公开课-人教版全等三角形的判定-角边角-角角边(最新)

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《三角形全等的判定 “角边角”、“角角边”》课件(3套)

《三角形全等的判定  “角边角”、“角角边”》课件(3套)

\ DAOC DBOD (ASA)
2. 如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB=DE,
AB∥DE,∠A=∠D.
求证:BE=CF.
AD
BE
CF
(2) (1)
小明踢球时不慎把一块 三角形玻璃打碎为两块,他是 否可以只带其中的一块碎片 到商店去,就能配一块于原来 一样的三角形玻璃呢?
如果可以,带哪块去合适 呢?为什么?
所以AB=A'B'(全等三角形对应边相等),
D′ C′
∠ABD=∠A'B'D'(全等三角形对应角相等).
因为AD⊥BC,A'D'⊥B'C',所以∠ADB=∠A'D'B'.
在△ABD和△A'B'D'中,
∠ADB=∠A'D'B'(已证), ∠ABD=∠A'B'D'(已证),
全等三角形对应边上 的高也相等.
画法:1、画A/B/=AB; 2、在 A/B/的同旁画∠DA/ B/ =∠A , ∠EB/A/ =∠B, A/ D,B/E交于点C/。
△A/B/C/就是所要画的三角形。
C
E
D
C’
A
B
通过实验你发现了什么规律?A’
B’
探究反映的规律是:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全 等 (可以简写成“角边角”或“ASA”)。
第十二章 全等三角形
12.2三角形全等的判定
第3课时 “角边角”、“角角边”
学习目标
情境引入
1.探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”
和“AAS”.
2.会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”

人教初中数学八上《三角形全等的判定(角边角)》教案 (公开课获奖)

人教初中数学八上《三角形全等的判定(角边角)》教案 (公开课获奖)

三角形全等的判定教学目标1.三角形全等的条件:角边角、角角边.2.三角形全等条件小结.3.掌握三角形全等的“角边角〞“角角边〞条件.4.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.教学重点两角一边的三角形全等探究.教学难点灵活运用三角形全等条件证明.教学过程Ⅰ.提出问题,创设情境1.复习:〔1〕三角形中三个元素,包括哪几种情况?三个角、三个边、两边一角、两角一边.〔2〕到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?各是什么?三种:①定义;②SSS;③SAS.2.在三角形中,三个元素的四种情况中,我们研究了三种,今天我们接着探究两角一边是否可以判断两三角形全等呢?Ⅱ.导入新课问题1:三角形中两角一边有几种可能?1.两角和它们的夹边.2.两角和其中一角的对边.问题2:三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4cm,•你能画一个三角形同时满足这些条件吗?将你画的三角形剪下,与同伴比拟,观察它们是不是全等,你能得出什么规律?将所得三角形重叠在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.提炼规律:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等〔可以简写成“角边角〞或“ASA〞〕.问题3:我们刚刚做的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形ABC,•能不能作一个△A′B′C′,使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢? ①先用量角器量出∠A 与∠B 的度数,再用直尺量出AB 的边长. ②画线段A′B′,使A′B′=AB.③分别以A′、B′为顶点,A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A,使∠D′AB=∠CAB,∠EB′A′=∠CBA.④射线A′D 与B′E 交于一点,记为C′ 即可得到△A′B′C′.将△A′B′C′与△ABC 重叠,发现两三角形全等.C 'A 'B 'DCAE两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等〔可以简写成“角边角〞或“ASA〞〕. 思考:在一个三角形中两角确定,第三个角一定确定.我们是不是可以不作图,用“ASA〞推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等〞呢? 探究问题4:如图,在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF ,△ABC 与△DEF 全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?D CABFE证明:∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°∠A=∠D,∠B=∠E ∴∠A+∠B=∠D+∠E ∴∠C=∠F 在△ABC 和△DEF 中B EBC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC≌△DEF〔ASA 〕.两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等〔可以简写成“角角边〞或“AAS〞〕. [例]如以下图,D 在AB 上,E 在AC 上,AB=AC ,∠B=∠C.求证:AD=AE .[分析]AD 和AE 分别在△ADC 和△AEB 中,所以要证AD=AE ,只需证明△ADC≌△AEB 即可. 证明:在△ADC 和△AEB 中A A AC ABC B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以△ADC≌△AEB〔ASA 〕 所以AD=AE . Ⅲ.随堂练习〔一〕课本练习1、2. 〔二〕补充练习图中的两个三角形全等吗?请说明理由.50︒50︒45︒45︒DCAB (1)29︒29︒DC A B(2)E答案:图〔1〕中由“ASA〞可证得△ACD≌△ACB.图〔2〕由“AAS〞可证得△ACE≌△BDC. Ⅳ.课时小结至此,我们有五种判定三角形全等的方法: 1.全等三角形的定义2.判定定理:边边边〔SSS 〕 边角边〔SAS 〕 角边角〔ASA 〕 角角边〔AAS 〕 推证两三角形全等时,要善于观察,寻求对应相等的条件,从而获得解题途径. Ⅴ.作业1.课本习题5、6、题. 板书设计D CABE11.2.3 三角形全等的判定〔三〕一、两角一边⎧⎨⎩两角及其夹边两角和其中一角的对边二、三角形全等的条件1.两角及其夹边对应相等的两三角形全等〔ASA〕2.两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等〔AAS〕15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序,熟练地进行分式的混合运算.重点难点1.重点:熟练地进行分式的混合运算.2.难点:熟练地进行分式的混合运算.3.认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时,要注意运算顺序,在没有括号的情况下,按从左到右的方向,先乘方,再乘除,然后加减. 有括号要按先小括号,再中括号,最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时,要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1.教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式.2.教科书练习1:写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应,也解决了本节引言中所列分式的计算,完整地解决了应用问题.二、课堂引入1.说出分数混合运算的顺序.2.教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算:[分析] 这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,注意有括号先算括号内的,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式.四、随堂练习计算:(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1.计算: (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2.计算24)2121(aa a ÷--+,并求出当=a -1的值.六、答案:四、〔1〕2x 〔2〕b a ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ,当=a -1时,原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标〔一〕教学知识点1.等腰三角形的概念. 2.等腰三角形的性质.3.等腰三角形的概念及性质的应用. 〔二〕能力训练要求1.经历作〔画〕出等腰三角形的过程,•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点. 2.探索并掌握等腰三角形的性质. 〔三〕情感与价值观要求 通过学生的操作和思考,使学生掌握等腰三角形的相关概念,并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯.重点难点重点:1.等腰三角形的概念及性质.2.等腰三角形性质的应用.难点:等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.教学方法探究归纳法.教具准备师:多媒体课件、投影仪;生:硬纸、剪刀.教学过程Ⅰ.提出问题,创设情境[师]在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.来研究:①三角形是轴对称图形吗?②什么样的三角形是轴对称图形?[生]有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是.[师]那什么样的三角形是轴对称图形?[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形.[师]很好,我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形.Ⅱ.导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形.ABICABI作一条直线L,在L上取点A,在L外取点B,作出点B关于直线L的对称点C,连接AB、BC、CA,那么可得到一个等腰三角形.[生乙]在甲同学的做法中,A点可以取直线L上的任意一点.[师]对,按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形.现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀,按自己设计的方法,也可以用课本探究中的方法,•剪出一个等腰三角形.……[师]按照我们的做法,可以得到等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.[师]有了上述概念,同学们来想一想.〔演示课件〕1.等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴.2.等腰三角形的两底角有什么关系?3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?•底边上的高所在的直线呢?[生甲]等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两腰相等,所以把这两条腰重合对折三角形便知:等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠,找出它的对称轴,并看它的两个底角有什么关系.[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后,发现等腰三角形的两个底角相等.[生丙]我把等腰三角形折叠,使两腰重合,这样顶角平分线两旁的局部就可以重合,所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线.[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折,可以看到它两旁的局部互相重合,说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴.[生戊]老师,我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴. [师]你们说的是同一条直线吗?大家来动手折叠、观察. [生齐声]它们是同一条直线.[师]很好.现在同学们来归纳等腰三角形的性质.[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折,发现它两旁的局部互相重合,由此可知这个等腰三角形的两个底角相等,•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线,也是底边上的高.[师]很好,大家看屏幕. 〔演示课件〕等腰三角形的性质:1.等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕.2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕.[师]由上面折叠的过程获得启发,我们可以通过作出等腰三角形的对称轴,得到两个全等的三角形,从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手来写出这些证明过程〕.〔投影仪演示学生证明过程〕[生甲]如右图,在△ABC 中,AB=AC ,作底边BC 的中线AD ,因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD 〔SSS 〕. 所以∠B=∠C .[生乙]如右图,在△ABC 中,AB=AC ,作顶角∠BAC 的角平分线AD ,因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD .所以BD=CD ,∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°.[师]很好,甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明,过程也写得很条理、很标准.下面我们来看大屏幕.〔演示课件〕[例1]如图,在△ABC 中,AB=AC ,点D 在AC 上,且BD=BC=AD ,D CA BD CABDCA B求:△ABC 各角的度数.[师]同学们先思考一下,我们再来分析这个题.[生]根据等边对等角的性质,我们可以得到 ∠A=∠ABD ,∠ABC=∠C=∠BDC ,•再由∠BDC=∠A+∠ABD ,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A . 再由三角形内角和为180°,•就可求出△ABC 的三个内角.[师]这位同学分析得很好,对我们以前学过的定理也很熟悉.如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话,那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示,这样过程就更简捷. 〔课件演示〕[例]因为AB=AC ,BD=BC=AD , 所以∠ABC=∠C=∠BDC . ∠A=∠ABD 〔等边对等角〕.设∠A=x ,那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x , 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x .于是在△ABC 中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°, 解得x=36°.在△ABC 中,∠A=35°,∠ABC=∠C=72°.[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识. Ⅲ.随堂练习〔一〕课本练习 1、2、3.练习1. 如图,在以下等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.(2)120︒36︒(1)答案:〔1〕72° 〔2〕30°2.如图,△ABC 是等腰直角三角形〔AB=AC ,∠BAC=90°〕,AD 是底边BC 上的高,标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数,图中有哪些相等线段?D CAB答案:∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC ,BD=DC=AD .3.如图,在△ABC 中,AB=AD=DC ,∠BAD=26°,求∠B 和 ∠C 的度数.答:∠B=77°,∠C=38.5°.D CA B〔二〕阅读课本,然后小结. Ⅳ.课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.等腰三角形是轴对称图形,它的两个底角相等〔等边对等角〕,等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线,并且它的顶角平分线既是底边上的中线,又是底边上的高.我们通过这节课的学习,首先就是要理解并掌握这些性质,并且能够灵活应用它们. Ⅴ.课后作业〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题. 〔二〕1.预习课本.2.预习提纲:等腰三角形的判定. Ⅵ.活动与探究如图,在△ABC 中,过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线,垂足为D ,DE ∥AB 交AC 于E .求证:AE=CE .EDCAB过程:通过分析、讨论,让学生进一步了解全等三角形的性质和判定,•等腰三角形的性质. 结果:证明:延长CD 交AB 的延长线于P ,如图,在△ADP 和△ADC 中,12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC .∴∠P=∠ACD .又∵DE ∥AP , ∴∠4=∠P . ∴∠4=∠ACD . ∴DE=EC .同理可证:AE=DE .∴AE=C E .板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1.等边对等角 2.三线合一 三、例题分析 四、随堂练习EDCA B P五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1.如果△ABC是轴对称图形,那么它的对称轴一定是〔〕A.某一条边上的高B.某一条边上的中线C.平分一角和这个角对边的直线D.某一个角的平分线2.等腰三角形的一个外角是100°,它的顶角的度数是〔〕A.80°B.20°C.80°和20°D.80°或50°答案:1.C 2.C3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm,并且它的周长为16 cm.求这个等腰三角形的边长.解:设三角形的底边长为x cm,那么其腰长为〔x+2〕cm,根据题意,得2〔x+2〕+x=16.解得x=4.所以,等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm.15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序,熟练地进行分式的混合运算.重点难点1.重点:熟练地进行分式的混合运算.2.难点:熟练地进行分式的混合运算.3.认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时,要注意运算顺序,在没有括号的情况下,按从左到右的方向,先乘方,再乘除,然后加减. 有括号要按先小括号,再中括号,最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时,要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1.教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式.2.教科书练习1:写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应,也解决了本节引言中所列分式的计算,完整地解决了应用问题.二、课堂引入1.说出分数混合运算的顺序.2.教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算:[分析] 这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,注意有括号先算括号内的,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式.四、随堂练习计算:(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习1.计算:(1))1)(1(y x x y x y +--+(2)22242)44122(aa a a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xy z y x ++⋅++)111( 2.计算24)2121(aa a ÷--+,并求出当=a -1的值.六、答案: 四、〔1〕2x 〔2〕ba ab - 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 1 2.原式=422--a a ,当=a -1时,原式=-31.。

