高等数学(本科)第七章课后习题解答

习题7.1

1.在空间直角坐标系中，指出下列各点位置的特点.

()0,5,0-A ；()0,3,3-B ；()3,0,6-C ；()0,0,4D ；()7,5,0-E ；()9,0,0F .

【解】A 点在y 轴上；B 点在xoy 坐标面上；C 点在zox 坐标面上；D 点在x 轴上；E 点在yoz 坐标面上；F 点在z 轴上. 2.指出下列各点所在的卦限.

()1,3,2-A ；()2,1,7--B ；()1,3,2---C ；()3,2,1--D .

【解】A 点在第五卦限；B 点在第三卦限；C 点在第七卦限；D 点在第六卦限. 3.自点()2,3,1--M 分别作xoy 、yoz 、zox 坐标面和x 、y 、z 坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标，并求出点M 到上述坐标面和坐标轴的距离.

【解】()2,3,1--M 在xoy 坐标面上的垂足为()0,3,1-、在yoz 坐标面上的垂足为

()2,3,0-、在zox 坐标面上的垂足为()2,0,1--；

()2,3,1--M 在x 轴的垂足为()0,0,1-、在y 轴的垂足为()0,3,0、在z 轴的垂

足为()2,0,0-；

()2,3,1--M 到x 轴的距离为()13232

2=-+；

()2,3,1--M 到y 轴的距离为()()52122=-+-；

()2,3,1--M 到z 轴的距离为

()10312

2=+-.

3.已经点()2,1,3--M .求：（1）点M 关于各坐标面对称点的坐标；（2）点M 关于各坐标轴对称点的坐标；（3）点M 关于坐标原点的对称点的坐标. 【解】（1）()2,1,3--M 关于xoy 面对称点的坐标是(),2,1,3-； ()2,1,3--M 关于yoz 面对称点的坐标是(),2,1,3---；

()2,1,3--M 关于zox 面对称点的坐标是(),2,1,3-.

（2）()2,1,3--M 关于x 轴对称点的坐标是(),2,1,3； ()2,1,3--M 关于y 轴对称点的坐标是(),2,1,3--；

()2,1,3--M 关于z 轴对称点的坐标是(),2,1,3--.

（3）()2,1,3--M 关于坐标原点的对称点的坐标是(),2,1,3-. 5.求点()5,3,4-A 到坐标原点和各坐标轴的距离.

【解】 ()5,3,4-A 到坐标原点距离为()2553422

2=+-+；

()5,3,4-A 到x 轴的距离为()34532

2=+-；

()5,3,4-A 到y 轴的距离为415422=+； ()5,3,4-A 到z 轴的距离为()5342

2=-+.

6.在y 轴上求与点()7,2,3-A 和()7,1,3-B 等距离的点. 【解】设所求点为()0,,0y C .据题意，有 BC AC =，即

()()()()=

-+-+--2

2270230y ()()()()22270130--+-+-y

解得 23=

y .所以，所求之点为.0,23,0⎪⎭

⎫ ⎝⎛C 7.已知三角形ABC 的顶点坐标分别为()3,2,1A 、()3,10,7B 和()1,3,1-C ，试证明 ∠BAC 为钝角. 【解】AB 边长()()()1033210172

22=-+-+-==AB c ；

AC 边长()()()()33123112

22=-+-+--=b ； BC 边长()()()()11731103712

22=-+-+--=a .

由余弦定理知

cos ∠BAC ()

01032117

10322

22222<⨯⨯-+=

-+=bc a c b ，

所以，∠BAC 为钝角.

8.试在xoy 面上求一点，使它到()5,1,1-A 、()4,4,3B 和()1,6,4C 各点的距离相等. 【解】设所求点为()0,,y x D .据题意，有 CD BD AD ==，即

()()()()=

-+--+-2

225011y x ()()()222443-+-+-z y x

()()()222164-+-+-=

z y x

解得 5,16-==y x .所以，所求之点为().0,5,16-D

习题7.2

1.设平行四边形ABCD 的对角线向量b BD a AC ==,，试用a ，b 表示

DA CD BC AB ,,,.

【解】记平行四边形ABCD 的对角线的交点为O .

()

b a b a BD AC OD OC DC AB -=-=-=-==2

1

21212121；

同理可求出，()

b a a b OC BO BC +=+=+=21

2121；

()a b AB CD -=-=21

；

()

b a BC DA +-=-=2

1

.

2.已知向量n m a 23-=，n m a +=.试用向量n m ,表示b a 32-. 【解】b a 32-()()

n m n m n m 733232-=+--=.

3.设c b a u 2-+=，c b a v +--=3.试用向量c b a ,,表示v u 32-. 【解】v u 32-()()

c b a c b a c b a 71153322-+=+----+=. 4.设ABCDEF 是一个正六边形，AF b AB a ==,，试用a ，b 表示

EF DE CD BC ,,,.

【解】记六边形ABCDEF 的对角线的交点为O .则四边形ABOF 、CDEO 、DEFO 及ABCO 均为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则知，

b a AF AB AO BC +=+==； b AF CD ==；

a BA BA AO DE -=-===；

()

.b a BC EF +-=-=

5.设向量k a j a i a a z y x ++=,，若它满足下列条件之一：

（1）a 垂直于z 轴；（2）a 垂直于xoy 面；（3）a 平行于yoz 面.那么它的坐标有