曲线与方程(基础+复习+习题+练习)
空间曲线练习题解决空间曲线的参数方程和性质
空间曲线练习题解决空间曲线的参数方程和性质空间曲线是三维空间中的曲线，由于其具有复杂的几何特性，研究和解决空间曲线的参数方程和性质一直是数学领域的热门话题。
本文将通过解决一些典型的空间曲线练习题，来探讨空间曲线的参数方程和性质。
1. 题目一：直线的参数方程已知空间直线L过点A(1, 2, 3)，且与直线L1: x = 2t, y = 3t, z = 4t 平行，求直线L的参数方程和方向向量。
解析：空间直线L与直线L1平行，意味着L的方向向量与L1的方向向量平行。
因此，直线L的方向向量可以沿用直线L1的方向向量，即(2, 3, 4)。
又已知直线L过点A(1, 2, 3)，设直线L的参数方程为 x = x0 + 2t, y = y0 + 3t, z = z0 + 4t。
带入点A(1, 2, 3)，可得 x = 1 + 2t, y = 2 + 3t, z = 3 + 4t。
因此，直线L的参数方程为 x = 1 + 2t, y = 2 + 3t, z = 3 + 4t，方向向量为(2, 3, 4)。
2. 题目二：曲线在平面上的投影已知曲线C的参数方程为x = t, y = √t, z = t^2，求曲线C在xy平面上的投影方程。
解析：曲线C在xy平面上的投影即为将曲线C在z轴上的坐标消去，得到的二维曲线方程。
由曲线C的参数方程可知 z = t^2。
将其代入到x = t和y = √t中，可得到曲线C在xy平面上的投影方程为 x = y^2。
因此，曲线C在xy平面上的投影方程为 x = y^2。
3. 题目三：曲线的切线和法线方程已知曲线C的参数方程为 x = t^2, y = t^3, z = t，求曲线C在点(1, 1, 1)处的切线和法线方程。
解析：切线方程可以通过求曲线参数方程在给定点处的导数来得到。
法线方程是切线方程的垂直平分线。
对曲线C的参数方程分别求导数，可得 dx/dt = 2t, dy/dt = 3t^2, dz/dt = 1。
(完整word版)双曲线及其标准方程练习题.doc
2.2.1 双曲线及其标准方程x 2 y 2 ）1.已知方程1表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 k 的取值范围是（9 kk 3A.3＜k ＜9B.k ＞3C.k ＞9D.k ＜32.方程 x 2 +(k-1)y 2=k+1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，则 k 的取值范围是 （ ）A.k ＜-1B.k ＞ 1C.-1＜ k ＜1D.k ＜ -1 或 k ＞ 13.方程x 2y 2 1表示焦点在坐标轴上的双曲线，则α是第几象限的角（）sincosA.二B.四C.二或四D.一或三4.已知双曲线的焦点 F 1（-4，0），F 2（ 4， 0），且经过点 M （2 6 ，2）的双曲线标准方程是 ______.5.双曲线的焦点在 x 轴上，且经过点 M （3，2）、N （-2，-1），则双曲线标准方程是 ______.双曲线x 2 y 2 1 上点 P 到左焦点的距离为 6，这样的点有 ______个.6.12437.双曲线 3x 2 -y 2=2 的右支上有一点 P ， P 到 x 轴、 y 轴的距离之比为，则点 P 的坐标是______.8.若双曲线 x 2 -4y 2 =4 的焦点是 F 1、F 2 过 F 1 的直线交左支于 A 、B ，若|AB|=5，则△ AF 2B 的周长是 ______.1 / 39.已知双曲线 x2y 2 1 ,过它的焦点且垂直于 x 轴的弦长是 ______. 25 2410.在双曲线 x 2-y 2 =4 上的一点，使该点与焦点的连线互相垂直，则这个点坐标是______.11. 已知 12 是双曲线 x 2 21 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足∠ F 1 PF2 F 、 F y4=90°，求△ F 1PF 2 的面积 .2 / 3参考答案1. C2. C3. C4. y 2 x 2 15. x 2y 2 16. 39 77 73 57.（2 6, 6 ） 8. 189.483510.（ 6 ， 2 ），（- 6 ， 2 ），（ 6 ，- 2 ），（- 6 ，- 2 ）∵ 为双曲线 x 2y 21 上的一个点且 F 1、2 为焦点. 11. P4F∴ ||PF 1|-|PF 2||=2a=4,|F 1 F 2|=2c=2 5∵∠ F 1PF 2=90°∴在 Rt △PF 1F 2 中 ,|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=20∵（ |PF 1|-|PF 2|）2=|PF 1 |2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=16∴20-2|PF 1||PF 2|=16∴ |PF 1| ·|PF 2|=2∴SF PF12|PF 1| |PF ·2|=1 12由此题可归纳出 S △ F1PF2=b 2cot ∠F 1PF223 / 3。
曲线与方程练习题
曲线与方程练习题一、填空题1. 向上凹曲线的二次函数方程一般可以表示为 ________。
2. 直线 y = a 与 x 轴的交点为 _________。
3. 曲线 y = x^3 - 2x^2 - 3x + 2 的对称轴方程为 ________。
4. |a| > 1 时，二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像开口向 _________。
5. 一条直线 y = mx + c 与双曲线 xy = k (k > 0) 相交于两个点时，m 的取值范围为 ________。
6. 一条直线 y = kx 与椭圆 (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 相切于点 (x1, y1)，则 k 的取值范围为 ________。
二、选择题1. 曲线 y = (x + 2)^2 - 3 的对称轴为：A. x = 2B. y = 2C. x = -2D. y = -22. 函数 y = (x - 3)(x - 1) 的图像与 x 轴的交点为：A. (3, 0) 和 (1, 0)B. (3, 0) 和 (-1, 0)C. (0, 3) 和 (0, 1)D. (0, 3) 和 (0, -1)3. 下列函数中，是抛物线的是：A. y = x^3 - 2x + 6B. y = 3x^2 + 4x - 1C. y = x^2 / 2 + 5D. y = 2x + 14. 随着 a 的增大，函数 y = ax^2 的图像：A. 变宽B. 变窄C. 上移D. 下移5. 一次函数 y = mx + c 和二次函数 y = ax^2 相交于两个交点时，m 和 a 的关系为：A. m = aB. m > aC. m < aD. 无法确定三、解答题1. 求下列函数的对称轴、顶点和图像开口的方向：a) y = 2x^2 + 4x - 3b) y = -3x^2 + 6x - 12. 给定函数 y = x^3 + ax^2 + bx + 2，已知该函数的图像过点 (-1, 2)，x = 2 和 y = 4 和曲线的对称轴平行，则 a 和 b 的值分别为多少？3. 已知一条直线将椭圆 (x - 3)^2/4 + (y - 4)^2/9 = 1 和双曲线 (x -1)^2/9 - (y - 5)^2/4 = 1 分成两部分，求此直线方程。
2023届全国高考数学复习：专题(曲线的切线方程)重点讲解与练习(附答案)
2023届全国高考数学复习：专题（曲线的切线方程）重点讲解与练习考点一 求切线的方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤(1)求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程的步骤第一步，求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数值f ′(x 0)，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； 第二步，由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)ꞏ(x －x 0)．(2)求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．【例题选讲】[例1](1) (2021ꞏ全国甲)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________． (2) (2020ꞏ全国Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1(3) (2018ꞏ全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x(4) (2020ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．(5)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ．(6) (2021ꞏ新高考Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a(7)已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)(8) (2019ꞏ江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．(9)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)ꞏx 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为 ．(10)函数y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) A ．18 B ．14 C ．12 D ．1(11)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是 ．【对点训练】1．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB ．⎣⎡⎭⎫2π3，πC ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πD ．⎝⎛⎦⎤π2，5π6 2．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为 ．3．(2019ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________．4．曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝05．(2019ꞏ全国Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝06．(2019ꞏ天津)曲线y ＝cos x －x 2(0，1)处的切线方程为________．7．已知f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为 ． 8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，则过点P 的切线方程为________． 9．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ．10．设函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，曲线f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．5x －y －4＝0B ．3x －y －2＝0C ．x －y ＝0D ．x ＝111．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2 022－ln2 021≈________． 12．曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．2B ．32C ．12D ．1413．已知曲线y ＝133＋43．(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．14．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0．(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．15．(2021ꞏ全国乙)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标．考点二 求参数的值(范围)【方法总结】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．【例题选讲】[例1](1)已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________．(2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．(3)设函数f (x )＝a ln x ＋bx 3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a ＋b 的值为 ．(4)(2019ꞏ全国Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1 (5)设曲线y ＝x ＋1x －2在点(1，－2)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a b ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．3 D ．－3(6)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为________．(7)已知函数f (x )＝x ＋a 2x ，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，则a 的取值范围是 ． (8)关于x 的方程2|x ＋a |＝e x 有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．【对点训练】1．若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________．2．设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．33．若曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)4．函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．5．已知函数f (x )＝x cos x ＋a sin x 在x ＝0处的切线与直线3x －y ＋1＝0平行，则实数a 的值为 ．6．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0，则a ＝________；b ＝________．7．若函数f (x )＝ax －3x 的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________．8．若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．e9．曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－12，0，则a ＝ ； 10．过点M (－1，0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A 、B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝ ．11．已知曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，直线l ：y ＝ax －3a ，则a ＝6是直线l 与曲线C 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C ．(1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．参考答案【例题选讲】[例1](1) (2021ꞏ全国甲)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________． 答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0．(2) (2020ꞏ全国Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1答案 B 解析 f (1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f ′(x )＝4x 3－6x 2，所以切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1．(3) (2018ꞏ全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x答案 D 解析 法一 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0．