整合提升密码(23)

专训1.证垂直在解题中的应用

名师点金：证垂直的方法：(1)在同一平面内，垂直于两条平行线中的一条直线；(2)等腰三角形中“三线合一”；(3)勾股定理的逆定理：在几何中，我们常常通过证垂直，再利用垂直的性质来解各相关问题．

利用三边的数量关系说明直角

1．如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，且AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求CD的长．

(第1题)

利用转化为三角形法构造直角三角形

2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝5，CD＝5，AD

＝4，求S四边形ABCD.

(第2题)

利用倍长中线法构造直角三角形

3．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，求

证：AB⊥AD.

(第3题)

利用化分散为集中法构造直角三角形

4．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C

顺时针旋转α得到CD，连接AD.

(1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数；

(2)如图②，当α＝90°时，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求∠BPC的度数．

(第4题)

利用“三线合一”法构造直角三角形

5．如图①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N

分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN.

(1)求证：CM＋CN＝2BD；

(2)如图②，若M，N分别在AC，CB的延长线上，探究CM，CN，BD之间

的数量关系．

(第5题)

专训2.全章热门考点整合应用

名师点金：本章主要学习了勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系．它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长的“数”的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之一．本章的考点可概括为：两个定理，两个应用．

两个定理

定理1：勾股定理

1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD.若AB＝8，BD＝5，求CD的长．

(第1题)

定理2：勾股定理的逆定理2．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2＋b2＝c2时

，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，

可以判断△ABC的形状(按角分类)．(1)请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC

为________三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为________三

角形．

(2)小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2＋b2>c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2

两个应用

应用1：勾股定理的应用3．如图，在公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处爆破．已知C与公

路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上的另一停靠站B的距离为400 m，且CA⊥CB.为了安全起见，爆破点C周围半径250 m范围内(包括250 m)不得有人进入．问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？需要暂时封锁吗

？

(第3题)

应用2：勾股定理逆定理的应用

4．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5 n mile 的A ，B 两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C 地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行40 n mile ，乙巡逻艇每小时航行30 n

mile ，航向为北偏西37°，问：甲巡逻艇的航向？

(第4题)

答案

专训1

1．解：∵AD 2＋BD 2＝100＝AB 2， ∴△ABD 为直角三角形，且∠ADB ＝90°.

在Rt △ACD 中，CD 2＋AD 2＝AC 2， ∴CD ＝AC2－AD2＝172－82＝15.

2．解：连接AC.在Rt △ACB 中，AB 2＋BC 2＝AC 2，

∴AC ＝3，∴AC 2＋AD 2＝CD 2.

∴△ACD 为直角三角形，且∠CAD ＝90°， ∴S 四边形ABCD ＝12×2×5＋1

2×3×4＝6＋ 5.

(第3题)

3．证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，BE.

∵D为BC的中点，

∴CD＝BD.

又∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，

∴△ADC≌△EDB，

∴BE＝AC＝13.

在△ABE中，AE＝2AD＝12，

∴AE2＋AB2＝122＋52＝169.

又∵BE2＝132＝169，∴AE2＋AB2＝BE2，

∴△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，即AB⊥AD.

点拨：

本题运用倍长中线法构造全等三角形证明线段相等，再利用勾股定理的逆定理

证明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直．4．解：(1)如图①，连接DP，易知△DCP为等边三角形，易证得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，∠CDP＝60°，AD＝6，DP＝8，∴AD2＋DP2＝AP2，∴∠ADP

＝90°，∴∠ADC＝150°，

∴∠BPC＝150°.

(第4题)

(2)如图②，连接DP，易得△DCP为等腰直角三角形，易证得△CPB≌△C

DA，∴∠BPC＝∠ADC，∠CDP＝45°，AD＝1，DP＝2CD＝2 2，∴AD2＋DP2＝AP2，∴∠ADP＝90°，∴∠ADC＝135°，

∴∠BPC＝135°.

5．(1)证明：如图①，连接CD，∵DM⊥DN，

∴∠MDC＋∠CDN＝90°.

∵∠ACB＝90°，AC＝CB，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD

＝45°，∴∠CDN＋∠NDB＝90°.∴∠MDC＝∠NDB.

∵CD⊥AB，∠BCD＝45°，

∴CD＝BD.在△CMD和△BND中，