第四章 微机保护算法
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i1' 2 2 由式（1）～（4）可得：2 I i1
（2）
（ 3）
u1' 2U cos(t1 0 )
（4）
2
◆求阻抗（R、X） 由式（1）、（2）可得：
i1' 2 I sin(t1 0
u1' 2 2 2U u1
◆求电流、电压信号的导数 基本思想：用差分近似求导。 下面以电流信号为例进行说明： 如下图所示，电流信号在t1时刻的采样值i1和导数值i1’可以用与t1时刻 相邻的两个连续采样时刻tK和tK+1的采样值iK和iK+1近似计算，即： i K i K 1 ' i K 1 i K i1 i1 T 2 ◆特点： ※数据窗仅为很短的一个采样 间隔（两个采样点）； ※求导数将放大高频分量； ※差分近似求导数，要求有较 高的采样频率。
（ 17）
◆特点 ※数据窗仅为很短的一个采样间隔（两个采样点）； ※算式较复杂。 当
T
2
时，公式可简化为：
2 u12 u 2 U 2
2 i12 i2 I 2
u1i2 u 2 i1 X 2 2 i1 i2
u1i1 u 2 i2 R 2 2 i1 i2
5
2.导数算法
2
2
2Baidu Nhomakorabea
)
u1'
2U sin(t1 0
)
与“两点乘积算法”中的 i20和u2的表达 K 2 K 1 K 1 i i(t ) 2I sin(t ) 2I sin(t 0 T ) 式： 2 K 1 K 1 0 K 0
u u(t ) 2U sin(t
u2 u(t K 1 ) 2U sin(t K 1 0 ) 2U sin(t K 0 T )
2U sin(tK 0 ) cos(T ) 2U cos(tK 0 ) sin(T ) （4）
◆求电流有效值I 由（1）和（2）式可得：
T 2 X m cos(t ) sin( s ) Ts 2 T 2 [X m cos(t )]sin( s ) Ts 2 T dx(t ) 2 sin( s )] Ts 2 dt
[
该系数与时刻t和初相角α无关，仅与角频率ω和采样间隔Ts有关。 对于单一纯正弦信号，由 差分值求微分值的公式为： dx(t ) [ ] [ x(n 1) x(n)] dt 2 sin(Ts / 2)
由式（8）～（11）可进一步求得： u1i1 u2i2 UI2 cos cos(2TK 2 0 ) cos(2TK 2 0 2T ) UI 2 cos 2 cos(T ) cos(2TK 20 T ) （ 13 ）
X m sin(t ) cos(
Ts
2
) x(t ) cos(
Ts
2
)
结论：平均值[x(n)+x(n+1)]/2与瞬时值x(t)之间仅差一个系数 cos(
Ts
2
)
，
该系数与时刻t和初相角α无关，仅与角频率ω和采样间隔Ts有关。
1 x(n) x(n 1) 对于单一纯正弦信号，由 x(t ) K p [ x(n) x(n 1)] 平均值求瞬时值的公式为： cos(Ts / 2) 2
设输入信号为：i(t ) 2I sin(t 0 ) u(t ) 2U sin(t 0 ) 设t1时刻电流、电压信号的瞬时值为： u1 2U sin(t1 0 ) i1 2I sin(t1 0 ) （ 1 ） ◆求电流有效值I、电压有效值U 对式（1）、（2）求导，可得： i1' 2I cos(t1 0 )
i2 i(t K 1 ) 2I sin(t K 1 0 ) 2I sin(t K 0 T ) 2I sin(tK 0 ) cos(T ) 2I cos(tK 0 ) sin(T ) （2） u1 u(tK ) 2U sin(tK 0 ) （ 3）
◆特点 ※数据窗长度为10ms； ※具有一定的滤出高频分量的能力； ※不能抑制直流分量； ※适用于要求不高的电流、电压保护中，可以采用差分滤波器滤除信号中 的非周期分量。
K 0
8
4.平均值、差分值的误差分析
在实际应用中，常采用平均值代替瞬时值，用差分值近似代替微分，用梯形 法则近似求积分。当输入信号为纯正弦信号时，用平均值可以求出准确的瞬 时值，用差分也可以求出准确的微分值。 设信号为： x(t ) X m sin(t ) 设x(t)的两个采样值为x(n)和x(n+1),有：
u1' i1' i1' u1' u1' i1' u1i1 (u1 i1 ) cos( ) u1i1 2 R 2 2 i1' i1' i1' 2 2 i1 i1 2i1 cos( 2 )
4
（ 16 ）
U UI cos u1i1 u 2 i2 (u1i2 u 2 i1 ) cos(T ) 2 sin 2 (T ) R cos 2 2 I I2 2 sin 2 (T ) i1 i2 2i1i2 cos(T )
u1i1 u2i2 (u1i2 u2i1 ) cos(T ) 2 i12 i2 2i1i2 cos(T )
1