因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．法二 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，此时f (x )＝x 3＋x (经检验，f (x )为奇函数)，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．法三 易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．(4) (2020ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．答案 2x －y ＝0 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，因为y ＝ln x ＋x ＋1，所以y ′＝1x ＋1，所以切线的斜率为1x 0＋1＝2，解得x 0＝1．所以y 0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0．(5)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ． 答案 x －y －1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋lnx ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x ．∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0．∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0．(6) (2021ꞏ新高考Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a答案 D 解析 根据y ＝e x 图象特征，y ＝e x 是下凸函数，又过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0<b <e a ．故选D ．(7)已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)答案 C 解析 设切点P (x 0，y 0)，f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，∴x 20＝1，∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上，∴y 0＝x 30－x 0＋3，∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3．∴切点P 为(1，3)或(－1，3)．(8) (2019ꞏ江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．答案 (e ，1) 解析 设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m (x －m )．又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m (m ＋e)．再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1．故点A 的坐标为(e ，1)．(9)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)ꞏx 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为 ．答案 (0，0) 解析 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，f ′(x )＝3x 2＋1，3x 20＋1＝1，x 0＝0，f (x 0)＝0，∴切点P (x 0，f (x 0))的坐标为(0，0)．(10)函数y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A ．18B ．14C ．12D ．1答案 B 解析 ∵y ＝x －1x ＋1，∴y ′＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2 x ＋1 2，∴k ＝y ′|x ＝0＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x －0)，即y ＝2x －1，令x ＝0，得y ＝－1；令y ＝0，得x ＝12，故所求的面积为12×1×12＝14．(11)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是 ． 答案 2 解析 设曲线在点P (x 0，y 0)(x 0>0)处的切线与直线x －y －2＝0平行，则0|x x y '＝＝12x x x x 0=⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2x 0－1x 0＝1．∴x 0＝1，y 0＝1，则P (1，1)，则曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离d ＝|1－1－2|12＋(－1)2＝2． 【对点训练】1．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB ．⎣⎡⎭⎫2π3，πC ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πD ．⎝⎛⎦⎤π2，5π6 1．答案 C 解析 y ′＝3x 2－3，∴y ′≥－3，∴tan α≥－3，又α∈[0，π)，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，故 选C ．2．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为 ．2．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x －1x 2，∴f ′(1)＝e －1，又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1，即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2．3．(2019ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________．3．答案 y ＝3x 解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为y ＝3x ．4．曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝04．答案 D 解析 因为f (x )＝1－2ln x x f ′(x )＝－3＋2ln x x 2．又f (1)＝1，且f ′(1)＝－3，故所求切线方 程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0．5．(2019ꞏ全国Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝05．答案 C 解析 设y ＝f (x )＝2sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝2cos x －sin x ，∴f ′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0．故选C ．6．(2019ꞏ天津)曲线y ＝cos x －x 2(0，1)处的切线方程为________．6．答案 y ＝－12x ＋1 解析 y ′＝－sin x －12，将x ＝0代入，可得切线斜率为－12．所以切线方程为y －1＝－12x ，即y ＝－12x ＋1．7．已知f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为 ． 7．答案 2x －y ＝0 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＋f (1)＝0，即e ＋a e －1e －a e ＝0，解得a ＝1，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ＋x ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为2，又f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的方程为2x －y ＝0．8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，则过点P 的切线方程为________．8．答案 3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0 解析 设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由y ′＝⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝x 0 ＝x 20，即过点P 的切线的斜率为x 20，又切线过点P ⎝⎛⎭⎫2，83，若x 0≠2，则x 20＝13x 30－83x 0－2，解得x 0＝－1，此时切线的斜率为1；若x 0＝2，则切线的斜率为4．故所求的切线方程是y －83＝x －2或y －83＝4(x －2)，即3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0．9．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ． 9．答案 x －y －1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x ．∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0．∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0．10．设函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，曲线f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．5x －y －4＝0B ．3x －y －2＝0C ．x －y ＝0D ．x ＝110．答案 A 解析 因为f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，所以f ′(x )＝2f ′⎝⎛⎭⎫12x －2＋f （1）x ．令x ＝12得f ′⎝⎛⎭⎫12＝2f ′⎝⎛⎭⎫12 ×12－2＋2f (1)，即f (1)＝1．又f (1)＝f ′⎝⎛⎭⎫12－2，所以f ′⎝⎛⎭⎫12＝3，所以f ′(1)＝2f ′⎝⎛⎭⎫12－2＋f (1)＝6－2＋1＝5．所以曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝5(x －1)，即5x －y －4＝0．11．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2 022－ln2 021≈________．11．答案 y ＝x 12 021 解析 函数f (x )＝ln(1＋x )，则f ′(x )＝11＋x，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴切线方程为y ＝x ．∴ ln2 022－ln2 021＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋12 021＝f ⎝⎛⎭⎫12 021，根据以直代曲，x ＝12 021也非常接近切点x ＝0．∴可以将x ＝12 021代入切线近似代替f ⎝⎛⎭⎫12 021，即f ⎝⎛⎭⎫12 021≈12 021． 12．曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．2B ．32C ．12D ．1412．答案 D 解析 f ′(x )＝1＋1x ，则f ′(1)＝2，故曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x－1)，即y ＝2x －1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12＝14，故选D ．13．已知曲线y ＝133＋43．(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．13．解析 (1)∵P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4．∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0．(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20． ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20ꞏx －23x 30＋43． ∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0．14．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0．(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．14．解析 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12．又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0． 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6． 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6． 15．(2021ꞏ全国乙)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标．15．解析 (1)由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )．①当a ≥13时，Δ≤0，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3， 令f ′(x )>0，则x <x 1或x >x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－3a 3上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－3a 3，1＋1－3a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－3a 3，＋∞上单调递增． (2)记曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线为l ，切点为P (x 0，x 30－x 20＋ax 0＋1)．因为f ′(x 0)＝3x 20－2x 0＋a ，所以切线l 的方程为y －(x 30－x 20＋ax 0＋1)＝(3x 20－2x 0＋a )(x －x 0)．由l 过坐标原点，得2x 30－x 20－1＝0，解得x 0＝1，所以切线l 的方程为y ＝(1＋a )x ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(1＋a )x ，y ＝x 3－x 2＋ax ＋1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1＋a 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1－a . 所以曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标为(1，1＋a )和(－1，－1－a )． 考点二 求参数的值(范围)【方法总结】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．【例题选讲】[例1](1)已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________．答案 13 解析 f ′(x )＝3ax 2＋1x ，则f ′(1)＝3a ＋1＝2，解得a ＝13．(2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．答案 [2，＋∞) 解析 直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0．又4x ＋1x ≥24x ꞏ1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2．∴a 的取值范围是[2，＋∞)． (3)设函数f (x )＝a ln x ＋bx 3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a ＋b 的值为 ．