顺序统计量

•是总体期望的充分统计量。
分布函数，则对任意实数x有：
按概率密度函数计算次序统计量的密度函数：
当X为连续型随机变量且有密度函数f(x)时，则 X(1),X(n)也是连续型随机变量，且它们的密度 函数分别为：
例1：设总体 X 分布为 U(0,θ), X1 , X2……, Xn 是
取自总体的样本，试写出 X(1) , X(n) 的密度函数.
第 2节
顺序统计量
一、定义
定义：设(X1,X2,…,Xn)是从总体X中抽取的一个样本
，(x1,x2,…,xn)是其中一个观测值，将观测值按 从小到大的次序重新排列为： 定义：X(k)取值为x(k)(k=1,2,…,n)，由此得到
X (k) 称为第 k 个顺序统计量(即它的每次取值 总是取每次样本观测值由小到大排序后的第 k 个值).
推论1 ：最大次序统计量 x (n) 的概率密度函数为
推论2 ：最小次序统计量 x (1) 的概率密度函数为
按概率密度函数计算次序统计量的密度函数：
设F(x)是总体X的分布函数，X1，X2，…,Xn为X
的样本，X(1),X(2),…,X(n)为顺序统计量，
F(1)(x),F(n)(x)分别表示随机变量X(1),X(n)的
1 1 2 ) 60 x5 (1 x3 )3 dx 0 2
y x3

1 8
0
20 y (1 y ) dy 7 20( z z )dz
3 3 4
8
1
7 4 7 5 5(1 ( ) ) 4(1 ( ) ) 0.1207 8 8
四、思考
例5：设总体X的分布为仅取 0, 1, 2 的离散均匀分 布，
特别的
说明
二、常用顺序统计量
• • • • 极差 中位数 分位数 四分位数
1、极差
极差反映了随机变量X取值的分散程度。
2、中位数
① 排序后处于中间位置上的值
50%
Me
50%
3、分位数
4、四分位数：
① 排序后处于25%和75%位置上的值
25%
QL
25%
25%
QM
25%
QU
② 不受极端值的影响 ③ 计算公式 n QL 位置 4 Q 位置 3n U 4
X 0 1 2 设总体 X 的分布如下: p 1/3 1/3 1/3 现抽取容量为 3 的样本, 共有 27 种可能取值, 列表如下
x1 0 0 0 1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 2 0 0 2 1 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 0 2 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2
五数概括与箱线图
次序统计量的应用之一就是五数概括与箱线图。在 得到有序样本后，容易计算如下五个值： 最小观测值 x min = x (1) ; 最大观测值 x max = x (n); 中位数 m 0.5 ; 第一 4 分位数 Q 1 = m 0.25 第三 4 分位数 Q3 = m 0.75 。 所谓五数概括就是指用这五个数来大致描述一批数 据的轮廓。
可以得到 x (2) 的密度函数为
5! 21 5 2 p2 ( x) [ F ( x)] p( x)[1 F ( x)] (2 1)!(5 2)!
20 x3 3 x 2 (1 x3 )3 60 x 5 (1 x 3 )3 , 0 x 1
于是
P( x(2)
X (1)与X (2)
并不独立
P( x(1) 0) P( x(2)
7 19 7 , 而 P ( x 0, x 0) 0) (1) (2) 27 27 27
注: 在一个样本中, X1 , X 2，……, Xn 是独立同分
布的, 而次序统计量 X (1) , X (2) ……, X (n) 则可
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例3：设(X1,X2,…,Xn)是来自正态总体N(12,9) 的样本，求：
解：1）因X1,X2,…,Xn独立，且服从相同分布
解： 我们首先应求出 x (2) 的分布。由总体密度函数 不难求出总体分布函数为
0 , 3 F ( x) x , 1 ,
x 0; 0 x 1; x 1
X(1)
0
19/27
1
7/27
2
1/27
X(2)
0
7/27
1
13/27
2
7/27
p
X(3)
p
0
1/27
1
7/27
2
19/27
p
X(1)
其分布 各不相同
进而可得 X(1)与 X (2) 的联合分布如下:
0 1 2
X(2) 0 7/27 0 0 1 9/27 4/27 0 2 3/27 3/27 1/27
能既不独立, 分布也不相同.
充分统计量
•指统计量加工过程中无信息损失的统计量 100 •T1 X i 是不合格品率p的充分统计量
i 1
1 n ( X i )2 •来自正态总体的样本，若总体期望已知， n i 1 1 n 是总体方差的充分统计量，若总体方差已知，n X i i 1
k-1 x 1 x+x n-k
x (k) 的取值示意图
Fk ( x x) Fk ( x) n! [ F ( x)]k 1[ F x x F ( x)][1 F ( x x)]nk (k 1)!(n k )!
两边同除以 x , 并令 x→0 , 即有
x n -1 1 n(1 ) , 0 x , p(1) ( x) 0, others. x n -1 1 n ( ) , 0 x , p( n ) ( x) 0, others.
例2：设总体X~G l，X1,X2,…,Xn为X的样 本。求：f(1)(x)，f(n)(x)。
三、顺序统计量的分布
1、单个顺序统计量的分布 设总体X的密度函数为 f (x) ，分布函数为 F (x) ， x1, x2, …, xn 为样本，则第 k 个次序统计量 x (k) 的 密度函数为:
证明： 对任意的实数 x ，考虑次序统计量 x(k) 取值 落在小区间 (x , x + x ] 内这一事件，它等价于 “样本容量为 n 的样本中有 1 个观测值落在区间 (x , x + x ] 之间，而有 k-1 个观测值小于等于 x ， 有 n-k 个观测值大于 x + x ”，其直观示意图见下 图
0
0 2 0 1
0
2 0 1 0
2
0 0 1 1
0
0 0 0 0
0
0 0 1 1
2
2 2 1 1
2
1 2 0 2
0
2 1 2 0
1
0 0 2 2
0
0 0 0 0
1
1 1 2 2
2
2 2 2 2
1
2 2 1 2
2
1 2 1 2
2
2 1 1 2
1
1 1 1 2
2
2 2 1 2
2
2 2 1 2
由此可得 X(1) , X (2) , X (3) 的分布列如下: