第一章 线性规划及单纯形法教材课程

学
X ()0,Free 院
财
政
经
济
MaxZ =CX
系
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s.t. AX=b
冯
X≥0
金 丽
第11页
5.线性规划问题的标准化
①极小化目标函数转化为极大化
②小于等于约束条件转化为等号约束
广 西
工
③大于等于约束条件转化为等号约束
学 院
财
④变量没有符号限制（Free）的标准化
政 经
济
⑤变量小于等于0的标准化
系
冯 金 丽
第12页
①极小化目标函数问题转化为极大化目标函数
min z=2x1-3x2+x3 令 z’=-z，z’=-2x1+3x2-x3 新的目标函数
max z’=-2x1+3x2-x3
广 西
取得极小化的最优解时，这个最优解同时使原目标函数值取得最大 化的最优解。但两个问题最优解的目标函数值相差一个负号。
工 学 院
第4页
例：美佳公司的生产计划问题
美佳公司生产Ⅰ、Ⅱ两种家电，单件利润分别为2
千元、1千元。两种产品生产过程中均要使用A 、B和C 广
三种原材料，已知生产一件产品Ⅰ，消耗A 、B和C分
西 工
别为0、6、1个单位，已知生产一件产品Ⅱ ，消耗A 、 学
B和C分别为5、2、1个单位，而三种原材料每天的供应
xn
广 西
a 11a 12a 1 nx1 a 1x 11a 1x 22 a 1 nxn A X a 21a 22 a 2n x2 a2x 11a2 x 22 a2nxn
am 1 am 2 am n xn am 1x1am 2x2 amxn n
工 学 院 财 政 经 济
因此，线性规划模型可以写成如下矩阵和向量的形式
工 学
院
掌握单纯形法原理
财 政
经
掌握运用单纯形表计算线性规划问题的步骤及解法
济 系
能用二阶段法和大M法求解线性规划问题。
冯 金
丽
第2页
1.1线性规划问题及其数学模型
一般线性规划问题及数学模型
广
线性规划数学模型的标准形式
西 工
学
院
财
政
经
济
系
冯 金 丽
第3页
广 西 工 学 院 财 政 经 济 系 冯 金 丽
变量全部是非负的，这样的线性规划模型称为标准形式
广
西
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn
工 学
s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn ＝b1
院 财
a21x1+a22x2+……+a2nxn ＝b2
政 经
……
济 系
am1x1+am2x2+……+amnxn ＝bm x1, x2, ……, xn ≥0
系
冯
MaxZ =CX
金 丽
s.t. AX=b
X≥0
第10页
4.线性规划模型总结
线性规划模型的结构 目标函数 ：max，min 约束条件：≥,=,≤ 变量符号：：≥0, ≤0, Free
线性规划的标准形式 目标函数：max 约束条件 ：= 变量符号 ：≥0
max(min)z CX
广 西
s.t.
AX(,)b 工
s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn ≥ (≤, ＝)b1
广
a21x1+a22x2+……+a2nxn ≥ (≤, ＝)b2
西 工
……
学
院
am1x1+am2x2+……+amnxn ≥ (≤, ＝)bm x1, x2, ……, xn ≥0 (≤, Free)
财 政 经
济
线性规划模型的目标函数必须是
冯 金 丽
第8页
3.线性规划模型用矩阵和向量表示
价
值
max z=c1x1+c2x2+……+cnxn
系 数
s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn a21x1+a22x2+……+a2nxn ……
＝b1 ＝b2
am1x1+am2x2+……+amnxn ＝bm
c1 T
c
c
2
c n
x1
院 财
量分别为15、24、5个单位。请制定美佳公司的最佳生 产方案，使该公司总利润最大。
政 经 济
系
冯 金 丽
第5页
数学模型的建立
1、确定决策变量——通常由目标问题分解
设x1代表生产Ⅰ种家电数量；
x2代表生产Ⅱ种家电数量；
2、分析并表达限制条件，包括约束条件—
—通常由等式或不等式表示。
0x1+5x2≤15
X
x2
x n
广 西 工 学 院 财
x1, x2, ……, xn ≥0
资
政 经
工艺系数矩阵
源
济
a11 a12 a1n
Aa 21
a22
a 2n
P1
P2
Pn
am1
am2
amn
b1
b
b
2
约 束
b m
系 冯 金 丽
第9页
线性规划模型用矩阵和向量表示（续）
x1
ZCXc1 c2 cn x2c1x1c2x2cnxn
决策变量 x1 x2
6x1+2x2≤24
0
5
约束条件 6
2
x1+ x2≤ 5 x1 ≥0,x2≥0
1
1
目标函数 2
1
3、分析目标——是利润最大化
MaxZ=2x1+x2
广
西
工
学
院
财
政
限制条件
经 济
15
系
24
冯
5
金
max 丽
第6页
二、线性规划模型标准形式
1.一般形式
min(max) z=c1x1+c2x2+……+cnxn
min
z
=
3
x
2 1
+
2x1x2
系
变量的线性函数，约束条件必须 是变量的线性等式或不等式。如 右的问题就不是线性规划问题：
s.t.
2x1 +
x2 + x3 x1
≤8
x1 + x2 + 4x3 ≤9
冯 金 丽
x1, x2, x3 ≥0
第7页
2.线性规划的标准形式
目标函数为极大化，约束条件全部为等号约束，所有
第一章 线性规划及单纯形法
1.1 线性规划问题及其数学模型
广
西
1.2 图解法
工 学
院
1.3 单纯形法原理
财 政
经
1.4 单纯形法计算步骤
济 系
1.5 单纯形法进一步讨论
冯 金
丽
1.6 应用举例
第1页
本章学习要求
能建立实际问题的数学规划模型
理解线性规划模型的特点，标准型
广 西
掌握线性规划的图解法及其几何意义
例如，对于以下两个线性规划问题
财 政
Max z=2x1+3x2 s.t. x1+x2≤3
Min z’=-2x1-3x2
经 济
s.t. x1+x2≤3
系
x2≤1
(A)
x2≤1
(B)
冯 金
x1, x2≥0
x1, x2≥0
丽
它们的最优解都是x1=2, x2=1，但(A)的最大化的目标函数值为max z=7，(B)的最小化的目标函数值为min z’=-7
第13页
②小于等于约束条件转化为等号约束
2x1+3x2-4x3≤5
引进松弛变量(Slack variable) x4≥0
广 西
2x1+3x2-4x3+x4=5
工 学
如果有一个以上小于等于约束，要引进不同的松弛变量。 院
例如：
财 政
2x1+3x2-4x3≤5
经 济