答案 0 解析 依题意得f ′(x )＝a x ＋3bx 2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－1，f ′(1)＝1＋10－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－1，a ＋3b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，2．设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．32．答案 D 解析 ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1．∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3．故选D ．3．若曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)3．答案 C 解析 f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C ．4．函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．4．答案 (－∞，2) 解析 由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x ．因为x ＞0，所以2－1x 2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．5．已知函数f (x )＝x cos x ＋a sin x 在x ＝0处的切线与直线3x －y ＋1＝0平行，则实数a 的值为 ． 5．答案 2 解析 f ′(x )＝cos x ＋x ꞏ(－sin x )＋a cos x ＝(1＋a )cos x －x sin x ，∴f ′(0)＝1＋a ＝3，∴a ＝2． 6．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0，则a ＝________；b ＝________． 6．答案 －1 －3 解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋a ，则由切线方程得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1＋a ＋b ＝2×1－5，f ′(1)＝3＋a ＝2，解得a ＝ －1，b ＝－3．7．若函数f (x )＝ax －3x 的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________．7．答案 2 解析 f ′(x )＝a ＋3x 2，f ′(1)＝a ＋3，f (1)＝a －3，故f (x )的图象在点(1，a －3)处的切线方程为y－(a －3)＝(a ＋3)(x －1)，又切线过点(2，4)，所以4－(a －3)＝a ＋3，解得a ＝2．8．若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．e8．答案 C 解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线斜率k ＝1，则曲线y ＝e x 在x＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1．设y ＝x ＋1与y ＝ln x ＋b 相切的切点为(m ，m ＋1)．又y ′＝1x ，则1m ＝1，解得m ＝1．所以切点坐标为(1，2)，则2＝b ＋ln 1，得b ＝2．9．曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－12，0，则a ＝ ； 9．答案 1 解析 y ′＝e x (ax ＋1＋a )，所以y ′|x ＝0＝1＋a ，则曲线y ＝(ax ＋1)e x 在(0，1)处的切线方程为y＝(1＋a )x ＋1，又切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－12，0，所以0＝(1＋a )×⎝⎛⎭⎫－12＋1，解得a ＝1． 10．过点M (－1，0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A 、B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝ ．10．答案 －274 解析 设切点坐标为(t ，2t 3＋at ＋a )，∵y ′＝6x 2＋a ，∴6t 2＋a ＝2t 3＋at ＋a t ＋1，即4t 3＋6t 2＝0，解得t ＝0或t ＝－32，∵|MA |＝|MB |，∴两切线的斜率互为相反数，即2a ＋6×⎝⎛⎭⎫－322＝0，解得a ＝－274．11．已知曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，直线l ：y ＝ax －3a ，则a ＝6是直线l 与曲线C 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．答案 A 解析 因为曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，所以f ′(x )＝3x 2－3．设直线l 与曲线C 相切，且切点的横坐标为x 0，则切线方程为y ＝(3x 20－3)x －2x 30，所以⎩⎨⎧ 3x 20－3＝a ，2x 30＝3a ，解得⎩⎨⎧ x 0＝3，a ＝6或⎩⎨⎧ x 0＝－32，a ＝－34，所以a ＝6是直线l 与曲线C 相切的充分不必要条件，故选A ．12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．12．解析 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，y ＝53，∴斜率最小的切线过点⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1，∴切线方程为y －53＝－1×(x －2)，即3x ＋3y －11＝0．(2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π． 故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π． 13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．13．解析 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1． (2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12．所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞．14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C ．(1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围． 14．解析 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k (k ≠0)，则由题意并结合(1)中结论可知⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1， 则－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，解得x ∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．。
习题第29讲 曲线与方程--高考数学习题和答案
专题九 解析几何第二十九讲 曲线与方程2019年1.（2019北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）。
给出下列三个结论：① 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线③ 曲线所围城的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③2．（2019浙江15）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.3．（2019江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a −+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．4.（2019全国III 理21（1））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12−上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.5.（2019北京理18）已知抛物线2:2C x py =−经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程； (II)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点.6.（2019全国II 理21）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.7. （2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .（1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标. 8.（2019天津理18）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.2010-2018年解答题1．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程． 2．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =−上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．3．(2016年山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标．4．(2016年天津)设椭圆13222=+y ax (a >的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠∠≤，求直线l 的斜率的取值范围．5．(2016年全国II)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||tAM AN =时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．6．（2015湖北）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y −=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．7．（2015江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．8．（2015四川）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2015北京）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，点()01P ，和点 ()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．（2015浙江）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．11．（2014广东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为，， （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．12．（2014辽宁）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b−=过点P ．（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．13．（2013四川）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为1(10)F −，，210F （，），且椭圆C 经过点），3134(P ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率（Ⅱ）设过点），（20A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是MN 上的点，且 222112ANAMAQ+=，求点Q 的轨迹方程．14．（2012湖南）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的点均在2C ：22(5)9x y −+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =−的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设00(,)P x y （3y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线4x =−上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．15．（2011天津）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=− ，求点M 的轨迹方程．16．（2009广东）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y −+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合． （1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G x ax y y a −+−++=与D 有公共点，试求a 的最小值．。
高三数学曲线与方程练习题
高三数学曲线与方程练习题1. 求抛物线 $y=x^2-4x+3$ 的顶点坐标和对称轴方程。
解：首先，我们可以将抛物线的方程表示成标准形式：$y = a(x-h)^2 + k$，其中$(h,k)$为顶点坐标。
将给定的抛物线方程展开，可以得到：$y = x^2 - 4x + 3$比较标准形式与给定方程，可以得知：$h = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2(1)} = 2$将$h$代入给定方程，可以得到顶点的纵坐标：$k = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$所以，抛物线的顶点坐标为 $(2, -1)$。
对称轴的方程可以通过将$x$替换为$h$得到：$x = 2$综上所述，抛物线的顶点坐标为 $(2, -1)$，对称轴方程为 $x = 2$。
2. 已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像过点$(-1, 0)$，切线方程为 $y = 2x - 3$，求函数的解析式。
解：首先，由于已知二次函数的图像过点$(-1, 0)$，可以得到一个方程：$a(-1)^2 + b(-1) + c = 0$化简上述方程，可以得到：$a - b + c = 0$另外，切线的方程为 $y = 2x - 3$，说明该点处的导数为2，即对应二次函数的导数为2。
所以我们可以对二次函数求导以得到导函数。
对二次函数求导，可以得到：$y' = 2ax + b$将过点$(-1, 0)$的坐标代入导函数，可以得到一个新的方程：$2a(-1) + b = 2$化简上述方程，可以得到：$-2a + b = 2$综合以上两个方程，可以得到一个方程组：$\begin{cases}a -b +c = 0 \\-2a + b = 2 \\\end{cases}$通过解方程组，我们可以得到 $a = -\frac{2}{5}$，$b = -\frac{6}{5}$ 和 $c = -\frac{12}{5}$。
(完整版)双曲线基础练习题
(完整版)双曲线基础练习题
1. 引言
该练题旨在帮助读者巩固并提高对双曲线的理解。
通过一系列的基础练题，读者将能够熟悉双曲线的基本特征、图像以及相关的数学概念。
2. 练题
2.1 双曲线图像的分析
给定下列双曲线的方程，请绘制出相应的图像，然后回答相关问题。
1. 双曲线方程：$y = \frac{1}{x}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2. 双曲线方程：$y = \frac{2}{x+1}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。
- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。
2.2 数学概念的应用
回答下列问题，注意要用双曲线的相关概念来解释答案。
1. 为什么双曲线的渐近线可以帮助我们理解双曲线图像的特征？
2. 双曲线的离心率是什么？如何确定一个双曲线的离心率？
3. 通过改变双曲线方程中的参数，如何调整双曲线的形状？
3. 结论
通过完成上述练习题，读者应该能够更深入地理解双曲线的基
本概念和性质。
这些练习题不仅帮助读者熟悉双曲线的图像和方程，还能够加深对双曲线的数学概念的理解。
继续探索和练习双曲线，
将有助于读者在更高级的数学领域中应用这些概念。