三角形全等的判定1-第3课时-“角边角”、“角角边”

三角形全等的判定1-第3课时-“角边角”、“角角边”
三角形全等的判定1-第3课时“角边角”、“角角边”
目录
CONTENTS
• 引言 • 角边角判定 • 角角边判定 • 课堂练习与解析 • 总结与回顾
01 引言
CHAPTER
课程目标
掌握“角边角”和“ 角角边”两种三角形 全等的判定方法。
理解三角形全等在几 何学中的重要性和应 用。
能够运用这两种判定 方法解决实际问题。
在下节课中,我们将深入探讨三角形 全等的各种判定方法,并学习如何运 用这些判定方法解决更复杂的几何问 题。
谢谢
THANKS
04 课堂练习与解析
CHAPTER
基础练习题
总结词:巩固基础
详细描述:基础练习题主要涉及三角形全等判定中的“角边角”和“角角边”定 理的基本应用,通过简单的题目帮助学生理解并掌握这两种判定方法的基本概念 和条件。
进阶练习题
总结词:提升难度
详细描述:进阶练习题在基础练习题的基础上增加了一些难度,题目中可能涉及到一些复杂的图形和 条件,需要学生灵活运用“角边角”和“角角边”定理进行解答,以提高学生的解题能力和思维灵活 性。
应用示例
在解决实际问题时,如测量、工程设计等,经常需要证明两个三角形是否全等, 此时可以使用角边角判定定理进行证明。
03 角角边判定
CHAPTER
定义与性质
定义
角角边判定是指两个三角形中,两个角和一边分别相等,则这两个三角形全等。
性质
角角边判定是三角形全等判定的一种,它具有传递性、对称性和不可分解性。
判定定理及证明
判定定理
如果两个三角形中,两角和一边分别相等,则这两个三角形 全等。
证明
首先,根据已知条件,两个三角形有两个角分别相等,则第 三个角也必然相等(角的和定理)。其次,已知一边相等, 结合前面的三个角分别相等,根据全等三角形的判定定理, 可以证明两个三角形全等。

《三角形全等判定(ASA)》教案(公开课)2022年人教版精品

《三角形全等判定(ASA)》教案(公开课)2022年人教版精品

三角形全等判定〔ASA〕总课题全等三角形总课时数第 12 课时课题三角形全等判定〔ASA〕主备人课型新授时间教学目标1.理解“角边角〞、“角角边〞判定三角形全等的方法.2.经历探索“角边角〞、“角角边〞判定三角形全等的过程,能运用已学三角形判定法解决实际问题.3.培养良好的几何推理意识,开展思维,感悟全等三角形的应用价值.教学重点应用“角边角〞、“角角边〞判定三角形全等.教学难点学会综合法解决几何推理问题.教学过程教学内容一、回忆交流【知识回忆】〔投影显示〕情境思考:1.小菁做了一个如图1所示的风筝,其中∠EDH=∠FDH,ED=FD,•将上述条件注在图中,小明不用测量就能知道EH=FH吗?与同伴交流.(1) (2)[答案:能,因为根据“SAS〞,可以得到△EDH≌△FDH,从而EH=FH]2.如图2,AB=AD,AC=AE,能添上一个条件证明出△ABC≌△ADE吗?[答案:BC=•DE〔SSS〕或∠BAC=∠DAE〔SAS〕].3.如果两边及其中一边的对角对应相等,两个三角形一定会全等吗?试举例说明.【教师活动】操作投影仪,提出问题,组织学生思考和提问.【学生活动】通过情境思考,复习前面学过的知识,学会正确选择三角形全等的判定方法,小组交流,踊跃发言.【教学形式】用问题牵引,辨析、稳固已学知识,在师生互动交流过程中,激发求知欲.二、实践操作【动手动脑】〔投影显示〕问题探究:先任意画一个△ABC,再画出一个△A′B′C′,使A′B′=AB,∠A′=∠A,∠B′=∠B〔即使两角和它们的夹边对应相等〕,把画出的△A′B′C′剪下,•放到△ABC上,它们全等吗?【学生活动】动手操作,感知问题的规律,画图如下:画一个△A ′B ′C ′,使A ′B ′=AB ,∠A ′=∠A ,∠B ′=∠B :1. 画A ′B ′=AB ;2. 在A ′B ′的同旁画∠DA ′B ′=∠A ,∠EBA ′=∠B ,A ′D ,B ′E 交于点C ′。

《三角形全等的判定--角边角,角角边》说课稿 ppt

《三角形全等的判定--角边角,角角边》说课稿 ppt

五、教学方法
一、教材分析
1、依据《新课程标准》的要求,立足于学生的认知基础来确 定适当的起点和目标。 2、采用指导探究法进行教学,主要通过三个师生双边活动: ①动——师生互动,共同探究。②论——知识类比,引导 论证。③导——共同讨论,小结归纳。突出学生的主体地 位,让教师成为学生学习的组织者、引导者、合作者,让 学生亲自动手、动脑、动口参与数学活动,经历问题的发 生、发展和解决过程,在解决问题中完成教学目标。
三、重点与难点
一、教材分析 二、教学目标 三、重点难点
【重点】 用角边角、角角边来确定两个三角形 全等,以及用全等证明角的相等、线段相等。 【难点】 用角边角、角角边来确定两个三角形全等; 证明三角形全等时的规范的书写格式。
四、教学流程
一、教材分析 二、教学目标 三、重点难点 四、教学流程
(一)创设情境,孕育新知 1、生活情境设疑,激发学生兴趣
小明在上美术课时,不慎将一块三角形玻璃调色板打破 成如图所示的三块,小明小心翼翼地将三块碎玻璃板捡起, 准备包好拿去玻璃店配制,老师看到后对小明说,如果只你 拿一块去,你看行吗?你会拿哪一块呢?
2、学术情境分类,明确探究任务
一、教材分析
(1)三边(SSS)
二、教学目标 三、重点难点 四、教学流程
满足全等三角 (2)两边一角 形的六组条件 中的三组 (3)两角一边
(2)得到实验结论:
所画的三角形均能相互重合。
(3)提出问题:你能根据作图要求具体说说所画的是什 么样的两个三角形吗?
一、教材分析 二、教学目标 三、重点难点 四、教学流程
(4)归纳: 三角形全等的判定(三):两角和它们的夹边对应相等 的两个三角形全等。(可以简写成“角边角”或者“ASA”) (5)符号语言:在△ABC和△DEF中, ∠A=∠B AB=DE ∠B=∠E ∴ △ABC≌△DEF (ASA)

三角形全等的判定:角边角和角角边_课件

三角形全等的判定:角边角和角角边_课件
由三角形内角和定理可知,∠C =∠F. 这样一来,AAS→ASA △ABC ≌△DEF
结论
两角和其中一角对边对应相等的两个三角形全等 简写为“角角边”或“AAS”.
书写规范
如何书写三角形全等的证明过程呢?
在△ABC与△DEF 中
∠B =∠E ∠A =∠D
一定要按“角,角, 边”的顺序列举条件
AC =DF
已知:点E 是正方形ABCD 的边CD上一点,点F 是CB 的延长 线上一点,且EA⊥AF,求证:DE=BF.
提示:证明△ABF ≌△ADE.
已知△ABC 中,BE ⊥AD 于E,CF⊥AD 于F,且BE =CF, 那么BD与DC 相等吗?
提示:证明△BDE ≌△CDF.
补充题 如图,AB∥CD,AD∥BC,那么 AB =CD 吗?为什么 ?AD 与BC 呢?
2.如图,要测量池塘两岸相对的两点A,B 的距离,可以在 池塘外取AB 的垂线BF上的两点C,D,使BC=CD,再画BF 的 垂线DE,使E与A,C在一条直线上,这时测得DE 的长就是 AB 的长.为什么?
如图,小明、小强一起踢球,不小心把一块三角形的装饰玻 璃踢碎了,摔成了3 块,两人决定赔偿.你能告诉他们只带其 中哪一块去玻璃店,就可以买到一块完全一样的玻璃吗?
结论
两角及夹边对应相等的两个三角形全等 简写为“角边角”或“ASA”.
结论 一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了,如图,你能 制作一张与原来同样大小的新教具吗?能恢复原来三角形 的原貌吗?
这利用的是什么原理呢?
ASA可以判定三角形全等.
书写规范
如何书写三角形全等的证明过程呢?
在△ABC 与△DEF 中
八年级数学
精品 课件
第十二章 全等三角形:三角形全等的判定

