极坐标及极坐标方程

1 1 cos 2 sin 2 2 , 4 在极坐标系中.设 M（ ,
） P（ 1 , ） ，则由题设可知，
1

2
,

2
.① . . ，因为点 P 在曲线 C
1 上，
1 1 2 2 cos sin 2 ....②, 所以 4 由①②得曲线 C 的极坐标方程为 1
ρcosθ＝a； ρsinθ＝a； ρ＝ r ； ρ＝2rcosθ； ρ＝2rsinθ.
(7)若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方程为：
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
课前预练
π 1．在极坐标系中，与点(3，－ )关于极轴所在直线对称的 3 点的极坐标为(
2 A．(3， π) 3 4 C．(3， π) 3
合考查.
知识回顾
1.极坐标系:
定点O，叫做极点； 射线Ox，叫做极轴；
再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度） 及其正方向（通常取逆时针方向），就建立了一个 极坐标系．
极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ； 角∠xOM 叫做极角，记为θ.
有序实数对（ρ,θ）叫做M的极坐标，
记为M（ρ,θ） ．
课前预练
3．极坐标方程ρcosθ＝4表示的曲线是( A．一条平行于极轴的直线 B．一条垂直于极轴的直线 C．圆心在极轴上的圆 D．过极点的圆
)
讨论总结：极坐标方程ρcosθ＝a表示 什 么？极坐标方程ρsinθ＝a 呢？
课前预练
4.设曲线的极坐标方程为ρ＝2asinθ(a>0)，则 它表示的曲线是( ) A．圆心在点(a,0)直径为a的圆 B．圆心在点(0,a)直径为a的圆 C．圆心在点(a,0)直径为2a的圆 D．圆心在点(0,a)直径为2a的圆
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. P 是曲线 C1 上一 点， xop (0 ) ，将点 P 绕点 O 逆时针旋角 后得到 点 Q， OM 2OQ, 点 M 的轨迹是曲线 C2. (1)求曲线 C2 的极坐标方程； (2)求│OM│的取值范围．
1 2 2 2 2 cos sin 1, 即 解析：曲线 C1 的极坐标方程为 4
极坐标及极坐标方程
考纲点击
1．了解极坐标的基本概念,会在极坐标
系中用极坐标刻画点的位置，能进行极 坐标和直角坐标的互化.
考情关注
1.主要考查极坐标 方程与直角坐标方 程的互化． 2．在解答题中涉及 直线、圆的极坐标 方程、参数方程综
2．能在极坐标系中给出简单图形(如过
极点的直线、过极点的圆、圆心在极点 或极轴上的圆)表示的极坐标方程.
)
π B．(3， ) B 3 5 D．(3， π) 6
讨论总结： M（ρ,θ） 关于极点、极轴、
极垂线的对称点是什么？
课前预练 课前预练
π 2π π 2． （1）已知点的极坐标分别为(3， )，(2， )，(4， )， 4 3 2 ( 3，π)，求它们的直角坐标.
（2）已知点的直角坐标分别为(3， 3)，(0，- 2)， (4，0)， （-2，-2 3） ，(1，- 3)，(-1，1) 求它们的极坐标.
2
1
.
2

1 1 cos 2 sin 2 16 2 4 2
(2)由(1)得
1 1 2 (1 3sin ) 2 16 2 ,因为 OM OM 1
2
1 1 的取值范围是 16 , 4 ,
所以 OM 的取值范围是[2,4].
课堂小结
1、极坐标及极坐标方程； 2、极坐标与直角坐标互化； 3、极坐标方程的应用.
x＝－1， 解得 y＝1，
即两曲线的交点为(－1， 1)，
3π 又 0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为( 2， )． 4 [答案] 3π ( 2， ) 4
自主探究：
π 在极坐标系中，曲线 C1：ρ＝2cosθ，曲线 C2：θ＝ ， 4 若曲线 C1 与 C2 交于 A、B 两点，则线段 AB 的长为________．
讨论总结：极坐标方程ρ＝2acosθ表示的
曲线是什么？
典例精析
[例 1] (1)[2013· 安徽高考]在极坐标系中，圆 ρ＝2cosθ 的 垂直于极轴的两条切线方程分别为( A．θ＝0(ρ∈R)和 ρcosθ＝2 π B B．θ＝2(ρ∈R)和 ρcosθ＝2 π C．θ＝ (ρ∈R)和 ρcosθ＝1 2 D．θ＝0(ρ∈R)和 ρcosθ＝1 )
典例精析
例 2. 在极坐标系中，曲线 ρ＝2sinθ 与 ρcosθ＝－1(0≤θ<2π)的交 点的极坐标为________．
[解析]Βιβλιοθήκη ρ＝2sinθ 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0， ρcosθ
＝－1 的直角坐标方程为 x＝－1，联立方程，得
2 2 x ＋y －2y＝0， x＝－1，
知识回顾
知识回顾
3．特殊的极坐标方程 (1) 过极点的直线： θ=θ0（ρ∈R）(θ0为直线与极轴夹角)； (2) 过点 M(a,0)垂直于极轴的直线： π (3)过点 M(a, )平行于极轴的直线： 2 (4)当圆心位于极点，半径为 r： (5)当圆心位于 M(r,0)，半径为 r： π (6)当圆心位于 M(r， )，半径为 r： 2
典例精析
π (2)[2013· 北京高考]在极坐标系中，点(2， )到直线 ρsinθ＝2 6
1 ． 的距离等于________
典例精析
[解析 ] (1)由 ρ＝ 2cosθ，可得圆的直角坐标方程为 (x－ 1)2
＋y2＝1，所以垂直于 x 轴的两条切线方程分别为 x＝0 和 x＝2， π 即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为 θ＝ (ρ∈R)和 ρcosθ＝ 2 2，故选 B. (2)由极坐标方程与直角坐标方程的互化关系可知，在极坐 π 标系中，点(2， )对应的直角坐标为( 3，1)，直线 ρsinθ＝2 对 6 应的直角坐标方程为 y＝2，所以点到直线的距离为 1.
[解析] 曲线 C1 与 C2 均经过极点，因此极点是它们的一 ρ＝ 2， ρ＝2cosθ， 个公共点．由 得 即曲线 C1 与 C2 的 π π θ＝ ， θ＝ ， 4 4 另一个交点与极点的距离为 2，因此|AB|＝ 2. [答案] 2
典例精析
x2 2 y 1 .以坐标原点 O 例 3.已知曲线 C1 的直角坐标方程为 4