曲线练习题
曲线练习题一、基础题(1) y = 2x + 3(2) y = x^2 4x + 1(3) y = 3x^3 2x^2 + x 5(1) y = 4x 7(2) y = 2x^2 + 3x 1(3) y = 5x^3 3x^2 + 2x + 4(1) y = x^2 6x + 9(2) y = 2x^2 + 4x + 6(3) y = 3x^3 9x^2 + 6x二、应用题1. 某物体做直线运动，其位移与时间的关系为 s = 3t^2 + 2t + 1（其中s为位移，t为时间），求：(1) 物体在t=2秒时的位移；(2) 物体在前3秒内的平均速度。
2. 一条河流的流速与时间的关系为 v = 2t + 3（其中v为流速，t为时间），求：(3) 河流在t=4小时时的流速；(4) 河流在前5小时内的平均流速。
三、综合题1. 已知曲线方程 y = x^3 3x^2 + 2x，求：(1) 曲线的拐点；(2) 曲线的极值。
2. 给定曲线方程 y = e^x x^2，求：(3) 曲线的凹凸区间；(4) 曲线的单调区间。
四、拓展题1. 已知曲线方程 y = ln(x^2 + 1)，求：(1) 曲线的渐近线；(2) 曲线在x=0处的曲率。
2. 给定曲线方程 y = sin(x) + cos(x)，求：(3) 曲线的周期；(4) 曲线在[0, π]区间内的最大值和最小值。
五、几何题(1) 画出该曲线的图形；(2) 求曲线在点 (1, 1) 处的切线方程；(3) 计算曲线在 x = 0 和 x = 2 之间的弧长。
(4) 确定曲线的类型；(5) 求曲线在第一象限内的切线斜率；(6) 计算曲线的周长。
六、实际应用题1. 一辆汽车以匀加速直线运动，其速度与时间的关系为 v = 4t + 2（其中v为速度，t为时间），求：(1) 汽车在t=5秒时的速度；(2) 汽车在前6秒内的位移。
2. 某企业的成本与产量的关系为 C = 3Q^2 + 2Q + 10（其中C 为成本，Q为产量），求：(3) 当产量为10时的成本；(4) 产量为多少时，成本最小。
曲线与方程练习题
曲线与方程练习题曲线与方程练习题数学作为一门抽象而又实用的学科，几乎贯穿了我们的整个学习生涯。
其中，曲线和方程是数学中的重要概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。
本文将通过一些练习题，帮助读者更好地理解曲线和方程的关系。
练习题一：给定方程y = 2x + 3，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：首先，我们可以根据方程中的斜率和截距，找到该直线的两个点。
当x= 0时，y = 3；当x = 1时，y = 5。
因此，我们可以在坐标系中连接这两个点，得到一条斜率为2，截距为3的直线。
这条直线是一条倾斜向上的直线，它的斜率表示了直线上每单位x变化对应的y的变化。
练习题二：给定方程y = x^2，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：这个方程表示了一个二次函数的图像。
我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。
例如，当x = -2时，y = 4；当x = -1时，y = 1；当x = 0时，y = 0。
将这些点连接起来，我们可以得到一个开口向上的抛物线。
这个抛物线的特点是，它的顶点位于原点，对称轴为y轴，开口向上。
练习题三：给定方程y = sin(x)，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：这个方程表示了一个正弦函数的图像。
正弦函数是一种周期性的函数，它的图像在一个周期内重复出现。
我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。
例如，当x = 0时，y = 0；当x = π/2时，y = 1；当x = π时，y = 0。
将这些点连接起来，我们可以得到一个波浪形的曲线。
这个曲线的特点是，它在每个周期内都有一个最大值和一个最小值，且对称于y轴。
练习题四：给定方程y = e^x，画出它的图像，并说明该图像的特点。
解析：这个方程表示了一个指数函数的图像。
指数函数是一种增长非常快的函数，它的图像呈现出逐渐上升的趋势。
我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。
高考理科第一轮复习练习(8.8曲线与方程)
课时提升作业(五十八)一、选择题1.(2013·九江模拟)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是( )(A)一条直线和一条双曲线(B)两条双曲线(C)两个点(D)以上答案都不对2.(2013·汉中模拟)设P为圆x2+y2=1上的动点,过P作x轴的垂线,垂足为Q,若错误！未找到引用源。
=λ错误！未找到引用源。
(其中λ为正常数),则点M的轨迹为( )(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线3.(2013·铜陵模拟)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( )(A)x2+y2=2 (B)x2+y2=4(C)x2+y2=2(x≠±2) (D)x2+y2=4(x≠±2)4.设x1,x2∈R,常数a>0,定义运算“*”:x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,则动点P(x,错误！未找到引用源。
)的轨迹是( )(A)圆(B)椭圆的一部分(C)双曲线的一部分(D)抛物线的一部分5.(2013·安庆模拟)已知A,B是圆O:x2+y2=16上的两点,且|AB|=6,若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1,-1),则圆心M的轨迹方程是( )(A)(x-1)2+(y+1)2=9(B)(x+1)2+(y-1)2=9(C)(x-1)2+(y-1)2=9(D)(x+1)2+(y+1)2=96.已知动点P(x,y),若lgy,lg|x|,lg错误！未找到引用源。
成等差数列,则点P的轨迹图象是( )7.已知点P在定圆O的圆内或圆周上,动圆C过点P与定圆O相切,则动圆C的圆心轨迹可能是( )(A)圆或椭圆或双曲线(B)两条射线或圆或抛物线(C)两条射线或圆或椭圆(D)椭圆或双曲线或抛物线8.(2013·合肥模拟)在△ABC中,A为动点,B,C为定点,B(-错误！未找到引用源。
,0),C(错误！未找到引用源。
人教版 高中数学【选修 2-1】2.1曲线与方程课后习题
人教版高中数学精品资料【优化设计】高中数学 2.1曲线与方程课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升A组1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”时,不一定能得到“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,但反之,如果“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,必能得出“曲线C上的点的坐标都是f(x,y)=0的解”.答案:B2.方程y=3x-2(x≥1)表示的曲线为()A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条射线.答案:B3.曲线xy=2与直线y=x的交点是()A.()B.(-,-)C.()或(-,-)D.不存在解析:由解得即交点坐标为()或(-,-).答案:C4.如图所示的曲线方程是()A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0D.-1=0解析:∵(0,0)点在曲线上,∴C,D不正确.∵x≥0,y∈R,∴B正确.答案:B5.一动点C在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.+y2=1解析:设C(x0,y0),P(x,y).依题意有所以因为点C(x0,y0)在曲线x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即点P的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.答案:C6.如果方程ax2+by2=4的曲线过点A(0,-2),B,则a=,b=.解析:由已知解得答案:4 17.已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M的轨迹方程是.解析:设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.由|MA|=3|MB|,得=3,化简得x2+y2=9.答案:x2+y2=98.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解:(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.9.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y).于是=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),=x2-2+y2.由=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.B组1.方程x2+xy=x表示的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析:∵x2+xy=x可化为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,∴原方程表示两条直线.答案:C2.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0解析:|AB|==5.∵S△ABC=|AB|·h=10,∴h=4,即顶点C到AB所在直线的距离为4,易求AB所在直线的方程为4x-3y+4=0.设点C(x,y),则=h=4,∴4x-3y+4=±20.故选B.答案:B3.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析:方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案:24.已知Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.解法一:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x,y).由△ABC是直角三角形可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+y2=a2.依题意可知,x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上.∵以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,又∵C与A,B不重合,∴x≠±a.∴顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).5.若直线y=kx+1与曲线mx2+5y2-5m=0(m>0)恒有公共点,求m的取值范围.解:将y=kx+1代入mx2+5y2-5m=0,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意得,该方程对k∈R总有实数解,∴Δ=20m(m-1+5k2)≥0对k∈R恒成立.∵m>0,∴m≥1-5k2恒成立.∵1-5k2≤1,∴m≥1.故m的取值范围是[1,+∞).6.已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P是线段AB的中点,∴∵A,B分别是直线y=x和y=-x上的点,∴y1=x1,y2=-x2,∴又∵|AB|=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.∴12y2+x2=12.∴动点P的轨迹方程为+y2=1.。
2013高三数学总复习同步练习：8-8曲线与方程(理)
8-8曲线与方程(理) 基础巩固强化1.若点P 到直线y ＝－2的距离比它到点A (0,1)的距离大1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] D[解析] 由条件知，点P 到直线y ＝－1的距离与它到点A (0,1)的距离相等，∴P 点轨迹是以A 为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线．2．已知平面上两定点A 、B 的距离是2，动点M 满足条件MA →·MB →＝1，则动点M 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 [答案] B[解析] 以线段AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设M (x ，y )，∵MA →·MB →＝1，∴(－1－x ，－y )·(1－x ，－y )＝1， ∴x 2＋y 2＝2，故选B.3．(2012·浙江金华十校模拟)如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为( ) A.52 B.54 C. 2 D ．2 [答案] A[解析] 设椭圆、双曲线的半焦距分别为c 、c ′，由条件知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝c a ＝32⇒c 2a 2＝34⇒a 2－b 2a 2＝34⇒b 2a 2＝14， 则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中：e 2＝c ′2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54.所以e ＝52.4．设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”，x 1]x *a ))的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分[答案] D[解析] ∵x 1]x *a )＝(x ＋a )2－(x －a )2＝2ax ， 则P (x,2ax )．设P (x 1，y 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x y 1＝2ax，消去x 得，y 21＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)，故点P 的轨迹为抛物线的一部分．故选D.5．(2012·长沙一中月考)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( )A ．两条直线B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线[答案] D[解析] 原方程化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0，或x －3－1＝0， ∴2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故选D.6．(2011·天津市宝坻区质量检测)若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆x 22＋y 2＝1短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝1B ．y 2－x 2＝1 C.x 24－y 2＝1 D.y 24－x 2＝1 [答案] B[解析] ∵椭圆x 22＋y 2＝1的短轴端点为(0，±1)，离心率e 1＝c a ＝22.∴双曲线的顶点(0，±1)，即焦点在y 轴上，且a ＝1，离心率e 2＝c ′a ＝2，∴c ′＝2，b ＝1，所求双曲线方程为y 2－x 2＝1.故选B. 7．设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是________．[答案] x 2－4y 2＝1[解析] 设M (x ，y )，则P (2x,2y )，代入双曲线方程得x 2－4y 2＝1，即为所求．8．(2011·聊城月考)过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为________．[答案] x ＋y －1＝0[解析] 设l 1：y －1＝k (x －1)，k ≠0，则l 2：y －1＝－1k(x －1)，l 1与x 轴交于点A (1－1k ，0)，l 2与y 轴交于点B (0,1＋1k )，∴AB 的中点M (12－12k ，12＋12k)，设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－12k ，y ＝12＋12k ∴x ＋y ＝1.即AB 的中点M 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.9．(2011·北京理，14)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点P 的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． [答案] ②③[解析] 设P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2得，(x ＋1)2＋y 2·(x －1)2＋y 2＝a 2(a >1)，将原点O (0,0)代入等式不成立，故①错；将(－x ，－y )代入方程中，方程不变，故曲线C 关于原点对称，故②正确；设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确．