9.1 9.1.1 简单随机抽样

第九章统计[数学文化]——了解数学文化的发展与应用数据的妙用(统计与概率)甲陆续收到乙的Email，告之明天足球比赛的结果，连续五次都预测对了.第六次时乙要求甲付200元给他以告知明天的比赛结果，你觉得乙有预测比赛的能力吗？(如果乙是猜的话，连续猜对五场的概率是1/25＝0.031)[读图探新]——发现现象背后的知识2013年全球主要国家二氧化碳排放量统计国家和地区CO2排放量/千吨人均排放量/吨国家和地区CO2排放量/千吨人均排放量/吨世界总计35 270 000—印度尼西亚510 000 2.6 中国10 330 0007.4沙特阿拉伯490 00016.6美国5 300 00016.6巴西480 000 2.0欧盟 3 740 0007.3英国480 0007.5 印度 2 070 000 1.7墨西哥470 000 3.9 俄罗斯 1 800 00012.6伊朗410 000 5.3 日本 1 360 00010.7澳大利亚390 00016.9 德国840 00010.2意大利390 000 6.4 韩国630 00012.7法国370 000 5.7 加拿大550 00015.7南非330 000 6.29.1随机抽样9.1.1简单随机抽样课标要求素养要求1.通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程.2.掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法.3.会计算样本均值，了解样本与总体的关系.在简单随机抽样的实施过程中，掌握抽签法和随机数法的抽样步骤，发展学生数据分析素养.教材知识探究在我国，食品安全问题越来越受到人们的关注，党中央、国务院和各级政府部门也高度重视，从制度建设和管理上都做了大量的、卓有成效的工作，取得了良好的效果.问题某报告称，食品质量检测人员对某品牌牛奶的抽检合格率为99.9%，你知道这一数据是怎么得到的吗？提示抽取少量的牛奶作为样本来检测得到的.1.全面调查和抽样调查调查方式普查抽查定义对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法相关概念总体：在一个调查中，把调查对象的全体称为总体个体：组成总体的每一个调查对象称为个体样本：把从总体中抽取的那部分个体称为样本样本量：样本中包含的个体的数量称为样本量2.简单随机抽样的概念简单随机抽样的四个特点：①总体个数有限，②逐个抽取，③不放回，④等可能抽样放回简单随机抽样不放回简单随机抽样一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本3.抽签法先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌.最后从盒中不放回地抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数. 4.随机数法(1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生总体范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数.(2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数，②用信息技术生成随机数. 5.总体均值和样本均值(1)总体均值：一般地，总体中有N 个个体，它们的变量值分别为Y 1，Y 2，…，Y N ，则Y －＝Y 1＋Y 2＋…＋Y N N＝1N ∑Ni ＝1Y i 为总体均值，又称总体平均数. (2)总体均值加权平均数的形式：如果总体的N 个变量值中，不同的值共有k 个(k ≤N )个，不妨记为Y 1，Y 2，…，Y k ，其中Y i 出现的频数f i (i ＝1，2，…，k )，则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y －＝1N ∑k i ＝1f i Y i . (3)样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n 的样本，它们的变量值分别为y 1，y 2，…，y n ，则称y －＝y 1＋y 2＋…＋y n n＝1n ∑n i ＝1y i 为样本均值，又称样本平均数. 教材拓展补遗[微判断]1.抽签法和随机数法都适用于总体容量和样本容量较小时的抽样.(√)2.用随机数工具生成的随机数有重复，需剔除重复的编号.(√)3.样本量的大小不影响样本的代表性.(×)提示 容量大的样本的代表性比容量小的样本的代表性好，尤其是样本量不大时，增加样本量可以较好地提高估计的效果. [微训练]1.下面抽样方法是简单随机抽样的是( ) A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B.可口可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查C.某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾工作D.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好号，对编号随机抽取)解析 A 中，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；B 中，一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；C 中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误. 答案 D2.用抽签法抽取的一个容量为5的样本，它们的变量值分别为2，3，5，7，9，则该样本的平均数为( ) A.4.5B.4.8C.5.2D.6解析 y －＝2＋3＋5＋7＋95＝5.2.