整合提升密码(23)

专训1.证垂直在解题中的应用
名师点金：证垂直的方法：(1)在同一平面内，垂直于两条平行线中的一条直线；(2)等腰三角形中“三线合一”；(3)勾股定理的逆定理：在几何中，我们常常通过证垂直，再利用垂直的性质来解各相关问题．
利用三边的数量关系说明直角
1．如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，且AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求CD的长．
(第1题)
利用转化为三角形法构造直角三角形
2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝5，CD＝5，AD
＝4，求S四边形ABCD.
(第2题)
利用倍长中线法构造直角三角形
3．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，求
证：AB⊥AD.
(第3题)
利用化分散为集中法构造直角三角形
4．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C
顺时针旋转α得到CD，连接AD.
(1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数；
(2)如图②，当α＝90°时，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求∠BPC的度数．
(第4题)
利用“三线合一”法构造直角三角形
5．如图①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N
分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN.
(1)求证：CM＋CN＝2BD；
(2)如图②，若M，N分别在AC，CB的延长线上，探究CM，CN，BD之间
的数量关系．
(第5题)
专训2.全章热门考点整合应用
名师点金：本章主要学习了勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系．它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长的“数”的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之一．本章的考点可概括为：两个定理，两个应用．
两个定理
定理1：勾股定理
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD.若AB＝8，BD＝5，求CD的长．
(第1题)
定理2：勾股定理的逆定理2．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2＋b2＝c2时
，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，
可以判断△ABC的形状(按角分类)．(1)请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC
为________三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为________三
角形．
(2)小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2＋b2>c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2<c2时，△ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a＝2，b＝4时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？
两个应用
应用1：勾股定理的应用3．如图，在公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处爆破．已知C与公
路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上的另一停靠站B的距离为400 m，且CA⊥CB.为了安全起见，爆破点C周围半径250 m范围内(包括250 m)不得有人进入．问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？需要暂时封锁吗
？
(第3题)
应用2：勾股定理逆定理的应用
4．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5 n mile 的A ，B 两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C 地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行40 n mile ，乙巡逻艇每小时航行30 n
mile ，航向为北偏西37°，问：甲巡逻艇的航向？
(第4题)
答案
专训1
1．解：∵AD 2＋BD 2＝100＝AB 2， ∴△ABD 为直角三角形，且∠ADB ＝90°.
在Rt △ACD 中，CD 2＋AD 2＝AC 2， ∴CD ＝AC2－AD2＝172－82＝15.
2．解：连接AC.在Rt △ACB 中，AB 2＋BC 2＝AC 2，
∴AC ＝3，∴AC 2＋AD 2＝CD 2.
∴△ACD 为直角三角形，且∠CAD ＝90°， ∴S 四边形ABCD ＝12×2×5＋1
2×3×4＝6＋ 5.
(第3题)
3．证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，BE.
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD.
又∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝13.
在△ABE中，AE＝2AD＝12，
∴AE2＋AB2＝122＋52＝169.
又∵BE2＝132＝169，∴AE2＋AB2＝BE2，
∴△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，即AB⊥AD.
点拨：
本题运用倍长中线法构造全等三角形证明线段相等，再利用勾股定理的逆定理
证明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直．4．解：(1)如图①，连接DP，易知△DCP为等边三角形，易证得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，∠CDP＝60°，AD＝6，DP＝8，∴AD2＋DP2＝AP2，∴∠ADP
＝90°，∴∠ADC＝150°，
∴∠BPC＝150°.
(第4题)
(2)如图②，连接DP，易得△DCP为等腰直角三角形，易证得△CPB≌△C
DA，∴∠BPC＝∠ADC，∠CDP＝45°，AD＝1，DP＝2CD＝2 2，∴AD2＋DP2＝AP2，∴∠ADP＝90°，∴∠ADC＝135°，
∴∠BPC＝135°.
5．(1)证明：如图①，连接CD，∵DM⊥DN，
∴∠MDC＋∠CDN＝90°.
∵∠ACB＝90°，AC＝CB，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD
＝45°，∴∠CDN＋∠NDB＝90°.∴∠MDC＝∠NDB.
∵CD⊥AB，∠BCD＝45°，
∴CD＝BD.在△CMD和△BND中，
∵∠MDC＝∠NDB，∠MCD＝∠NBD，CD＝BD，∴△CMD≌△BND，∴CM＝BN.∴CM＋CN＝BN＋CN＝BC.
在Rt△CBD中，∠B＝45°，∠CDB＝90°，∴BC＝2BD.∴CM＋CN＝2
BD.
(2)解：CN－CM＝2BD，如图②，连接CD，证法同(1)．
(第5题)
专训2 1．解：设CD＝x，在Rt△ABC中，有AC2＋(CD＋BD)2＝AB2，
整理，得AC2＝AB2－(CD＋BD)2＝64－(x＋5)2.①
在Rt△ADC中，有AC2＋CD2＝AD2，
整理，得AC2＝AD2－CD2＝25－x2.②由①②两式，得64－(x＋5)2＝25－x2，解得x＝1.4，即CD的长是1.4.
点拨：
勾股定理反映了直角三角形三边长之间的数量关系，利用勾股定理列方程思路
清晰、直观易懂．
2．解：(1)锐角；钝角
(2)a2＋b2＝22＋42＝20，∵c为最长边，2＋4＝6，∴4≤c<6.
①由a2＋b2>c2，得c2<20，0<c<2 5，∴当4≤c＜2 5
时，这个三角形是锐角三角形；
②由a2＋b2＝c2，得c2＝20，c＝2 5，∴当c＝2 5
时，这个三角形是直角三角形；
③由a2＋b2<c2，得c2>20，c>2 5，∴当2 5
<c<6时，这个三角形是钝角三角形．3．解：
如图，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ABC中，因为BC2＋AC2＝AB2，BC＝400
m，AC＝300 m，
所以AB2＝4002＋3002＝5002，所以AB＝500 m.
(第3题)
因为S Rt
△ABC ＝
1
2AB·CD＝
1
2BC·AC，
所以500×CD＝400×300，所以CD＝240 m.
因为240<250，所以公路AB段有危险，需要暂时封锁．4．解：AC＝40×0.1＝4(n mile)，BC＝30×0.1＝3(n mile)．因为AB＝5 n mile，所以AB2＝BC2＋AC2，所以∠ACB＝90°.
因为∠CBA＝90°－37°＝53°，所以∠CAB＝37°，
所以甲巡逻艇的航向为北偏东53°.。