10．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 是双曲线上任一点，Q 是P 关于x 轴的对称点，求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹E 的方程．[解析] 由条件知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，则Q (x 1，－y 1)，|x 1|>3，∴直线A 1P ：y ＝y 1x 1＋3·(x ＋3)，A 2Q ：y ＝－y 1x 1－3·(x －3)，两式相乘得y 2x 2－9＝－y 21x 21－9， ∵点P 在双曲线上，∴x 219－y 2116＝1，∴－y 21x 21－9＝－169∴y 2x 2－9＝－169，整理得x 29＋y 216＝1(xy ≠0).能力拓展提升11.长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹是( )A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线[答案] C[解析] 设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则 a 2＋b 2＝9，①又AC →＝2CB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，则⎩⎨⎧a ＝3x ，b ＝32y ，②把②代入①式整理可得：x 2＋14y 2＝1.故选C.12．(2012·天津模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1 [答案] D[解析] M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |.∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，(5>|AC |) ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1.故选D.13．已知A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为23，P 是AB 的中点，则动点P 的轨迹C 的方程为________．[答案] x 29＋y 2＝1[解析] 设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P 是线段AB 的中点，∴⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.①∵A 、B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的点，∴y 1＝33x 1和y 2＝－33x 2.代入①中得，⎩⎨⎧x 1－x 2＝23y ，y 1－y 2＝233x .②又|AB →|＝23，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝12.∴12y 2＋43x 2＝12，∴动点P 的轨迹C 的方程为x29＋y 2＝1.14．(2012·福州质检)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2161的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 的个数为________．[答案] 2[解析] 由题意知椭圆的焦点坐标为：F 1(－3,0)，F 2(3,0)．∵△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，∴△MF 1F 2的内切圆的半径r ＝32.又∵S △MF 2F 1＝12(|MF 1|＋|MF 2|＋2c )·r ＝c |y M |，∴y M ＝±4.∴满足条件的点M只有两个，在短轴顶点处．15.如图所示，在平面直角坐标系中，N 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝16上的一动点，点B (1,0)，点M 是BN 的中点，点P 在线段AN 上，且MP →·BN →＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)试判断以PB 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝4的位置关系，并说明理由．[解析] (1)∵点M 是BN 中点，又MP →·BN →＝0， ∴PM 垂直平分BN ，∴|PN |＝|PB |，又|PA |＋|PN |＝|AN |，∴|PA |＋|PB |＝4，由椭圆定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，由2a ＝4,2c ＝2可得，a 2＝4，b 2＝3. 可得动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设PB 中点为C ，则|OC |＝12|AP |＝12(|AN |－|PN |)＝12(4－|PB |)＝2－12|PB |. ∴两圆内切．16．(2012·广东揭阳市模拟)在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝3.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；(2)已知点G (1,0)和G ′(－1,0)，点P 在轨迹M 上运动，现以P 为圆心，PG 为半径作圆P ，试探究是否存在一个以点G ′(－1,0)为圆心的定圆，总与圆P 内切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)依题意知直线A 1N 1的方程为： y ＝m2x ＋2)，① 直线A 2N 2的方程为：y ＝－n2(x －2)，②设Q (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2交点， ①×②得y 2＝－mn 4(x 2－4)．将mn ＝3代入，整理得x 24＋y 23＝1.∵N 1、N 2不与原点重合，∴点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在轨迹M 上， ∴轨迹M 的方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．(2)由(1)知，点G (1,0)和G ′(－1,0)为椭圆x 24＋y 23＝1的两焦点，由椭圆的定义得|PG ′|＋|PG |＝4， 即|PG ′|＝4－|PG |，∴以G ′为圆心，以4为半径的圆与圆P 内切， 即存在定圆G ′，该定圆与圆P 恒内切， 其方程为：(x ＋1)2＋y 2＝16.1．已知点A (2,0)，B 、C 在y 轴上，且|BC |＝4，△ABC 外心的轨迹S 的方程为( )A ．y 2＝2xB ．x 2＋y 2＝4C ．y 2＝4xD ．x 2＝4y[答案] C[解析] 设△ABC 外心为G (x ，y )，B (0，a )，C (0，a ＋4)， 由G 点在BC 的垂直平分线上知y ＝a ＋2， ∵|GA |2＝|GB |2，∴(x －2)2＋y 2＝x 2＋(y －a )2， 整理得y 2＝4x ，即点G 的轨迹S 方程为y 2＝4x .2．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是()A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．双曲线的一支[答案] A[解析]过定点A且与AB垂直的直线l都在过定点A且与AB垂直的平面β内，直线l与α的交点C也是平面α、β的公共点．点C 的轨迹是平面α、β的交线．3．已知log2x、log2y、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()[答案] A[解析] 由log 2x ，log 2y,2成等差数列得2log 2y ＝log 2x ＋2 ∴y 2＝4x (x >0，y >0)，故选A.4．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．[答案] x 24a 2＋y 24b 2＝1 [解析] 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，Q (x ，y )，P (x 1，y 1)，∴PF 1→＝(－c －x 1，－y 1)，PF 2→＝(c －x 1，－y 1)，OQ →＝(x ，y )， 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x 1，y ＝－2y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－x 2，y 1＝－y 2.代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中得，x 24a 2＋y 24b 2＝1. 5．(2012·石家庄质检)点P 为圆O ：x 2＋y 2＝4上一动点，PD ⊥x 轴于D 点，记线段PD 的中点M 的运动轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)直线l 经过定点(0,2)，且与曲线C 交于A 、B 两点，求△OAB 面积的最大值．[解析] (1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则D (x 0,0)．由题意可得⎩⎨⎧ x ＝x 0，y ＝12y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝2y ，(*) 将(*)式代入x 2＋y 2＝4中，得x 24＋y 2＝1，故曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，且方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋2，消去y 整理得(4k 2＋1)x 2＋16kx ＋12＝0， Δ＝(16k )2－4(4k 2＋1)×12＝16(4k 2－3)，由Δ>0，得4k 2－3>0.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋1，x 1x 2＝124k 2＋1.② |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[(－16k 4k 2＋1)2－4·124k 2＋1].③ 原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.④由三角形的面积公式及③④得S △OAB ＝12×|AB |d ＝44k 2－3(1＋4k 2)2＝44k2－3(4k2－3)2＋8(4k2－3)＋16＝414k2－3＋8＋164k2－3≤4116＝1，当且仅当4k2－3＝164k2－3，即4k2－3＝4时，等号成立．此时S△OAB的最大值为1.。
曲线与方程高二练习题
曲线与方程高二练习题
一、选择题
A. 曲线C是开口向下的抛物线
B. 曲线C的顶点坐标为(2, 1)
C. 曲线C与x轴的交点坐标为(1, 0)和(3, 0)
D. 曲线C与y轴的交点坐标为(0, 3)
2. 设曲线y = f(x)在点(x, y)处的切线斜率为2x，则f(x)可能是（）
A. x^2 + 1
B. 2x^2 1
C. x^2 2
D. 2x^3
A. 曲线在x = 0处取得极值
B. 曲线在x = 1处取得极值
C. 曲线在x = 2处取得极值
D. 曲线在x = 1处取得极值
二、填空题
1. 已知曲线C的方程为x^2 + y^2 = 4，则曲线C的圆心坐标为______，半径为______。
2. 给定曲线y = (1/2)x^2 3x + 4，其顶点坐标为______。
3. 若曲线y = ax^2 + bx + c在x = 1处与x轴相切，则a + b + c =______。
三、解答题
1. 已知曲线C的方程为y = x^3 6x，求曲线C的拐点坐标。
2. 给定曲线y = 3x^2 4x + 1，求曲线在x = 2处的切线方程。
3. 设曲线y = f(x)的导数为f'(x) = 2x 3，求曲线y = f(x)在x = 1处的切线方程。
4. 已知曲线C的方程为x^2 + (y 2)^2 = 4，求曲线C与直线y = x + 1的交点坐标。
5. 设曲线y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的顶点坐标为(1, 2)，且过点(0, 3)，求曲线的方程。
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第8讲曲线与方程练习(含解析)(最新整理)
第8讲曲线与方程一、选择题1。
方程（2x＋3y－1)（错误!－1）＝0表示的曲线是（)A。
两条直线 B.两条射线C.两条线段D。
一条直线和一条射线解析原方程可化为错误!或错误!－1＝0,即2x＋3y－1＝0（x≥3）或x＝4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.答案D2。
（2017·衡水模拟）若方程x2＋y2a＝1（a是常数)，则下列结论正确的是（)A.任意实数a方程表示椭圆B。
存在实数a方程表示椭圆C。
任意实数a方程表示双曲线 D.存在实数a方程表示抛物线解析当a>0且a≠1时,方程表示椭圆，故选B。
答案B3。
(2017·长春模拟)设圆（x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A（1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点。
线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )A。
错误!－错误!＝1 B。
错误!＋错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D。
错误!＋错误!＝1解析∵M为AQ的垂直平分线上一点，则｜AM｜＝｜MQ｜,∴|MC｜＋|MA|＝｜MC｜＋|MQ｜＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆。
∴a＝52，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝214，∴M的轨迹方程为错误!＋错误!＝1。
答案D4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是（）A。
y2＝2x B。
(x－1）2＋y2＝4C。
y2＝－2x D。
(x－1）2＋y2＝2解析如图,设P（x，y），圆心为M（1,0）,连接MA，则MA⊥PA，且｜MA｜＝1，又∵｜PA｜＝1，∴|PM｜＝|MA｜2＋|PA｜2＝2,即｜PM｜2＝2，∴（x－1）2＋y2＝2.答案D5.平面直角坐标系中，已知两点A（3,1），B（－1，3），若点C满足错误!＝λ1错误!＋λ2 OB→(O为原点)，其中λ，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是（)1A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析设C（x,y)，因为错误!＝λ1错误!＋λ2错误!，所以（x，y)＝λ1（3，1)＋λ2（－1，3)，即错误!解得错误!又λ1＋λ2＝1，所以错误!＋错误!＝1，即x＋2y＝5 ，所以点C的轨迹为直线，故选A.答案A二、填空题6。
曲线与方程(基础+复习+习题+练习).docx
