知而有识学而善用

xsam (t )
.. .
xsam(t )
信号理想抽样模型 抽样定理证明模型
T
.. .
0 T
t
输入和输出都是连续时间信号
新模型
x(t) 抽样 T x[k]
.. .
1
x[k]
.. .
0 1
k
输入是连续时间信号，输出是离散时间信号
抽样定理的理论分析
x(t ) x[k ]
t kT
?
时域抽样定理
x(t )
T (t)
xsam (t )
.. .

xsam(t )
信号理想抽样模型
T
.. .
0 T
t
xsam (t ) x(t ) T (t ) x(t ) (t kT )
k
1 X sam ( j) X ( j)* sam ( nsam ) 2π n
0
k -
x(k ) (t k )
k -
y (t ) lim
0
x(k )h(t k )

y (t ) x (t ) h(t )
1 x(t ) lim X ( jn ) e jnt 2π 0 n
利用微积分的极限思想，我们可以通透地分析解决大学 物理中的变力、变电场和变磁场的问题。



x(t )dt lim
t 0
n -
x(nt )t
dx (t ) x (t t ) x (t ) lim t 0 dt t

如何传授
在讲授每门课程时，首先要明晰课程教学内涵，围绕教 学内涵组织教学内容，剖析教学重点和难点。
如何传授
信号表示
系统描述
如何传授
信号分析
y(t)=x(t)*h(t) y[k]=x[k]*h[k]
系统分析
连续分析
时域抽样定理 频域抽样定理
离散分析
Fourier变换
时域分析
Laplace变换、Z变换
变换域分析
如何传授
科学是发现和描述自然已有的内在规律，而工程是依据 自然规律去创造世界。科学的本质是揭示已有，而工程的本
1 X [ j( nsam )] T n

时域抽样定理
X ( j )
sam 2m
1
m
0
m

Xsam(j)
X [ j( sam )]
1 T
X ( j )
X [ j( sam )]
...
sam m
0
sam /2 m sam
.. .
抗混低通 滤波器
x1 (t )
X ( j )
H ( j )
X 1 ( j )
1 0

1
m
1
0
m

m
0
m

抽样定理的工程应用
混叠误差与截断误差比较
X sam (e jT )
X ( j )
1 0

...
sam m
1 T
... 0

m
sam

Xsam(ejT )
X 1 ( j )
1
m
...
0
1 T
... 0
m sam
m

sam m
抽样定理的工程应用
抽样频率fs=44,100 Hz
抽样频率fs=5,512 Hz
抽样频率fs=5,512 Hz 抽样前对信号进行了抗混叠滤波
抽样定理的工程应用
☆时域抽样问题的探究
(1) 若连续时间信号 x(t) 的最高频率fm未知，如何确定 信号的抽样间隔T？ (2) 窄带高频信号抽样不失真条件是否也需满足fs≥2fm ？
质是创造未有。科学原理一般是理想状态下的规律描述，原 理得以应用需要通过有效的方法和先进的技术。
X ( j ) x(t ) e- j t dt

Fourier变换理论上实现了从时域映射到频域
DFT从方法上实现了信号的频谱分析 FFT从技术上实现了信号的频谱计算

如何传授
善学者尽其理，善行者究其难。教师在课堂教学中 应能够居高临下，以内容为载体，讲解相关知识的来 龙去脉，讲解为什么要引入此知识，其本质内容是什 么，其可以解决哪些方面的问题，又存在哪些局限等。
时域抽样定理
若带限信号x(t)的最高角频率为m，则在满足一定条
件下，信号x(t)可以用等间隔T的抽样值唯一表示. 抽样间隔T需满足：
T π / m 1 /(2 f m )
fsam 2fm （或ωsam 2ωm） fsam= 2fm 为最小抽样频率，称为Nyquist Rate.
T (t)
n

1 抽样定理证明模型 X [ j( nsam )] T n

X sam ( j )
k
x(kT )e

-jkT

k
x[k ]e

-jkΩ
X (e )
j
抽样定理的理论分析
如果： x[k ]
x(t ) t kT
传授什么
大学该传授什么是属于教学理念的范畴。教学理念看似 比较抽象，实则对教学过程和结果具有深刻影响。 传统的大学教育大多停留于让学生“知”，而没有引导 学生由“知”而内化为“识”，进而付诸于“行”，造成学 生只知道一些书本上的定义、性质和习题演算。
若学生仅满足于记忆这些书本内容，则难以获得真知卓 见，创新更无从谈起。势必会培养大批知而无识，学而无用 之人。学生应该在现有知识基础上深思熟虑，透过字里行间， 心领神会学以致用，从而形成自己的学识和能力。

时域抽样定理
基于信号时域分析和频域分析，以全新的方 式揭示了信号时域抽样定理的本质。
什么是信号的抽样? 为什么要进行抽样? 抽样定理理论分析 抽样定理实际应用
Nyquist ，美国物理学家， 1889 年出生在瑞典。 1976 年在 Texas 逝 世。他对信息论做出了重大贡献。 1907年移民到美国并于1912年进入 北达克塔大学学习。1917年在耶鲁 大学获得物理学博士学位。1917～ 1934年在AT&T公司工作，后转入 Bell电话实验室工作。
序 言
知识更新日益加快，创新已成为一个国家和民
族赖以生存和发展的基础。我国每年数以百万计的
大学生走向就业市场，大部分工科毕业生从理论指 导者转变为工程技术人员。我们需要重新审视我们 的大学教育，大学该传授什么，又该如何传授？
序 言 Shift education emphasis from Training to education Teaching to learning (teacher to student) Passive to active (and interactive) Process to concept (concept inventory) Understand to discover
(3) 对带限信号进行抽样时，只需抽样速率 fs 2fm。
在工程应用中，抽样速率为何常设为 fs (3~5)fm？
……
抽样定理的工程应用
铁路控制信号识别
抽样定理的工程应用
铁路控制信号识别
机车信号识别 信号抽样(A/D) 轨道信号感应器
机 车 信 号
如何传授
教学中应能够溯本求源，从数学概念抽象原理，从物理概 念阐述性质，从工程概念拓展应用，引导学生厚理博术，知行 相成。
fsam=56kHz 抽样后的频谱。 解调后语音信号
抽样定理的工程应用
A/D
x(t)
x[k]=x(kT)
T
x[k ] x(t ) t kT
抽样间隔(周期)
抽样角频率 抽样频率
T
fsam=1/T
(s)
(Hz)
sam=2p/T (rad/s)
抽样定理的工程应用
许多实际工程信号不满足带限条件
h(t ) x(t )