全等三角形的判定边角边课件

全等三角形的判定边角边课件
作业分层布置
面向全体 , 因材施教
五、教学评价与反馈
(一)在整个练习过程中,学生最可能会出现以下错误: 1.在证明两个三角形全等之前未指明在哪两个三角形中. 2.对应顶点字母未放在对应位置.
针对这两种情况,教师在讲解例题和讲评习题时应加以强调.
(二)在教学过程中,随时注意信息反馈,从学生的语言、 表情、答题情况等,判断学生掌握知识的程度.采用不同的练 习方法(如口答、笔答、板演等),以增加反馈层面,使大 多数学生的学习情况都能及时地反馈给教师.
19.2.2全等三角形的判 定之 边角边(SAS)
一、教材分析 二、教学方法与手段 三、学法指导 四、教学过程 五、教学评价与反馈
一、教材分析
(一)教材的地位和作用
(二)教学目标
(1三.知)识教与学技重能点: ①证掌明掌握两握边三三角角角边形形判全全定等等方. 的法判的定内方容法,—会—运“用边边角角边边公判理定”方. 法
(四②)掌教握学两难边点一角画三角形的方法. ③(体1)会理证解明“两边线边段角相”等不,一两定个会角全相等等,转熟化练为运“用证“明边两个三
角角边形”全判等定”方来法解。决的数学方法. 2.过(和程2角)与相运方等用法. “:边角边公理”通过三角形全等证明线段 通过动手操作探索出三角形全等的判定方法:“边角边”, (通五过)“教边材角处边理”的应用,掌握转化的数学方法. 学3.判情生定感对三态此角度若形与产全价生等值兴的观趣“:,边后角面边的公学理习”会是容第易一一个些判,定所公以理把。 培它养定学为生重的点动内手容实,践以能此力来和引严起密学的生逻兴辑趣思,维打能下力坚,实进的一基步激 发础学。习兴趣,培养良好的思维品质.
∠ CBD ,△ ABD 和△ CBD 全等吗?

全等三角形的判定-角边角-角角边(最新)知识讲解

全等三角形的判定-角边角-角角边(最新)知识讲解

(1)AC∥BD,CE=DF, AC=BD
(SAS)
( 2) AC=BD, AC∥BD ∠A=∠B (ASA)
( 3) CE=DF,∠AEC=∠BFD ∠C=∠D (ASA)
( 4)∠ C= ∠D,AC=BD ∠A=∠B A
(ASA)
C
F E
D
B
思考:如果两个三角形有两个角 和其中一个角的对边分别对应相 等,那么这两个三角形是否全等?
用符号语言表达为: AB=DE B C
在△ABC与△DEF中 ∠B=∠E
D
BC=EF
E
F
∴△ABC≌△DEF(SAS)
已知:如图,要得到△ABC≌ △ABD,已经隐含 有条件是__A_B_=__A_B__根据所给的判定方法,在下 列横线上写出还需要的两个条件
(1)_A__C_=_A_D__∠__C_A_B_=__∠_D_A_B (SAS)
如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对 应相等,这两个三角形一定全等吗?
这时应该有两种不同的情况: (1)两个角及两角的夹边; (2)两个角及其中一角的对边
图24.2.8
探究1 先任意画出一个△ABC,
再画一个△A'B'C',使A'B'=AB, ∠A'=∠A, ∠B' =∠B 。把画好
的△A'B'C'剪下,放到△ABC上, 它们全等吗?
( 2 ) __B_C_=_B__D__A__C_=_A_D____
(SSS)
C
A
B
D
如图,小明不慎将一块 三角形模具打碎为两 块,他是否可以只带其 中的一块碎片到商店 去,就能配一块与原来 一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合 适? 你能说明其中理由吗?

人教版八年级数学上册第十二章 1 第3课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等

人教版八年级数学上册第十二章 1 第3课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等
②∵∠DAE=∠BAC,∠E=∠C,DE=BC,∴△ADE≌△ABC(AAS).
以下判断正确的(包括判定三角形全等的依据)是 (
).
A.①对,②错 B.①错,②对 C.①②都对
D.①②都错
关闭
B
答案
1
2
1.利用“角边角”判定两个三角形全等
【例1】 如图,已知点E,C在线段BF上,BE=CF,AB∥DE,
“AC=DF ”,这个条件无法得到;如果能推导出任意的另一组角对应
相等,那么可判定两个三角形全等,题目的已知条件还有“AB∥DE ”,
所以利用平行线的性质,可以得到“∠B=∠DEF ”,这时,两个三角形
存在“两角及夹边”的对应关系,证明全等的条件就已经具备了.
1
2
证明:∵BE=CF(已知),
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
∴△ABC≌△EDB(AAS).
∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF.
∠ = ∠(已证),
在△ABC 和△DEF 中, = (已证),
∠ = ∠(已知),
∴△ABC≌△DEF(ASA).
点拨:分析问题时,可把已知条件用相同的符号在图形中标出来,如
第一组相等的线段,在它们上面画上一竖,第二组相等的线段,在它们
上面画上两竖;或者用颜色笔,相等条件用同一颜色在图中标出来,如
分析:首先根据平行线的性质可得∠ACB+∠CBD=180°,然后可得
∠CBD=90°,最后利用AAS判定△ABC≌△EDB即可.
1
2
证明:∵AC∥BD,
∴∠ACB+∠CBD=180°.
∵∠C=90°,∴∠CBD=90°.
∠ = ∠,
在△ACB 和△EBD 中, ∠ = ∠,

三角形全等的判定“角边角与角角边”(6种题型)-2023年新八年级数学题型(人教版)(解析版)

三角形全等的判定“角边角与角角边”(6种题型)-2023年新八年级数学题型(人教版)(解析版)

