最新数字信号处理信号的频率分析
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0
2 2 1 Px x(t ) dt ck Tp T k
p
* 1 ck T T k p p
x(t )e j 2 kF0t dt k
第4章 信号和系统的频率分析
4.1 4.2 4.3 4.4
连续时间信号的频率分析 离散时间信号的频率分析 频域和时域的信号特性 离散时间信号傅里叶变换的性质
4.5
小结和参考文献
4.1
连续时间信号的频率分析
利用玻璃棱镜(a)分析和(b)综合白光(太阳光).1672年 牛顿在写给皇家协会的论文中用谱这个术语描述分光 仪产生连续色带。
主要内容
1 2 3 4
连续时间周期信号的傅里叶级数 周期信号的功率谱密度 连续时间非周期信号的傅里叶变换 非周期信号的能量谱密度
1
连续时间周期信号的傅里叶级数
实际中经常碰到的周期信号就是方波、矩形 波、三角波，当然包括正弦波和复指数。 周期信号的基本数学表示就是傅里叶级数， 它是谐波相关正弦信号或者复指数信号的线 性加权和。 j 2 kF0t 复指数谐波线性组合 x(t ) ck e
j 2 kF0t
t0 T p
t0
x(t )e
dt
e
j 2 lF0t
( ຫໍສະໝຸດ Baiduk e j 2 kF0t )dt
k
k
ck
t0 T p
t0
e j 2 F0 ( k l )t dt
t0 Tp
t0
e j 2 F0 ( k l )t t0 Tp 0, k l t0 T p j 2 F0 ( k l ) j 2 F0 ( k l ) t t0 e dt t0 t0 T p t0 T p dt t t Tp , k l 0 t 0 1 t T j 2 lF t j 2 lF t x(t )e dt clTp cl x ( t ) e dt t Tp
x(t ) a0 ( ak cos 2 kF0 t bk sin 2 kF0 t ) a0 c0 ak 2 ck cos k
k 1
bk 2 ck sin k
实周期信号傅里叶级数展开的三种等价形式。
2
周期信号的功率谱密度
平均功率
1 Px Tp
j 2 kF0t *
用基本数学工具获得信号的频谱的过程称为频 率或者频谱分析。 在实际中，用信号的测量值来确定信号的谱的 过程称为谱估计。 可以把谱估计当做从信号源获取信号的一类谱 分析 (例如，语音、EEG、ECG等)。 用于获取信号的谱估计的软件或者仪器被称为 频谱分析仪。 傅里叶分析工具：傅里叶级数和傅里叶变换代 替了棱镜作用。
Tp
x(t ) dt
实际中，感兴趣的所有周期信号都满足这些条件。
周期信号为实数
ck 和c k 是复共轭 ck ck e j k c k ck e j k x(t ) c0 2 ck cos(2 kF0 t k )
k 1
另一种形式展开式 cos(2 kF0 t k ) cos 2 kF0 t cos k sin 2 kF0 t sin k
第4章 信号的频域分析
傅里叶变换和傅里叶级数是 LTI系统分析与设计中非常 有用的工具。 信号的频域表示 : 用正弦信号（或复指数信号）作为 分量来分解(或表示)信号。 对周期信号，这种分解称为傅里叶级数。 对有限能量信号，这种分解称为傅里叶变换。 LTI系统的线性性意味着当输入为正弦分量的线性组合 时，输出信号在形式上也是正弦信号的线性组合，差 别仅仅在于各分量的幅度和相位有所不同。 LTI系统的特征表明信号的正弦分解是非常重要的。
0 0 p 0 0
1 cl Tp
Tp
x(t )e j 2 lF0t dt
1
连续时间周期信号的傅里叶级数
综合方程
x(t )
1 ck Tp
k
ck e j 2 kF0t
x(t )e j 2 kF0t dt
分析方程
Tp
如果信号是周期的且满足Dirichlet条件，则它一定 可以表示为综合方程的傅里叶级数，其中系数由分析 方程确定。 Dirichlet 信号 x(t ) 在一个周期内不连续点的个数有限。 信号 x(t ) 在一个周期内最小点和最大点的个数有限。 信号 x(t ) 在一个周期内绝对可积，即
T
p
x(t ) dt
2
功率信号的 Parseval关系
x(t )
k
ck e
x (t )
k
ck e j 2 kF0t
2 1 1 Px x(t ) dt x(t )x* (t )dt Tp Tp Tp T p 1 * j 2 kF t x(t ) ck e dt T Tp p k
Joseph ，在测量太阳和 星体发射的光线时，发现 看到的光线的谱包含不同 的色光。 19世纪中叶发现，每种化学元 素受热辐射出不同的色光。因 此，可以通过化学元素的光谱 来辨识每种化学元素。
频率分析
从物理学，每一种颜色对应一种可见光谱的特定频 率。因此，从光到颜色的分析就是一种频率分析。 信号的频率分析将信号分解成正弦频率分量。不同 的信号拥有不同的谱，谱是信号的又一种表示. 频率分析的基本目的: 给出一个分析任意给定信号 的频率分量的数学和图形表示方式。 可以证明: 实际中大多数有意义的信号能分解为正 弦信号分量和的形式。
k
这是一个周期信号，基本周期为Tp 1/ F0 。