课题：曲线与方程考纲要求：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.教材复习1.曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线 C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程 f ( x, y)0 的实数解建立了如下关系：1曲线上的点的坐标都是这个方程的； 2 以这个方程的解为坐标的点都是那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（图形）.2.两曲线的交点设曲线 C1的方程为F1x, y0 ，曲线C2的方程为 F2x, y0 ，则曲线C1,C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线C1, C2.3.求动点轨迹方程的一般步骤① 建系：建立适当的坐标系；② 设点：设轨迹上的任一点P x, y ；③列式：列出动点 P 所满足的关系式；④ 代换：依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x, y 的方程式，并化简；⑤证明：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.4.求轨迹方程常用方法1直接法：直接利用条件建立x, y 之间的关系 F x, y0 ；2 定义法：先根据定义得出动点的轨迹的类别，再由待定系数法求出动点的轨迹方程.3 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线的方程. 先根据所求曲线类型设出相应曲线的方程，再由条件确定其待定系数；4 代入法（相关点法）：动点 P x, y 依赖于另一动点 Q x0 , y0的变化而变化，并且 Q x0 , y0又在某已知曲线上，则可先用 x, y 的代数式表示x0, y0，再将x0, y0带入已知曲线得要求的轨迹方程 .5 参数法：当动点P x, y 的坐标 x, y 之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x, y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.5.对于中点弦问题，常用“点差法”：其步骤为：设点，代入，作差，整理.基本知识方法1.掌握“方程与曲线”的充要关系；2.求轨迹方程的常用方法：轨迹法、定义法、代入法、参数法、待定系数法、直接法和交轨法、向量法 . 要注意“查漏补缺，剔除多余” .典例分析：考点一曲线与方程问题 1．1(06调研)如果命题“坐标满足方程 f ( x, y) 0 的点都在曲线 C 上”是不正确的，那么下列命题正确的是A.坐标满足方程 f ( x, y) 0 的点都不在曲线 C 上；B. C f ( x, y)0C.坐标满足方程 f ( x, y) 0 的点有些在曲线 C 上，有些不在曲线 C 上；D.至少有一个点不在曲线 C 上，其坐标满足方程 f (x, y) 0 .2 如果曲线 C 上的点满足方程 f (x, y) 0 ，则以下说确的是： A. 曲线 C 的方程是 f ( x, y) 0 ； B. 方程 f ( x, y) 0 的曲线是 C ；C. 坐标满足方程 f ( x, y) 0 的点在曲线 C 上；D.坐标不满足方程 f ( x, y) 0 的点不在曲线 C 上；3 判断下列结论的正误，并说明理由：① 过点 A 3,0 且垂直于 x 轴的直线的方程为x 3 ；② 到 x 轴距离为2 的点的直线的方程为y2 ；③ 到两坐标轴的距离乘积等于 1xy 1；的点的轨迹方程为④ △ ABC 的顶点 A 0, 3， B 1,0 ， C1,0 ， D 为 BC 的中点，则中线 AD 的方程为x 0 .4 作出方程 yx 2 2 x 1 所表示的曲线 .25 （ 2011）曲线 C 是平面与两个定点 F 1 1,0 和 F 2 1,0 的距离的积等于常数a (a 1)① 曲线 C 过坐标原点；② 曲线 C 关于坐标原点对称；.③若点 P 在曲线 C 上，则△F1PF2的面积大于1a2.2其中，所有正确结论的序号是考点二直接法求轨迹方程问题 2．2011uuur uuruuur uuur uuur uur A 0, 1，B点在直线（全国新课标）在平面直角坐标系xOy 中，已知点y3 上，M点满足 MB / /OA ， MA AB MB BA ，M点的轨迹为曲线C.（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ）略.考点三定义法求轨迹方程问题 3．已知△ABC中，A、B、C所对的边分别为a, b,c ，且a c b 成等差数列， AB 2 ，求顶点 C 的轨迹方程..考点四代入法（相关点法）求轨迹方程问题 4．（2011）如图，设P是圆x2y225 上的动点，点D4是 P 在x轴上投影， M 为 PD 上一点，且| MD || PD |．.1 当 P 在圆上运动时，求点M 的轨迹 C 的方程；2 求过点3,0 且斜率为4的直线 l 被 C 所截线段的长度．5课后作业：1. 方程x22y22A. 两个点B. 四个点C.两条直线D. 四条直线440 表的图形是2.设曲线 C 是到两坐标轴距离相等点的轨迹，那么 C 的方程是A. x y 0B.x y 0C. | x || y | 0D. y | x | 和 x| y |3.已知x2y21点，接于圆，且BAC 60o，当 B,C 在圆上运动时，BC A(1,0)△ ABC中点的轨迹方程是A. x2y21B. x2y21C. x2y21(x1) D. x2y21(x1)2422444.若两直线x y 5a 0 与 x y a 0 交点在曲线y x2 a 上，则 a5.若曲线y2xy 2x k 0 通过点 (a, a)(a R) ，则k的取值围是6.画出方程x2y24x y 10 所表示的图形：7. A 为定点，线段 BC 在定直线 l 上滑动，已知| BC | 4， A到 l 的距离为 3 ，求△ ABC 的外心的轨迹方程 .8. 设 x R ，求两直线l1：x my 6 0 与 l2：m 2 x 3 y 2m0 的交点 P 的轨迹方程.9. 已知抛物线y2 4 px p0 ， O 为顶点，yA, B 为抛物线上的两动点，且OA OB ，如果MAOM AB 于 M ，求点 M的轨迹方程 .走向高考：10.（ 01）设圆 M 的方程为( x3)2( y 2) 22，直线l的方程为 x y 30 的点P的坐标为 (2,1) ，那么A. 点 P 在直线 l 上，但不在圆M 上B. 点 P 在圆 M 上，但不在直线l 上C.点 P 既在圆 M 上，也在直线 l 上，D. 点 P 既不在圆 M 上，也不在直线 l 上uuur uuur11. ( 04 )已知点A( 2,0)、B(3,0)，动点P(x, y)满足PA PB x2，则点P的轨迹是A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线12.( 2012 ) 如图，动点M 到两定点A(1,0) 、 B(2,0)构yM成MAB ，且 MBA 2 MAB ，设动点 M 的轨迹为 C .（Ⅰ）求轨迹 C 的方程；（Ⅱ）略.AO B x。
高中数学高考总复习曲线与方程习题及详解
高中数学高考总复习曲线与方程习题及详解一、选择题1．若M 、N 为两个定点且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] 以MN 的中点为原点，直线MN 为x 轴建立直角坐标系．并设M (－3,0)，N (3,0)，P (x ，y )，则PM →·PN →＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y ) ＝(x 2－9)＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝9.2．(2010·浙江台州)在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O )和一个定点F (F 在圆外)．在圆上任取一点M ，将纸片折叠使点M 与点F 重合，得到折痕CD .设直线CD 与直线OM 交于点P ，则点P 的轨迹为( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线[答案] A[解析] 由OP 交⊙O 于M 可知|PO |－|PF |＝|PO |－|PM |＝|OM |<|OF |(F 在圆外)，∴P 点的轨迹为双曲线，故选A.3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π[答案] B[解析] 设P (x ，y )，由知有：(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4，可知圆的面积为4π.4．已知点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点A 到F 1的距离是23，线段AF 2的垂直平分线交AF 1于点P ，则点P 的轨迹方程是( )A.x 29＋y 24＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 23＋y 22＝1D.x 212＋y 210＝1 [答案] C[解析] 依题意得，|P A |＝|PF 2|， 又|P A |＋|PF 1|＝|AF 1|＝23，故|PF 1|＋|PF 2|＝23，点P 的轨迹为椭圆， 方程为x 23＋y 22＝1.5．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是( )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支[答案] A[解析] 过定点A 且与AB 垂直的直线l 都在过定点A 且与AB 垂直的平面β内，直线l 与α的交点C 也是平面α、β的公共点．点C 的轨迹是平面α、β的交线．6．已知log 2x 、log 2y 、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M (x ，y )的轨迹为( )[答案] A[解析] 由log 2x ，log 2y,2成等差数列得 2log 2y ＝log 2x ＋2 ∴y 2＝4x (x >0，y >0)，故选A.7．过椭圆x 29＋y 24＝1内一点R (1,0)作动弦MN ，则弦MN 中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] B[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，则4x 12＋9y 12＝36,4x 22＋9y 22＝36， 相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 将x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 1－y 2x 1－x 2＝yx －1代入可知轨迹为椭圆． 8．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 [答案] A[解析] 设P 1、P 2为P 的轨迹上两点，则AP 1⊥BD 1，AP 2⊥BD 1.∵AP 1∩AP 2＝A ， ∴直线AP 1与AP 2确定一个平面α，与面BCC 1B 1交于直线P 1P 2，且知BD 1⊥平面α， ∴P 1P 2⊥BD 1，又∵BD 1在平面BCC 1B 1内的射影为BC 1，∴P 1P 2⊥BC 1，而在面BCC 1B 1内只有B 1C 与BC 1垂直，∴P 点的轨迹为B 1C .9．设x 1、x 2∈R ，常数a >0，定义运算“*”，x 1]x *a ))的轨迹是( ) A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分[答案] D[解析] ∵x 1]x *a )＝(x ＋a )2－(x －a )2＝2ax ， 则P (x,2ax )．设P (x 1，y 1)，即⎩⎨⎧x 1＝xy 1＝2ax，消去x 得，y 12＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)，故点P 的轨迹为抛物线的一部分．故选D.10．(2011·广东佛山、山东诸城)如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不正确的是( )A ．a 1－c 1＝a 2－c 2B ．a 1＋c 1>a 2＋c 2C ．a 1c 2>a 2c 1D ．a 1c 2<a 2c 1[答案] C[解析] 设椭圆Ⅰ和Ⅱ的中心分别为O 1，O 2，公共左顶点为A ，如图，则a 1－c 1＝|AO 1|－|FO 1|＝|AF |，a 2－c 2＝|AO 2|－|FO 2|＝|AF |，故A 对；又a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，故B 对；由图知e 1>e 2，即c 1a 1>c 2a 2，∴a 1c 2<a 2c 1，故D 对，C 错．二、填空题11．F 1、F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．[答案] x 2＋y 2＝4[解析] 延长F 1D 与F 2A 交于B ，连结DO ，可知|DO |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，∴动点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.12．(2010·哈师大附中)已知曲线C 1的方程为x 2－y 28＝1(x ≥0，y ≥0)，圆C 2的方程为(x－3)2＋y 2＝1，斜率为k (k >0)的直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与双曲线C 1相交于点B ，|AB |＝3，则直线AB 的斜率为________．[答案]33[解析] 设B (a ，b )，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 28＝1(a －3)2＋b 2＝3＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，故|3k －k |1＋k 2＝1，∴k ＝33，或k ＝－33(舍去)． 13．(2010·浙江杭州质检)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9(位于圆x 2＋y 2＝16内的) [解析] ∵以AB 为直径的圆过点C ，∴AC ⊥BC ， ∵M 是AB 中点，∴|CM |＝12|AB |＝3，故点M 在以C (1，－1)为圆心，3为半径的圆上，方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，∵M 为弦AB 的中点，∴M 在⊙O 内，故点M 轨迹为圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9位于圆x 2＋y 2＝16内的部分．14．(2010·青岛一中)如图，两条过原点O 的直线l 1，l 2分别与x 轴、y 轴成30°的角，点P (x 1，y 1)在直线l 1上运动，点Q (x 2，y 2)在直线l 2上运动，且线段PQ 的长度为2.则动点M (x 1，x 2)的轨迹C 的方程为________．[答案] x 23＋y 2＝1[解析] 由已知得直线l 1⊥l 2， l 1：y ＝33x ，l 2：y ＝－3x ， ∵点P (x 1，y 1)在直线l 1上运动，点Q (x 2，y 2)在直线l 2上运动，∴y 1＝33x 1，y 2＝－3x 2， 由|PQ |＝2得，(x 12＋y 12)＋(x 22＋y 22)＝4， 即43x 12＋4x 22＝4⇒x 123＋x 22＝1， ∴动点M (x 1，x 2)的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.三、解答题15．(2010·广州市质检)已知动点P 到定点F (2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为22. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →·FN →＝0，求|MN |的最小值．[解析] (1)设点P (x ，y )， 依题意有，(x －2)2＋y 2|x －22|＝22，整理得x 24＋y 22＝1，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点E 与点F 关于原点O 对称， ∴点E 的坐标为(－2，0)． ∵M 、N 是直线l 上的两个点，∴可设M (22，y 1)，N (22，y 2)(不妨设y 1>y 2)． ∵EM →·FN →＝0，∴(32，y 1)·(2，y 2)＝0， ∴6＋y 1y 2＝0，即y 2＝－6y 1.由于y 1>y 2，∴y 1>0，y 2<0. ∴|MN |＝y 1－y 2＝y 1＋6y 1≥2y 1·6y 1＝2 6. 当且仅当y 1＝6，y 2＝－6时，等号成立． 故|MN |的最小值为2 6.[点评] 直译法是求轨迹的基本方法，对于符合圆锥曲线定义的轨迹问题，也常用定义法求解，请再做下题：(2010·陕西宝鸡市质检)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，直线l ：y ＝x ＋2与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左焦点为F 1，右焦点F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直l 1于点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程；(3)若AC 、BD 为椭圆C 1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F 2，求四边形ABCD 的面积的最小值．[解析] (1)∵e ＝33，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13，∴2a 2＝3b 2.∵直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴b ＝2，b 2＝2，∴a 2＝3. ∴椭圆C 1的方程是x 23＋y 22＝1.(2)∵|MP |＝|MF 2|，∴动点M 到定直线l 1：x ＝－1的距离等于它到定点F 2(1,0)的距离， ∴动点M 的轨迹C 2是以l 1为准线，F 2为焦点的抛物线． ∴点M 的轨迹C 2的方程为y 2＝4x .(3)当直线AC 的斜率存在且不为零时，设直线AC 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则直线AC 的方程为y ＝k (x －1)．联立x 23＋y 22＝1及y ＝k (x －1)得，(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，所以x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1x2＝3k 2－62＋3k 2. |AC |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝48(k 2＋1)2＋3k 2.