三角形全等的判定“角边角与角角边”(6种题型)【知识梳理】一、全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA ”).要点诠释:如图,如果∠A =∠'A ,AB =''A B ,∠B =∠'B ,则△ABC ≌△'''A B C .二、全等三角形判定——“角角边” 1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS ”)要点诠释:由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等,也就是说,用角边角条件可以证明角角边条件,后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图,在△ABC 和△ADE 中,如果DE BC ,那么∠ADE =∠B ,∠AED =∠C ,又∠A =∠A ,但△ABC 和△ADE 不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【考点剖析】题型一:用“角边角”直接证明三角形全等例1.如图,∠A =∠B ,AE =BE ,点D 在 AC 边上,∠1=∠2,AE 和BD 相交于点O .求证:△AEC ≌△BED ;【详解】∵AE 和BD 相交于点O ,∴∠AOD=∠BOE .在△AOD 和△BOE 中,∠A=∠B ,∴∠BEO=∠2.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠BEO ,∴∠AEC=∠BED .在△AEC 和△BED 中,A B AE BEAEC BED ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩===∴△AEC ≌△BED (ASA ).【变式1】如图,AB =AD ,∠1,DA 平分∠BDE .求证:△ABC ≌△ADE .【解答】证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC =∠2+∠DAC ,∴∠BAC =∠DAE ,∵AB =AD ,∴∠ADB =∠B ,∵DA 平分∠BDE .∴∠ADE =∠ADB ,∴∠ADE =∠B ,在△ABC和△ADE中,{∠ADE=∠B AB=AD∠BAC=∠DAE,∴△ABC≌△ADE(ASA).【变式2】如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,要证BC=CD,证明中判定两个三角形全等的依据是()A.角角角B.角边角C.边角边D.角角边【分析】已知两角对应相等,且有一公共边,利用全等三角形的判定定理进行推理即可.【解答】解:在△ABC与△ADC中,{∠1=∠2 AC=AC∠3=∠4,则△ABC≌△ADC(ASA).∴BC=CD.故选:B.【变式3】(2022•长安区一模)已知:点B、E、C、F在一条直线上,AB∥DE,AC∥DF,BE=CF.求证:△ABC≌△DEF.【解答】证明:∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF,∵AC∥DF,∴∠ACB=∠F,∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC =EF ,在△ABC 和△DEF 中,{∠B =∠DEFBC =EF ∠ACB =∠F,∴△ABC ≌△DEF (ASA ). 题型二:用“角边角”间接证明三角形全等例2.如图,已知AB ∥CD ,AB =CD ,∠A =∠D .求证:AF =DE .【详解】证明:∵AB //CD ,∴∠B =∠C ,在△ABF 和△DCE 中,A D AB CD BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△ABF ≌△DCE (ASA ),∴AF =DE .【变式1】已知:如图,E ,F 在AC 上,AD ∥CB 且AD =CB ,∠D =∠B .求证:AE =CF .【答案与解析】证明:∵AD ∥CB∴∠A =∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE (ASA )∴AF =CE ,AF +EF =CE +EF故得:AE =CF【变式2】如图,AB =AC ,AB ⊥AC ,AD ⊥AE ,且∠ABD =∠ACE .求证:BD =CE .【详解】∵AB ⊥AC ,AD ⊥AE ,∴∠BAE +∠CAE =90°,∠BAE +∠BAD =90°,∴∠CAE =∠BAD .又AB =AC ,∠ABD =∠ACE ,∴△ABD ≌△ACE (ASA ).∴BD =CE .【变式3】如图,要测量河两岸相对两点A 、B 间的距离,在河岸BM 上截取BC =CD ,作ED ⊥BD 交AC 的延长线于点E ,垂足为点D .(DE ≠CD )(1)线段 的长度就是A 、B 两点间的距离(2)请说明(1)成立的理由.【解答】解:(1)线段DE 的长度就是A 、B 两点间的距离;故答案为:DE ;(2)∵AB ⊥BC ,DE ⊥BD∴∠ABC =∠EDC =90°又∵∠ACB =∠DCE ,BC =CD∴△ABC ≌△CDE (ASA )∴AB =DE .【变式4】如图,G 是线段AB 上一点,AC 和DG 相交于点E.请先作出∠ABC 的平分线BF ,交AC 于点F ;然后证明:当AD∥BC,AD =BC ,∠ABC=2∠ADG 时,DE =BF.【答案与解析】证明: ∵AD∥BC,∴∠DAC=∠C∵BF 平分∠ABC∴∠ABC=2∠CBF∵∠ABC=2∠ADG∴∠CBF=∠ADG在△DAE 与△BCF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF(ASA )∴DE=BF【变式5】已知:如图,在△MPN 中,H 是高MQ 和NR 的交点,且MQ =NQ .求证:HN =PM.【答案】证明:∵MQ 和NR 是△MPN 的高,∴∠MQN =∠MRN =90°,又∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°,∠3=∠4∴∠1=∠2在△MPQ 和△NHQ 中,12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ (ASA )∴PM =HN【变式6】如图,已知224m ABC S =△,AD 平分BAC ∠,且AD BD ⊥于点D ,则ADC S =△________2m .【答案】12【详解】解:如图,延长BD 交AC 于点E ,∵AD 平分BAC ∠,AD BD ⊥,∴BAD EAD ∠=∠,90ADB ADE ∠=∠=︒.∵AD AD =,∴()ADB ADE ASA ≌.∴BD DE =.∴ABD AED S S =△△,BCD ECD S S =. ∴12ABD BCD AED ECD ABC S S S S S =++=△△△△△.即12ADC ABC S S =.∵224m ABC S =△,∴212m ADC S =△.故答案为:12.【变式7】(2022秋•苏州期中)如图,△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E ,F 为直线AD 上的点,连接BE ,CF ,且BE ∥CF .(1)求证:△BDE ≌△CDF ;(2)若AE =13,AF =7,试求DE 的长.【解答】(1)证明:∵AD 是BC 边上的中线,∴BD =CD ,∵BE ∥CF ,∴∠DBE =∠DCF ,在△BDE 和△CDF 中,,∴△BDE ≌△CDF (ASA );(2)解:∵AE =13,AF =7,∴EF =AE ﹣AF =13﹣7=6,∵△BDE ≌△CDF ,∴DE =DF ,∵DE +DF =EF =6,∴DE =3.题型三:用“角角边”直接证明三角形全等例3.如图,在四边形ABCD中,E是对角线AC上一点,AD∥BC,∠ADC=∠ACD,∠CED+∠B=180°.求证:△ADE≌△CAB.【解答】证明:∵∠ADC=∠ACD,∴AD=AC,∵AD∥BC,∴∠DAE=∠ACB,∵∠CED+∠B=180°,∠CED+∠AED=180°,∴∠AED=∠B,在△ADE与△CAB中,{∠DAE=∠ACB ∠AED=∠BAD=AC,∴△ADE≌△CAB(AAS).【变式】(202210块高度都是2cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A和B 分别与木墙的顶端重合.(1)求证:△ADC≌△CEB;(2)求两堵木墙之间的距离.【解答】(1)证明:由题意得:AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BCE=∠DAC在△ADC 和△CEB 中,∴△ADC ≌△CEB (AAS ); (2)解:由题意得:AD =2×3=6(cm ),BE =7×2=14(cm ),∵△ADC ≌△CEB ,∴EC =AD =6cm ,DC =BE =14cm ,∴DE =DC +CE =20(cm ),答:两堵木墙之间的距离为20cm .题型四:用“角角边”间接证明三角形全等例4、已知:如图,AB ⊥AE ,AD ⊥AC ,∠E =∠B ,DE =CB .求证:AD =AC .【答案与解析】证明:∵AB ⊥AE ,AD ⊥AC ,∴∠CAD =∠BAE =90°∴∠CAD +∠DAB =∠BAE +∠DAB ,即∠BAC =∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD (AAS )∴AC =AD【变式】已知:如图,90ACB ∠=︒,AC BC =,CD 是经过点C 的一条直线,过点A 、B 分别作AE CD ⊥、 BF CD ⊥,垂足为E 、F ,求证:CE BF =.【答案与解析】证明:∵ CD AE ⊥,CD BF ⊥∴︒=∠=∠90BFC AEC∴︒=∠+∠90B BCF∵,90︒=∠ACB∴︒=∠+∠90ACF BCF∴B ACF ∠=∠在BCF ∆和CAE ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AC B ACE BFC AEC∴BCF ∆≌CAE ∆(AAS )∴BF CE =【总结升华】要证BF CE =,只需证含有这两个线段的BCF ∆≌CAE ∆.同角的余角相等是找角等的好方法.题型五:“边角边”与“角角边”综合应用例5.如图,120CAB ABD ∠+∠=AD 、BC 分别平分CAB ∠、ABD ∠,AD 与BC 交于点O .(1)求AOB ∠的度数;(2)说明AB AC BD =+的理由.【答案】(1)120°;(2)见解析【详解】解:(1)∵AD ,BC 分别平分∠CAB 和∠ABD ,∠CAB +∠ABD =120°,∴∠OAB +∠OBA =60°,∴∠AOB =180°-60°=120°;(2)在AB 上截取AE =AC ,∵∠CAO=∠EAO,AO=AO,∴△AOC≌△AOE(SAS),∴∠C=∠AEO,∵∠C+∠D=(180°-∠CAB-∠ABC)+(180°-∠ABD-∠BAD)=180°,∴∠AEO+∠D=180°,∵∠AEO+∠BEO=180°,∴∠BEO=∠D,又∠EBO=∠DBO,BO=BO,∴△OBE≌△OBD(AAS),∴BD=BE,又AC=AE,∴AC+BD=AE+BE=A B.【变式】如图(1)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.(1)求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE.(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时,DE、AD、BE又怎样的关系?并加以证明.【答案】(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)DE=AD-BE,证明见解析.【详解】解:(1)①证明:∵AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠BEC=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∠DAC+∠ACD=90°,∴∠DAC=∠BCE,在△ADC 和△CEB 中,CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△CEB (AAS ).②证明:由(1)知:△ADC ≌△CEB ,∴AD =CE ,CD =BE ,∵DC +CE =DE ,∴AD +BE =DE .(2)成立.证明:∵BE ⊥EC ,AD ⊥CE ,∴∠ADC =∠BEC =90°,∴∠EBC +∠ECB =90°,∵∠ACB =90°,∴∠ECB +∠ACE =90°,∴∠ACD =∠EBC ,在△ADC 和△CEB 中,ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADC ≌△CEB (AAS ),∴AD =CE ,CD =BE ,∴DE =EC -CD =AD -BE .题型六:尺规作图——利用角边角或角角边做三角形例6、已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形已知:∠α,∠β和线段c ,如图4-4-21所示.图4-4-21求作:△ABC ,使∠A =∠α,∠B =∠β,AB =c .作法:(1)作∠DAF =∠α;图4-4-224-4-23(2)在射线AF 上截取线段AB =c ;图4-4-24(3)以B 为顶点,以BA 为一边,在AB 的同侧作∠ABE =∠β,BE 交AD 于点C .△ABC 就是所求作的三角形.[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的,依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 例7.已知:角α,β和线段a ,如图4-4-29所示,求作:△ABC ,使∠A =∠α,∠B =∠β,BC =a .图4-4-29[解析] 本题所给条件是两角及其中一角的对边,可利用三角形内角和定理求出∠C ,再利用两角夹边作图. 解: 如图4-4-30所示:(1)作∠γ=180°-∠α-∠β;(2)作线段BC =a ;(3)分别以B ,C 为顶点,以BC 为一边作∠CBM =∠β,∠BCN =∠γ;(4)射线BM ,CN 交于点A .△ABC 就是所求作的三角形.图4-4-30【变式】(2022春·陕西·七年级陕西师大附中校考期中)尺规作图已知:α∠,∠β和线段a ,求作ABC ,使A α∠=∠,2B β∠=∠,AB a =.要求:不写作法,保留作图痕迹,标明字母.【详解】解:如图,△ABC即为所求..【过关检测】一、单选题A.带①去B.带②去C.带③去D.①②③都带去【答案】A【分析】根据全等三角形的判定可进行求解【详解】解:第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边,则可以根据ASA来配一块一样的玻璃.故选:A.【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题,要求学生将所学的知识运用于实际生活中,要认真观察图形,根据已知选择方法.≌过程中,先作2.(2023春·广东佛山·七年级校考期中)如图,在用尺规作图得到DBC ABCDBC ABC ∠=∠,再作DCB ACB ∠=∠,从而得到DBC ABC ≌,其中运用的三角形全等的判定方法是( )A .SASB .ASAC .AASD .SSS【答案】B 【分析】根据题意分析可得DBC ABC ∠=∠,DCB ACB ∠=∠,再加上公共边BC BC =,根据AAS ,即可判断DBC ABC ≌.