答案 C [微思考]1.采用抽签法抽取样本时，为什么将编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌？提示 为了使每个号签被抽取的可能性相等，保证抽样的公平性. 2.抽签法有什么优点和缺点？提示 (1)优点：简单易行，当总体的个体数不多时，使总体处于“搅拌”均匀的状态比较容易，这时，每个个体都有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性.(2)缺点：仅适用于个体数较少的总体，当总体容量较大时，费时费力又不方便，另外，如果号签搅拌的不均匀，可能导致抽样不公平.题型一简单随机抽样的概念理解【例1】(1)关于简单随机抽样的特点有以下几种说法，其中不正确的是()A.要求总体中的个体数有限B.从总体中逐个抽取C.这是一种不放回抽样D.每个个体被抽到的机会不一样，与先后顺序有关(2)下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是()A.某学校有学生1 320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本B.为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查C.从全班30名学生中，任意选取5名进行家访D.为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计解析(1)简单随机抽样，除具有A，B，C三个特点外，还具有等可能性，每个个体被抽取的机会相等，与先后顺序无关.(2)A中不同年级的学生身体发育情况差别较大，B，D的总体容量较大，C的总体容量较小，适宜用简单随机抽样.答案(1)D(2)C规律方法可用简单随机抽样抽取样本的依据(1)总体中的个体之间无明显差异；(2)总体中个体数N有限；(3)抽取的样本个体数n小于总体中的个体数N；(4)逐个不放回地抽取；(5)每个个体被抽到的可能性均为n N.【训练1】下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是() ①从无数个个体中抽取50个个体作为样本；②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；③一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签；④箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里.A.0B.1C.2D.3解析根据简单随机抽样的特点逐个判断.①不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.②不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.③是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样.④不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样.综上，只有③是简单随机抽样.答案 B题型二抽签法的应用【例2】从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴. 解第一步，将20架钢琴编号，号码是1，2， (20)第二步，将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签.第三步，将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀.第四步，从盒中不放回地逐个抽取5个号签，使与号签上编号相同的钢琴进入样本.规律方法 1.一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显.2.应用抽签法时应注意以下几点：(1)编号时，如果已有编号可不必重新编号；(2)号签要求大小、形状完全相同；(3)号签要均匀搅拌；(4)根据实际需要采用有放回或无放回抽取.【训练2】为迎接2022年北京冬奥会，奥委会现从报名的某高校30名志愿者中选取6人组成奥运志愿小组，请用抽签法设计抽样方案.解(1)将30名志愿者编号，号码分别是1，2， (30)(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签.(3)将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀.(4)从盒中不放回地逐个抽取6个号签，使与号签上编号相同的志愿者进入样本. 题型三随机数法及其综合应用【探究1】某工厂有2 000名工人，从中选取20人参加职工代表大会，采用简单随机抽样方法进行抽样，是用抽签法还是随机数法？为什么？提示采用随机数法，因为工人人数较大，制作号签比较麻烦，所以用随机数法. 【探究2】某工厂的质检人员采用随机数法对生产的100件产品进行检查，若抽取10件进行检查，应如何对100件产品编号？提示可对这100件产品编号为：001，002，003， (100)【探究3】某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验.(1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？(2)如果用随机数法生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号. 162，277，943，949，545，354，821，737，932，354，873，520，964，384，263，491，648，642，175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667.