二、假定输入为正弦函数的算法
基于如下假设：输入信号为纯正弦量，因此采用该类算法要获得比较理想的 结果，必须与数字滤波器配合使用。 1.两点乘积算法 i(t ) 2I sin(t 0 ) u(t ) 2U sin(t 0 ) 设输入信号为： 设i1、i2和u1、u2分别为两个相邻采样时刻tK和tK+1的采样值（tK+1=tK+△T）， 则有： i1 i(tK ) 2I sin(tK 0 ) （ 1 ）
u1i2 u2i1 UIcos( T ) cos( T ) 2 cos(2TK 2 0 T ) UI 2 cos cos(T ) 2 cos(2TK 20 T ) （ 14 ）
u1i1 u2i2 (u1i2 u2i1 ) cos(T ) 2 sin 2 (T )
9
②由差分值求微分值
x(t ) X m sin(t )
dx (t ) X m cos(t ) dt
x(n 1) x(n) 1 { X m sin[ (t Ts / 2) ] X m sin[ (t Ts / 2) ]} Ts Ts
◆根据继电器动作方程进行判断
电流I 电压U
采样值
电流、电压 相量
保护算法
阻抗继电器 动作方程
阻抗继电器 动作特性
特点：不计算出具体的阻抗值。
3.衡量算法的指标 ◆算法的速度 ※算法所要求的采样点数（数据窗） ※算法的运算量 ◆算法的精度 精度与速度之间的关系： 精度↑ 数据窗长度增加，计算量↑ ◆算法的滤波性能 研究算法的实质：如何在速度和精度两方面进行权衡
) 2U sin(t T )
2
相比，可以发现：将 2 i 和 2 u 表达式中的 T用
6
替代可得式（5）和（6）。
u1' 因此，将式（16）、（17）中的i2用 替代，u2用
' i1
T 用 替 替代，
2
代，可得：
i1' u1' i1' u1' (u1 i1 ) sin( ) u1 i1 2 X ' 2 ' ' 2 i i i 2 1 1 1 i12 2 i cos( ) i 1 1 2
7
3.半周积分算法
基本思想：一个正弦信号在任意半周内，其绝对值积分（求面积）为常数S。
S 2 I sin(t ) dt 2 I sin(t )dt
0 0
2I
cos(t ) 0
2 S 4
2 2I
由上式可得： I
◆积分值S与积分起点的初相角无关
N 1 ◆求面积S 2 S i K TS 面积S可以采用梯形法近似求得：
由式（13）、（14）可求得：
UI cos （ 15 ）
由式（6）、（12）和（15）可求得：
(u1i2 u2i1 ) sin(T ) 2 i12 i2 2i1i2 cos(T )
u1i2 u 2 i1 U UI sin 2 sin 2 (T ) X sin 2 I 2 sin(T ) i12 i2 I2 2i1i2 cos(T )
UIcos( T ) cos(2TK 20 T ) （ 11 ）
3
由式（10）和式（11）可求得：
u1i2 u 2 i1 UI cos( T ) cos( T ) 2UI sin sin(T ) u i u i （ 12 ） 即： UI sin 1 2 2 1 2 sin(T )
x(n) X m sin[ (t Ts / 2) ]
x(n 1) X m sin[ (t Ts / 2) ]
①由平均求瞬时值
x(n) x(n 1) 1 { X m sin[ (t Ts / 2) ] X m sin[ (t Ts / 2) ]} 2 2
R U UI cos cos I I2
X U UI sin sin I I2
（7）
先求 UI sin 和 UI cos ，将式（1）～（4）两两相乘可得：
u1i1 2UI sin(TK 0 ) sin(TK 0 ) UI cos cos(2TK 2 0 ) UI cos cos(2TK 20 ) （ 8） u2i2 2UI sin(TK 1 0 ) sin(TK 1 0 ) UI cos cos(2TK 1 2 0 ) UIcos cos(2TK 2T 20 ) （ 9） u1i2 2UI sin(TK 1 0 ) sin(TK 0 ) 2UI sin(TK 0 T ) sin(TK 0 ) UI cos( T ) cos(2TK 20 T ) （ 10 ） u 2 i1 2UI sin(TK 0 ) sin(TK 1 0 ) 2UI sin(TK 0 ) sin(TK 0 T )
i2 i1 cos(T ) 2 I cos(t K 0 ) sin(T )
2
（5）
由（1）和（5）式可得： 2 i12 i2 2i1i2 cos(T ) 2 2I sin 2 (T )
（6）
◆求电压有效值U 2 u12 u2 2u1u2 cos(T ) 2 2U 方法与求电流有效值相同，可求得： sin 2 (T ) ◆求阻抗（R、X） 根据电流I和电压U求阻抗R、X的公式为：
（2）
（ 3）
u1' 2U cos(t1 0 )
（4）