【详解】解:∵得DBC ABC ∠=∠, BC BC =,DCB ACB ∠=∠,∴DBC ABC≌()ASA , 故选:B .【点睛】本题考查了作一个角等于已知角,全等三角形的判定,熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.3.(2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末)如图,OC 平分AOB ∠,点P 是射线OC 上一点,PM OB ⊥于点M ,点N 是射线OA 上的一个动点,连接PN ,若6PM =,则PN 的长度不可能是( )【答案】D 【分析】如图所示,过点P 作PH OA ⊥于H ,证明POH POM △≌△得到6PH PM ==,由垂线段最短可知PN PH ≥,由此即可得到答案.【详解】解:如图所示,过点P 作PH OA ⊥于H ,∵PM OB ⊥,∴90PHO PMO ==︒∠∠,∵OC 平分AOB ∠,∴POH POM ∠=∠,又∵OP OP =,∴()AAS POH POM △≌△,∴6PH PM ==,由垂线段最短可知PN PH ≥,∵(264036=>,∴6,∴四个选项中,只有D 选项符合题意,故选:D .【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,垂线段最短,实数比较大小,正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. 4.(2023春·陕西咸阳·七年级统考期末)如图,AD BC ∥,ABC ∠的平分线BP 与BAD ∠的平分线AP 相交于点P ,作PE AB ⊥于点E ,若4PE =,则点P 到AD 与BC 的距离之和为( )A .4B .6C .8D .10【答案】C【分析】如图所示,过点P 作FG AD ⊥与F ,延长FP 交BC 于G ,先证明AD FG ⊥,由角平分线的定义得到EBP GBP =∠∠,进而证明EBP GBP △≌△得到4PG PE ==,同理可得4PF PE ==,则8FG PF PG =+=,由此即可得到答案.【详解】解:如图所示,过点P 作FG AD ⊥与F ,延长FP 交BC 于G ,∵AD BC ∥,∴AD FG ⊥,∵PE AB ⊥,∴90PFA PEA PEB PGB ====︒∠∠∠∠,∵BP 平分ABC ∠,∴EBP GBP =∠∠,又∵BP BP =,∴()AAS EBP GBP △≌△,∴4PG PE ==,同理可得4PF PE ==,∴8FG PF PG =+=,∴点P 到AD 与BC 的距离之和为8,故选C .【点睛】本题主要考查了平行线的性质,全等三角形的性质与判定,角平分线的定义,平行线间的距离等等,正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. 5.(2023春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期末)如图,90C ∠=︒,点M 是BC 的中点,DM 平分ADC ∠,且8CB =,则点M 到线段AD 的最小距离为( )A .2B .3C .4D .5【答案】C 【分析】如图所示,过点M 作ME AD ⊥于E ,证明MDE MDC △≌△,得到ME MC =,再根据线段中点的定义得到142ME MC BC ===,根据垂线段最短可知点M 到线段AD 的最小距离为4.【详解】解:如图所示,过点M 作ME AD ⊥于E ,∴90MED C ==︒∠∠,∵DM 平分ADC ∠,∴MDE MDC =∠∠,又∵MD MD =,∴()AAS MDE MDC △≌△,∴ME MC =,∵点M 是BC 的中点,8CB =,∴142ME MC BC ===,∴点M 到线段AD 的最小距离为4,故选:C .【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,角平分线的定义,垂线段最短等等,正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.6.(2023·全国·八年级假期作业)如图,点E 在ABC 外部,点D 在ABC 的BC 边上,DE 交AC 于F ,若123∠=∠=∠,AE AC =,则( ).A .ABD AFE △≌△B .AFE ADC ≌△△ C .AFE DFC ≌△△D .ABC ADE △≌△ 【答案】D 【分析】首先根据题意得到BAC DAE ∠=∠,E C ∠=∠,然后根据ASA 证明ABC ADE △≌△.【详解】解:∵12∠=∠,∴12DAC DAC ∠+∠=∠+∠,∴BAC DAE ∠=∠,∵23∠∠=,AFE DFC ∠=∠,∴E C ∠=∠,∴在ABC 和ADE V 中,BAC DAE AC AEC E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴()ASA ABC ADE ≌△△, 故选:D .【点睛】此题主要考查全等三角形的判定,解题的关键是熟知全等三角形的判定定理.7.(2023·浙江·八年级假期作业)小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有1、2、3、4的四块)你认为将其中的哪一块带去,就能配一块与原来一样大小的三角形?应该带( )A .带①去B .带②去C .带③去D .①②③都带去【答案】B 【分析】本题应先假定选择哪块,再对应三角形全等判定的条件进行验证.【详解】解:①、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素,所以不能带它们去, 只有第②块有完整的两角及夹边,符合ASA ,满足题目要求的条件,是符合题意的.故选:B .【点睛】本题主要考查三角形全等的判定,看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定.判定两个三角形全等的一般方法有:SSS 、SAS 、ASA 、AAS . 8.(2023春·浙江宁波·七年级校考期末)如图,ABC 的两条高AD 和BF 相交于点E ,8AD BD ==,10AC =,2AE =,则BF 的长为( )A .11.2B .11.5C .12.5D .13【答案】A 【分析】先证明BDE ADC △≌△,可得 6DE DC ==,14BC =,而10AC =,再由等面积法可得答案.【详解】解:∵ABC 的两条高AD 和BF 相交于点E ,∴90ADB ADC BFA ∠=∠=︒=∠,∵AEF BED ∠=∠,∴DBE DAC ∠=∠,∵8AD BD ==,2AE =,∴BDE ADC △≌△,6DE =,∴6DE DC ==,∴14BC =,而10AC =,由等面积法可得:111481022BF ⨯⨯=⨯⨯,解得:11.2BF =;故选A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用,全等三角形的判定与性质,等面积法的应用,证明BDE ADC △≌△是解本题的关键. 9.(2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习)如图,抗日战争期间,为了炸毁敌人的碉堡,需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离.我军战士想到一个办法,他先面向碉堡的方向站好,然后调整帽子,使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B ;然后转过身保持刚才的姿势,这时视线落在了我军阵地的点E 上;最后,他用步测的办法量出自己与E 点的距离,从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离,这里判定ABC DEF ≌△△的理由可以是( )A . SSSB . SASC . ASAD . AAA【答案】C 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论.【详解】解:∵士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B ,然后转过身保持刚才的姿势,这时视线落在了我军阵地的点E 上,∴A D ∠=∠,∵AC BC ⊥,DF EF ^,∴90ACB DFE ∠=∠=︒,∵AC DF =,∴判定ABC DEF ≌△△的理由是ASA . 故选C .【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用,分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关键.10.(2023春·四川达州·八年级统考期末)如图,已知BP 是ABC ∠的平分线,AP BP ⊥,若212cm BPC S =△,则ABC 的面积( )A .224cmB .230cmC .236cmD .不能确定【答案】A【分析】延长AP 交BC 于点C ,根据题意,易证()ASA ABP DBP ≌,因为APC △和DPC △同高等底,所以面积相等,根据等量代换便可得出2224cm ABC BPC S S ==.【详解】如图所示,延长AP ,交BC 于点D ,,∵AP BP ⊥,∴90APB DPB ∠=∠=︒,∵BP 是ABC ∠的角平分线,∴ABP DBP ∠=∠,在ABP 和DBP 中,ABP DBP BP BP APB DPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴()ASA ABP DBP ≌,∴AP DP =,∴ABP DBP S S =△△,∵APC △和DPC △同底等高,∴APC DPC S S =△,∴PBC DPB DPC ABP APC S S S S S =+=+△△△△,∴2224ABC BPC S S cm ==,故选:C .【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定,解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定.二、填空题 11.(2023·浙江·八年级假期作业)如图,D 在AB 上,E 在AC 上,且B C ∠=∠,补充一个条件______后,可用“AAS ”判断ABE ACD ≌.【答案】BE CD =或AE AD =【分析】由于两个三角形已经具备B C ∠=∠,A A ∠=∠,故要找边的条件,只要不是这两对角的夹边即可.【详解】解:∵B C ∠=∠,A A ∠=∠,∴若用“AAS ”判断ABE ACD ≌,可补充的条件是BE CD =或AE AD =;故答案为:BE CD =或AE AD =.【点睛】本题考查了全等三角形的判定,熟知掌握判定三角形全等的条件是解题的关键.七年级期末)如图,在ABC 中, 【答案】ASA【分析】由AD BC ⊥、AD 平分BAC ∠、AD AD =可得出两个三角形对应的两个角及其夹边相等,于是可以利用ASA 判定这两个三角形全等.【详解】∵AD BC ⊥,∴90BDA CDA ︒=∠=∠.∵AD 平分BAC ∠,∴BAD ∠CAD =∠.在ABD △与ACD 中,BDA CDA AD AD BAD CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴()ASA ABD ACD ≌.故答案为:ASA【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件,解题的关键是找到两个三角形对应的边角相等. 13.(2023春·陕西榆林·七年级统考期末)如图,AB CD ⊥,且AB CD =,连接AD ,CE AD ⊥于点E ,BF AD ⊥于点F .若8CE =,5BF =,4EF =,则AD 的长为________.【答案】9【分析】只要证明(AAS)ABF CDE ≌,可得8AF CE ==,5BF DE ==,推出AD AF DF =+即可得出答案.【详解】解:∵AB CD ⊥,CE AD ⊥,BF AD ⊥,∴90AFB CED ∠=∠=︒,90A D ∠+∠=︒,90C D ∠=∠=︒,∴A C ∠=∠,∵AB CD =,∴(AAS)ABF CDE ≌,∴8AF CE ==,5BF DE ==,∵4EF =,∴()8549AD AF DF =+=+−=,故答案为:9.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型. 14.(2023春·山东枣庄·七年级统考期末)如图,A ,B 两个建筑物分别位于河的两岸,为了测量它们之间的距离,可以沿河岸作射线BF ,且使BF AB ⊥,在BF 上截取BC CD =,过D 点作DE BF ⊥,使E C A ,,在一条直线上,测得16DE =米,则A ,B 之间的距离为______米.【答案】16【分析】根据已知条件可得ABC EDC △≌△,从而得到DE AB =,从而得解.【详解】∵BF AB DE BF ⊥⊥,,∴90B EDC ∠=∠=°,∵90B EDC ∠=∠=,BC CD BCA DCE =∠=∠,,∴()ASA ABC EDC ≌△△,∴DE AB =.又∵16DE =米,∴16AB =米,即A B ,之间的距离为16米.【点睛】此题主要考查全等三角形的应用,解题的关键是熟知全等三角形的判定方法.15.(2023·广东茂名·统考一模)如图,点A 、D 、C 、F 在同一直线上,AB DE ∥,AD CF =,添加一个条件,使ABC DEF ≌△△,这个条件可以是______.(只需写一种情况)【答案】BC EF ∥或B E ∠=∠或BCA EFD ∠=∠或AB DE =(答案不唯一)【分析】先证明A EDF ∠=∠及AC DF =,然后利用全等三角形的判定定理分析即可得解.【详解】解∶BC EF ∥或B E ∠=∠或BCA EFD ∠=∠或AB DE =,理由是∶∵AB DE ∥,∴A EDF ∠=∠,∵AD CF =,∴AD CD CF CD +=+即AC DF =,当BC EF ∥时,有BCA EFD ∠=∠,则() ASA ABC DEF ≌, 当BCA EFD ∠=∠时,则() ASA ABC DEF ≌, 当B E ∠=∠时,则() AAS ABC DEF ≌, 当AB DE =时,则() SAS ABC DEF ≌,故答案为∶BC EF ∥或B E ∠=∠或BCA EFD ∠=∠或AB DE =.【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用,掌握全等三角形的判定定理有SAS , ASA , AAS , SSS 是解题的关键. 16.(2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末)如图,有一种简易的测距工具,为了测量地面上的点M 与点O 的距离(两点之间有障碍无法直接测量),在点O 处立竖杆PO ,并将顶端的活动杆PQ 对准点M ,固定活动杆与竖杆的角度后,转动工具至空旷处,标记活动杆的延长线与地面的交点N ,测量点N 与点O 的距离,该距离即为点M 与点O 的距离.此种工具用到了全等三角形的判定,其判定理由是______.【答案】两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析,即可得到答案.【详解】解:在POM 和PON △中,90OP OPPOM PON ⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩, ()ASA POM PON ∴≌,∴判定理由是两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等,故答案为:两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等.