(3)质监局对该公司生产的袋装牛奶检验的质量指标有两种：一是每袋牛奶的质量满足500±5 g，二是10袋质量的平均数≥500 g，同时满足这两个指标，才认为公司生产的牛奶为合格，否则为不合格.经过检测得到10袋袋装牛奶的质量(单位：g)为：502，500，499，497，503，499，501，500，498，499. 计算这个样本的平均数，并按照以上标准判断牛奶质量是否合格.(4)该公司对质监部门的这种检验方法并不认可，公司自己质检部门抽取了100袋牛奶按照(3)检验标准，统计得到这100袋袋装牛奶的质量都满足500±5 g ，平均数为500.4 g ，你认为质监局和公司的检验结果哪一个更可靠？为什么？ (5)为进一步加强公司袋装牛奶的质量，规定袋装牛奶的质量变量值为Y i ＝⎩⎨⎧1，质量不低于500 g ，0，质量低于500 g ，公司质监部门又抽取了一个容量为50的样本，其质量变量值如下：1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g 的比例. 解 (1)第一步，将500袋牛奶编号为001，002，…，500. 第二步，用随机数工具产生1～500范围内的随机数.第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本. 第四步，重复上述过程，直到产生的不同编号等于样本所需要的数量.(2)应抽取的袋装牛奶的编号为：162，277，354，384，263，491，175，331，455，068.(3)y －＝502＋500＋499＋497＋503＋499＋501＋500＋498＋49910＝499.8＜500，所以该公司的牛奶质量不合格.(4)该公司的质检部门的检验结果更可靠.因为质监局抽取的样本较少，不能很好地反映总体，该公司的质检部门抽取的样本量较大，一般来说，样本量大的会好于样本量小的.尤其是样本量不大时，增加样本量可以较好地提高估计的效果. (5)由样本观测数据，计算可得样本平均数为y －＝0.56，据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g 的比例约为0.56. 规律方法 随机数法的注意点(1)当总体容量较大，样本容量不大时，可用随机数法抽取样本. (2)用随机数法抽取样本，为了方便，在编号时需统一编号的位数. (3)掌握利用信息技术产生随机数的方法和规则.【训练3】 某学校抽取100位老师的年龄，得到如下数据：年龄(单位：岁)32 34 38 40 42 43 45 46 48 频数2420202610864估计这个学校老师的平均年龄.解 y －＝1100×(32×2＋34×4＋38×20＋40×20＋42×26＋43×10＋45×8＋46×6＋48×4)＝41.1(岁)，即这个学校老师的平均年龄约为41.1岁.一、素养落地1.通过学习简单随机抽样的相关概念以及抽签法和随机数法的抽样步骤，重点培养数据分析的核心素养.2.要判断所给的抽样方法是不是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点：总体有限、逐个抽取、无放回抽取、等可能抽取.3.当总体容量和样本容量都不大时，用抽签法抽样；当总体容量较大，样本容量不大时，用随机数法抽样. 二、素养训练1.使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是()A.抽签法B.随机数法C.随机抽样法D.以上都不对解析由于总体容量较大，样本容量较小，故可用随机数法.答案 B2.抽签法确保样本代表性的关键是()A.制签B.搅拌均匀C.逐一抽取D.抽取不放回解析若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要对号签搅拌均匀.答案 B3.在总体为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N的值为________.解析据题意30N＝0.25，故N＝120.答案1204.某大学要去贫困地区参加支教活动，需要从每班选10名男生，8名女生参加，某班有男生32名，女生28名，试用抽签法确定该班参加支教活动的同学.解第一步，将32名男生从0到31进行编号.第二步，用相同的小纸片制成32个号签，在每个号签上写上这些编号.第三步，将写好的号签放在一个不透明的容器内摇匀，不放回地从中逐个抽出10个号签.第四步，相应编号的男生参加支教活动.第五步，用相同的办法从28名女生中选出8名，则此8名女生参加支教活动.基础达标一、选择题1.为了了解某市高三毕业生升学考试中数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机地抽查了1 000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是()A.总体指的是该市参加升学考试的全体学生B.个体指的是1 000名学生中的每一名学生C.样本容量指的是1 000名学生D.样本是指1 000名学生的数学成绩解析因为是了解学生的数学成绩的情况，因此样本是指1 000名学生的数学成绩，而不是学生.答案 D2.下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为()①从500个个体中一次性抽取50个作为样本；②将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本；③某班有55个同学指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛；④福利彩票用摇奖机摇奖.A.1B.2C.3D.4解析①不是逐个抽取，③不是等可能抽取，故不是简单随机抽样，②④是简单随机抽样.答案 B3.下列抽样试验中，适合用抽签法的是()A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验解析总体容量和样本容量较小时适合用抽签法，排除A，D；C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，也不适用，故选B.