2
◆求阻抗（R、X） 由式（1）、（2）可得：
i1' 2 I sin(t1 0
u1' 2 2 2U u1
◆求电流、电压信号的导数 基本思想：用差分近似求导。 下面以电流信号为例进行说明： 如下图所示，电流信号在t1时刻的采样值i1和导数值i1’可以用与t1时刻 相邻的两个连续采样时刻tK和tK+1的采样值iK和iK+1近似计算，即： i K i K 1 ' i K 1 i K i1 i1 T 2 ◆特点： ※数据窗仅为很短的一个采样 间隔（两个采样点）； ※求导数将放大高频分量； ※差分近似求导数，要求有较 高的采样频率。
（ 17）
◆特点 ※数据窗仅为很短的一个采样间隔（两个采样点）； ※算式较复杂。 当
T
2
时，公式可简化为：
2 u12 u 2 U 2
2 i12 i2 I 2
u1i2 u 2 i1 X 2 2 i1 i2
u1i1 u 2 i2 R 2 2 i1 i2
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2.导数算法
2
2
2Baidu Nhomakorabea
)
u1'
2U sin(t1 0
)
与“两点乘积算法”中的 i20和u2的表达 K 2 K 1 K 1 i i(t ) 2I sin(t ) 2I sin(t 0 T ) 式： 2 K 1 K 1 0 K 0
u u(t ) 2U sin(t
u2 u(t K 1 ) 2U sin(t K 1 0 ) 2U sin(t K 0 T )
2U sin(tK 0 ) cos(T ) 2U cos(tK 0 ) sin(T ) （4）
◆求电流有效值I 由（1）和（2）式可得：
T 2 X m cos(t ) sin( s ) Ts 2 T 2 [X m cos(t )]sin( s ) Ts 2 T dx(t ) 2 sin( s )] Ts 2 dt
[
该系数与时刻t和初相角α无关，仅与角频率ω和采样间隔Ts有关。 对于单一纯正弦信号，由 差分值求微分值的公式为： dx(t ) [ ] [ x(n 1) x(n)] dt 2 sin(Ts / 2)
由式（8）～（11）可进一步求得： u1i1 u2i2 UI2 cos cos(2TK 2 0 ) cos(2TK 2 0 2T ) UI 2 cos 2 cos(T ) cos(2TK 20 T ) （ 13 ）
X m sin(t ) cos(
Ts
2
) x(t ) cos(
Ts
2
)
结论：平均值[x(n)+x(n+1)]/2与瞬时值x(t)之间仅差一个系数 cos(
Ts
2
)
，
该系数与时刻t和初相角α无关，仅与角频率ω和采样间隔Ts有关。
1 x(n) x(n 1) 对于单一纯正弦信号，由 x(t ) K p [ x(n) x(n 1)] 平均值求瞬时值的公式为： cos(Ts / 2) 2
设输入信号为：i(t ) 2I sin(t 0 ) u(t ) 2U sin(t 0 ) 设t1时刻电流、电压信号的瞬时值为： u1 2U sin(t1 0 ) i1 2I sin(t1 0 ) （ 1 ） ◆求电流有效值I、电压有效值U 对式（1）、（2）求导，可得： i1' 2I cos(t1 0 )
i2 i(t K 1 ) 2I sin(t K 1 0 ) 2I sin(t K 0 T ) 2I sin(tK 0 ) cos(T ) 2I cos(tK 0 ) sin(T ) （2） u1 u(tK ) 2U sin(tK 0 ) （ 3）
◆特点 ※数据窗长度为10ms； ※具有一定的滤出高频分量的能力； ※不能抑制直流分量； ※适用于要求不高的电流、电压保护中，可以采用差分滤波器滤除信号中 的非周期分量。
K 0
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4.平均值、差分值的误差分析
在实际应用中，常采用平均值代替瞬时值，用差分值近似代替微分，用梯形 法则近似求积分。当输入信号为纯正弦信号时，用平均值可以求出准确的瞬 时值，用差分也可以求出准确的微分值。 设信号为： x(t ) X m sin(t ) 设x(t)的两个采样值为x(n)和x(n+1),有：
u1' i1' i1' u1' u1' i1' u1i1 (u1 i1 ) cos( ) u1i1 2 R 2 2 i1' i1' i1' 2 2 i1 i1 2i1 cos( 2 )
4
（ 16 ）
U UI cos u1i1 u 2 i2 (u1i2 u 2 i1 ) cos(T ) 2 sin 2 (T ) R cos 2 2 I I2 2 sin 2 (T ) i1 i2 2i1i2 cos(T )
u1i1 u2i2 (u1i2 u2i1 ) cos(T ) 2 i12 i2 2i1i2 cos(T )
1
二、假定输入为正弦函数的算法