【点睛】本题考查了全等三角形的判定,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.【答案】 = 180BCA α∠+∠=︒【分析】①求出90BEC AFC ∠=∠=︒,CBE ACF ∠=∠,根据AAS 证BCE CAF ≌△△,推出BE CF =,CE AF =即可得出结果;②求出CBE ACF ∠=∠,由AAS 证BCE CAF ≌△△,推出BE CF =,CE AF =即可得出结果.【详解】解:①90BCA ∠=︒,90α∠=︒,90BCE CBE ∴∠+∠=︒,90BCE ACF ∠+∠=︒,CBE ACF ∴∠=∠,在BCE 和CAF V 中,BEC CFACB CA ⎪∠=∠⎨⎪=⎩,(AAS)BCE CAF ∴△≌△,BE CF ∴=,CE AF =,||||EF CF CE BE AF ∴=−=−,②α∠与BCA ∠应满足180BCA α∠+∠=︒,在BCE 中,180180CBE BCE BEC α∠+∠=︒−∠=︒−∠,180BCA α∠=︒−∠,BCA CBE BCE ∴∠=∠+∠,ACF BCE BCA ∠+∠=∠,CBE ACF ∴∠=∠,在BCE 和CAF V 中,CBE ACF BEC CFACB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,(AAS)BCE CAF ∴△≌△, BE CF ∴=,CE AF =,||||EF CF CE BE AF ∴=−=−,故答案为:=,180BCA α∠+∠=︒.【点睛】本题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算、三角形的外角性质等知识;解题的关键是判断出BCE CAF ≌△△. ABC 的角平分线,过点【答案】4【分析】延长CE 与BA 的延长线相交于点F ,利用ASA 证明ABD △和ACF △全等,进而利用全等三角形的性质解答即可.【详解】解:如图,延长CE 与BA 的延长线相交于点F ,90EBF F ∠+∠=︒,90ACF F ∠+∠=︒,EBF ACF ∴∠=∠,在ABD △和ACF △中,EBF ACF AB ACBAC CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,()ASA ABD ACF ∴≌, BD CF ∴=,BD Q 是ABC ∠的平分线,EBC EBF ∴∠=∠.在BCE 和BFE △中,BE BECEB FEB ⎪=⎨⎪∠=∠⎩,()ASA BCE BFE ∴≌, CE EF ∴=,2CF CE ∴=,24BD CF CE ∴===.故答案为:4.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定,理解题意、灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键.三、解答题【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)首先根据垂直判定AB EF ∥,得到ABC F ∠=∠,再利用AAS 证明即可;(2)根据全等三角形的性质可得9AB CF ==,4BC EF ==,再利用线段的和差计算即可.【详解】(1)解:∵CD AB ⊥,EF CE ⊥,∴AB EF ∥,∴ABC F ∠=∠,在ABC 和CFE 中,ACB EAC CE ⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴()AAS ABC CFE △△≌; (2)∵ABC CFE △△≌, ∴9AB CF ==,4BC EF ==,∴5BF CF BC =−=.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,平行线的判定和性质,解题的关键是找准条件,证明三角形全等. 20.(2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末)如图,A ,C ,D 三点共线,ABC 和CDE 落在AD 的同侧,AB CE ∥,BC DE =,B D ∠=∠.求证:AB CE AD +=.【答案】见解析【分析】证明()AAS ABC CDE ≌,得出AB CD =,BC CE =,即可证明结论.【详解】解:∵AB CE ∥,∴A DCE ∠=∠,∵B D ∠=∠,BC DE =,∴()AAS ABC CDE ≌,∴AB CD =,BC CE =,∴AB CE CD AC AD +=+=.【点睛】本题主要考查了平行线的性质,三角形全等的判定和性质,解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法证明ABC CDE △≌△.21.(2022秋·八年级课时练习)已知αβ∠∠,和线段a (下图),用直尺和圆规作ABC ,使A B AB a αβ∠=∠∠=∠=,,.【答案】见解析 【分析】先作出线段AB a =,再根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作DAB EBA αβ∠=∠∠=∠,即可得到答案.【详解】解:作法如下图.1.作一条线段AB a =.2.分别以A ,B 为顶点,在AB 的同侧作DAB EBA αβ∠=∠∠=∠,,DA 与EB 相交于点C .ABC 就是所求作的三角形.【点睛】本题主要考查了三角形的尺规作图,熟知相关作图方法是解题的关键.22.(2023春·全国·七年级专题练习)如图,已知ABC ,请根据“ASA”作出DEF ,使DEF ABC ≌.【答案】见解析【分析】先作MEN B ∠=∠,再在EM 上截取ED BA =,在EN 上截取EF BC =,从而得到DEF ABC ≌.【详解】解:如图,DEF 为所作.【点睛】本题考查了作图-复杂作图:解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了全等三角形的判定. 23.(2023春·山西太原·七年级校考阶段练习)如图,点B 、F 、C 、E 在同一条直线上,已知FB CE =,AB DE ∥,ACB DFE ∠=∠,试说明:AC DF =.【答案】见解析【分析】利用ASA 定理证明三角形全等,然后利用全等三角形的性质分析求解.【详解】解:∵FB CE =,∴FB FC CE FC +=+,即BC EF =,∵AB DE ∥,∴B E ∠=∠,在ABC 和DEF 中B E BC EF ACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABC DEF ≌△△, ∴AC DF =.【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定,关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法:SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL .三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.24.(2020秋·广东广州·八年级海珠外国语实验中学校考阶段练习)如图,已知:EC AC =,BCE DCA ∠=∠,A E ∠=∠.求证:AB ED =.【答案】见解析【分析】先求出ACB ECD ∠=∠,再利用“角边角”证明ABC 和EDC △全等,然后根据全等三角形对应边相等证明即可.【详解】证明:∵BCE DCA ∠=∠,∴BCE ACE DCA ACE ∠+∠=∠+∠,即ACB ECD ∠=∠.在ABC 和EDC △中,∵ACB ECD AC ECA E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴()ASA ABC EDC ≌△△.∴AB ED =.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.25.(2023春·福建宁德·七年级校考阶段练习)如图,点B ,F ,C ,E 在直线l 上(F ,C 之间不能直接测量),点A ,D 在l 异侧,测得AB DE =,AB DE ∥,A D ∠=∠.(1)求证:ABC DEF ≌△△; (2)若10BE =,3BF =,求FC 的长度.【答案】(1)见解析(2)4【分析】(1)由AB DE ∥,得ABC DEF ∠=∠,而AB DE =,A D ∠=∠,即可根据全等三角形的判定定理“ASA ”证明ABC DEF ≌△△; (2)根据全等三角形的性质得BC EF =,则3BF CE ==,即可求得FC 的长度.【详解】(1)解:证明:∵AB DE ∥,∴ABC DEF ∠=∠,在ABC 和DEF 中,A D AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴()ASA ABC DEF ≌△△; (2)解:由(1)知()ASA ABC DEF ≌△△,∴BC EF =, ∴BF FC CE FC +=+,∴3BF CE ==,∵10BE =,∴10334FC BE BF CE =−−=−−=,∴FC 的长度是4.【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识,根据平行线的性质证明ABC DEF ∠=∠是解题的关键. 26.(2023·浙江·八年级假期作业)如图,ABC 中,BD CD =,连接BE ,CF ,且BE CF ∥.(1)求证:BDE CDF ≌;(2)若15AE =,8AF =,试求DE 的长.【答案】(1)证明见解析(2)72【分析】(1)根据平行线的性质可得BED CFD Ð=Ð,根据全等三角形的判定即可证明;(2)根据全等三角形的性质可得DE DF =,即可求得.【详解】(1)证明:∵BE CF ∥,∴BED CFD Ð=Ð,∵BDE CDF ∠=∠,BD CD =,∴()AAS BDE CDF ≌;(2)由(1)结论可得DE DF =,∵1587EF AE AF =−=−=,∴72DE =.【点睛】全等三角形的判定和性质,熟练掌握平行线的性质,全等三角形的判定和性质是解题的关键. 27.(2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习)将两个三角形纸板ABC 和DBE 按如图所示的方式摆放,连接DC .已知DBA CBE ∠=∠,BDE BAC ∠=∠,AC DE DC ==.(1)试说明ABC DBE ≌△△.(2)若72ACD ∠=︒,求BED ∠的度数.【答案】(1)见解析(2)36BED ∠=︒【分析】(1)利用AAS 证明三角形全等即可;(2)全等三角形的性质,得到BED BCA ∠=∠,证明()SSS DBC ABC ≌,得到1362BCD BCA ACD ∠=∠=∠=︒,即可得解.【详解】(1)解:因为DBA CBE ∠=∠,所以DBA ABE CBE ABE ∠+∠=∠+∠,即DBE ABC ∠=∠.在ABC 和DBE 中,ABC DBE BAC BDEAC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, 所以()AAS ABC DBE ≌. (2)因为ABC DBE ≌△△, 所以BD BA =,BCA BED ∠=∠.在DBC △和ABC 中,DC AC CB CBBD BA =⎧⎪=⎨⎪=⎩, 所以()SSS DBC ABC ≌, 所以1362BCD BCA ACD ∠=∠=∠=︒,所以36BED BCA ∠=∠=︒.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质.解题的关键是证明三角形全等. 28.(2023春·河南驻马店·七年级统考期末)如图,线段AD 是ABC 的中线,分别过点B 、C 作AD 所在直线的垂线,垂足分别为E 、F .(1)请问BDE 与CDF 全等吗?说明理由;(2)若ACF △的面积为10,CDF 的面积为6,求ABE 的面积.【答案】(1)BDE CDF ≌△△,见解析 (2)22【分析】(1)利用AAS 证明三角形全等即可.(2)根据中线性质,得到,ABD ACD ACF CDF CDF ==+=△△△△△BDE △S S S S S S ,结合ABEABD BDE S S S =+△△△计算即可. 【详解】(1)BDE CDF ≌△△,理由如下: ∵AD 是ABC 的中线,∴BD CD =,∵BE AE ⊥,CF AE ⊥,∴90BED CFD ∠=∠=︒,在BDE 和CDF 中,BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS BDE CDF ≌.(2)∵10ACF S =△,6CDF S =△,BDE CDF ≌,∴10616ACD ACF CDF S S S =+=+=△△△,6BDE CDF S S ==,∵BD CD =∴ABD △和ACD 是等底同高的三角形∴16ABD ACD S S ==△△∴16622ABE ABD BDE S S S =+=+=△△△.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质,中线的性质,三角形面积的计算,熟练掌握三角形全等的判定和性质,中线的性质是解题的关键. 29.(2019·七年级单元测试)(1)求证:等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.(提示:添加辅助线证明)(2)如图所示,在三角形ABC 中,点D 是三角形内一点,连接DA 、DB 、DC ,若,=∠=∠AB AC ADB ADC ,求证:AD 平分BAC ∠.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【分析】(1)已知点P 是等边三角形ABC 内的任意一点,过点P 分别作三边的垂线,分别交三边于点D 、点E 、点F .求证PD PE PF ++为定长,即可完成证明;(2)(面积法)过点A 作AE BD ⊥交BD 延长线于点E ,再过点A 作AF CD ⊥交CD 延长线于点F.因为ADB ADC ∠=∠,所以ADE ADF ∠=∠,因此(AAS)ADF ADE ≅,得到AF AE =.进而AFC AEB ≅,得到ABD ACD ∠=∠,因此BAD CAD ∠=∠,即AD 平分BAC ∠.【详解】(1) 已知:等边如图三角形ABC ,P 为三角形ABC 内任意一点,PD ⊥AB, PF ⊥AC, PE ⊥BC, 求证:PD+PE+PF 为定值.证明:如图:过点A 作AG BC ⊥,垂足为点G ,分别连接AP 、BP 、CP .∵ABC ABP BCP CAP S S S S =++, ∴11112222BC AG BC PE AC PF AB PD =++又∵BC=AB=AC∴AG=PE+PF+PD,即PD PE PF AG ++=定长.∴等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.(2)过点A 作AE BD ⊥交BD 延长线于点E ,再过点A 作AF CD ⊥交CD 延长线于点F.∵ADB ADC ∠=∠,∴ADE ADF ∠=∠,又∵AD=AD∴(AAS)ADF ADE ≅,∴AF AE =∴AFC AEB ≅,∴ABD ACD ∠=∠,∴BAD CAD ∠=∠,即AD 平分BAC ∠.【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定,其中做出辅助线是解答本题的关键.。