由于直线BD 的斜率为－1k ，用－1k 代换上式中的k 可得|BD |＝48(1＋k 2)2k 2＋3.因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝24(1＋k 2)2(2＋3k 2)(2k 2＋3)，由于(2＋3k 2)(2k 2＋3)≤[(2＋3k 2)＋(2k 2＋3)2]2＝[5(k 2＋1)2]2，所以S ≥9625，当2＋3k 2＝2k 2＋3，即k ＝±1时取等号．易知，当直线AC 的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD 的面积S ＝4. 综上可得，四边形ABCD 面积的最小值为9625.16．(2010·浙江金华十校联考)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．[解析] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4 ①y 1＋y 2＝8＋p2 ②， 又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1③由①，②，③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 则抛物线G 的方程为：x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0④ ∴x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2， 对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4. ∴b ∈(2，＋∞)．[点评] 解析几何与向量，导数结合是可能的新命题方向，其本质仍是解析几何问题，请再练习下题：(2010·湖南师大附中)如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴的负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上动点P 在点A 和B 之间运动时，求△ABP 面积的最大值． [解析] (1)据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2， 抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＝－2py 得，x 2＋2pkx －4p ＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.所以OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)． 因为OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1k ＝2. 故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线的方程为x 2＝－2y .(2)根据题意，当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 设点P (x 0，y 0)，因为y ′＝－x ，则－x 0＝2，解得x 0＝－2， 又y 0＝－12x 02＝－2，所以P (－2，－2)．此时，点P 到直线l 的距离 d ＝|2×(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0.则x 1＋x 2＝－4，x 1·x 2＝－4， 所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝1＋22·(－4)2－4(－4)＝410.故△ABP 面积的最大值为12|AB |·d ＝12×410×455＝8 2.17．(2010·辽宁省实验中学)如图，在Rt △DEF 中，∠DEF ＝90°，|EF →|＝2，|EF →＋ED →|＝52，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1以E 、F 为焦点且过点D ，点O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点K 满足OK →＝13ED →，问是否存在不平行于EF 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N 且|MK →|＝|NK →|，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围，若不存在，说明理由．[解析] (1)由已知E (－1,0)，F (1,0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，令x D ＝－c 可得y D ＝b 2a，∵|EF →＋ED →|＝52，EF →⊥ED →，|EF →|＝2，∴|ED →|＝32.∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1b 2a ＝32，解得⎩⎨⎧a ＝2b ＝3∴椭圆C 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)∵OK →＝13ED →，∴K ⎝⎛⎭⎫0，12，当l ⊥EF 时，不符合题意， 故可设直线l 的方程为：y ＝kx ＋m (k ≠0) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1消去y 得， (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0 ∵M 、N 存在，∴Δ>0即64k 2m 2－4(3＋4k 2)·(4m 2－12)>0， ∴4k 2＋3>m 2(※)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点H (x 0，y 0) ∴x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m3＋4k 2， ∵|MK →|＝|NK →|，∴|MK |＝|NK |，|MK |＝|NK |⇔MN ⊥KH ⇔y 0－12x 0＝－1k ⇔3m 3＋4k 2－12－4km 3＋4k 2＝－1k ⇔m ＝－3＋4k 22代入(※)式得4k 2＋3>⎝⎛⎭⎫－3＋4k 222∴4k 2＋3<4，又k ≠0，∴－12<k <12且k ≠0∴l 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12.。
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)8.8曲线与方程课件 新人教A版
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解析： ∵M 为 AQ 垂直平分线上一点， 则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋ |MQ|＝|CQ|＝5，故 M 的轨迹为椭圆， 5 21 2 2 2 ∴a＝ ，c＝1，则 b ＝a －c ＝ ， 2 4 4x2 4y2 ∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 25 21
1 2 x ＋4 4 2 0 1 2 x ＋4＋ 所以 d＝ 2 ＝ 0 ≥2， 2 2 x0＋4 x0＋4 当 x0＝0 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.
直接法求曲线方程的一般步骤 (1)建立合理的直角坐标系；
(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关
[解]
设动点为 M，其坐标为(x，y)，
y y 当 x≠± 时，由条件可得 kMA1· a kMA2＝ · ＝ x＋a x－a y2 2 2 2 a)， 2 2＝m，即 mx －y ＝ma (x≠± x －a 又 A1(－a,0)，A2(a,0)的坐标满足 mx2－y2＝ma2， 故依题意，曲线 C 的方程为 mx2－y2＝ma2. x2 y2 当 m＜－1 时，曲线 C 的方程为 2＋ ＝1，C 是 a －ma2 焦点在 y 轴上的椭圆；
定义法求轨迹方程
[例2]
(2012· 海淀模拟)点P到图形C上每一个点的距
离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆 的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是( )
A．圆
C．双曲线的一支
B．椭圆
D．直线
[自主解答]
高中理科数学20.1曲线与方程求曲线的方程导学案附分层练习题及答案解析
20．1 曲线与方程 求曲线的方程【知识网络】1．巩固前期学习的曲线的定义与性质，熟悉圆锥曲线的统一定义． 2．体会曲线与方程的对应关系．． 3．进一步感受数形结合的基本思想． 【典型例题】[例1]（1）圆心在抛物线x y 22=（0>y ）上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ）A ．221204x y x y +---= B ．22210x y x y ++-+= C ．22210x y x y +--+= D ．041222=+--+y x y x（2）已知两点M （1，54 ），N （－4，－54 ），给出下列曲线方程：①4x ＋2y －1=0 ②x 2＋y 2=3 ③22x ＋y 2=1 ④22x ＋y 2=1在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程的代号是 （ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④（3）条件A ：曲线C 上所有点的坐标都是方程f(x,y)=0的解；条件B ：以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上．则A 与B 关系是（ ）A ．A 是B 的充分不必要条件 B ．A 是B 的必要不充分条件C ．A 是B 的充要条件D ．A 既不是B 的充分条件也不是B 的必要条件 （4）已知曲线C ：x y ＋2x －ky ＋3=0经过点（－1，2），则k= ．（5）点（m,n)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y=0外，则m ，n 满足的条件是 ．[例2] 求到两不同定点距离之比为一常数λ（λ≠0）的动点的轨迹方程．[例3] 已知三点A(-2-a,0)，P(-2-a ，t)，F(a,0),其中a 为大于零的常数，t 为变数，平面内动点M 满足⋅=0，且∣∣=∣∣+2． （1）求动点M 的轨迹；（2）若动点M 的轨迹在x 轴上方的部分与圆心在C(a+4,0)，半径为4的圆相交于两点S ，T ，求证：C 落在以S 、T 为焦点过F 的椭圆上．[例4] 已知点P(-3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足23,0-==⋅ （1） 当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程；（2） 设轨迹C 的准线为l ，焦点为F ，过F 作直线m 交轨迹C 于G ，H 两点，过点G 作平行于轨迹C 的对称轴的直线n ，且n l=E ，试问点E ，O ，H （O 为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由．【课内练习】1．方程()()0122=-+-xy y x 表示的图形是（ ）A ．一条直线和一条双曲线B ．两条双曲线C ．两个点D ．以上答案都不对．2．下列各组方程中表示同一曲线的是 （ ） A ．x 2=y 与x=y B ．y －2x ＋1=0与121y x -=- C ．y=|x|与x 2－y 2=0 D ．y －1=21y x+与y 2＋x －xy ＋1=03．到x 轴y 轴距离之积等于常数k （k ＞0）的点的轨迹所在象限是（ ）A ．一、三象限B ．二、四象限C ．第一象限D ．第一、二、三、四象限4．长为m 的一条线段AB ，其两段分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动，则线段的中点轨迹是 （ ）A ．直线的一部分B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．一个以原点为圆心半径为m2 的圆．5． 到两定点（1，0），（－1，0）的距离之比等于2的点的轨迹方程是 ． 6．已知动抛物线以x 轴为准线，且经过点（0，1），则抛物线的焦点的轨迹方程是 ．7．椭圆221169x y +=上一点到其左准线的距离是2，则到右焦点的距离等于 ． 8．已知动点P 到定点(－3，0)的距离比它到直线x －1=0的距离大2，求动点P 的轨迹方程．9．抛物线y 2=2px(p ＞0)有一内接直角三角形，直角顶点为原点，一直角边的方程为y=2x ，斜边长为5 3 ，求抛物线的方程．10．已知动点P 与双曲线13222=-y x 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且 21cos PF F ∠的最小值为91-．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若已知)3,0(D ，M 、N 在动点P 的轨迹上且λ=，求实数λ的取值范围．20．1 曲线与方程 求曲线的方程A 组1．方程221||||x y x y +=表示的图形是 （ ） A ．一条直线 B ．两条平行线段 C ．一个正方形 D ．一个正方形（除去四个顶点） 2．已知线段AB=2，动点M 到A ，B 两点的距离的平方差是10，则动点的轨迹是（ ） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一个椭圆 D ．双曲线3．已知直角△ABC 的斜边BC 的两个端点分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上移动，顶点A 和原点分别在BC 的两侧，则点A 的轨迹是 （ ）A ．线段B ．射线C ．一段圆弧D ．一段抛物线4．抛物线y 2=6x 的斜率为2的平行弦的中点轨迹方程是 ．5．点Q 是双曲线x 2－4y 2=16上任意一点，定点A （0，4），则内分AQ → 所成比为12 的点P 的轨迹方程是 ．6．已知动圆过点F 1（－5，0）且与定圆x 2＋y 2－10x －11=0相外切，求动圆圆心的轨迹方程．7．已知常数0,(0,),(1,0)a c a i >==向量。
双曲线及其标准方程练习题
3.2.1 双曲线的定义及其标准方程(作业)一、选择题1.已知双曲线中a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为（ ）A .x 225－y 224＝1B .y 225－x 224＝1C .x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D .x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 2.方程x 22+m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A .－2＜m ＜2B .m ＞0C .m ≥0D .｜m ｜≥23.若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）满足b a＝√52，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则双曲线C的方程为（ ）A .x 24－y 25＝1B .x 28－y 210＝1C.x 25－y24＝1D.x24－y23＝14.双曲线x 225－y224＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（）A.1或21B.14或36C.2D.215.若双曲线E：x 29－y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且｜PF1｜＝3，则｜PF2｜＝（）A.11B.9C.5D.36.（多选）过点（1，1），且ba＝√2的双曲线的标准方程可以是（）A.x 21 2－y2＝1B.y212－x2＝1C.x2－y 21 2＝1D.y2－x212＝1二、填空题1.已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，则点P 到点F 2的距离为 .2.若点P 是双曲线x 29－y 216＝1上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为 .三、解答题1.分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是（－5，0），（5，0），双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的端点为焦点，且经过点（3，√10）；(3)过点P (3，154)，Q (－163，5)且焦点在坐标轴上.。
曲线和方程
曲线与方程
复习旧知
1.什么叫轨迹？轨迹与条件之间具 有什么关系？ 答：适合某种条件的点的集合叫轨 迹. 关系： (1)图形上的每一点都符合某一条件; (2)符合某一条件的点都在图形上. 2.直线的方程与方程的直线的概念 是怎样的?