答案 B4.从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则该批产品的合格率为()A.36%B.72%C.90%D.25%解析3640×100%＝90%.答案 C5.从全校2 000名小学女生中用随机数法抽取300名调查其身高，得到样本量的平均数为148.3 cm，则可以推测该校女生的平均身高()A.一定为148.3 cmB.高于148.3 cmC.低于148.3 cmD.约为148.3 cm解析由抽样调查的意义可以知道该校女生的平均身高约为148.3 cm.答案 D二、填空题6.要从100位同学中抽取10位同学调查其期末考试的数学成绩，下图是电子表格软件生成的部分随机数，若从第一个数71开始抽取，则抽取的10位同学的编号依次为________.解析如题图所示，抽取的10位同学的号码依次为71，7，4，1，15，2，3，5，14，11.答案71，7，4，1，15，2，3，5，14，117.某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若每人被抽到的可能性都为0.2，用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，则n等于________.解析 由题意可知：n 400＋320＋280＝0.2，解得n ＝200.答案 2008.某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小，得到如下数据：估计这个工厂生产的零件的平均直径大约为________. 解析 y －＝12×12＋13×34＋14×450＝12.84(cm).答案 12.84 cm 三、解答题9.某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机挑选10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人.试用抽签法确定选中的艺人.解 (1)将30名内地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，揉成团，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中逐个不放回地抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出.(2)用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人. 10.设某公司共有100名员工，为了支援西部基础建设，现要从中随机抽出12名员工组成精准扶贫小组，请写出利用随机数法抽取该样本的步骤. 解 第一步，将100名员工进行编号：00，01，02，…，99； 第二步，利用随机数工具产生0～99内的随机数；第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的员工进入样本.直到抽足样本所需要的人数.能力提升11.从一群参加游戏的小孩中随机抽出k 人，一人分一个苹果，让他们返回继续参加游戏.过了一会儿，再从中任取m 人，发现其中有n 个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为( ) A.kn m B.k ＋m －n C.km nD.不能估计解析 设参加游戏的小孩有x 人，则k x ＝n m ，x ＝kmn . 答案 C12.为了节约用水，制定阶梯水价，同时又不加重居民生活负担，某市物价部门在8月份调查了本市某小区300户居民中的50户居民，得到如下数据：物价部门制定的阶梯水价实施方案为：(1)计算这50户居民的用水的平均数；(2)写出水价的函数关系式，并计算用水量为28 m 3时的水费； (3)物价部门制定的水价合理吗？为什么？解 (1)y －＝150×(18×2＋19×4＋20×4＋21×6＋22×12＋23×10＋24×8＋25×2＋26×2)＝22.12(m 3). (2)设月用水量为x m 3，则水价为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，0≤x ≤21，4.5x －31.5，x >21，当x ＝28时，f (28)＝4.5×28－31.5＝94.5(元).(3)不合理.从时间上看，物价部门是在8月份调查的居民用水量，而这个月，该市的居民用水量普遍偏高，不能代表居民全年的月用水量，从居民比例上看，仅仅有16户居民，即32%的居民月用水量没有超过21 m 3，加重了大部分居民的负担.创新猜想13.(多填题)为了调查该市城区某小河流的水体污染状况，就某个指标，某学校甲班的同学抽取了样本量为50的5个样本，乙班的同学抽取了样本量为100的5个样本，得到如下数据：据此可以认定________班的同学调查结果能够更好地反映总体，这两个班的同学调查的该项指标约为________(答案不唯一，只要合理即可).解析 由抽样调查的意义可以知道，增加样本量可以提高估计效果，所以乙班同学的调查结果能更好地反映总体，由表可知，该项指标约为120. 答案 乙 12014.(多填题)一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________；第三次抽取时，剩余小球中的某一特定小球被抽到的可能性是________.解析 因为简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性为36＝12，所以某一特定小球被抽到的可能性是12.因为此抽样是不放回抽样，所以第一次抽样时，每个小球被抽到的可能性均为16；第二次抽取时，剩余5个小球中每个小球被抽到的可能性均为15；第三次抽取时，剩余4个小球中每个小球被抽到的可能性均为14.答案 12 14。