重难点突破：不等式中最值问题全梳理--8.22

重难点突破：不等式中最值问题全梳理

模块一、题型梳理

题型一 基本不等式与函数相结合的最值问题

例题1 若方程

ln x m =有两个不等的实根1x 和2x ，则22

12x x +的取值范围是（ ）

A ．()1,+∞

B

．

)

+∞

C ．

()2,+∞ D ．()0,1

【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围. 【解析】因为

ln x m =两个不等的实根是1x 和2x ，不妨令()()120,1,1,x x ∈∈+∞，12,Inx m Inx m =-=

故可得()120In

x x =，解得2

11x

x =

，则22

12x x +

=212112x x +>=，故选：C. 【小结】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题. 例题2

2291

sin cos αα

+的最小值为（ ）

A ．2

B ．16

C ．8

D ．12

【分析】利用22sin cos 1αα+=将

2291sin cos αα

+变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值. 【解析】∵22sin cos 1αα+=，∴

()22

2222

9191sin cos sin cos sin cos αααααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭

2222sin 9cos 1010616

cos sin αααα

=+++=，当且仅当23sin 4α=，2

1cos 4α=时“=”成立，故2291sin cos αα+的最小值为16.

【小结】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题.

例题3 已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y

n －4＝0(m >0，n >0)上，则

m ＋n 的最小值为________．

【解析】由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n －4＝0上，∴1m ＋1

n ＝4，

∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝1

4(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝14⎝⎛⎭⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝⎛⎭

⎫

2＋2n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∴m ＋n 的最小值为1.

题型二 基本不等式与线性规划相结合的最值问题

例题4 已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪

-+≤⎨⎪≥⎩

，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中

0,0m n >>），则

11

2m n

+的最小值为（ ） A ．3

B ．1

C ．2

D ．

32

【分析】画出可行域，根据目标函数z 最大值求,m n 关系式23m n +=，再利用不等式求得11

2m n

+最小值.

【解析】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.

()11111151519322323232322n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+=⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当

,1n m m n m n ===时等号成立，所以11

2m n +的最小值为3

2

.故选：D

【小结】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想

方法，属于中档题.

题型三 基本不等式与数列相结合的最值问题

例题5 已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的（ ）

A ．最大值为4-

B ．最小值为4

C ．最小值为4-

D ．最大值为4或4-

【分析】根据等差数列的通项公式可用1a 表示出d .由数列单调递增可得10a <.用1a 表示出3a ,结合基本不等式即可求得最值.

【解析】因为122a a =-，由等差数列通项公式,设公差为d ,可得()112a a d +=-，变形可得11

2

d a a =--

因为数列{}n a 为递增数列,所以11

2

0d a a =--

>，即10a <，而由等差数列通项公式可知312a a d =+ ()11111242a a a a a ⎛⎫

⎛⎫=+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由10a ->,140a >-结合基本不等式可得 ()

31144a a a ⎛⎫

=-+-≥= ⎪⎝⎭

，当且仅当12a =-时取得等号，所以3a 的最小值为4。 【小结】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题.

例题6 已知a ，b 均为正数，且2是2a ，b 的等差中项，则1

ab 的最小值为________． 【解析】由于2是2a ，b 的等差中项，故2a ＋b ＝4，又a ，b 均为正数，故2ab ≤⎝⎛⎭⎫2a ＋b 22

＝4，

当且仅当2a ＝b ＝2，即a ＝1，b ＝2时取等号，所以1ab 的最小值为1

2

.