“角边角”和“角角边”判定三角形全等 公开课一等奖课件

 “角边角”和“角角边”判定三角形全等  公开课一等奖课件

学生活动:自己动手操作,然后与同伴交流,发现规律. 教师活动:检查指导,帮助有困难的同学. 活动结果展示: 以小组为单位将所得三角形重叠在一起,发现完全重合, 这说明这些三角形全等. 提炼规律: 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.(可以简 写成“角边角”或“ASA”)
[师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形,随意画一个 △ABC,能不能作一个△A′B′C′,使∠A=∠A′,∠B= ∠B′,AB=A′B′呢?
? 想一想
今后我们应该怎样做?
公共场合,我们应该安静有序地排队等候。
课堂上我们应该静静的倾听,静静的思考
讨论问题的时候,我们要认真倾听 别人的意见,有序地发表自己的见解。
到室外或功能室上课前,迅速有序 列队,安静轻步走到上课地点,上下楼 梯靠右行。
让我们读一读
• 铃声响 速静心 进教室 坐端正 • 上下楼 靠右行 走廊里 步要轻 • 不追逐 不吵闹 休息好 讲文明 • 早操时 快静齐 课间时 也安静 • 管理班 守纪律 惜时间 勤学习 • 排路队 守秩序 不推挤 慢慢行 • 寻清静 现文明 好习惯 能养成
(4)射线A′D与B′E交于一点,记为C′. 即可得到△A′B′C′. 将△A′B′C′与△ABC重叠,发现两三角形全等. [师]
于是我们发现规律: 两角和它们的夹边分别相等的两三角形全等.(可以 简写成“角边角”或“ASA”) 这又是一个判定两个三角形全等的条件.
2.出示探究问题: 如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E, BC=EF,△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角条件证 明你的结论吗?
我们可以安静一点吗?(节选)
• 德国摄影记者在东京旅行,拍下一辑东京地铁挤拥的照 片。许多日本人默默承受挤拥,不论西装笔挺,脸孔压在车 厢门的玻璃上,鼻扁嘴凸,面容扭曲,就是一副死忍,绝不 吭声半句。这个照片系列,成为日本国民性格的代表作。 • 日本人乘搭公共交通工具,不论地铁还是飞机,其恬静 是一大景观。手机不会响,为他人着想,固不必说,车厢里 鲜有交谈,即使有,声音也自觉低下来,令西方记者称奇。 • 日本火车与瑞士和欧洲各国的火车类似,就是乘客自觉 恬静,读书看报,或者上网工作。这方面,难怪日本早身在 西方文明国家之列,公共交通,首重一个“公”字,国民无 公德,国家再强,GDP再高,没有人心中真正看得起你。

新人教版八年级数学上学期《三角形全等的判定---边角边》公开课课件

新人教版八年级数学上学期《三角形全等的判定---边角边》公开课课件

AE=DE,BE=CE.求证:△ABE≌△DCE.
证明:在△ABE和△DCE中,
AD
∵ AE=DE(已知)
∠AEB=∠DEC(对顶角相等) B BE=CE(已知)
∴3. △如A图BE4,≌△在D△CEA.BE(和S.△AD.BSE.中),A AB=DB,请你添加一个适当的条件,
E 图3 C ED
使得△ABE≌△DBE,添加的条件是
思考
已知两个三角形有两边和一角分别对应相等时,
应分为几种情A况进行讨论?请画示意图A说明.




A'
A'
B'
C'
边-角-边
B'
C'
边-边-角
做 如图,已知两条线段和一个角,试画一个三角形,
一 使这两条线段为其两边,这个角为这两边的夹角.
做 2.5cm
3cm
CM
步骤: 1. 画一条线段AB,使 它等于3cm;
三角形全等的判定
---边角边
温故知新
1. 如果两个三角形只有一组对应相等的 元素,那么它可以分为几种情况? 不一定全
一边、一角

2. 如果两个三角形只有两组对应相等的
元素,那么它可以分为几种情况? 不一定全
一边一角、两边、两角

3. 如果两个三角形有三组对应相等的元 素,那么它可以分为几种情况?
两边一角、两角一边、三角、三边 ?
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/3/172021/3/172021/3/173/17/2021 10:09:19 AM • 11、夫学须志也,才须学也,非学无以广才,非志无以成学。2021/3/172021/3/172021/3/17Mar-2117-Mar-21 • 12、越是无能的人,越喜欢挑剔别人的错儿。2021/3/172021/3/172021/3/17Wednesday, March 17, 2021 • 13、志不立,天下无可成之事。2021/3/172021/3/172021/3/172021/3/173/17/2021

全等三角形判定——角边角和角角边定理教案人教版(教案)

全等三角形判定——角边角和角角边定理教案人教版(教案)

《全等三角形的判断——角边角和角角边定理》授课设计授课目的 :知识技术 : 理解三角形全等的判判定理三, 四,并能灵便地运用三角形全等的判断三有条理的简单的推理,并能利用它解决实责问题, 提升解析问题 , 解决问题的能力.数学思虑 : 懂得全等三角形的判断三, 四是确定两个三角形全等的又一个思虑方法.解决问题 : 经历研究三角形全等判断方法的过程,领悟利用操作、归纳获得数学结论的过程感神态度 : 体验数学模型与本质生活中的问题之间的联系.授课重点 : 三角形全等的判判定理三, 四.授课难点 : 利用三角形全等的判判定理三, 四解决问题 .授课内容 : 课本第至页 .授课过程设计:活动一 . 提出问题 , 引入新课 ., 四,进行.类比着“边边边公义”和“边角边公义”即“三元素定三角形”,提出:若是两个三角形两边一个角分别对应相等,这两个三角形能不能够全等?活动二 . 着手研究 , 得出结论 .. 研究 . 学生活动 : 依照下面的步骤画三角形,使它的两个内角分别为°和°,并且这两个角的夹边的长为 2.5cm.画好后小组交流,比较画出的三角形可否全等.. 将两角和它们的夹边的数据改换成另一组,再与同学一起按新数据画三角形. 经过对所画三角形的比较,你能得出什么结论?. 先任意画出一个△。

再画一个△′′′,使′′,∠′∠,∠′∠(即使两角和它们的夹边对应相等)。

把画好的△′′′剪下,放到△上,它们全等吗?画一个△′′′,使′′,∠′∠,∠′∠(). 画′′;(). 在′′的同旁画∠′′=∠,∠′′=∠,′,′交于点′.. 归纳得出角边角定理:若是两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等,那么这两个三角形全等 . 这个事实能够简写为“角边角”或“”活动三 . 连续研究 , 总结结论 .. 研究 . 在△和△中,∠=∠,∠=∠,=(图),△与△全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗 ?提示:若是两个三角形的两个角对应相等,那么它们的第三个角是什么关系?. 归纳总结结论:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(能够简写成“角角边”或“”).活动四 . 知识应用 , 例题解析 .例. 如图,在上,在上,=,∠=∠. 求证= .解析:若是能证明△≌△,就可以得出=.证明:在△与△中,A A( 公共角 )AC=ABC= B∴△≌△()。