基于如下假设：输入信号为纯正弦量，因此采用该类算法要获得比较理想的 结果，必须与数字滤波器配合使用。 1.两点乘积算法 i(t ) 2I sin(t 0 ) u(t ) 2U sin(t 0 ) 设输入信号为： 设i1、i2和u1、u2分别为两个相邻采样时刻tK和tK+1的采样值（tK+1=tK+△T）， 则有： i1 i(tK ) 2I sin(tK 0 ) （ 1 ）
u1i2 u2i1 UIcos( T ) cos( T ) 2 cos(2TK 2 0 T ) UI 2 cos cos(T ) 2 cos(2TK 20 T ) （ 14 ）
u1i1 u2i2 (u1i2 u2i1 ) cos(T ) 2 sin 2 (T )
9
②由差分值求微分值
x(t ) X m sin(t )
dx (t ) X m cos(t ) dt
x(n 1) x(n) 1 { X m sin[ (t Ts / 2) ] X m sin[ (t Ts / 2) ]} Ts Ts
◆根据继电器动作方程进行判断
电流I 电压U
采样值
电流、电压 相量
保护算法
阻抗继电器 动作方程
阻抗继电器 动作特性
特点：不计算出具体的阻抗值。
3.衡量算法的指标 ◆算法的速度 ※算法所要求的采样点数（数据窗） ※算法的运算量 ◆算法的精度 精度与速度之间的关系： 精度↑ 数据窗长度增加，计算量↑ ◆算法的滤波性能 研究算法的实质：如何在速度和精度两方面进行权衡
) 2U sin(t T )
2
相比，可以发现：将 2 i 和 2 u 表达式中的 T用
6
替代可得式（5）和（6）。
u1' 因此，将式（16）、（17）中的i2用 替代，u2用
' i1
T 用 替 替代，
2
代，可得：
i1' u1' i1' u1' (u1 i1 ) sin( ) u1 i1 2 X ' 2 ' ' 2 i i i 2 1 1 1 i12 2 i cos( ) i 1 1 2
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3.半周积分算法
基本思想：一个正弦信号在任意半周内，其绝对值积分（求面积）为常数S。
S 2 I sin(t ) dt 2 I sin(t )dt
0 0
2I
cos(t ) 0
2 S 4
2 2I
由上式可得： I
◆积分值S与积分起点的初相角无关
N 1 ◆求面积S 2 S i K TS 面积S可以采用梯形法近似求得：
由式（13）、（14）可求得：
UI cos （ 15 ）
由式（6）、（12）和（15）可求得：
(u1i2 u2i1 ) sin(T ) 2 i12 i2 2i1i2 cos(T )
u1i2 u 2 i1 U UI sin 2 sin 2 (T ) X sin 2 I 2 sin(T ) i12 i2 I2 2i1i2 cos(T )
UIcos( T ) cos(2TK 20 T ) （ 11 ）
3
由式（10）和式（11）可求得：
u1i2 u 2 i1 UI cos( T ) cos( T ) 2UI sin sin(T ) u i u i （ 12 ） 即： UI sin 1 2 2 1 2 sin(T )
x(n) X m sin[ (t Ts / 2) ]
x(n 1) X m sin[ (t Ts / 2) ]
①由平均求瞬时值
x(n) x(n 1) 1 { X m sin[ (t Ts / 2) ] X m sin[ (t Ts / 2) ]} 2 2
R U UI cos cos I I2
X U UI sin sin I I2
（7）
先求 UI sin 和 UI cos ，将式（1）～（4）两两相乘可得：
u1i1 2UI sin(TK 0 ) sin(TK 0 ) UI cos cos(2TK 2 0 ) UI cos cos(2TK 20 ) （ 8） u2i2 2UI sin(TK 1 0 ) sin(TK 1 0 ) UI cos cos(2TK 1 2 0 ) UIcos cos(2TK 2T 20 ) （ 9） u1i2 2UI sin(TK 1 0 ) sin(TK 0 ) 2UI sin(TK 0 T ) sin(TK 0 ) UI cos( T ) cos(2TK 20 T ) （ 10 ） u 2 i1 2UI sin(TK 0 ) sin(TK 1 0 ) 2UI sin(TK 0 ) sin(TK 0 T )
i2 i1 cos(T ) 2 I cos(t K 0 ) sin(T )
2
（5）
由（1）和（5）式可得： 2 i12 i2 2i1i2 cos(T ) 2 2I sin 2 (T )
（6）
◆求电压有效值U 2 u12 u2 2u1u2 cos(T ) 2 2U 方法与求电流有效值相同，可求得： sin 2 (T ) ◆求阻抗（R、X） 根据电流I和电压U求阻抗R、X的公式为：