1 T
X(ej
sam m

0
m

sam
0
m sam

X(j
sam 2 B
m-B m
1
m m+B
0
抽样定理的理论分析
窄带高频信号的抽样
中心频率24kHz，带宽8kHz。
解调后语音信号
fsam=8kHz 抽样后的频谱。
抽样后的语音信号（不解调）
X ( j )
X (e )
j
x[k ] x(t ) t kT
X (e )
j
X ( j )
抽样定理的理论分析
xsam (t ) x(t ) T (t )
X sam ( j )
x 1(t )
k
x(kT ) (t kT )
xsam (t )

2π
X ( j ) *sam ( nsam )
则有：
1 j X (e ) X ( j( nsam ) ) T n
( T )
抽样定理的本质：信号时域的离散化导致其频域的周期化
而sam≥2m只是上述基本结论针对带限信号的特例。
抽样定理的理论分析
复信号与窄带高频信号的抽样同样可以有效解决。
X(j
如何传授
而我们却认为该课程的教学内涵应为“信号表示、系统
描述”，信号变换的思想是将信号表示为相应的基信号，以 实现信号与系统的有效分析。三大变换只是用来建立时域与 (复)频域之间的映射关系，而系统响应求解则是信号与系统 分析的一种应用。
1 j t x(t ) X ( j ) e d 2π
1 y (t ) lim X ( jn ) H ( jn ) e jnt 2π 0 n
Y( j)=H( j )X(j )
如何传授
通过清晰的课程教学内涵的主线，关联课程教学的原
理、方法和技术，将书本平面化的静态内容展现为错落有致 的生动知识。课程教学内涵不清，则教学内容难以凝聚，学 生可能只见树木不见森林，甚至误导学生认为此课程内容没 有意义。
更新教学观念，成为知而有识 学而善用的优秀人才
陈后金 hjchen@bjtu.edu.cn
2013.02
主讲人简介
陈后金，教授，博导，长期从事信号与图像处理教学与科研。

国家级教学名师 全国优秀教师 宝钢优秀教师特等奖 国家级教学团队负责人 国家级精品课程负责人 国家级双语课程负责人 国家级精品教材负责人 国家级实验中心负责人 教育部新世纪优秀人才 教育部教学指导委员会委员 北京电子学会教育委员会主任 高等学校电路和信号系统研究会副理事长
知行
传授什么
大学教育应从注重书本内容的传授，逐步转变为以教学 内容为载体，启发引导学生 在学习中汲取知识的精华；
在探究中领悟知识的真谛；
在实践中感受知识的魅力。
感受魅力 （行）
领悟真谛 （识） 汲取精华 （知）
传授什么
例如，在学习微积分时，应透过微积分计算揭示其蕴涵 的“极限”思想，该思想可以将有限与无限、微观与宏观、 恒定与变化、直线与曲线等统一起来，从而改变了我们描述 世界的方式和认知世界的视角。
读课--------------讲课-------------说课
例如，在“信号与系统”课程教学中，许多教师认为这
门课程的教学内涵是“三大变换、系统响应”，造成学生产 生诸多困惑，不知为何要进行信号变换和求解系统响应，日 后的工作也用不到求解响应。几乎将这门课演变成一门数学 课，推导来推导去，计算变换和求解响应充斥整个课程教学 过程。
1 j st x(t ) X ( s ) e ds 2πj j
x[k ] 1 X ( z) 2πj C z k 1 dz
如何传授
x(t) y(t) h(t)
X(j ) e
jt
源自文库(t)
LTI

LTI
Y(j) H(j ) e
jt
x(t ) lim

~ x (t )
n =
C
n
e
jn0 t
1 x(t ) X ( j ) e j t d 2π
傅立叶(Fourier, 1768-1830)
法国数学家、物理学家。主要贡献是在研 究热的传播时创立了一套数学理论。1807年 向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导 出著名的热传导方程，并在求解该方程时发 现解函数可以由三角函数构成的级数形式表 示，从而提出任一函数都可以展成三角函数 的无穷级数。1822 年在代表作《热的分析理 论》中解决了热在非均匀加热的 固体中分布 传播问题，成为分析学在物理中应用的最早 例证之一，对19世纪数学和理论物理学的发 展产生深远影响 。傅立叶级数（即三角级 数）、傅立叶分析等理论由此创始。
1927 年， Nyquist 确定了对某一 带宽的有限时间连续信号进行抽样， 且在抽样率达到一定数值时，根据 这些抽样值可以在接收端准确地恢 复原信号。为不使原波形产生“半 波损失”，采样率至少应为信号最 高频率的2倍，这就是著名的 Nyquist采样定理。
抽样定理的理论分析
传统模型
x(t )
T (t)