{e j 2 kF0t
k 0, 1, 2,
}
基本模块，只需要适当选取基本频率和系数，就可 由它构造出不同类型的周期信号。
系数 {ck }的确定:
x(t )
j 2 lF0t
ck e k
t 0 T p t0
2 2 1 Px x(t ) dt ck Tp T k
p
* 1 ck T T k p p
x(t )e j 2 kF0t dt k
第4章 信号和系统的频率分析
4.1 4.2 4.3 4.4
连续时间信号的频率分析 离散时间信号的频率分析 频域和时域的信号特性 离散时间信号傅里叶变换的性质
4.5
小结和参考文献
4.1
连续时间信号的频率分析
利用玻璃棱镜(a)分析和(b)综合白光(太阳光).1672年 牛顿在写给皇家协会的论文中用谱这个术语描述分光 仪产生连续色带。
主要内容
1 2 3 4
连续时间周期信号的傅里叶级数 周期信号的功率谱密度 连续时间非周期信号的傅里叶变换 非周期信号的能量谱密度
1
连续时间周期信号的傅里叶级数
实际中经常碰到的周期信号就是方波、矩形 波、三角波，当然包括正弦波和复指数。 周期信号的基本数学表示就是傅里叶级数， 它是谐波相关正弦信号或者复指数信号的线 性加权和。 j 2 kF0t 复指数谐波线性组合 x(t ) ck e
j 2 kF0t
t0 T p
t0
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e
j 2 lF0t
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x(t ) a0 ( ak cos 2 kF0 t bk sin 2 kF0 t ) a0 c0 ak 2 ck cos k
k 1
bk 2 ck sin k
实周期信号傅里叶级数展开的三种等价形式。
2
周期信号的功率谱密度
平均功率
1 Px Tp
j 2 kF0t *
用基本数学工具获得信号的频谱的过程称为频 率或者频谱分析。 在实际中，用信号的测量值来确定信号的谱的 过程称为谱估计。 可以把谱估计当做从信号源获取信号的一类谱 分析 (例如，语音、EEG、ECG等)。 用于获取信号的谱估计的软件或者仪器被称为 频谱分析仪。 傅里叶分析工具：傅里叶级数和傅里叶变换代 替了棱镜作用。
Tp
x(t ) dt
实际中，感兴趣的所有周期信号都满足这些条件。
周期信号为实数
ck 和c k 是复共轭 ck ck e j k c k ck e j k x(t ) c0 2 ck cos(2 kF0 t k )
k 1
另一种形式展开式 cos(2 kF0 t k ) cos 2 kF0 t cos k sin 2 kF0 t sin k
第4章 信号的频域分析
傅里叶变换和傅里叶级数是 LTI系统分析与设计中非常 有用的工具。 信号的频域表示 : 用正弦信号（或复指数信号）作为 分量来分解(或表示)信号。 对周期信号，这种分解称为傅里叶级数。 对有限能量信号，这种分解称为傅里叶变换。 LTI系统的线性性意味着当输入为正弦分量的线性组合 时，输出信号在形式上也是正弦信号的线性组合，差 别仅仅在于各分量的幅度和相位有所不同。 LTI系统的特征表明信号的正弦分解是非常重要的。
0 0 p 0 0
1 cl Tp
Tp
x(t )e j 2 lF0t dt
1
连续时间周期信号的傅里叶级数
综合方程
x(t )
1 ck Tp
k
ck e j 2 kF0t
x(t )e j 2 kF0t dt
分析方程
Tp
如果信号是周期的且满足Dirichlet条件，则它一定 可以表示为综合方程的傅里叶级数，其中系数由分析 方程确定。 Dirichlet 信号 x(t ) 在一个周期内不连续点的个数有限。 信号 x(t ) 在一个周期内最小点和最大点的个数有限。 信号 x(t ) 在一个周期内绝对可积，即
T
p
x(t ) dt
2
功率信号的 Parseval关系
x(t )
k
ck e
x (t )
k
ck e j 2 kF0t
2 1 1 Px x(t ) dt x(t )x* (t )dt Tp Tp Tp T p 1 * j 2 kF t x(t ) ck e dt T Tp p k
Joseph ，在测量太阳和 星体发射的光线时，发现 看到的光线的谱包含不同 的色光。 19世纪中叶发现，每种化学元 素受热辐射出不同的色光。因 此，可以通过化学元素的光谱 来辨识每种化学元素。
频率分析
从物理学，每一种颜色对应一种可见光谱的特定频 率。因此，从光到颜色的分析就是一种频率分析。 信号的频率分析将信号分解成正弦频率分量。不同 的信号拥有不同的谱，谱是信号的又一种表示. 频率分析的基本目的: 给出一个分析任意给定信号 的频率分量的数学和图形表示方式。 可以证明: 实际中大多数有意义的信号能分解为正 弦信号分量和的形式。
k
这是一个周期信号，基本周期为Tp 1/ F0 。
{e j 2 kF0t
k 0, 1, 2,
}
基本模块，只需要适当选取基本频率和系数，就可 由它构造出不同类型的周期信号。
系数 {ck }的确定:
x(t )
j 2 lF0t
ck e k
t 0 T p t0