金融工程第03章远期与期货定价

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例3.1
设一份标的证券为一年期贴现债券、剩余期限为6 个月的远期合约多头，其交割价格为$950，6 个月 期的无风险年利率（连续复利）为6%，该债券的 现价为$930。则我们可以算出该远期合约多头的价 值为多少
例3.2
假设一年期的贴现债券价格为$960，3 个月期无风 险年利率为5%，则3 个月期的该债券远期合约的交 割价格应为多少?
由于使用的是I的现值，所以支付一次和多次现金收益的处 14 理方法相同。
支付已知现金收益资产的现货－远期 平价公式
支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。
根据F的定义，我们可从上式求得：
F=(S-I) erT t
公式的理解：支付已知现金收益资产的远期价格等于 标的证券现货价格与已知现金收益现值差额的终值。
负现金收益的资产：
黄金、白银等贵金属本身不产生收益，但需要花费一 定的存储成本，存储成本可看成是负收益。我们令已 知现金收益的现值为I，对黄、白银来说，I为负值。
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支付已知现金收益资产的远期价值
构建组合：
组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke-r（T－t ）的现金;
组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限 为从现在到现金收益派发日 、本金为I 的负债。
远期合约到期时，两种组合都等于一单位标的资产：
f+ KerT t =S-I f=S-I- KerT t
两种理解：
支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证 券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值 之差。
一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由一单
位标的资产和I+ KerT t 单位无风险负债构成。
例3.5
假设黄金现价为每盎司 733 美元，其存储成本为每年每盎司 2 美元，一 年后支付，美元一年期无风险利率为 4％。则一年期黄金期货的理论价格为
F (S I )er(Tt) 733 I e4%1
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主要符号
T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。
t：现在的时间，单位为年。变量T 和t 是从合约生效之前的 某个日期开始计算的，T-t 代表远期和期货合约中以年为单 位的距离到期时间的剩余时间。
S：远期（期货）标的资产在时间t时的价格。
ST：远期（期货）标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个 值是个未知变量）。
远期价格的期限结构
远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之 间的关系。
F= SerT t
F * Ser* (T * t )
F Fe *
r* (T* t )r (T t )
F * Ferˆ(T* T )
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当即期利率和远期利率所用的利率均为连续复利时， 即期利率和远期利率的关系可表示为：
r
r*
T*
t T*
rT
T
t
例3.3
假设某种不付红利股票6 个月远期的价格为20 元， 目前市场上6 个月至1 年的远期利率为8％，求该股 票1 年期的远期价格。
第三节已知现金收益资产的远期合约定价
已知现金收益的资产
支付已知现金收益的资产
在到期前会产生完全可预测的现金流的资产 例子：附息债券和支付已知现金红利的股票。
构建组合：
组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为
KerT t 的现金（无风险投资）
组合B：一单位标的资产。
远期合约到期时，两种组合都等于一单位标的资产 ，
因此现值必须相等。
f+ KerT t =S
f=S－ KerT t
两种理解：
无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价 格与交割价格现值的差额。
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基本假设
1. 没有交易费用和税收。 2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出
资金。 3．远期合约没有违约风险。 4．允许现货卖空。 5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活
动，从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就 是在没有套利机会下的均衡价格。 6．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率 。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货 的多头和空头地位。
第三章 远期与期货定价
第一节 远期价格与期货价格
远期价值、远期价格与期货价格
交割价格
远期价值：远期合约本身的价值
远期价格：理论上的交割价格
期货价格
远期价格与期货价格的关系
当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时，交割日相 同的远期价格和期货价格应相等。
当利率变化无法预测时 当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远 期价格 当标的资产价格与利率呈负相关时，远期价格就会高 于期货价格
一单位无收益资产远T t无 风险负债组成。
现货-远期平价定理
远期价格：
（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格（K）
F= SerT t 无收益资产的现货-远期平价定理：对于无收益资
产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值
反。证法
运用无套利原理对无收益资产的现货-远期平价定 理的反证 F> SerT t ？ F< SerT t ？
4 率。
第二节无收益资产远期合约的定价
无套利定价法
构建两种投资组合， 令其终值相等，则其现值 一定相等；否则就可进行 套利，即卖出现值较高的 投资组合，买入现值较低 的投资组合，并持有到期 末，套利者就可赚取无风 险收益。
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无收益资产的远期价值
无收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产，如贴 现债券。
反证法
F>(S-I) erT t F<(S-I) erT t
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例3.4
假设6 个月期和12 个月期的无风险年利率分别为 9%和10%，而一种十年期债券现货价格为990 元， 该证券一年期远期合约的交割价格为1001 元，该 债券在6 个月和12 个月后都将收到$60 的利息，且 第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约的 价值。
K：远期合约中的交割价格。
f：远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值。
F：t时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理论期 货价格，在本书中如无特别注明，我们分别简称为远期价格 和期货价格。
r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率（年利 率），在本书中，如无特别说明，利率均为连续复利的年利