上海市杨浦区2019高三数学二模

上海市杨浦区2019届高三二模数学试卷

2019.4

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 函数2()12sin f x x =-的最小正周期是

2. 方程组3102540x y x y -+=⎧⎨+-=⎩

的增广矩阵为 3. 若幂函数()k f x x =的图像过点(4,2)，则(9)f =

4. 若(13)n x +的二项展开式中2x 项的系数是54，则n =

5. 若复数z 满足2(i)34i a b +=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则22a b +=

6. 函数1log (3)a y x =-++（0a >且1a ≠）的反函数为1()f x -，则1(1)f --=

7. 函数arcsin 211

x

x y =-的值域是 8. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如835=+，在不超 过13的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是 （用分数表示）

9. 若定义域为(,0)(0,)-∞+∞的函数120()20

x x x f x m x -⎧->=⎨+<⎩是奇函数，则实数m 的值为

10. 古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面 上给定两点(,0)A a -，(,0)B a ，动点P 满足||||

PA PB λ=（其中a 和λ是正常数，且1λ≠）， 则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为

11. 若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且0GA GB ⋅=，则cos C 的 最小值为

12. 定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列；

这样的不同函数()f x 的个数为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩

，则目标函数2f x y =+的最大值为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

14. 已知命题α：“双曲线的方程为222x y a -=（0a >）”和命题β：“双曲线的两条渐 近线夹角为2

π”，则α是β的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分也非必要条件

15. 对于正三角形T ，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作“，设T 是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设n A 是第n 次挖去的小三角形面积之和（如1A 是第1次挖去的中间小三角形面积，2A 是第2次挖去的三个小三角形面积之和），n S 是前n 次挖去的所有三角形的面积之和，则lim n n S →∞

=（ ）

A. B. C. D. 12

16. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且7cos 8A =

，I 为△ABC 内 部的一点，且0aIA bIB cIC ++=，若AI x AB y AC =+，则x y +的最大值为（ ） A.

54 B. 12

C. 56

D. 45

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 已知函数()(1tan )sin 2f x x x =+⋅.

（1）求()f x 的定义域；

（2）求函数()()2F x f x =-在区间(0,)π内的零点.

18. 上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t （单位：分字）满足：220t ≤≤，t ∈N ，经测算，地铁载客量()p t 与发车时间间隔t 满

足2120010(10)210()12001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩

，其中t ∈N . （1）请你说明(5)p 的实际意义；

（2）若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t

-=-（元），问当发车时间间隔为多 少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益.

19. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.

（1）某堑堵的三视图，如图1，网格中的每个小正方形的边长为1，求该堑堵的体积；

（2）在堑堵111ABC A B C -中，如图2，AC BC ⊥，若12A A AB ==，当阳马11B AAC C -的体积最大时，求二面角11C A B C --的大小.

20. 已知椭圆22

:143

x y Ω+=的左右两焦点分别为1F 、2F . （1）若矩形ABCD 的边AB 在y 轴上，点C 、D 均在Ω上，求该矩形绕y 轴旋转一周所得圆柱侧面积S 的取值范围；

（2）设斜率为k 的直线l 与Ω交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为(1,M m ）（0m >）， 求证：12

k <-； （3）过Ω上一动点00(,)E x y 作直线00:

143x x y y l +=，其中00y ≠，过E 作直线l 的垂线交x 轴于点R ，问是否存在实数λ，使得1221||||||||EF RF EF RF λ⋅=⋅恒成立，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由.

21. 已知数列{}n a 满足：11a =，2118

n n a a m +=+，其中*n ∈N ，m ∈R . （1）若1a 、m 、2a 成等差数列，求m 的值；

（2）若0m =，求数列{}n a 的通项n a ；

（3）若对任意正整数n ，都有4n a <，求m 的最大值.