【分析】
（1）取BC 的中点M ，证明//,//OM AC EM CD ,则平面//OME 平面ACD ，则可证//EO 平面ACD .
（2）利用E ABD A EBD V V --=，AC 是平面BED 的高，容易求.11
23322
BDE S DE CD =
⨯=⨯⨯=△，再求ABD S V ，则点E 到平面ABD 的距离可求.
【详解】 解：（1）如图：
取BC 的中点M ，连接OM 、ME .
在ABC V 中，O 是AB 的中点，M 是BC 的中点，
,OM AC AC ∴⊄∥平面 EMO MO ⊂,平面 EMO ,故 AC ∥平面 EMO
在直角梯形BCDE 中， DE CB P ，且DE CM =，
∴四边形MCDE 是平行四边形， EM CD ∴∥，同理 CD ∥平面 EMO 又 CD ⋂AC=C ,故平面 EMO ∥平面ACD ， 又EO ⊂Q 平面, EMO EO ∴∥平面ACD .
（2）AB Q 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A 、B 的一点，
AC BC ∴⊥
又∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ⋂平面ABC BC =
AC ∴⊥平面BCDE ，
可得AC 是三棱锥A BDE -的高线. 在直角梯形BCDE 中，11
23322
BDE S DE CD =
⨯=⨯⨯=△. 设E 到平面ABD 的距离为h ，则E ABD A EBD V V --=，即11
33
ABD EBD S h S AC ⋅=⋅△△ 由已知得5,5,32AB BD AD ===， 由余弦定理易知：16cos 25ABD ∠=
，则1341
sin 22
ABD S AB BD ABD =⋅∠=
△ 解得641h =
，即点E 到平面ABD 641
故答案为：41
【点睛】
考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法，是中档题. 21．设函数()2sin |3||1|f x x a a =+-+-. （1）若62f π⎛⎫
>
⎪⎝⎭
，求实数a 的取值范围； （2）证明：x R ∀∈，1
()|3|1f x a a
≥--
+恒成立. 【答案】（1）()(),04,-∞+∞U （2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）将不等式62f π⎛⎫
> ⎪⎝⎭
化为|3||1|4a a -+->，利用零点分段法，求得不等式的解集. （2）将要证明的不等式转化为证x R ∀∈，1
2sin |1|1x a a
≥---
+恒成立，由2sin x 的最小值为2-，得到只要证12|1|1a a -≥---+，即证1
|1|12a a
-++≥，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立. 【详解】 （1）∵62f π⎛⎫
>
⎪⎝⎭
，∴2|3||1|6a a +-+->，即|3||1|4a a -+-> 当3a ≥时，不等式化为314
3
a a a -+->⎧⎨
≥⎩，∴4a >
当13a <<时，不等式化为(3)(1)4
13a a a -+->⎧⎨<<⎩，此时a 无解
当1a ≤时，不等式化为(3)(1)4
1
a a a -+->⎧⎨≤⎩，∴0a <
综上，原不等式的解集为()(),04,-∞+∞U （2）要证x R ∀∈，1
()|3|1f x a a
≥--
+恒成立 即证x R ∀∈，1
2sin |1|1x a a
≥---
+恒成立
∵2sin x 的最小值为－2，∴只需证12|1|1a a -≥---
+，即证1
|1|12a a
-++≥
又11|1|111a a a a -+
+≥-++11||2a a a a =+=+≥= ∴1
|1|12a a
-++≥成立，∴原题得证 【点睛】
本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.
22．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知c =，sin 25
C =
. （1）若1a =，求sin A ； （2）求ABC V 的面积S 的最大值.
【答案】（1）sin 10
A =；（2）4 【解析】 【分析】
（1）根据已知用二倍角余弦求出cos C ，进而求出sin C ，利用正弦定理，即可求解； （2）由c 边C 角，利用余弦定理结合基本不等式，求出ab 的最大值，即可求出结论. 【详解】
（1）∵2
3cos 12sin
25
C C =-=-，∴4sin 5C =，
由正弦定理
sin sin a c A C =得sin sin 10
a C A c ==. （2）由（1）知3cos 5C =-
，22222
66162cos 2555
c b a b a C b a ba ab ba ba =+-⋅⋅=++≥+=
， 所以16325ba ≥，10ba ≥，114
sin 104225
S ba C =≤⨯⨯=， 当且仅当a b =时，ABC V 的面积S 有最大值4. 【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，应用基本不等式求最值，属于基础题. 23．2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明)
【答案】 (Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()34
E X =
；(Ⅲ)4 【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.
(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m ⎛⎫<- ⎪⎝⎭
，解得答案. 【详解】
(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：250520
⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.
()25285014C p X C ===，()11532815128C C p X C ===，()23283328
C p X C ===. 故分布列为： X
0 1 2 p 514
1528 328 ()0121428284
E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m ⎛⎫<- ⎪⎝⎭
，故4m ≥.
故m的最小值为4.
【点睛】
本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。