新课开始
问题1:两坐标轴所成的角位于第一、 三象限的平分线l的方程是x-y=0包 y 含几方面内容？ x-y=0 答： 2 (1)直线l上的点的坐标 -2 都是方程x-y=0的解； (2)以方程x-y=0的解为 坐标的点都在直线上.
2 1
证明方法总结：
1、证明时应证明两方面：纯粹 性和完备性. 2、判断点M1、M2是否在圆上的 依据是：如果曲线C的方程是 f(x,y)=0,那么P0(x0,y0)在曲线C上 的充要条件是f(x0,y0)=0. 3、变式训练：x2+y2=25(y≥0)所 表示的曲线是怎样的？
2 课堂练习
• 课本P69练习1、2、3 • 补充练习： B,C在,A不在 1、判断A(2,-3),B(-1,2√2),C(-2+3cosα,3sinα)三 点是否在方程x2+y2+4x-5=0的曲线上？ 2、已知方程mx2+ny-4=0的曲线经过点A(1,-2)， B(-2,4)，则m=_____，n=____. (3)方程(3x-4y-12)[log2(x+2y)-3]=0的曲线经过 点A(0,-3),B(0,4),C(4,0),D(5/3,-7/4)中的( ) B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
例3:已知一条曲线在x轴上方,它上面的 每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴 的距离差都是2,求这条曲线的方程.
解:设点M(x,y)是曲线上任一点, P={M||MA-MB|=2},即:
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课题：曲线与方程
考纲要求：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 教材复习
1.曲线的方程与方程的曲线
在直角坐标系中，如果某曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下关系：
()1曲线上的点的坐标都是这个方程的 ；()2以这个方程的解为坐标的点都是
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（图形）. 2.两曲线的交点
设曲线1C 的方程为()1,0F x y =，曲线2C 的方程为()2,0F x y =，则曲线12,C C 的交点坐标
即为方程组 的实数解，若此方程组无解，则两曲线12,C C .
3.求动点轨迹方程的一般步骤
①建系：建立适当的坐标系；②设点：设轨迹上的任一点(),P x y ；③列式：列出动点P 所满足的关系式；④代换：依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为,x y 的方程式，并化简；⑤证明：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
4.求轨迹方程常用方法
()1直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(),0F x y =；
()2定义法：先根据定义得出动点的轨迹的类别，再由待定系数法求出动点的轨迹方程. ()3待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线的方程.先根据所求曲线类型设出相应曲线的
方程，再由条件确定其待定系数；
()4代入法（相关点法）
：动点(),P x y 依赖于另一动点()00,Q x y 的变化而变化，并且()00,Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 带入已知曲线得要求的轨迹方程.
()5参数法：当动点(),P x y 的坐标,x y 之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，
可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.
5.对于中点弦问题，常用“点差法”
：其步骤为：设点，代入，作差，整理. 基本知识方法
1.掌握“方程与曲线”的充要关系；
2.求轨迹方程的常用方法：轨迹法、定义法、代入法、参数法、待定系数法、直接法和交轨法、向量法. 要注意“查漏补缺，剔除多余”.
典例分析：
考点一 曲线与方程
问题1．()1(06调研)如果命题“坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上”
是不正确的，那么下列命题正确的是
.A 坐标满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上；
.B 曲线C 上的点不都满足方程(,)0f x y =；
.C 坐标满足方程(,)0f x y =的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上； .D 至少有一个点不在曲线C 上，其坐标满足方程(,)0f x y =. ()2如果曲线C 上的点满足方程(,)0f x y =，则以下说确的是： .A 曲线C 的方程是(,)0f x y =； .B 方程(,)0f x y =的曲线是C ；
.C 坐标满足方程(,)0f x y =的点在曲线C 上；
.D 坐标不满足方程(,)0f x y =的点不在曲线C 上；
()3判断下列结论的正误，并说明理由：
① 过点()3,0A 且垂直于x 轴的直线的方程为3x =；
②到x 轴距离为2的点的直线的方程为2y =-；
③到两坐标轴的距离乘积等于1的点的轨迹方程为1xy =；
④ABC △的顶点()0,3A -，()1,0B ，()1,0C -，D 为BC 的中点，则中线AD 的方程为
0x =.
()4作出方程y =
所表示的曲线.
()5（2011）曲线C 是平面与两个定点()11,0F -和()21,0F 的距离的积等于常数 2(1)
a a >的点的轨迹.给出下列三个结论：
① 曲线C 过坐标原点； ② 曲线C 关于坐标原点对称；
③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积大于
212
a . 其中，所有正确结论的序号是
考点二 直接法求轨迹方程
问题2．（2011全国新课标）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A -，B 点在直线3y =- 上，M 点满足//MB OA uuu r uu r ， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r
，M 点的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）略.
考点三 定义法求轨迹方程
问题3．已知ABC △中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为,,a b c ，且a c b >> 成等差数列，2AB =，求顶点C 的轨迹方程.
考点四代入法（相关点法）求轨迹方程
问题4．（2011）如图，设P是圆2225
x y
+=上的动点，点D
是P在x轴上投影，M为PD上一点，且
4
||||
5
MD PD
=．
()1当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； ()2求过点()3,0且斜率为
4
5
的直线l 被C 所截线段的长度．
课后作业：
1.方程()()2
2
22440x y -+-=表的图形是 .A 两个点.B 四个点.C 两条直线.D 四条直线
2.设曲线C 是到两坐标轴距离相等点的轨迹，那么C 的方程是
.A 0x y -=.B 0=.C ||||0x y -=.D ||y x =和||x y =
3.已知221x y +=点(1,0)A ，ABC △接于圆，
且60BAC ∠=o
，当,B C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是
.A 2212x y +=
.B 22
14x y += .C 2211()22x y x +=< .D 2211()44
x y x +=<
4.若两直线50x y a ++=与0x y a --=交点在曲线2y x a =+上，则a =
5.若曲线220y xy x k -++=通过点(,)()a a a R -∈，则k 的取值围是
6.画出方程()2240x y +-=所表示的图形：
7.A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，已知||4BC =，A 到l 的距离为3，求ABC △的
外心的轨迹方程.
8.设x R ∈，求两直线1l ：60x my ++=与2l ：()2320m x y m -++=的交点P 的轨迹方程.
9.已知抛物线24y px =()0p >，O 为顶点，
,A B 为抛物线上的两动点，且OA OB ⊥，如果
OM AB ⊥于M ，求点M 的轨迹方程.
走向高考：
10.（01）
设圆M 的方程为2)2()3(2
2=-+-y x ，直线l 的方程为03=-+y x 的点P 的坐标为)1,2(，那么 .A 点P 在直线l 上，但不在圆M 上 .B 点P 在圆M 上，但不在直线l 上
.C 点P 既在圆M 上，也在直线l 上， .D 点P 既不在圆M 上，也不在直线l 上
11.(04)已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点(,)P x y 满足2PA PB x ⋅=u u u r u u u r
，则点P 的轨迹是 .A 圆 .B 椭圆 .C 双曲线 .D 抛物线
12.(2012)如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构
成MAB ∆，且2MBA MAB ∠=∠，设动点M 的轨迹为C .（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）略.。