隐函数的存在性

第十一章 隐函数

§5.3已给出隐函数的概念和隐函数的求导法则.本章将在一个二元方程所确定的隐函数的基础上，进一步推广到方程组所确定的隐函数，并证明隐函数的存在性、连续性、可微性.讨论方程组所确定的隐函数要用到多元函数微分学中的一个重要工具——函数行列式.我们将给出函数行列式的性质及其简单的应用.

§11.1 隐函数的存在性

一、隐函数的概念

在§5.3中，已经给出有二元方程0),(=y x F 所确定的隐函数.

例1 二元方程0753),(2

=--+=y x xy y x F .)5(≠∈∀x R x ，通过方程对应唯一一

个y ，即x

x y --=57

32.显然，有

0)573,(2≡--x

x x F

由隐函数定义，x x y --=5732是方程0753),(2

=--+=y x xy y x F 所确定的隐函数.

它的几何意义是，平面曲线x

x y --=5732是空间曲面7532

--+=y x xy z 与0

=z （xy 平面）的单值交线.

例2 二元方程0),(2

2

2

=-+=a y x y x F )0(>a ,),(a a x -∈∀,通过方程对应两个y .如果限定y 的变化范围+∞<

y ，即

221x a y -=或222x a y --=.

显然有 0),(),(221≡-=x a x F y x F

与

0),(),(222≡--=x a x F y x F

由隐函数定义，221x a y -=

与222x a y --=都是方程

0),(222=-+=a y x y x F

所确定的隐函数.它的几何意义是，平面曲线221x a y -=

与222x a y --=（以原

点为圆心，以a 为半径的上半圆与下半圆）是空间曲面2

22a y x z -+=（旋转抛物面）与平面0=z 的两条单值交线.

例3二元方程022),(=-+=y

x

xy y x F ,在原点的某个邻域),(δδ-内，),(δδ-∈∀x ，通过方程对应唯一一个y ，即)(x y ϕ=（下面例6将证明这个事实）.显然，有

[]0)(,≡x x F ϕ.

由隐函数的定义，)(x y ϕ=是方程022),(=-+=y

x

xy y x F 所确定的隐函数.它的几何意义是，空间曲面y

x

xy z 22-+=与平面0=z 在原点邻域),(δδ-相交成平面单值曲线)(x y ϕ=.

例4二元方程0

),(2

2

2

=++=r y x y x F )0(≠r .R x ∈∀，通过方程不存在对应的

y ，即方程不确定隐函数.它的几何意义是，空间曲线222r y x z ++=（旋转抛物面）

与平面0=z 不相交.

上述四例说明，一个方程可能确定一个隐函数，如例1，2，3也可能不确定隐函数，如例4.一个方程可能确定一个隐函数，如例1，也可能确定两个（或多个）隐函数，如例2.一个方程确定的隐函数可能是初等函数，如例1，2，也可能不是初等函数，如例3，（因为超越方程不能用代数方程求解）.值得注意的是例3这种情况，它说明隐函数包含着非初等函数.从而给出了表示函数的新方法，扩大了研究函数的范围.

关于两个变量x 与y 的二元方程0),(=y x F 确定隐函数，可类似地推广到1+n 个

变量y x x x n ,,...,21的方程 0),,...,(21=y x x x F n .

若存在点),...,,(0

02010n x x x P 的邻域G ,G x x x P n ∈∀),...,,(21，通过上面方程对应唯

一一个y ,设),...,(21n x x x f y =，有 0)],...,(,,...,,[2121≡n n x x x f x x x F ，

则称n 元函数),...,(21n x x x f y =是有方程0),,...,(21=y x x x F n 所确定的隐函数. 例5三元方程04),,(=-++=yz xy x z y x F .2

),(R y x ∈∀)0(≠y ，通过方程对应唯一一个z ，即y

xy

x z --=

4.显然，有

0)4,

,(≡--y

xy

x y x F . 由隐函数定义，y

xy

x z --=

4是方程04),,(=-++=yz xy x z y x F 所确定的（二元）隐函数.

隐函数还有更一般的情况：若干个方程构成的方程组所确定的隐函数（组）.例如，三个变量两个方程构成的不定方程组

⎩⎨

⎧=++==-++=.

0),,(,

065),,(221z y x z y x F z yz x z y x F )5(≠∈∀z R z ，通过方程组对应唯一一对x 与y ，即

z x -=

56与z

z z y --+=5)6)(1(. 显然，有

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-≡⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--+-0,5)6)(1(,560,5)6)(1(,5621z z z z z

F z z z z z F 一般情况，n 个变量m 个方程)(n m <构成的不定方程组：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧===+++0

),...,,...,,(..............................................0),...,,...,,(0

),...,,...,,(12112121211n m m m n

m m n m m x x x x x F x x x x x F x x x x x F （1）

若存在m 个函数

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧===+++)

,...,(...............................),...,(),...,(11112111n m m n

m n m x x f x x x f x x x f x （2）

满足方程组（1），即

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≡≡≡+++0

),...,,,...,,(...............................................0),...,,,...,,(0

),...,,,...,,(12112121211n m m m n

m m n m m x x f f f F x x f f f F x x f f f F 则称函数组（2）（共m 个函数）是方程组（1）所确定的隐函数组.

二、一个方程确定的隐函数

定义个二元方程0),(=y x F ，等号左端的二元函数),(y x F 满足什么条件，方程