《三角形全等判定-角边角角角边》说课稿pptPPT课件

《三角形全等判定-角边角角角边》说课稿pptPPT课件
评估学生是否能将所学知识应用到 实际问题中,提高解决实际问题的 能力。
教学经验总结
教学内容优化
根据教学效果和学生反馈,对教 学内容进行优化,提高教学质量。
教学方法改进
总结教学方法的优缺点,探索更 有效的教学方法,提高学生的学
习效果。
教学资源整合
整合各类教学资源,如课件、习 题、案例等,为学生提供更丰富
03
符号表示
若$triangle ABC cong triangle DEF$,且$angle A = angle D$,
$angle B = angle E$,$AB = DE$,则可判定$triangle ABC cong
triangle DEF$。
判定定理的证明
证明思路
首先,根据已知条件,我们可以利用角的性质和边的性质来 证明两个三角形全等。具体来说,我们可以先证明两个三角 形满足SAS全等条件,然后利用SAS全等定理来证明两个三角 形全等。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和 热爱,让学生感受到数学 在生活中的实际应用价值。
教学内容
三角形全等的概念
介绍三角形的全等概念,说明全等三角形的性质和判定定 理的意义。
三角形全等的判定定理
讲解并演示三角形全等的五种判定定理,包括边边边、边 角边、角边角、角角边和角角角。通过实例和练习题,让 学生掌握并能够灵活运用这些定理。
《三角形全等判定-角边角角角边》说课稿PPT
目录 Contents
• 课程导入 • 三角形全等判定-角边角角角边 • 教学方法与手段 • 教学重点与难点 • 课后作业与要求 • 教学反思与总结
01
课程导入
教学目标
01
02
03

《三角形全等的判定--角边角-角角边》说课稿-ppt市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

《三角形全等的判定--角边角-角角边》说课稿-ppt市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
(4)符号语言: 在△ABC和△DEF 中 ∠A =∠D ∠B =∠E BC=EF ∴ △ABC≌△DEF (AAS)
3、思索举证(探究7),全等小结
满足全等 三角形旳 六组条件 中旳三组
(1)三边(SSS)
(2)两边一角
两边、一夹角(SAS) 两边、一对角(不一定)
(3)两角一边 两角一夹边(ASA) 两角一对边(AAS)
∠A=∠A(公共角), AC=AB , ∠C=∠B, ∴ △ACD≌△ABE (ASA), ∴ AD=AE. (2)如图,AB⊥BC,AD⊥DC,∠1=∠2.求证AB=AD。 证明: ∵ AB⊥BC ,AD⊥DC, ∴ ∠B=∠D=90° 在△ABC和△ADC中, ∠B=∠D ∠1=∠2 AC=AC (公共边) ∴ △ABC≌△ADC (AAS),
二、教学目的
【知识技能】 1.让学生在自主探究旳过程中得出A.S.A推 导出A.A.S定,掌握
【过程与措施】 经历探索三角形全等条件旳过程,体会怎 样探索、研究问题,培养学生合作精神,让学 生初步体会数学中旳分类思想。
【情感态度与价值观】 经过画图、比较、验证,培养学生注重观 察、善于思索、不断总结旳良好思维习惯。
2、学术情境分类,明确探究任务
(1)三边(SSS)
满足全等三角 形旳六组条件 中旳三组
(2)两边一角 两边、一夹角(SAS)
两边、一对角(不一定) (3)两角一边
(4)三角
(二)合作交流、解读探究
1、试验验证(探究5),探索新知(角边角)
(1)分组试验,前后桌4位同学为一组,共同完 毕试验。
试验环节:①任意画一种三角形△ABC; ②前桌两位同学均各自再画△A′B′C′,使
本节课在知识构造上,它是同学们在学习了三 角形有关要素、全等图形旳概念后来进行旳,它即 是前面所学知识旳延伸与拓展,又是后继学习探索 相同形旳条件和基础,而且是用以阐明线段相等、 两角相等旳主要根据。所以,本节课旳知识具有承 上启下旳作用。在能力培养上,不论是动手操作能 力、逻辑思维能力,还是分析问题、处理问题旳能 力,都可在全等三角形旳教学中得以培养和提升。 所以,全等三角形在整个初中数学旳学习中有至关 主要旳作用。
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探究1
已知:任意 △ ABC,画一个△ A'B'C',
使A'B'=AB, ∠A' =∠A, ∠B'=∠B : 画法: 1、画A'B'=AB; 2、在 A'B'的同旁画∠DA'B'=∠A , ∠EB'A' =∠B, A' D,B'E交于点C'。 △A'B'C'就是所要画的三角形。
问:通过实验可以发现什么事实?
1.要使下列各对三角形全等,需要增加什 么条件? (1) (2)
∠ A=∠ D, ∠ B=∠ F, _________;
∠A=∠D, AB=DE, _________;
2.如图,已知AB与CD 相交于O,∠A= ∠D,CO=BO,说明△AOC与△DOB全 等的理由.
(利用A.A.S定理说明)

已知:AC∥DF,BC∥EF,AE=BD. 证明AC=DF
F
ห้องสมุดไป่ตู้A E
B
D
C
试一试 1、如图 ,AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE 和△ACD全等吗?为什么?
A D E 答:△ABE ≌△ACD
说明: ∵在△ABE与△ACD中 ∠B=∠C (已知) AB=AC (已知)
∠A= ∠A (公共角) C ∴ △ABE ≌△ACD (ASA)
C′
例:如图:如果两个三角形有两个角及其 中一个角的对边分别对应相等,那么这两 个三角形是否一定全等?
已知:∠A=∠D, ∠B=∠E, 求证: △ABC≌△DEF A AC=DF D
B
C
E
F
全等三角形的判定方法3: 如果两个三角形的两个角及其中一个角 的对边分别对应相等,那么这两个三角形 全等. (AAS) A A′
B
2、如图,AD=AE,∠B=∠C,那么BE 和CD相等么?为什么? 答:BE =CD
A D E
说明: 在△ABE与△ACD中 ∠B=∠C (已知) ∠A= ∠A (公共角) AE=AD (已知) C ∴ △ABE ≌△ACD(AAS) ∴ BE=CD (全等三角形对应边相等)
B
4、已知:如图,∠1= ∠2, ∠3 = ∠ 4。 D 求证: AC=AD。
(都能够用来识别三角形全等。)
到目前为此,我们共学了几种 识别三角形全等的方法?
如图,小明不慎将一块 三角形模具打碎为两 块,他是否可以只带其 中的一块碎片到商店 去,就能配一块与原来 一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合 适? 你能说明其中理由吗?
B′ C′
C 用 符 号 在△ABC和△ A'B'C'中 语 ∠A= ∠A' 言 ∠B= ∠B' 表 BC= B'C' 达 为 ∴ △ABC≌△ A'B'C'
B

(AAS)
两角和它们的夹边对应相等的两个三角 形全等,简写成“角边角”或“ASA”。
(ASA)
(AAS)
两角和其中一角的对边分别相等的两个 三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”
全等三角形的判定方法3:
如果两个三角形的两个角及其夹边分别对 应相等,那么这两个三角形全等. (ASA)
A
A′
B

在△ABC和△ A'B'C'中 ∠A= ∠A' AB= A'B' ∠B= ∠B' ∴ △ABC≌△ A'B'C'
C
B′
C′
(ASA)
例1: 1、如图 ,AB=AC,∠B=∠C,(1)△ABE 和△ACD全等吗?(2)AD=AE吗?
(SAS) (SSS)
BC=BD AC=AD ( 2 ) __________________
C A
B
D
如图,小明不慎将一块 三角形模具打碎为两 块,他是否可以只带其 中的一块碎片到商店 去,就能配一块与原来 一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合 适? 你能说明其中理由吗?
怎么办?可以 帮帮我吗?
A
用符号语言表达为:
AB=DE
在△ABC与△DEF中 ∠B=∠E
B
C
D
BC=EF
∴△ABC≌△DEF(SAS)
E
F
已知:如图,要得到△ABC≌ △ABD,已经隐含 AB=AB 根据所给的判定方法,在下 有条件是_________ 列横线上写出还需要的两个条件
AC=AD ∠CAB= ∠DAB (1)__________________
( 2) AC=BD, AC∥BD
∠A=∠B (ASA) (ASA)
∠AEC=∠BFD ∠C=∠D ( 3) CE=DF, ( 4)∠ C= ∠D,AC=BD ∠A=∠B A
C
(ASA)
F
E B
D
思考:如果两个三角形有两个角 和其中一个角的对边分别对应相 等,那么这两个三角形是否全等?
A A′
B
C B′
A
1 2
B
3 4
C
5.已知:如图,AB=AC, AE=AD ∠1= ∠2。BE交AC于G,CD交 AB于F, BE与CD相交与O. 求证: (1) ∠B= ∠C (2) △ADF≌ △AEG
A
1 2
D
F
O
E
G
B
C
本节课我们主要学习了有关 全等三角形的“两角一边”识别 方法,有两种情况: 1. 两个角及两角的夹边; 2.两个角及其中一角的对边。
知识梳理:
三角形全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等(可以
简写为“边边边”或“SSS”).
用符号语言表达为: 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD
B
A
C
D
∴ △ABC ≌△ DEF(SSS) E
F
知识梳理:
三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角 形全等。简写成“边角边”或“SAS”
问题导入
如果知道两个三角形的两个角及一条边分 别对应相等,这两个三角形一定全等吗? 这时应该有两种不同的情况: (1)两个角及两角的夹边; (2)两个角及其中一角的对边
探究1 先任意画出一个△ABC,
再画一个△A'B'C',使A'B'=AB,
∠A'=∠A, ∠B' =∠B 。把画好
的△A'B'C'剪下,放到△ABC上, 它们全等吗?
A D E
B
C
练习:如图,∠ABC=∠DCB,∠ACB=
∠DBC,试说明△ABC ≌△DCB.
A D
B
C
解 ∵ ∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,(已知)
又∵ BC为公共边且对应相等, ∴△ABD ≌△ACD. (ASA)
课 堂 如图,要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件 练 和指明的依据,将应当添设的条件填在横线上。 习 (1)AC∥BD,CE=DF, AC=BD (SAS)
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